高等數(shù)學(xué)微分中值定理教學(xué)

1、第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理 第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理 第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理 第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理 本節(jié)主要內(nèi)容本節(jié)主要內(nèi)容: : 一一. .羅爾中值定理羅爾中值定理二二. .拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理三三. .柯西中值定理柯西中值定理第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理 一、羅爾中值定理一、羅爾中值定理 費馬（費馬（F

2、ermatFermat）引理）引理函數(shù)函數(shù)y=f(x)在在N(x0, )有定義，有定義，y=f (x0)存在，存在， f(x) f(x0) (f(x) f(x0)0()0 fx 定義定義3.1.13.1.1 導(dǎo)數(shù)等于零的點稱為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零的點稱為函數(shù)的駐點駐點（或（或穩(wěn)定點、臨界點穩(wěn)定點、臨界點) )第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理 引理的直觀意義引理的直觀意義: 可導(dǎo)函可導(dǎo)函數(shù)極值點處的切線平行于數(shù)極值點處的切線平行于 x 軸軸.第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理 定理定理3.1.1 （羅爾中值定理）（羅爾中值

3、定理）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y= f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上有定義，如果上有定義，如果 （1）函數(shù)）函數(shù) f (x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a，b上連續(xù)上連續(xù)； （2）函數(shù)）函數(shù) f (x)在開區(qū)間在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)）內(nèi)可導(dǎo)； （3）函數(shù)）函數(shù) f (x)在區(qū)間兩端點處的函數(shù)值相等，即在區(qū)間兩端點處的函數(shù)值相等，即f (a)= f (b)；則在（則在（a，b）內(nèi)）內(nèi)至少至少存在一個點存在一個點 a b，使得使得f ( )=0 .例如例如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上連續(xù)上連續(xù)在在 ,)3 , 1(上可導(dǎo)上可導(dǎo)在在 , 0)3()1( ff且且)3 , 1(1( , 1 取取.

4、0)( f),1(2)( xxf第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理 因為函數(shù) f(x) 在區(qū)間 a,b 上連續(xù)，函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 a,b 上必能取到最大值 M 和最小值 m ,考慮兩種可能的情況： (1) 若 m=M,則 f(x) 在 a,b 上恒等于常數(shù) M(或 m),因而在 (a,b) 內(nèi)處處有f (x)=0，因此可取 (a,b) 內(nèi)任意一點作為而使得f ()=0成立。定理的證明定理的證明第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理 (2) 若 mM，因為 f(a)=f(b)，因此m、M 不可能同時是兩端點的函數(shù)值，

5、即最小值 m 和最大值 M至少有一個在開區(qū)間(a,b)內(nèi)部取得，不妨設(shè) f ()=M， (a,b). 由條件(2)和費馬定理推知 f ()=0.第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理 羅爾定理的幾何意義羅爾定理的幾何意義：如果連續(xù)函數(shù)除兩個端：如果連續(xù)函數(shù)除兩個端點外處處有不垂直于點外處處有不垂直于x軸的切線，并且兩端點處縱坐軸的切線，并且兩端點處縱坐標(biāo)相等，那么在曲線上至少存在一點標(biāo)相等，那么在曲線上至少存在一點 ，在該點處，在該點處的切線平行于的切線平行于x 軸軸(如下圖）。如下圖）。第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理

6、 1.羅爾定理中的羅爾定理中的是是(a,b)內(nèi)的某一點，定理僅從理論內(nèi)的某一點，定理僅從理論上指出了它的存在性，而沒有給出它的具體取值；上指出了它的存在性，而沒有給出它的具體取值； 2.羅爾定理的條件是充分非必要條件，只要三個條件羅爾定理的條件是充分非必要條件，只要三個條件均滿足，就充分保證結(jié)論成立。但如果三個條件不全滿均滿足，就充分保證結(jié)論成立。但如果三個條件不全滿足，則定理的結(jié)論可能成立也可能不成立?？慈缦吕樱鹤?，則定理的結(jié)論可能成立也可能不成立?？慈缦吕樱簝牲c說明：兩點說明：第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理 ( ) 01 0 1 xxf xx時

