初中數(shù)學(xué)輔助線添加技巧：角平分線(共18頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上初中數(shù)學(xué)輔助線添加技巧：角平分線方法總結(jié)與角平分線有關(guān)的常用輔助線作法，即角平分線的四大基本模型已知P是平分線上一點(diǎn)，（1）若于點(diǎn)A，可以過P點(diǎn)作于點(diǎn)B，則可記為“圖中有角平分線，可向兩邊作垂線”（2）若點(diǎn)A是射線OM上任意一點(diǎn)，可以在ON上截取OB=OA，連接PB，構(gòu)造OPBOPA，可記為“圖中有角平分線，可以將圖對折看，對折以后關(guān)系現(xiàn)”（3）若于點(diǎn)P，可以延長AP交ON于點(diǎn)B，構(gòu)造AOB是等腰三角形，P是底邊AB的中點(diǎn)，可記為“角平分線加垂線，三線合一試試看”（4）若過P點(diǎn)作交OM于點(diǎn)Q，可以構(gòu)造POQ是等腰三角形，可記為“角平分線+平行線，等腰三角形必呈現(xiàn)”典例

2、精析例1如圖，在ABC中，AD平分，BC=6cm，BD=4cm，那么點(diǎn)D到直線AB的距離是 cm（2）如圖，已知，求證：AP平分解：（1）2（提示：作交AB于點(diǎn)H）（2）證明：過點(diǎn)P分別作于M，于點(diǎn)N，于點(diǎn)Q，AP平分例2如圖1，RtABC中，垂足為DAF平分，交CD于點(diǎn)F（1）求證：（2）將圖（1）中ACD沿AB向右平移到的位置，使點(diǎn)E'落在BC邊上，其它條件不變，如圖2所示試猜想，與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論解：（1）證明：，AF平分，（2）解：證明：過點(diǎn)E作于點(diǎn)G又AF平分，由平移的性質(zhì)可知：，于D，在RtCEG與Rt中，CEG由（1）可知，點(diǎn)撥：以上兩例使用了輔助線方

3、法（1），“可向兩邊作垂線”，其中例2還可以過點(diǎn)F作AB的垂線例3讀下面的材料：如圖1所示，OP平分，A為OM上一點(diǎn)，C為OP上一點(diǎn)連接AC，在射線ON上截取OB=OA，連接BC，如圖2所示，易證AOCBOC 根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）如圖3所示，在ABC中，AD是BAC的外角平分線，P是AD上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說明理由（2）如圖4所示，AD是ABC的內(nèi)角平分線，其它條件不變，試比較PC-PB與AC-AB的大小并說明理由解：（1）證明：在BA的延長線上截取AE=AC，連接PEAD是BAC的外角平分線，在ACP和AEP中，ACPAEP，在BPE中，

4、（2）證明：在AC上取一點(diǎn)E，使，連接PEAD平分，APEAPB，在EPC中，即，點(diǎn)撥：本例使用了輔助線方法（2），“對稱以后關(guān)系現(xiàn)”例4如圖，已知等腰直角三角形ABC中，A=90°，AB=AC，BD平分ABC，CEBD，垂足為點(diǎn)E，求證：BD=2CE解：證法一：延長BA交CE延長線于點(diǎn)F，BCFBFE又，F(xiàn)CADBA，證法二：過點(diǎn)D作交AB于H過點(diǎn)H作，垂足為點(diǎn)F，HF是BD的垂直平分線又，RtBFHRtCED，即證法三：作的平分線CF，交AB于點(diǎn)F過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，連接FD，BD平分，CF平分，BFCCDB，DH是CF的垂直平分線， 又，DC為公共邊，DCEDCH，即證法四：作BD

5、的垂直平分線GH，交BC于H，連接DH，則，從而，即又，即RtCEDRtBGH，即證法五：作BC的中線AM，則，AM平分，取CD的中點(diǎn)F，連接MF、ME，則ME是RtBCE斜邊上的中線，又，即AMFMEC ，即，所以點(diǎn)撥：本題是一個一題多解題，其中方法一體現(xiàn)了角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形由于作輔助線的方法不同，此題還有其它解法，可以自行研究例5 （1）如圖1，和分別是的外角平分線，過點(diǎn)A作，垂足分別為D、E求證：（1） ；（2） ；（2）如圖2，BD、CE分別是的內(nèi)角平分線，其它條件不變；（3）如圖3，BD為的內(nèi)角平分線，CE為的外角平分線，其它條件不變則在圖2、圖3兩種情況下，DE與BC還平

