（整理版）解三角形與平面向量

1、第五章 解三角形與平面向量 23正弦定理和余弦定理導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，進(jìn)而進(jìn)行恒等變換解決問(wèn)題.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題自主梳理1三角形的有關(guān)性質(zhì)(1)在abc中，abc_；(2)ab_c，ab<c；(3)a>bsin a_sin ba_b；(4)三角形面積公式：sabcahabsin cacsin b_；(5)在三角形中有：sin 2asin 2bab或_三角形為等腰或直角三角形；sin(ab)sin c，sin cos .2正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容_2ra2_，b2_，c2_.變形形式a_，b

2、_，c_；sin a_，sin b_，sin c_；abc_；cos a_；cos b_；cos c_.解決的問(wèn)題兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角三邊，求各角；兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角.自我檢測(cè)1(·上海)假設(shè)abc的三個(gè)內(nèi)角滿足sin asin bsin c51113，那么abc()a一定是銳角三角形b一定是直角三角形c一定是鈍角三角形d可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形2(·天津)在abc中，內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別是a，b，c，假設(shè)a2b2bc，sin c2sin b，那么a等于 ()a30°b60&

3、#176;c120°d150°3(·煙臺(tái)模擬)在abc中，a60°，b1，abc的面積為，那么邊a的值為()a2b.c.d34(·山東)在abc中，角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c.假設(shè)a，b2，sin bcos b，那么角a的大小為_(kāi)5(·北京)在abc中，假設(shè)b1，c，c，那么a_.探究點(diǎn)一正弦定理的應(yīng)用例1(1)在abc中，a，b，b45°，求角a、c和邊c；(2)在abc中，a8，b60°，c75°，求邊b和c.變式遷移1(1)在abc中，假設(shè)tan a，c150°，bc1，那么ab

4、_；(2)在abc中，假設(shè)a50，b25，a45°，那么b_.探究點(diǎn)二余弦定理的應(yīng)用例2(·咸寧月考)a、b、c分別是abc中角a、b、c的對(duì)邊，且a2c2b2ac.(1)求角b的大??；(2)假設(shè)c3a，求tan a的值變式遷移2在abc中，a、b、c分別為a、b、c的對(duì)邊，b，b，ac4，求a.探究點(diǎn)三正、余弦定理的綜合應(yīng)用例3在abc中，a、b、c分別表示三個(gè)內(nèi)角a、b、c的對(duì)邊，如果(a2b2)sin(ab)(a2b2)sin(ab)，試判斷該三角形的形狀變式遷移3(·天津)在abc中，.(1)證明：bc；(2)假設(shè)cos a，求sin的值1解斜三角形可以看

5、成是三角變換的延續(xù)和應(yīng)用，用到三角變換的根本方法，同時(shí)它是對(duì)正、余弦定理，三角形面積公式等的綜合應(yīng)用2在利用正弦定理解三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí)，有可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況，應(yīng)結(jié)合圖形并根據(jù)“三角形中大邊對(duì)大角來(lái)判斷解的情況，作出正確取舍3在解三角形中的三角變換問(wèn)題時(shí)，要注意兩點(diǎn)：一是要用到三角形的內(nèi)角和及正、余弦定理，二是要用到三角變換、三角恒等變形的原那么和方法“化繁為簡(jiǎn)“化異為同是解此類問(wèn)題的突破口 (總分值：75分)一、選擇題(每題5分，共25分)1(·湖北)在abc中，a15，b10，a60°，那么cos b等于 (

6、)ab.cd.abc中ab3，ac=2，bc=，那么等于 ()abc.d.3在abc中，sin2(a，b，c分別為角a，b，c的對(duì)邊)，那么abc的形狀為()a正三角形b直角三角形c等腰直角三角形d等腰三角形4(·聊城模擬)在abc中，假設(shè)a60°，bc4，ac4，那么角b的大小為()a30°b45°c135°d45°或135°5(·湖南)在abc中，角a，b，c所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，假設(shè)c120°，ca，那么 ()aa>bba<bcabda與b的大小關(guān)系不能確定題號(hào)12345答案二、填

7、空題(每題4分，共12分)6在abc中，b60°，b2ac，那么abc的形狀為_(kāi)7(·廣東)a，b，c分別是abc的三個(gè)內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊，假設(shè)a1，b，ac2b，那么sin c_.8(·龍巖模擬)在銳角abc中，adbc，垂足為d，且bddcad236，那么bac的大小為_(kāi)三、解答題(共38分)abc中，角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，=3.(1)求abc的面積；(2)假設(shè)bc6，求a的值10(12分)(·陜西)在abc中，b45°，d是bc邊上的一點(diǎn)，ad10，ac14，dc6，求ab的長(zhǎng)11(14分)(·重慶)

