Ch3協(xié)方差傳播律及權(quán)PPT課件

1、Ch3協(xié)方差傳播律及權(quán)協(xié)方差傳播律及權(quán)13.1觀測向量及其方差觀測向量及其方差協(xié)方差陣協(xié)方差陣 作為衡量精度的指標(biāo)，中誤差可衡量一組觀測值的精度。在實際工作中，我們得到的觀測值往往是由多個觀測值所構(gòu)成的觀測向量。 因此，需要引入觀測向量矩陣和方差協(xié)方差矩陣。一、協(xié)方差一、協(xié)方差 對于變量X、Y，其協(xié)方差為：)()()()(XEXYEYEYEYXEXEYXXY2YXXYnYXXY3.1觀測向量及其方差觀測向量及其方差協(xié)方差陣協(xié)方差陣二、協(xié)方差陣二、協(xié)方差陣 設(shè)有n維觀測向量為 則其方差協(xié)方差陣定義為：特點：特點：對稱；正定；互不相關(guān)時為對角矩陣，對角線元素相等時，為等精度觀測。3TnnlllL)

2、(2112222122121211)()(nnnnnlllllllllllllllTnnLLLELLELED3.1觀測向量及其方差觀測向量及其方差協(xié)方差陣協(xié)方差陣三、互協(xié)方差陣三、互協(xié)方差陣 設(shè)有兩組觀測向量為， n維的X，r維的Y。則，它們的互協(xié)方差陣為：4rnnnrrYXYXYXYXYXYXYXYXYXXYD212221212111YXZ思考：思考：若求DZZ？3.2協(xié)方差傳播律協(xié)方差傳播律1、協(xié)方差傳播律的作用、協(xié)方差傳播律的作用 計算觀測向量函數(shù)的方差協(xié)方差矩陣，從而評定觀測向量函數(shù)的精度。2、預(yù)備公式、預(yù)備公式當(dāng)隨機變量 兩兩獨立時，有 )()()(, )()(,)(YEXEYXEX

3、CECXECCE)()()()(2121nnXEXEXEXXXEnXXX,21)()()()(2121nnXEXEXEXXXE53.2協(xié)方差傳播律協(xié)方差傳播律3、觀測向量線性函數(shù)的方差、觀測向量線性函數(shù)的方差 設(shè)觀測向量X及其期望和方差為：觀測向量線性函數(shù)為 式中： 為常數(shù)。TnTnXEXEXEXEXXXX)()()()(,)(21210kKXZ021,kkkkKnTXXnnnnnTXXDXEXXEXED2212221211221)()(63.2協(xié)方差傳播律協(xié)方差傳播律Z的期望為Z的方差為即展開成純量形式：00)()()(kXKEkKXEZETXXTTTTZZKKDKEXEXXEXKEkXKE

4、kKXkXKEkKXEZEZZEZED)()()()()()()(0000TXXZZKKDD7nnnnnnnnZZkkkkkkkkkD, 111112212222222121222v例題1v例題2v例題383.2協(xié)方差傳播律協(xié)方差傳播律4、多個觀測向量線性函數(shù)的協(xié)方差陣、多個觀測向量線性函數(shù)的協(xié)方差陣 若觀測向量的多個線性函數(shù)為則令0221120222212121012121111tntntttnnnnkXkXkXkZkXkXkXkZkXkXkXkZ0201010212222111211211,tttnttnnntttkkkKkkkkkkkkkKZZZZ93.2協(xié)方差傳播律協(xié)方差傳播律于是，觀

5、測向量的多個線性函數(shù)可寫為 。故有 式中： 為對稱方陣。 若還有觀測向量的另外r個線性函數(shù) 其矩陣形式為：0KKXZTXXZZKKDD0221120222212121012121111rnrnrrrnnnnfXfXfXfYfXfXfXfYfXfXfXfY0FFXYTZZZZDD103.2協(xié)方差傳播律協(xié)方差傳播律則有：而同理：TYYTXXrrYYDFFDDTYZTXXrtZYDFKDDTXXTTTTtrYZKFDKEXEXXEXFEkXKEkKXFXFEFFXEZEZYEYED)()()()()()()(0000113.2協(xié)方差傳播律協(xié)方差傳播律5、多個觀測向量非線性函數(shù)的協(xié)方差陣、多個觀測向量

6、非線性函數(shù)的協(xié)方差陣 基本思想：a、用全微分代替全增量，得到函數(shù)誤差表達(dá)式（線性近似）；b、應(yīng)用協(xié)方差傳播律。 設(shè)觀測向量的t個非線性函數(shù)為： 對上式求全微分，得nttnnXXXfZXXXfZXXXfZ,212122211112令 則由誤差傳播定律得： nnttttnnnndXXfdXXfdXXfdZdXXfdXXfdXXfdZdXXfdXXfdXXfdZ22112222112212211111ntttnnntXfXfXfXfXfXfXfXfXfKdXdXdXdXdZdZdZdZ2122212121112121,TXXZZKKDD133.2協(xié)方差傳播律協(xié)方差傳播律v由以上推導(dǎo)知，求非線性函數(shù)的

