高數(shù)同濟31中值定理ppt課件

1、 引理引理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)在在a , b上有定義，并且在點上有定義，并且在點x0(a , b)取到最值，取到最值， f (x)在點在點x0 可導，那么可導，那么 f (x0 )=0。證證: 設(shè)設(shè) f(x0)值最大值最大, )()(, )(0000 xfxxfxxx那么)(0 xf xxfxxfx)()(lim000)0(x)(0 xf)0(x)(0 xf000)(0 xfxyo0 x證畢費馬費馬xyo0 x一、羅爾(Rolle)定理 P128幾何解釋幾何解釋: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在該點處的切線是在該點處的切線是點點上至少有一上至少有一在曲線弧在曲線弧CA

2、BCAB羅爾羅爾(Rolle)定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù) f(x)滿足：滿足： （1在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上連續(xù)；上連續(xù)；（2在開區(qū)間在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導；內(nèi)可導；（3在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即 f(a)= f(b),那么在那么在(a, b) 內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點( a m , 那么那么 M 和和 m 中至少有一個與端點值不中至少有一個與端點值不等等,不妨設(shè)不妨設(shè) , )(afM 則至少存在一點則至少存在一點, ),(ba使使,)(Mf. 0)(f則由費馬引理得則由費馬引理得 證畢注注: :定理條件條件不全具備定理條件條件不全具備, 結(jié)論不一定成立結(jié)論

3、不一定成立. 例如例如,1,010,)(xxxxfx1yo 1 , 1)(xxxf 1 ,0)(xxxfx1yo1x1yo32:4320(0 1)axbxcxabc 求求證證在在，內(nèi)內(nèi)至至少少有有例例1 1一一個個根根。cbacxbxaxxF 234)(23分析：分析：),()0(cbaF cbacbacbaF 23234)1(cbacxbxaxxF 234)(23設(shè)設(shè)證證明明：xcbacxbxaxxF)()(234 , 0)(),10( FRolle使，定理知，至少由. 0234:23 cbacba 即零點定理零點定理用不上用不上!? !證畢, 0)1()0(,)1 , 0( ,1 , 0)

4、( FFxF內(nèi)可導上連續(xù)在例例2. 證明方程證明方程0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf有且僅有一個小于有且僅有一個小于1 的的正實根正實根 .證證: 1) 存在性存在性 .那那么么)(xf在在 0 , 1 連續(xù)連續(xù) ,且且由零點定理知存在由零點定理知存在, ) 1 ,0(0 x使使即方程有小于即方程有小于 1 的正根的正根 x0 .設(shè)設(shè)例例2. 證明方程證明方程0155 xx, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(, 0 x有且僅有一個小于有且僅有一個小于1 的的正實根正實根 . 2) 唯一性唯一性 . 假設(shè)另有假設(shè)另有

5、在以在以)(xf10, xx為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件 ,之間之間在在10 xx ,至少存在一點至少存在一點,.)(0 f使使但但矛盾矛盾,故假設(shè)不真故假設(shè)不真!證畢證證: 1) 存在性存在性 ., 0)(0 xf存在存在 使使, ) 1 ,0(0 x, 0)(1 xf使二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 P129:注注意意( )( ).(f bf afba 結(jié)結(jié)論論亦亦可可寫寫成成xoy)(xfy aAbB2 D1 C考慮考慮:表示直線表示直線AB的斜率的斜率.( )( )?f bf aba 表表示示什什么么拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函數(shù)如果函

6、數(shù) f(x)滿足：滿足： （1在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上連續(xù)；上連續(xù)；（2在開區(qū)間在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導；內(nèi)可導；那么那么 在在(a, b) 內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點( a 2 時，方程時，方程 xn+ yn = zn 又又有沒有整數(shù)解呢？有沒有整數(shù)解呢？p這是不可能的。我對這個命題有這是不可能的。我對這個命題有一個美妙的證明，這里空白太小，一個美妙的證明，這里空白太小，寫不下寫不下(約約 1637 年年)。p歐拉歐拉1770年提出年提出 n = 3 的證明，但的證明，但其中有一點錯誤。其中有一點錯誤。p高斯完成歐拉的證明高斯完成歐拉的證明.費馬(Fermat,1601？-1665 )