8、設(shè)abc的內(nèi)角a、b、c的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且3b23c23a24bc.(1)求sin a的值；(2)求的值答案 自主梳理1(1)(2)>(3)>>(4)bcsin a(5)ab2.b2c22bccos aa2c22accos ba2b22abcos c2rsin a2rsin b2rsin csin asin bsin c自我檢測(cè)4.課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，可利用正弦定理求其他的角和邊，但要注意對(duì)解的情況進(jìn)行判斷，這類問(wèn)題往往有一解、兩解、無(wú)解三種情況具體判斷方法如下：在abc中a、b和a，求b.假設(shè)a為銳角，當(dāng)ab時(shí)，有一解；當(dāng)absin

9、 a時(shí)，有一解；當(dāng)bsin a<a<b時(shí)，有兩解；當(dāng)a<bsin a時(shí)，無(wú)解假設(shè)a為直角或鈍角，當(dāng)a>b時(shí)，有一解；當(dāng)ab時(shí)，無(wú)解解(1)由正弦定理得，sin a.a>b，a>b，a60°或a120°.當(dāng)a60°時(shí)，c180°45°60°75°，c；當(dāng)a120°時(shí)，c180°45°120°15°，c.綜上，a60°，c75°，c，或a120°，c15°，c.(2)b60°，c75°

10、，a45°.由正弦定理，得b4，c44.b4，c44.變式遷移1(1)(2)60°或120°解析(1)在abc中，tan a，c150°，a為銳角，sin a.又bc1.根據(jù)正弦定理得ab.(2)由b>a，得b>a，由，得sin b×，0°<b<180°b60°或b120°.例2解(1)a2c2b2ac，cos b.0<b<，b.(2)方法一將c3a代入a2c2b2ac，得ba.由余弦定理，得cos a.0<a<，sin a，tan a.方法二將c3a代入a

11、2c2b2ac，得ba.由正弦定理，得sin bsin a.由(1)知，b，sin a.又ba>a，b>a，cos a.tan a.方法三c3a，由正弦定理，得sin c3sin a.b，c(ab)a，sin(a)3sin a，sincos acossin a3sin a，cos asin a3sin a，5sin acos a，tan a.變式遷移2解由余弦定理得，b2a2c22accos ba2c22accosa2c2ac(ac)2ac.又ac4，b，ac3，聯(lián)立，解得a1，c3，或a3，c1.a等于1或3.例3解題導(dǎo)引利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊角互化，轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系或角角關(guān)

12、系解方法一(a2b2)sin(ab)(a2b2)sin(ab)a2sin(ab)sin(ab)b2sin(ab)sin(ab)，2a2cos asin b2b2cos bsin a，由正弦定理，得sin2acos asin bsin2bcos bsin a，sin asin b(sin acos asin bcos b)0，sin 2asin 2b，由0<2a<2，0<2b<2，得2a2b或2a2b，即abc是等腰三角形或直角三角形方法二同方法一可得2a2cos asin b2b2cos bsin a，由正、余弦定理，即得a2b×b2a×，a2(b2

13、c2a2)b2(a2c2b2)，即(a2b2)(c2a2b2)0，ab或c2a2b2，三角形為等腰三角形或直角三角形變式遷移3解題導(dǎo)引在正弦定理2r中，2r是指什么？a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c的作用是什么？(1)證明在abc中，由正弦定理及得.于是sin bcos ccos bsin c0，即sin(bc)0.因?yàn)?lt;bc<，從而bc0.所以bc.(2)解由abc和(1)得a2b，故cos 2bcos(2b)cos a.又0<2b<，于是sin 2b.從而sin 4b2sin 2bcos 2b，cos 4bcos22bsin22b.所以sinsi

14、n 4bcos cos 4bsin .課后練習(xí)區(qū)6等邊三角形解析b2a2c22accos b，aca2c2ac，(ac)20，ac，又b60°，abc為等邊三角形71解析由ac2b及abc180°知，b60°.由正弦定理知，即sin a.由a<b知，a<b，a30°，c180°ab180°30°60°90°，sin csin 90°1.8.解析設(shè)bad，dac，那么tan ，tan ，tanbactan()1.bac為銳角，bac的大小為.9解(1)因?yàn)閏os，所以cos a2cos21，sin a.(4分)又由·3得bccos a3，所以bc5，因此sabcbcsin a2.(8分)(2)由(1)知，bc5，又bc6，由余弦定理，得a2b2c22bccos a(bc)