概率論與數理統(tǒng)計概率歷史介紹

1、一、概率定義的發(fā)展與分析1.古典定義的歷史脈絡古典定義中的“古典”表明了這種定義起源的古老，它源于賭博博弈的形式多種多樣，但是它們的前提是“公平”，即“機會均等”，而這正是古典定義適用的重要條件：同等可能16世紀意大利數學家和賭博家卡爾丹（15011576）所說的“誠實的骰子”，即道明了這一點在卡爾丹以后約三百年的時間里，帕斯卡、費馬、伯努利等數學家都在古典概率的計算、公式推導和擴大應用等方面做了重要的工作直到1812年，法國數學家拉普拉斯（17491827）在概率的分析理論中給出概率的古典定義：事件A的概率等于一次試驗中有利于事件A的可能結果數與該事件中所有可能結果數之比2.古典定義的簡單分

2、析古典定義通過簡單明了的方式定義了事件的概率，并給出了簡單可行的算法它適用的條件有二：（1）可能結果總數有限；（2）每個結果的出現有同等可能其中第（2）條尤其重要，它是古典概率思想產生的前提如何在更多和更復雜的情況下，體現出“同等可能”？伯努利家族成員做了這項工作，他們將排列組合的理論運用到了古典概率中用排列（組合）體現同等可能的要求，就是將總數為P(n,r)的各種排列（或總數為C(n,r)的各種組合）看成是等可能的，通常用“隨意取”來表達這個意思即使如此，古典定義的方法能應用的范圍仍然很窄，而且還有數學上的問題“應用性的狹窄性”促使雅各布?伯努利（16541705）“尋找另一條途徑找到所期待

3、的結果”，這就是他在研究古典概率時的另一重要成果：伯努利大數定律這條定律告訴我們“頻率具有穩(wěn)定性”，所以可以“用頻率估計概率”，而這也為以后概率的統(tǒng)計定義奠定了思想基礎“古典定義數學上的問題”在貝特朗（18221900）悖論中表現得淋漓盡致，它揭示出定義存在的矛盾與含糊之處，這導致了拉普拉斯的古典定義受到猛烈批評3.統(tǒng)計定義的歷史脈絡概率的古典定義雖然簡單直觀，但是適用范圍有限正如雅各布伯努利所說：“這種方法僅適用于極罕見的現象”因此，他通過觀察來確定結果數目的比例，并且認為“即使是沒受過教育和訓練的人，憑天生的直覺，也會清楚地知道，可利用的有關觀測的次數越多，發(fā)生錯誤的風險就越小”雖然原理簡

4、單，但是其科學證明并不簡單，在古典概型下，伯努利證實了這一點，即“當試驗次數愈來愈大時，頻率接近概率”事實上，這不僅對于古典概型適用，人們確信“從現實中觀察的頻率穩(wěn)定性”的事實是一個普遍規(guī)律1919年，德國數學家馮米塞斯（18831953）在概率論基礎研究一書中提出了概率的統(tǒng)計定義：在做大量重復試驗時，隨著試驗次數的增加，某個事件出現的頻率總是在一個固定數值的附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，把這個固定的數值定義為這一事件的概率4.統(tǒng)計定義的簡單分析雖然統(tǒng)計定義不能像古典定義那樣確切地算出概率，但是卻給出了一個估計概率的方法而且，它不再需要“等可能”的條件，因此，從應用的角度來講，它的適用范圍更廣

5、但是從數學理論上講，統(tǒng)計定義是有問題的在古典概率的場合，事件概率有一個不依賴于頻率的定義它根本不用訴諸于試驗，這樣才有一個頻率與概率是否接近的問題，其研究導致伯努利大數定律在統(tǒng)計定義的場合這是一個悖論：你如不從承認大數定律出發(fā)，概率就無法定義，因而談不上頻率與概率接近的問題；但是你如承認大數定律，以便可以定義概率，那大數定律就是你的前提，而不是一再需要證明的論斷了5.公理化定義的歷史脈絡正因為古典定義和統(tǒng)計定義數學理論上的這樣或那樣的問題，所以到了19世紀，無論是概率論的實際應用還是其自身發(fā)展，都要求對概率論的邏輯基礎作出更加嚴格的考察1900年，38歲的希爾伯特（18621943）在世界數學