6、行嗎？它與的三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜測，并對其中的一種情況進(jìn)行證明解：（1）證明：分別延長AD，AE交直線BC于點(diǎn)F 、G，同理：DE是中位線，（2）DE與BC平行；證明：延長AE交BC于點(diǎn)M，延長AD交BC于點(diǎn)N，由（1）同理可得，E是AM中點(diǎn)，D是AN中點(diǎn)，（3）DE與BC平行；，輔助線作法如下，證法同（2）點(diǎn)撥：本例常見輔助線方法（3），角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形舉一反三：1在中，的平分線交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，求證：例6如圖1，BD、CD分別平分問：（1）圖1中有幾個等腰三角形？（2）過D點(diǎn)，如圖2，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，圖中又增加了幾個等腰三角形？（3）如圖

7、3，若將題中改為不等邊三角形，其他條件不變，圖中有幾個等腰三角形？寫出EF與BE、CF有什么關(guān)系？（4）如圖4，BD平分，CD平分外角交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F線段EF與BE、CF有什么關(guān)系？并說明理由（5）如圖5BD、CE為外角、的平分線，交AB延長線于點(diǎn)E，交AC延長線于點(diǎn)F，直接寫出線段EF與BE、CF有什么關(guān)系？解：（1）圖1中有兩個等腰三角形：、（2）圖2中又增加三個等腰三角形：、（3）圖3中有兩個等腰三角形：、由于，所以（4）圖4中有兩個等腰三角形：、證明：BD平分，（5），證法與同（3）點(diǎn)撥：本題利用的是角平分線+垂線，等腰三角形必呈現(xiàn)例7如圖，已知中，AD平分，求證：解：證法一

8、：過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，又，為等腰直角三角形，證法二：延長AC到點(diǎn)E，使，連接ED，又，點(diǎn)撥：線段之間的關(guān)系通常有以下幾種提問方式：（1）若問兩條線段之間的關(guān)系時(shí)，一般要回答數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）若問線段之間的數(shù)量關(guān)系時(shí)，一般情況下要寫等量關(guān)系，或是和差倍分關(guān)系；（3）若問線段之間的大小關(guān)系時(shí)，必須填大（等）于或?。ǖ龋┯?；當(dāng)所求線段關(guān)系為和差倍分關(guān)系時(shí)，一般情況我們作輔助線的方法是截長補(bǔ)短舉一反三1如圖，中，平分交于點(diǎn)求證：2如圖，中，平分，求證：例8如圖(1)所示，OP是MON的平行線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：(1)

9、 如圖(2)，在ABC中，ACB是直角，B=60°，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F 請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系(2)如圖(3)，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其他條件均不變，請問，你在(1)中得到的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由解：圖略(1)FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為FE=FD (2)答：(1)中的結(jié)論FE=FD仍然成立證法一：如圖，在AC上截取AG=AE，連接FG 因?yàn)?=2，AF為公共邊，可證AEFAGF所以AFE=AFG，F(xiàn)E=FG 由B=60°，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，可

10、得2+3=60°所以AFE=CFD=AFG=60°所以CFG=60° 由3=4及FC為公共邊，可得CFGCFD所以FG=FD所以FE=FD證法二：如圖，過點(diǎn)F分別作FGAB于點(diǎn)G，F(xiàn)HBC于點(diǎn)H 因?yàn)锽=60°，且AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，所以可得2+3=60°，F(xiàn)是ABC的內(nèi)心所以GEF=60°+1，F(xiàn)G=FH又因?yàn)镠DF=B+1，所以GEF=HDF因此可證EGFDHF所以FE=FD點(diǎn)撥：本題的輔助線，作垂直和對稱皆可當(dāng)我們證明兩條線段相等時(shí)，可以用以下方法：（1）兩條線段共端點(diǎn)且共線時(shí)，證明公共端點(diǎn)是中點(diǎn)或在這條線段

11、的垂直平分線上；（2）兩條線段共端點(diǎn)但不共線時(shí)，證明底角相等；（3）兩條線段既不共端點(diǎn)又不共線時(shí)，可通過找到中間等量代換一下或者放到兩個三角形當(dāng)中，直接證明三角形全等，如果不存在這樣的三角形，那么就需要你去構(gòu)造三角形跟蹤訓(xùn)練1（1）如圖1，在ABC中，ABC與ACB的角平分線相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DEBC，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，若BD+CE=9，則線段DE的長為 （2）如圖2，在ABC中，BD、CE分別平分ABC與ACB，DEAB，F(xiàn)DAC，如果BC=6，求DEF的周長2如圖，BAD=CAD，AB>AC，CDAC于點(diǎn)D，H是BC中點(diǎn)，求證：3如圖，四邊形ABCD中，求證：AC平分4如圖，的外角的平分線CP與內(nèi)角的平分線BP交于點(diǎn)P，連接AP、CP，若，求的度數(shù)5如圖，在四邊形ABCD中，BC>AB，AD=CD，BD平分，求證：6在平行四邊形ABCD中，BAD的平分線直線BC于點(diǎn)E，交直線DC于