（整理版）高二數(shù)學(xué)歸納法人教實(shí)驗(yàn)（B）

1、高二數(shù)學(xué)歸納法人教實(shí)驗(yàn)版b【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：數(shù)學(xué)歸納法二. 學(xué)習(xí)目標(biāo)三. 考點(diǎn)分析：1、數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)n3、兩個(gè)步驟中，第一步是根底，第二步是依據(jù).在第二步證明中，關(guān)鍵是一湊假設(shè)，二湊結(jié)論.驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值假設(shè)當(dāng)n=k特別注意：1用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)首先要驗(yàn)證時(shí)成立，注意不一定為1；2在第二步中，關(guān)鍵是要正確合理地運(yùn)用歸納假設(shè)，尤其要弄清由k到k+1【典型例題】用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式：例1、，證明：.證明：1當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊，等式成立；2假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即有：.那么當(dāng)時(shí)，左邊=右邊；所以當(dāng)時(shí)等式也成立.綜合12知對(duì)一切，等式都成立.思維點(diǎn)撥：仔細(xì)觀察欲證等式

2、的結(jié)構(gòu)特征，在第二步證明當(dāng)時(shí)向目標(biāo)式靠攏是關(guān)鍵.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：例2、求證：證明：1當(dāng)n=1時(shí)，原不等式成立2設(shè)n=k時(shí)，原不等式成立即成立，當(dāng)n=k+1時(shí)，恒成立。用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題：例3、是否存在正整數(shù)m使得對(duì)任意自然數(shù)n都能被m整除，假設(shè)存在，求出最大的m的值，并證明你的結(jié)論。假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由。證明：由得，由此猜測(cè)m=36下面用數(shù)學(xué)歸納法證明1當(dāng)n=1時(shí)，等式顯然成立。2假設(shè)n=k時(shí)，fk能被36整除，即能被36整除；當(dāng)n=k+1時(shí)，由于是2的倍數(shù)，故能被36整除，這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，fn也能被36整除由12可知對(duì)一切正整數(shù)n都有能被36整除，m的最大值為36。

3、用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題：例4、平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓把平面分成個(gè)局部.解：1當(dāng)時(shí)，一個(gè)圓把平面分成兩局部，此時(shí)2假設(shè)當(dāng)個(gè)圓把平面分成個(gè)局部。那么當(dāng)時(shí)，這個(gè)圓中的個(gè)圓把平面分成個(gè)局部。第個(gè)圓被前個(gè)圓分成條弧，這條弧中的每一條把所在的局部分成了2個(gè)局部，這時(shí)共增加了個(gè)局部，故個(gè)圓把平面分成個(gè)局部，這說明當(dāng)綜上所述，對(duì)一切例5、數(shù)列，計(jì)算，猜測(cè) 的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。證明： 于是可以猜測(cè)下面用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明1當(dāng)時(shí)，左邊右邊猜測(cè)成立。2假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜測(cè)成立，即那么，當(dāng)時(shí)所以當(dāng)時(shí)猜測(cè)也成立。例6、用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的

4、自然數(shù)n，不等式成立。解析：當(dāng)時(shí)，左=，右，左>右，不等式成立。假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，那么當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，不等式也成立。由，知，對(duì)一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立。點(diǎn)評(píng)：1此題證明當(dāng)成立。步成立是推理的根底，第步是推理的依據(jù)即成立，那么成立，成立，步中，驗(yàn)證中的未必是1，根據(jù)題目要求，有時(shí)可為2，3等；第步中，證明當(dāng)【模擬試題】一、選擇題本大題共6小題，每題5分，共30分1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，從“到，左邊需增乘的代數(shù)式是 a. b. c. d. 2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“，在驗(yàn)證時(shí)，左邊計(jì)算所得的項(xiàng)為 a. b. c. d. 3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：，且時(shí)，第一步即證以下哪個(gè)不等式成

5、立 a. b. c. d. 4. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，能被整除的第二步應(yīng)是 a. 假設(shè)時(shí)正確，再推時(shí)正確b. 假設(shè)時(shí)正確，再推時(shí)正確c. 假設(shè)時(shí)正確，再推時(shí)正確d. 假設(shè)時(shí)正確，再推時(shí)正確5. 空間中有個(gè)平面，它們中任何兩個(gè)不平行，任何三個(gè)不共線，設(shè)個(gè)這樣的平面把空間分成個(gè)區(qū)域，那么個(gè)平面把空間分成的區(qū)域數(shù) a. b. c. d. 6. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：“，且時(shí)，由不等式成立推證不等式成立時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是 a. b. c. d. 二、填空題此題共4小題，每題5分，共20分7、平面內(nèi)有個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交，每三個(gè)或三個(gè)以上的圓都不交于同一點(diǎn)，它們把平面分成_個(gè)局部。8、在

6、數(shù)列中，且，2成等差數(shù)列表示數(shù)列的前n項(xiàng)和，那么，分別為_；由此猜測(cè)_。9、對(duì)一切都成立，那么a=_，b=_，c=_。10、用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由到時(shí)，不等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是_。三、解答題本大題共4題，共50分11、用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被64整除。12、平面內(nèi)有條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn)，求證：這條直線把平面分割成個(gè)區(qū)域。 13、數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)，試求的值，推導(dǎo)出的公式，并證明。14、設(shè)fk滿足不等式的自然數(shù)x的個(gè)數(shù)。1求fk的解析式；2記，求的解析式；3令，試比擬與的大小?！驹囶}答案】1. c2. c3. c4. b5. a6. c7. 證明：1當(dāng)時(shí)，1個(gè)圓把平面分成個(gè)局

7、部， 當(dāng)2假設(shè)時(shí)，個(gè)圓將平面分成個(gè)局部，那么當(dāng)時(shí)，新增加的一個(gè)圓與前個(gè)圓有個(gè)交點(diǎn)，這些點(diǎn)把新圓周分成段，每段把它穿過的區(qū)域又分成兩局部，因此增加了個(gè)局部，于是個(gè)圓將平面分成個(gè)局部，即均成立。8、，9、 ，10、11、證明：1當(dāng)時(shí)，能被64整除2假設(shè)，能被64整除。當(dāng)時(shí)， 與64均能被64整除 及也能被64整除，所以當(dāng)12、證明：1當(dāng) 時(shí)，一條直線把平面分成兩個(gè)區(qū)域，有，所以2假設(shè)條滿足題意的直線把平面分割成了個(gè)區(qū)域，那么當(dāng)時(shí)，條直線中的條把平面分成了個(gè)區(qū)域。第條直線被這條直線分成局部，每局部把它們所在的區(qū)域分成了兩塊，因此增加了個(gè)區(qū)域，所以條直線把平面分成了個(gè)區(qū)域，所以當(dāng)13、證明： ，猜測(cè)：，證明如下：1當(dāng)時(shí)，公式成立2假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即那么 由12可知，對(duì)任何都成立。14、解：1原不等式23n=1時(shí)，；n=2時(shí)， n=3時(shí)，；n=4