6、家大會上提出了建立概率公理系統(tǒng)的問題，這就是著名的希爾伯特23個問題中的第6個問題這引導了一批數學家投入這方面的工作在概率公理化的研究道路上，前蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫（19031987）成績最為卓著，1933年，他在概率論基礎中運用集合論和測度論表示概率論的方法賦予了概率論嚴密性6.公理化定義的簡單分析為什么直到20世紀才實現了概率論的公理化，這是因為20世紀初才完成了勒貝格測度與積分理論以及抽象測度與積分理論，而這都是概率論公理化體系建立的基礎柯爾莫哥洛夫借助實變函數論和測度論來定義概率概念，形成了概率論的公理化體系，他的公理體系既概括了古典定義、統(tǒng)計定義的基本特性，又避免了各自的局限例如，

7、公理中有一條，是把事件概率的存在作為一個不要證明的事實接受下來，在這個前提下，大數定律就成為一個需要證明且可以得到證明的論斷，這就避免了“4”中統(tǒng)計定義的數學理論上的問題；而公理中關于“概率存在”的規(guī)定又有其實際背景，這就是概率的古典定義和統(tǒng)計定義所以，我們說，概率論公理體系的出現，是概率論發(fā)展史上的一個里程碑，至此，概率論才真正成為了嚴格的數學分支二、關于概率定義教學的幾點思考對于概率的定義，教科書是先給出古典定義，然后再給出統(tǒng)計定義這與歷史上概率定義的發(fā)展相吻合，從“簡單到復雜”在教學中，我們不僅要明了這種順序的設計意圖，而且還要抓住不同定義的特點和思想，以引導學生更好地理解概率1.古典定

8、義的教學定位在前面的分析中，我們說“等可能”是古典概率非常重要的一個特征，它是古典概率思想產生的前提正是因為“等可能”，所以才會有了“比率”因此，“等可能性”和“比率”是古典定義教學中的兩個落腳點“等可能”是無法確切證明的，往往是一種感覺，但是這種感覺是有其實際背景的，例如，擲一枚硬幣，“呈正面”“呈反面”是等可能的，因為它質地均勻；而擲一枚圖釘，“釘帽著地”“頂針著地”不是等可能的，因為圖釘本身給我們的感覺就是帽重釘輕因此，“等可能”并不要多么嚴密的物理上或化學上的分析，只需要通過例子感知一下“等可能”和“不等可能”即可，以便讓學生明白古典定義的適用對象須具備的條件2.統(tǒng)計定義的教學定位從直

9、觀上講，統(tǒng)計定義是非常容易接受的，但是它的內涵是非常深刻的，涉及到大數定律在初中階段，我們不可能讓學生接觸其嚴格的形式和證明因此，統(tǒng)計定義定位在其合理性和必要性是比較恰當的如何讓學生體會其合理性和必要性？羅老師的課堂教學比較好地實現了這兩點從教學順序來看，羅老師將“擲硬幣”作為歸納統(tǒng)計定義的例子，“擲硬幣”可以用古典定義求概率，所以概率值是明確的，而通過試驗的方法計算得到的頻率就可以和這個明確的概率值相比較，如此更容易讓學生體會到“頻率具有穩(wěn)定性”這一事實，從而感受到“用頻率估計概率”的合理性；羅老師將“擲圖釘”作為統(tǒng)計定義的應用，“擲圖釘”不能用古典定義求概率，由此能讓學生體會到學習統(tǒng)計定義

10、計算事件概率的必要性從教學手段來看，羅老師主要采用了“學生試驗”的方法，學生的親自試驗在這節(jié)課所起的作用是無可代替的：“親自試驗”獲得的結果能夠給學生以真實感和確切感；“親自試驗”能夠讓學生感受到頻率的隨機性和穩(wěn)定性等特點所以，像概率與統(tǒng)計的學習，學生應該有更多的主動權和試驗權，在動手和動腦中感受概率與統(tǒng)計的思想和方法3. 概率與統(tǒng)計教學的背后：專業(yè)素養(yǎng)的提升在課題研討時，教師們表現出這樣一些困惑：隨著試驗次數的增加，頻率就越來越穩(wěn)定？頻率估計概率，一定要大量試驗？實驗次數多少合適？事實上，這些問題涉及的就是概率與統(tǒng)計的專業(yè)素養(yǎng)對于大多數教師而言，概率與統(tǒng)計相對而言比較陌生，這是很自然的，因為