7、 費馬大定理p狄利克雷狄利克雷 Dirichlet (1805 - 1859),德國人德國人p1828 年，獨立地證明了年，獨立地證明了 n = 5。p1832 年，解決了年，解決了 n = 14 的情況。的情況。p柯西柯西Cauchy (1789-1857)、拉梅、拉梅Lam (1795 - 1870)p1847年，兩位法國數(shù)學家分別表示他們證明了費馬年，兩位法國數(shù)學家分別表示他們證明了費馬大定理。大定理。p5 月月 24 日，德國數(shù)學家?guī)禧湢栔赋隼泛涂挛鞯娜眨聡鴶?shù)學家?guī)禧湢栔赋隼泛涂挛鞯姆椒ㄊ切胁煌ǖ?，從而平息了二人的爭論。方法是行不通的，從而平息了二人的爭論。p,2無整數(shù)解方程時當

8、nnnzyxn費馬大定理p2019 年年 5 月，懷爾斯長一百頁月，懷爾斯長一百頁的證明，在雜志的證明，在雜志中發(fā)中發(fā)表。表。p2019 年年 6 月月 27 日，懷爾斯獲日，懷爾斯獲得價值五萬美元的得價值五萬美元的沃爾夫斯凱沃爾夫斯凱爾獎金爾獎金。xn + yn = zn,(n 2)無整數(shù)解無整數(shù)解(1637)這是真這是真的的(2019) 作業(yè) P134: 5、6、7、8、10、11-（2）、12、14P134 P134 習題習題1212.10155的的正正實實根根有有且且僅僅有有一一個個小小于于證證明明方方程程 xx證證, 15)(5 xxxf設(shè)設(shè), 1 , 0)(連連續(xù)續(xù)在在則則xf.

9、3)1(, 1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即為方程的小于即為方程的小于1的正實根的正實根.,),1 , 0(011xxx 設(shè)另有設(shè)另有. 0)(1 xf使使,)(10件件之之間間滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條在在xxxf使使得得之之間間在在至至少少存存在在一一個個),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.只只有有唯唯一一實實根根例例6 6 設(shè)設(shè)f(x)f(x)在在a, ba, b上可微，且上可微，且ab0ab0，求證：，求證：)( )()()(1 ffabfbafba (ab)證明證明 令

10、令,)()(xxfx xxg1)( a, b同號，故同號，故x=0不在不在(a, b)內(nèi)內(nèi);(x),g(x)在在(a, b)內(nèi)可微。內(nèi)可微。,)()()(2xxfxfxx 21)(xxg 由柯西中值定理由柯西中值定理),( )()()(1 ffabfbafba即即).,(ba )()()()()()( gagbgab造造技技巧巧：注注：常常見見的的一一些些函函數(shù)數(shù)構(gòu)構(gòu) )()(),(1ffba 使使）證證（xxfxF)()( 0)()(),(2 ffba使使）證證（)()(xfexFx 0)()()(xfexfexFxx若若0)()( xfxf0)()(),(3 ffba使使）證證（)()(x

11、fexFx 0)()()()()()()()(),(4 fggfgfgfba即即使使）證）證（)()()()()(xgxfxgxfxF )()()()()()()()()(xgxfxgxfxgxfxgxfxF Z 考考慮慮 1 1、如果、如果)(xf在在,ba連續(xù)，在連續(xù)，在),(ba可導，可導，c為介于為介于 ba,之間的任一點，那么在之間的任一點，那么在),(ba（ ）找到兩點）找到兩點 12, xx，使，使)()()()(1212cfxxxfxf 成立成立. . （A A）必能；）必能； （B B）可能；）可能； （C C）不能；）不能； （D D）無法確定能）無法確定能 . .2、證明

12、、證明bbabaaba ln解答解答2o 對對f(x)在在b, a上用拉格朗日公式上用拉格朗日公式 ,即即),(1lnlnbaba .111,baab )(1lnln)(1babbabaa 1o 由所要證明的不等式選定一函數(shù)由所要證明的不等式選定一函數(shù)f(x) 及定義區(qū)及定義區(qū)間間: 令令 f(x)=lnx , xb, a.1、 B .2 、證明：的的零零點點。的的兩兩個個零零點點間間一一定定有有可可微微，證證明明設(shè)設(shè))()()()(xfxfxfxf 2121, 0)()(xxxfxf 證：設(shè)證：設(shè))()(xfexFx 令令)()()(xfxfxF （內(nèi)內(nèi)可可導導。在在顯顯然然),(,)(1212xxxxcxF 0)(21 xFxF又又0)(),12 Fxx使使（0)()( ffe0)()( ff補充補充1. 0)(),(),()(),(,)( fbab