7、例時10 xy. 0)(, f使使不不例例;1 , 1,)( xxxf. 0)(, f使使不不10 xy1 ).1()0()3(ff (1) ( )0,1f x 在在上上連續(xù)連續(xù)(2) ( )(0,1)f x 在在內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)(3) ( 1)(1).ff (1) ( ) 1,1f x 在在上上連續(xù)連續(xù)(2) ( )( 1,1)f x 在在內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理 例例10 xy;1 , 0,)( xxxf. 0)(, f使使不不(3) (0)(1).ff (1) ( )0,1f x 在在上上連續(xù)連續(xù)(2) ( )(0,1)f x 在在

8、內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理 例例1 1 驗證羅爾中值定理對函數(shù)驗證羅爾中值定理對函數(shù)f(x)=x3+4x2-7x-10 在區(qū)間在區(qū)間-1,2上的正確性，并求出上的正確性，并求出 解得解得令令f (x)=3x2+8x-7=0 x4373 （1） f(x)= x3+4x2-7x-10在區(qū)間在區(qū)間-1,2上連續(xù)；上連續(xù)；（2） f (x)=3x2+8x-7在（在（-1,2）內(nèi)存在；）內(nèi)存在；（3）f (-1)=f (2)= 0；所以所以 f(x)滿足定理的三個條件滿足定理的三個條件.374( 1, 2)3 則則就是要找的點，顯然有就是要找的點

9、，顯然有f ()=0.解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理 例例2 2 證明方程證明方程x5-5x+1=0有且僅有一個小于有且僅有一個小于1的正實的正實根根存在性：存在性：令令 f(x)= x5-5x+1，則則f(x)在在0,1上連續(xù)上連續(xù)f(0)=1，f(1)=-3，由介值定理：至少存在一點，由介值定理：至少存在一點x0(0,1),使使f (x0)=0 ， x0即為方程的小于即為方程的小于1的正實根的正實根.唯一性：唯一性：設(shè)另有設(shè)另有x1(0,1), x1 x0,使使f (x1)=0因為因為f(x)在在x1 ，x0之間滿足羅爾定理的條件之間滿足羅爾定

10、理的條件所以至少存在一點所以至少存在一點 (在在x1 ，x0之間之間),使得使得f ()=0但但f (x)=5x4-50 , x(0,1),矛盾矛盾,所以為唯一實根所以為唯一實根.證明證明第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理 例例3 不求函數(shù)不求函數(shù)f (x)=(x-1)(x-2)(x-3)的導(dǎo)數(shù)，說明方程的導(dǎo)數(shù)，說明方程 f (x)=0有幾個實根有幾個實根 函數(shù)函數(shù)f(x)在在R上可導(dǎo)上可導(dǎo),所以在區(qū)間所以在區(qū)間1,2,2,3上滿足羅上滿足羅爾定理的條件爾定理的條件,所以在區(qū)間（所以在區(qū)間（1,2)（2,3)內(nèi)分別至少有一內(nèi)分別至少有一實根；實根；又又 f

11、 (x)=0是二次方程是二次方程,至多有二個實根；至多有二個實根；所以方程所以方程f (x)=0 有且僅有兩個實根有且僅有兩個實根,它們分別落在區(qū)它們分別落在區(qū)間（間（1,2) （2,3)內(nèi)內(nèi)解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理 定理定理3.1.2 （拉格朗日中值定理）（拉格朗日中值定理）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y=f(x)滿足滿足（1）在閉區(qū)間）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)上連續(xù)； （2）在開區(qū)間）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)）內(nèi)可導(dǎo)；那么在那么在(a，b)內(nèi)內(nèi)至少存在一點至少存在一點 (a b) ，使得，使得 f (b)- f (a)= f ( )(b-a)或或)()()

12、( fabafbf二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理 注意到注意到, , Rolle定理是定理是Lagrange定理的特殊情況。定理的特殊情況。證明思想證明思想構(gòu)造輔助函數(shù)法構(gòu)造輔助函數(shù)法 由于證明這個定理，目前只有由于證明這個定理，目前只有Rolle定理可用，因定理可用，因此想若能構(gòu)造一個輔助函數(shù)此想若能構(gòu)造一個輔助函數(shù) (x) , ,使其滿足使其滿足Rolle定理定理的條件，同時想辦法接近要證明的結(jié)論的條件，同時想辦法接近要證明的結(jié)論. .第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理