11、在教師自身接受的數學專業(yè)學習中，概率與統(tǒng)計就是一個弱項但是，既然要向學生教授概率與統(tǒng)計，那么還是需要有“一桶水”的就像上面的問題，翻閱任何一本概率論與數理統(tǒng)計，都可以給我們知識上的答案，而翻閱一下相關的科普讀物或史料，就可以給我們思想方法上的答案舉個例子：伯努利大數定律：設m是n重伯努利試驗中事件A出現的次數，又A在每次試驗中出現的概率為p()，則對任意的，有 狄莫弗-拉普拉斯極限定理：設m是n重伯努利試驗中事件A出現的次數，又A在每次試驗中出現的概率為p()，則伯努利大數定律只是告訴我們，當n趨于無窮時，頻率依概率收斂于概率p伯努利的想法是：只要n充分大，那么頻率估計概率的誤差就可

12、以如所希望的小值得贊賞的是，他利用了“依概率收斂”而不是更直觀的p，因為頻率是隨著試驗結果變化的，在n次試驗中，事件A出現n次也是有可能的，此時p就不成立了  伯努利不僅證明了上述大數定律，而且還想知道：若想要把一個概率通過頻率而確定到一定的精確度，要做多少次觀察才行這時，伯努利大數定律無能為力，但是狄莫弗-拉普拉斯極限定理給出了解答：                     

13、           （*） 例如研究課中擲硬幣的問題，若要保證有95%的把握使正面向上的頻率與其概率0.5之差落在0.1的范圍內，那要拋擲多少次？根據（*）式，可以估計出三、概率論發(fā)展簡史概率論有悠久的歷史，它的起源與博弈問題有關?？勺匪莸?5世紀末至16世紀中期，意大利的一些學者開始研究擲骰子等賭博中的一些簡單問題，例如比較擲兩個骰子出現總點數為9或10的可能性大小。1494年，意大利數學家巴喬利（L.Pacioli,1445-1517），在其著作算術、幾何及比例性質摘要中記載：A

14、,B兩人進行一場公平賭博，約定先贏得s=6局者獲勝。而在A勝S1=5局且B勝S2=2局時中斷。巴喬利認為該賭博最多需要進行2（s-1）+1=11局，因而賭金分配方案應為S12s-1與S22s-1之比，即S1S2=52的比例來分配賭本.1539年，卡爾達諾(G.Cardano,1501-1576)，通過實例指出巴喬利的分配方案是錯誤的，指出這樣不考慮賭徒可能再贏得局數的算法是錯誤的。他認為，對于A有利的情形是：若再賭1場則A勝；若再賭2場，則B先勝A后勝；若再賭3場，則B先勝2場而A勝最后1場；若再賭4場，則B先勝3場而A勝最后1場。只有在賭4場B全勝時才對B有利。于是得出應按（1+2+3+4）

15、/1來分賭本。他也沒有找到正確的解法。1556年，塔塔利亞（Niccolo Fontana,1499-1557,綽號Tartaglia）也批評了巴喬利的解法，并甚至懷疑能找到數學解答的可能性。“類似問題應屬于法律而非數學，故無論如何分配都有理由上訴。”不過，他也提出一種解法（略） 17世紀中葉，法國數學家帕斯卡、費馬及荷蘭數學家惠更斯基于排列組合的方法研究了一些較復雜的賭博問題，他們解決了“合理分配賭注問題”（即“得分問題”，）、“輸光問題”等等。1654年，法國一位名叫梅累的狂熱賭徒向帕斯卡提出一個困擾他很久的問題:“兩個賭徒相約賭若干局，誰先贏s局就算是誰贏?？墒钱斠粋€賭徒A贏a局（as）

16、 ，而另一個賭徒B贏b局（bs）時，賭博因故終止了，問賭本應如何分配？”帕斯卡將這個問題和他的解法寄給費爾馬，這是1654年7月29日電事情。帕斯卡在信中先以特例說明了其對問題的解法。A、B都拿12枚金幣，5局3勝。（1） A已贏2局，B贏1局。再賭1局，若A勝，則拿走24枚金幣；若B勝，則他們各自取回12枚金幣，因此，A所得金幣應為24/2+12/2=18枚，B應為0/2+12/2=6枚。（2） A已贏2局，B贏0局。再賭1局，若A勝，則拿走24枚金幣；若B勝，則結果同（1）他們各自取回12枚金幣，因此，A所得金幣應為24/2+18/2=21枚，B應為0/2+6/2=3枚。（3） 費爾馬從不