7、方差協(xié)方差矩陣比求線性函數(shù)的方差協(xié)方差矩陣只多一個求全微分的步驟。v例題6v例題7146、應(yīng)用協(xié)方差傳播律時應(yīng)注意的問題、應(yīng)用協(xié)方差傳播律時應(yīng)注意的問題（1）根據(jù)測量實際，正確地列出函數(shù)式；（2）全微分所列函數(shù)式，并用觀測值計算偏導(dǎo)數(shù)值；（3）計算時注意各項的單位要統(tǒng)一；（4）將微分關(guān)系寫成矩陣形式；（5）直接應(yīng)用協(xié)方差傳播律，得出所求問題的方差協(xié)方差矩陣。3.2協(xié)方差傳播律協(xié)方差傳播律153.2協(xié)方差傳播律協(xié)方差傳播律v協(xié)方差傳播律的應(yīng)用1、水準(zhǔn)測量的精度2、算術(shù)平均值的精度3、若干獨立誤差的聯(lián)合影響4、平面控制點的點位精度點位方差：16222222222SSuSyxp權(quán)的概念權(quán)的概念權(quán)是表

8、征精度的相對指標(biāo)，指觀測值所占的比重，精度越高，比重越大。權(quán)的定義權(quán)的定義權(quán)與方差成反比權(quán)的意義，不在于其數(shù)值的大小，重要的是它們之間的比例關(guān)系。示例示例1220iip3.3權(quán)及定權(quán)的常用方法權(quán)及定權(quán)的常用方法172222122022202120211:1:1:nnnppp3.3權(quán)及定權(quán)的常用方法權(quán)及定權(quán)的常用方法權(quán)的特點權(quán)的特點（1）選定一個 ，即有一組對應(yīng)的權(quán)；（2） 不同，權(quán)不同，但權(quán)之間的比值不變；（3）同一個問題中只能選一個 ，不能選多個，否則就破壞了權(quán)之間的比例關(guān)系。（4）只要事先給定觀測條件，就可確定權(quán)的數(shù)值。單位權(quán)中誤差的概念單位權(quán)中誤差的概念 權(quán)為1的觀測值所對應(yīng)的中誤差，稱

9、為單位權(quán)中誤差，即 。 1800003.3權(quán)及定權(quán)的常用方法權(quán)及定權(quán)的常用方法 定權(quán)的常用方法定權(quán)的常用方法1、水準(zhǔn)測量的權(quán)1）按測站數(shù)確定2）按路線長度確定2、同精度觀測值之算術(shù)平均值的權(quán)19iiNCp nnNNNppp1:1:1:2121nnSSSppp1:1:1:2121CNpiiN：每段路線的測站數(shù)S：各水準(zhǔn)路線的長度N：觀測值的觀測次數(shù)1、協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)陣、協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)陣 協(xié)因數(shù)即為權(quán)倒數(shù)。3.4協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播律協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播律202021iiiipQXXXXDQ201XXXXQD20nnnnnnXXQQQQQQQQQQ212222111211特點：I 對稱，對角元素為權(quán)倒

10、數(shù) II 正定 III 各觀測量互不相關(guān)時，為對角矩陣。當(dāng)為等精度觀測，為單位陣。3.4協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播律協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播律即有：協(xié)因數(shù)陣也稱為權(quán)逆陣。21nnLLLLPPPDQ1.00.0.10.01.000.0.012120220222021201,LLLLLLLLQPQPnLLPPPP.00.0.0.0213.4協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播律協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播律2、協(xié)因數(shù)傳播律、協(xié)因數(shù)傳播律稱為協(xié)因數(shù)傳播律，或權(quán)逆陣傳播律。與協(xié)方差傳播律合稱為廣義傳播律。3、權(quán)倒數(shù)傳播律、權(quán)倒數(shù)傳播律22TXXZZKKQQ0KKXZ0FFXYTYYTXXrrYYQFFQQTYZTXXrtZYQFKQQnnZn

11、PLfPLfPLfPLLLfZ1)(1)(1)(1),(2222121213.4協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播律協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播律全微分例題10 ：算術(shù)平均值之權(quán)等于觀測值之權(quán)的n倍。 例題11 ：帶權(quán)平均值的權(quán)等于各觀測值權(quán)之和。例題12： 23nnZpkpkpkpKdLdZ11112222121nppXniiXpp121KXZFXYTXXYZKFQQ214、單位權(quán)中誤差的計算、單位權(quán)中誤差的計算 用不同精度的真誤差計算單位權(quán)中誤差的公式如下： 實際應(yīng)用1）由三角形閉合差求測角中誤差24npniiin120limnpniii120nniin12lim3nnii312菲列羅公式本章小結(jié)：本章小結(jié)：1、方差、方差協(xié)方差矩陣的定義協(xié)方差矩陣的定義2、協(xié)方差傳播律、協(xié)方差傳播律（線性和非線性）3、應(yīng)用協(xié)方差傳播律所應(yīng)注意的問題、應(yīng)用協(xié)方差傳播律所應(yīng)注意的問題4、權(quán)與定權(quán)的常用方法、權(quán)與定權(quán)的常用方法5、協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播律、協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播律TXXnnnnnXXDD2212221211221TXXZZKKDDCh3協(xié)方差傳播律及權(quán)協(xié)方差傳播律及權(quán)25 測試題測試題3-1 已知單位權(quán)方差為 、觀測值 的權(quán)矩陣為試求：1、 的方差2、 的方差3、 與 的協(xié)方差420200042026P