13、則函數(shù)則函數(shù) (x)在區(qū)間在區(qū)間a b上滿足羅爾定理的條件上滿足羅爾定理的條件(1) (2) 又又作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)f bf axf xxba( )( )( )( ). a( ) b( ), b f aa f bba( )( ) 所以，由羅爾中值定理，在所以，由羅爾中值定理，在(a,b)內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點 ,使使f bf afba( )( )( )( )0 即即 f (a)- f (b)= f ( )(b-a)定理的證明定理的證明第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理 拉格朗日中值公式又稱拉格朗日中值公式又稱有限增量公式有限增量公式. 1.拉格朗日

14、中值定理的兩個條件是使結(jié)論成立的充拉格朗日中值定理的兩個條件是使結(jié)論成立的充分不必要條件；分不必要條件； 2.當(dāng)當(dāng)f (a)=f (b)時，拉格朗日中值定理即為羅爾中值時，拉格朗日中值定理即為羅爾中值 定理；定理；00()()( )f xxf xfx 3.設(shè)設(shè)f (x)在在a,b上連續(xù)，在上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),x0,x0+ x(a,b)則有則有( )yfx 即即幾點說明：幾點說明：第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理 拉格朗日定理的幾何意義拉格朗日定理的幾何意義：當(dāng)曲線方程滿足拉格：當(dāng)曲線方程滿足拉格朗日定理的要求時，在區(qū)間內(nèi)至少存在一點朗日定理

15、的要求時，在區(qū)間內(nèi)至少存在一點 ，使得該，使得該點的切線平行于曲線兩端點點的切線平行于曲線兩端點 ( a, f(a) )與與 ( b, f(b) )的連的連線，其斜率為線，其斜率為f bf akfba( )()() 第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理 推論推論1 1 設(shè)設(shè) y=f (x) 在在 a, b 上連續(xù)，若在上連續(xù)，若在(a, b)內(nèi)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為零，則在的導(dǎo)數(shù)恒為零，則在a, b上上 f (x) 為常數(shù)為常數(shù).fxf xC( )0( ) 推論推論2 2 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)與與y=g(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)的內(nèi)的導(dǎo)數(shù)處處相等，即導(dǎo)數(shù)處

16、處相等，即f (x)=g (x) ，則這兩個函數(shù)在，則這兩個函數(shù)在(a,b)內(nèi)內(nèi)只相差一個常數(shù)，即只相差一個常數(shù)，即f(x)-g(x)=C 第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理 設(shè)設(shè)f (x)=arcsinx+arccosx,由推論由推論1知知 f (x)=C所以所以xxxarcsinarccos( 11)2例例4 4 證明：證明：fxxx2211( )011 又因為又因為f (0)arcsin0arccos0022C2 即即xxxarcsinarccos( 11)2證明證明則則f (x)在在0,1上連續(xù)，又上連續(xù)，又第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)

17、第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理 設(shè)設(shè)f (x)=ln(1+x),則則f (x)在在0,x上上滿足拉格朗日滿足拉格朗日中值定理的條件，中值定理的條件，即即由由于于因為因為0 0時，時，xxxxln(1)1 f xffxx( )(0)( )(0),(0) 所以上式變?yōu)樗陨鲜阶優(yōu)閒fxx1(0)0,( )1 xxxx11 xxln(1)1 即即xxxxln(1)1 證明證明第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理 定理定理3.1.3 （柯西中值定理）（柯西中值定理）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)與與y=g(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間(a,

18、b)內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且 g (x)在在(a,b)內(nèi)恒不為零，則至少存在內(nèi)恒不為零，則至少存在一點一點 (a,b)，使得，使得 f bf afg bg ag( )( )( )( )( )( ) 注意：拉格朗日中值定理是柯西中值定理當(dāng)注意：拉格朗日中值定理是柯西中值定理當(dāng)g(x)=x時時的一種特例。的一種特例。三、柯西中值定理三、柯西中值定理第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理 ( )( )( )( )0( )( )f bf agfg bg a ( ) 分析分析:( )( )g bg a ( )()gba ab 0 問題轉(zhuǎn)化為證問題轉(zhuǎn)化為證( )( )( )( )( )( )( )f bf axg xf xg bg a 構(gòu)造輔助函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)證證: 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)( )( )( )( )( )( )( )f bf axg xf xg bg a ( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )f b g af a g babg bg a ,),(,)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在則babax且且第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理 , ),(ba使使, 0