17、同的理由出發(fā)也給出正確的解法。其方法不是直接計算賭徒贏局的概率，而是計算期望的贏值。（4） 費爾馬認為，兩賭徒離全勝所差局數分別為s-a局,s-b局，則最多再進行2s-a-b+1局即可定勝負。所以再賭2局，共有4種情況：MM，MP，PM，PP；前3種情況都是梅累先勝3局，只有第4種情況保羅先勝3局，所以梅累所得金幣應為24*3/4=18枚，保羅應為24*1/4=6枚。1657年荷蘭數學家惠更斯是從與帕斯卡差不多的理由出發(fā)解決了這一問題：如果某人在u+v個等概率的場合中有u個場合可贏得，而有v個場合可贏得，則他所期望的收入可用(u+v)/(u+v)來估計，從而導致了現今稱之為數學期望的概念（惠更

18、斯在1657年出版的論賭博中的計算一書，成為概率論的早期著作，首次明確提出數學期望的概念）。使概率論成為數學的一個分支的真正奠基人則是瑞士數學家雅各布第一·伯努利，他考慮了擲n個骰子時所得點數總和等于m的可能性問題，指出這種場合的數目等于的展開式中這一項的系數，開了母函數方法的先河。他建立了概率論中第一個極限定理，即伯努利大數律；該定理斷言：設事件A的概率P（A）=p（0<p<1），若m表示前n次獨立重復試驗中事件A出現的次數，從而m/n為事件A出現的頻率，則當n時， 式中為任一正實數。這一結果發(fā)表于他死后8年（1713）出版的遺著推測術（Ars conjectandi）

19、中。這里所說的事件的概率，應理解為事件發(fā)生的機會的一個測度，即公理化概率測度（詳見后）。1716年前后，A。棣莫弗對p=1/2情形，用他導出的關于n！的漸近公式（即所謂斯特林公式）進一步證明了漸近地服從正態(tài)分布（德國數學家C。F。高斯于1809年研究測量誤差理論時重新導出正態(tài)分布，所以也稱為高斯分布）。棣莫弗的這一結果后來被法國數學家P。-S。拉普拉斯推廣到一般的p（0<p<1）的情形，后世稱之為棣莫弗-拉普拉斯極限定理，這是概率論中第二個基本極限定理（見中心極限定理）的原始形式。拉普拉斯對概率論的發(fā)展貢獻很大。他在系統(tǒng)總結前人工作的基礎上，寫出了概率的分析理論（1812年出版，后

20、又再版6次）。在這一著作中，他首次明確規(guī)定了概率的古典定義（通常稱為古典概率，見概率），并在概率論中引入了更有力的分析工具，如差分方程、母函數等，從而實現了概率論由單純的組合計算到分析方法的過渡，將概率論推向一個新的發(fā)展階段。拉普拉斯非常重視概率論的實際應用，對人口統(tǒng)計學尤其感興趣。繼拉普拉斯以后，概率論的中心研究課題是推廣和改進伯努利大數律及棣莫弗拉普拉斯極限定理。在這方面，俄國數學家。切比雪夫邁出了決定性的一步，1866年他用他所創(chuàng)立的切比雪夫不等式建立了有關獨立隨機變量序列的大數律。次年，又建立了有關各階絕對矩一致有界的獨立隨機變量序列的中心極限定理；但其證明不嚴格，后來由。馬爾可夫于1

21、898年補證。1901年。李亞普諾夫利用特征函數方法，對一類相當廣泛的獨立隨機變量序列，證明了中心極限定理。他還利用這一定理第一次科學地解釋了為什么實際中遇到的許多隨機變量近似服從正態(tài)分布。繼李亞普諾夫之后，。辛欽、?？聽柲缏宸颉。萊維及W。 費勒等人在隨機變量序列的極限理論方面作出了重要貢獻。到20世紀30年代，有關獨立隨機變量序列的極限理論已臻完備。在此期間，由于實際問題的需要，特別是受物理學的刺激，人們開始研究隨機過程。1905年A。愛因斯坦和R。斯莫盧霍夫斯基各自獨立地研究了布朗運動。他們用不同的概率模型求得了運動質點的轉移密度。但直到1923年，N。維納才利用三角級數首次給出了布

