工科數(shù)學分析第一學期期末試題

1、.16-17 16-17 第一學期第一學期工科數(shù)學分析工科數(shù)學分析期末試題期末試題 一、填空題（每小題一、填空題（每小題4 4分分, , 共共2020分）分）解：解：機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 lim()xxxaxa 2limxaxx ae 29ae ln3a 則則2lim(1)xxaxa .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解：解：22221111122211xdyxxxxdxxxx 222211122121xxxx 21x .解：解：機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 23111lnln3eexxdxxdx

2、32111(ln)3eexxx dx 33111()333ee 3121)9e （.機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解：解：211sindxxx 11sin()dxx 1cosCx .解：解：機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 11()()2()dxdxxxyex edxC ln2ln()xxex edxC ()xxdxC 2()2xxC.二、計算題（每小題二、計算題（每小題5 5分分, , 共共2020分）分）解：解：機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 30tanlimcosxxxxx 2201seclim3xxx

3、220tanlim3xxx 13 300tan1limlimcosxxxxxx .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解解1：方程兩邊同時對方程兩邊同時對 x 求導，得：求導，得：0yyxxdydyexeeyedxdxyxxyeyedydxexe 解解得得：解解2：方程兩邊求方程兩邊求微分微分，得：，得：0yyxxe dxxe dye dyye dx yxxyeyedydxexe 解解得得：.機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解：解：01sinxdx 2202|sincos|xuuu du 令令2yox4xsinxcos0|sincos|22x

4、xdx 402(cossin )uu du 242(sincos )uu du 402 sincosuu 242cossinuu 4( 2 1) .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解：解：,uxy 令令1,dydudxdx 則則代入原方程，得：代入原方程，得：21duudxarctan,uxC 解解得得arctan(),xyxC 即即tan()yxCx 通通解解為為.解解1：機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 22lim()1xxxaxbx 22lim ()0(1)xxxbxax xx 22lim()20 ,(1)xxxbaax xx 2a

5、得得22lim(2 )1xxxbxx 3lim31xxx .解解2：機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 22lim(1)xxxax x 22lim(2 )1xxxbxx 3lim31xxx 由條件知由條件知，221xxyaxbyx 直直線線是是曲曲線線的的漸漸近近線線，則則2 , .解：解：機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 （1 1）( )sin,f xxx 設設( )1cos0 ,fxx ( )0f xx 單單增增，則則當當時時( )(0)0 ,f xf 0sinxxx 即即當當時時，有有。（2 2）， 由由(1)(1)知，知，對任何自然數(shù)對

6、任何自然數(shù) n，有，有1sinnnnxxx 10sin1,nnxx 又又nx則則有有極極限限，lim,nnxa 設設sin,aa 得得0a 則則.解：解：機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 :0 ,D x 2)1(4lim2 xxx, 2 。得得水水平平漸漸近近線線2 y( )limxf xax 2)1(4lim3xxxx )(limaxxfbx 2)1(4lim)(lim200 xxxfxx, . 0 x得得鉛鉛直直漸漸近近線線0 .列表確定單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間及極值點和拐點列表確定單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間及極值點和拐點x)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2(

7、 )(xf )(xf 00)(xf 2 0 拐點拐點極小值極小值間間斷斷點點3 26( 3,)9 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 34(2)( ),xfxx , 0)( xf令令, 2 x得駐點得駐點48(3)( ),xfxx ( )0 ,fx 令令3 .x 得得點點.解：解：機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 (1) 由對稱性由對稱性2202( )( )sd 弧弧長長22024(1cos )4sind 08|cos|2d 016cos22d 16 042(1cos )d 016sin2 .解解:(2) 由對稱性由對稱性6 2012( )2A

8、d 面面積積機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 204(1cos ) d 2204(2cos)2d 4032cos22d 242032costtdt 令令3 1324 2 2 .解解：機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 121(1)xVy dx 32105 062sin3cos( sin )ttt dt 7203sincosttdt 注意上下限注意上下限 ! !1 1oyx.(2)機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 dydy dtdxdx dt tan ,t 223sincos3cos( sin )tttt 41tdydx

9、 22()d yddydxdx dx 22sec3cos( sin )ttt ()ddydtdt dxdx()ddydxdt dxdt 41,3cossintt 2244 23td ydx 322|(1)yky 4 232 2 23 33cos,sinxtyt .解：解：機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 則容器內(nèi)水的容積是則容器內(nèi)水的容積是：( )20( )h tV tx dy 兩邊對兩邊對 t 求導：求導：23,dVdhhdtdt 3 ,dVdt 已已知知得得233h 231dhdVdtdth 2( )30h ty dy .解：解：機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁

10、下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ydy y),(yxyx013yx 2(1)dWx dy gy 23(1)gy y dy 2130(1)Wgy y dy 940g ,y ydy 取取小小區(qū)區(qū)間間.機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解：解：（1 1）,uxt 令令dudt 00()() ( )()xxtf xt dtxu f udu 則則00( )( )xxxf u duuf u du 00( )( )xxxf t dttf t dt .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解：解：（2 2）將（）將（1 1）代入已知等式，有）代入已知等式，有00( )

11、( )( )sin0 xxf xxf t dttf t dtx 兩邊對兩邊對 x 求導，有求導，有0( )( )cos0 xfxf t dtx 兩兩邊再邊再對對 x 求導，有求導，有( )( )sin0fxf xx .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 sin(0)0 ,(0)1yyxyy 得得初初值值問問題題：特征特征方程方程為為特征根為特征根為210 ,r ri 對應齊次方程的對應齊次方程的通解為通解為12( )cossinY xCxCx i 是特征方程的單根，是特征方程的單根，(cossin ),yx AxBx 設設求出求出)( ,)( yy代入原方程，代入原方程

12、， 比較系數(shù)得比較系數(shù)得1,0 ,2AB 得特解：得特解：1cos2yxx 通解為：通解為：121cossincos2yCxCxxx代入初始條件，解得：代入初始條件，解得：1210 ,2CC 11( )sincos22yf xxxx 故故.機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 sin(0)0 ,(0)1yyxyy 得得初初值值問問題題：特征特征方程方程為為特征根為特征根為210 ,r ri 對應齊次方程的對應齊次方程的通解為通解為12( )cossinY xCxCx 作輔助方程：作輔助方程：ixyye i 是特征方程的單根，是特征方程的單根，,ixyAxe 設設求出求出)

13、( ,)( yy代入原方程，代入原方程，比較系數(shù)得比較系數(shù)得1,2Ai 112xiyixe 則則取虛部，得特解：取虛部，得特解：1cos2yxx 通解為：通解為：121cossincos2yCxCxxx另解：另解：.機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 sin(0)0 ,(0)1yyxyy 得得初初值值問問題題：通解為：通解為：121cossincos2yCxCxxx代入初始條件，解得：代入初始條件，解得：1210 ,2CC 11( )sincos22yf xxxx 故故.機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解：解：1(1)lim( )xff x 1( )lim(1)(1)xf xxx 1( )(1)(1)lim1xf xffx 1( )lim5(1)xf xx 5 00.機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解解: : (2)(2)20sin()limln(1)xxfxx 2220sinsin()1limsinln(1)1xxxfxxxxxxx 301sin()sinlimlimsin1xxxfxxxxxx .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 20sin()limln(1)xxfxx 301sin()sinlimlimsin1xxxfxxxxxx