22、朗運動的嚴格數學定義，并證明了布朗運動軌道的連續(xù)性。1907年馬爾可夫在研究相依隨機變量序列時，提出了現今稱之為馬爾可夫鏈（見馬爾可夫過程）的概念；而馬爾可夫過程的理論基礎則由柯爾莫哥洛夫在1931年所奠定。稍后一些時候，辛欽研究了平穩(wěn)過程的相關理論（1934）。所有這些關于隨機過程的研究，都是基于分析方法，即將概率問題化為微分方程或泛函分析等問題來解決。從1938年開始，萊維系統(tǒng)深入地研究了布朗運動，取得了一系列重要成果，他充分利用概率的直覺性，將邏輯與直覺結合起來，倡導了研究隨機過程的一種新方法，即概率方法。這種方法的特點是著眼于隨機過程的軌道性質。萊維對概率論的另一重要貢獻是建立了獨立增

23、量過程的一般理論。他的著作隨機過程與布朗運動（1948）至今仍是隨機過程理論的一本經典著作?，F代概率論的另外兩個代表人物是J。L。杜布和伊藤清，前者創(chuàng)立了鞅論，后者創(chuàng)立了布朗運動的隨機積分理論。在概率發(fā)展史中特別值得一提的是柯爾莫哥洛夫在1933年建立了概率論的公理化體系。概率論公理化體系的建立早在拉普拉斯給出概率的古典定義之前，人們就提出了幾何概率的概念，這是研究有無窮多個可能結果的隨機現象問題的，著名的布豐（曾譯蒲豐）投針問題 （1777）就是幾何概率的一個早期例子。19世紀，幾何概率逐步發(fā)展起來。但到19世紀末，出現了一些自相矛盾的結果。以著名的貝特朗悖論為例：在圓內任作一弦，求其長超過

24、圓內接正三角形邊長的概率。此問題可以有三種不同的解答： 由于對稱性，可預先指定弦的方向。作垂直于此方向的直徑，只有交直徑于 1/4點與3/4點間的弦，其長才大于內接正三角形邊長。設所有交點是等可能的，則所求概率為 1/2（圖1之a）圖 由于對稱性，可預先固定弦的一端。僅當弦與過此端點的切線的交角在60°120°之間，其長才合乎要求。設所有方向是等可能的，則所求概率為1/3（圖 1之b）。 弦被其中點位置惟一確定。只有當弦的中點落在半徑縮小了一半的同心圓內，其長才合乎要求。設中點位置都是等可能的，則所求概率為1/4（圖1 之c）。這個問題之所以有不同解答，是因為當一隨機試驗有

25、無窮多個可能結果時，有時很難客觀地規(guī)定“等可能”這一概念。這反映了幾何概率的邏輯基礎是不夠嚴密的。幾何概率這類問題說明了拉普拉斯關于概率的古典定義帶有很大的局限性。當嚴密的概率公理化系統(tǒng)建立后，幾何概率才能健康地發(fā)展且有廣泛的應用。雖然到了19世紀下半葉，概率論在統(tǒng)計物理學中的應用及概率論的自身發(fā)展已突破了概率的古典定義，但關于概率的一般定義則始終未能明確化和嚴格化。這種情況既嚴重阻礙了概率論的進一步發(fā)展和應用，又落后于當時數學的其他分支的公理化潮流。1900年，D.希爾伯特在世界數學家大會上公開提出了建立概率論公理化體系的問題，最先從事這方面研究的是龐加萊、波萊爾及伯恩斯坦。關于概率論與測度

26、論有聯系這一重要思想就出自波萊爾。伯恩斯坦于1917年構造了概率論的第一個公理化體系。20年代以后，相繼出現了 J。M。凱恩斯及R。von米澤斯等人的工作。凱恩斯主張把任何命題都看作是事件。例如，“明天將下雨”，“土星上有生命”，“某出土文物是某年代的產品”，等等。他把一事件的概率看作是人們根據經驗對該事件的可信程度，而與隨機試驗沒有直接聯系，因此，通常稱為主觀概率。從凱恩斯起，對主觀概率提出了幾種公理體系，但沒有一種堪稱權威。也許，主觀概率的最大影響不在概率論領域自身，而在數理統(tǒng)計學中近年來出現的貝葉斯統(tǒng)計學派。和主觀概率學派相對立的是以米澤斯為代表的概率的頻率理論學派。米澤斯把一事件的概率

27、定義為該事件在獨立重復隨機試驗中出現的頻率的極限，并把此極限的存在性作為他的第一條公理。他的第二條公理是，對隨機選取的子試驗序列，事件出現的頻率的極限也存在并且極限值相等。嚴格說來，這第二條公理沒有確切的數學含義。因此，這種所謂公理化在數學上是不可取的。此外，象某個事件在一獨立重復試驗序列中出現無窮多次這一事件的概率，在米澤斯理論中是無法定義的。這種頻率法的理論依據是強大數律，它具有較強的直觀性，易為實際工作者和物理學家所接受。但隨著科學的進步，它又已逐漸被絕大多數物理學家所拋棄。20世紀初完成的勒貝格測度（見測度論）和勒貝格積分理論以及隨后發(fā)展起來的抽象測度和積分理論，為概率論公理體系的確立

28、奠定了理論基礎。人們通過對概率論的兩個最基本的概念即事件與概率的長期研究，發(fā)現事件的運算與集合的運算完全類似，概率與測度有相同的性質。到了30年代，隨著大數律研究的深入，概率論與測度論的聯系愈來愈明顯。例如強、弱大數律中的收斂性（見概率論中的收斂） 與測度論中的幾乎處處收斂及依測度收斂完全類似。在這種背景下，柯爾莫哥洛夫于1933年在他的概率論基礎一書中第一次給出了概率的測度論式的定義和一套嚴密的公理體系。這一公理體系著眼于規(guī)定事件及事件概率的最基本的性質和關系，并用這些規(guī)定來表明概率的運算法則。它們是從客觀實際中抽象出來的，既概括了概率的古典定義、幾何定義及頻率定義的基本特性，又避免了各自的

29、局限性和含混之處。這一公理體系一經提出，便迅速獲得舉世的公認。它的出現，是概率論發(fā)展史上的一個里程碑，為現代概率論的蓬勃發(fā)展打下了堅實的基礎。現代概率論的內容由于科學技術中許多實際問題的推動以及概率論邏輯基礎的建立，概率論從20世紀30年代以來得到了迅速的發(fā)展。目前其主要研究內容大致可分為極限理論，獨立增量過程，馬爾可夫過程，平穩(wěn)過程和時間序列，鞅和隨機微分方程，點過程等。此外，包括組合概率（用組合數學方法解決只涉及有限個基本事件的概率問題）、幾何概率等在內的一些屬于古典范疇的問題，至今仍有人在繼續(xù)研究，并有新的發(fā)展。極限理論是研究與隨機變量序列或隨機過程序列的收斂性有關的問題的理論。20世紀

30、30年代以后，有關隨機變量序列的極限理論（主要是中心極限定理）的研究，是將獨立序列情形的結果推廣到鞅差序列和更一般的弱相依序列等情形，以及研究收斂速度問題。近年來，由于統(tǒng)計力學的需要，人們開始研究強相依隨機變量序列的非中心極限定理。自1951年M。唐斯克提出不變原理（見隨機過程的極限定理）后，有關隨機過程序列的弱收斂的研究成了極限理論的一個中心課題。普羅霍洛夫及A。B。斯科羅霍德在這方面作出了最主要的貢獻。1964年V。斯特拉森的工作出現后，引起了有關隨機過程序列的強收斂的研究，這就是強不變原理。近年來，鞅論方法已滲透到這一領域，使許多經典結果的證明得到簡化和統(tǒng)一處理，并且還導致一些新的結果。

31、人們最早知道的獨立增量過程是在物理現象中觀察到的布朗運動和泊松過程，一般的獨立增量過程的研究，歸功于萊維，它在20世紀40年代已臻成熟。在這些研究中，包含了許多重要的方法和概念，概率論的許多近代研究課題都直接或間接地受其啟發(fā)與影響。在實際中遇到的很多隨機現象有如下的共同特性：它的未來的演變，在已知它目前狀態(tài)的條件下與以往的狀況無關。描述這種隨時間推進的隨機現象的演變模型就是馬爾可夫過程。20世紀50年代以前，研究馬爾可夫過程的主要工具是微分方程和半群理論（即分析方法）；1936年前后就開始探討馬爾可夫過程的軌道性質，直到把微分方程和半群理論的分析方法同研究軌道性質的概率方法結合運用，才使這方面

32、的研究工作進一步深化，并形成了對軌道分析必不可少的強馬爾可夫性概念。1942 年，伊藤清用他創(chuàng)立的隨機積分和隨機微分方程理論來研究一類特殊而重要的馬爾可夫過程擴散過程，開辟了研究馬爾可夫過程的又一重要途徑。近年來，鞅論方法也已滲透到馬爾可夫過程的研究中，它與隨機微分方程結合在一起，已成為目前處理多維擴散過程的工具。此外，馬爾可夫過程與分析學中的位勢論有密切的聯系。對馬爾可夫過程的研究，推動了位勢理論的發(fā)展，并為研究偏微分方程提供了概率論的方法。最近十多年發(fā)展起來的吉布斯隨機場和無窮粒子隨機系統(tǒng)，是由于統(tǒng)計物理的需要而提出的。許多自然的和生產過程中的隨機現象表現出某種平穩(wěn)性。一種平穩(wěn)性是過程在任

33、意一些時刻上的聯合概率分布隨時間推移不變，這種平穩(wěn)性稱為嚴平穩(wěn)性。嚴平穩(wěn)過程的研究與遍歷理論有密切的聯系。如果上述對概率分布的要求放寬為僅對二階相關矩的要求，即過程在任意兩時刻上的協(xié)方差隨時間推移不變，則稱這種平穩(wěn)性為寬平穩(wěn)性。關于寬平穩(wěn)過程的研究，辛欽、柯爾莫哥洛夫和維納等人運用傅里葉分析和泛函分析的工具，在40年代已經找出了過程的相關函數及過程本身的譜分解式，并且較完滿地解決了有應用意義的預測問題。許多應用問題還要求根據觀測數據去建立這些數據所來自的隨機過程的模型。為此產生了時間序列分析這一課題，提出了寬平穩(wěn)序列的自回歸滑動平均（ARMA）模型以及一些非線性模型。鞅是另一類重要的隨機過程。

34、從20世紀30年代起，萊維等人就開始研究鞅序列，把它作為獨立隨機變量序列的部分和的推廣。40年代到50年代初，杜布對鞅進行了系統(tǒng)的研究，得到有名的鞅不等式、停止定理和收斂定理等重要結果。1962年，P。A。邁耶解決了杜布提出的連續(xù)時間的上鞅分解為鞅及增過程之差的問題。在解決這個問題的過程中，出現了很多新鮮而深刻的概念，使鞅和隨機過程一般理論的內容大大豐富起來。鞅的研究豐富了概率論的內容，并引起人們用它所提供的新方法新概念對概率論中許多經典的內容重新審議，把以往認為是復雜的東西納入鞅論的框架而加以簡化。此外，利用上鞅的分解定理，可以把伊藤清的對布朗運動的隨機積分推廣到對一般鞅乃至半鞅的隨機積分；

35、因而，更一般的隨機微分方程的研究也隨之發(fā)展。隨機微分方程理論不僅可以用來研究馬爾可夫過程，它還是解決濾波問題的必要工具。最近出現的流形上的隨機微分方程又和微分幾何及分析力學的研究發(fā)生了密切的聯系。鞅論還對本學科以外的位勢理論、調和分析及復變函數論等提供了有用的工具。點過程是從所謂計數過程發(fā)展出來的，它們的特點是，可用落在不相重疊的集合上的隨機點數目的聯合概率分布來刻畫整個過程的概率規(guī)律。最基本的計數過程是泊松過程，1943年，C。帕爾姆將它作為最簡單的輸入流應用于研究電話業(yè)務問題；1955年，辛欽又以嚴密的數學觀點作了整理和發(fā)展。在60年代以前，點過程的研究主要限于泊松過程及其推廣的過程。以后，由于大量實際問題的需要以及隨機測度論和現代鞅論的推動，進一步把實軸上的點過程（即計數過程）推廣到一般的可分完備度量空間上，在內容和方法上都有根本性的進展。現代概率論的應用概率論的發(fā)展史說明了理論與實際之間的密切關系。許多研究方向的提出，歸