中考數(shù)學(xué) 壓軸題精選及解析

1、中考?jí)狠S題精選及解析1、如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是等腰梯形，點(diǎn)為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)什么位置時(shí)，為等腰三角形，求這時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)什么位置時(shí)，使得，且，求這時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)1、解：（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足是點(diǎn)， 四邊形是等腰梯形， ， 在中， ， ，點(diǎn)的坐標(biāo)，xyCBDAEPO （2） ，為等腰三角形， 為等邊三角形 ， 點(diǎn)是在軸上， 點(diǎn)的坐標(biāo)或。 （3），且 ， ， ，設(shè)，即 這時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)2、設(shè)邊長(zhǎng)為2a的正方形的中心A在直線l上，它的一組對(duì)邊垂直于直線l，半徑為r的O的圓心O在直線l上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A、O間距離為d（1）如圖

2、，當(dāng)ra時(shí)，根據(jù)d與a、r之間關(guān)系，將O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)填入下表：d、a、r之間關(guān)系公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)dar（題圖）darardardardar所以，當(dāng)ra時(shí)，O與正方形的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能有個(gè)；（2）如圖，當(dāng)ra時(shí)，根據(jù)d與a、r之間關(guān)系，將O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)填入下表：d、a、r之間關(guān)系（題圖）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)dardaradarda所以，當(dāng)ra時(shí)，O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有個(gè)；（題圖）（3）如圖，當(dāng)O與正方形有5個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，試說(shuō)明ra；（4）就ra的情形，請(qǐng)你仿照“當(dāng)時(shí)，O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有 個(gè)”的形式，至少給出一個(gè)關(guān)于“O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)”的正確結(jié)論d、a、r之間關(guān)系公共點(diǎn)的個(gè)

3、數(shù)dar0dar1ardar2dar1dar0解：圖（1） 所以，當(dāng)ra時(shí)，O與正方形的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能有0、1、2個(gè)； d、a、r之間關(guān)系公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)dar0dar1adar2da4圖（2）所以，當(dāng)ra時(shí)，O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有0、1、2、4個(gè)；（3）如圖所示，連結(jié)OC則OEOCr ，OFEFOE2ar BCDFE 在RtOCF中，由勾股定理得： OF2FC2OC2即（2ar）2a2r2 4a24arr2a2r2 5a24ar5a4r r a3、如圖1，已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)（1）求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求線段的垂直平分線的解析式；（3）如圖2，取與線段等長(zhǎng)的一根橡皮筋，端點(diǎn)分別固定在兩

4、處用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖在直線上方的拋物線上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)將與構(gòu)成無(wú)數(shù)個(gè)三角形，這些三角形中是否存在一個(gè)面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由PA圖2圖13、解：依題意得解之得 3分（2）作的垂直平分線交軸，軸于兩點(diǎn)，交于（如圖1）圖1DMACB第3題 由（1）可知： 過(guò)作軸，為垂足 由，得：， 同理： 設(shè)的解析式為 的垂直平分線的解析式為：（3）若存在點(diǎn)使的面積最大，則點(diǎn)在與直線平行且和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線上，并設(shè)該直線與軸，軸交于兩點(diǎn)（如圖2） 拋物線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)， ，PA圖2第3題HGB 在直線中， 設(shè)到的距離為， 到的距離等于

5、到的距離。 4、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)A沿AD向D運(yùn)動(dòng)，以BE為邊，在BE的上方作正方形BEFG，連接CG。請(qǐng)?zhí)骄浚海?）線段AE與CG是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由：（2）若設(shè)，當(dāng)取何值時(shí)，最大？（3）連接BH，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AD的何位置時(shí)，BEHBAE？ 4、解：（1） 理由：正方形ABCD和正方形BEFG中 又 ABECBG （2）正方形ABCD和正方形BEFG 又ABEDEH 當(dāng)時(shí)，有最大值為 （3）當(dāng)E點(diǎn)是AD的中點(diǎn)時(shí)，BEHBAE理由： E是AD中點(diǎn) 又ABEDEH 又 又 BEHBAE5、一條隧道的截面如圖所示，它的上部是一個(gè)以AD為直徑的半圓O，下部是一

6、個(gè)矩形ABCD.（1）當(dāng)AD=4米時(shí)，求隧道截面上部半圓O的面積；（2）已知矩形ABCD相鄰兩邊之和為8米，半圓O的半徑為r米.求隧道截面的面積S（米2）關(guān)于半徑r（米）的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出r的取值范圍）；若2米CD3米，利用函數(shù)圖象求隧道截面的面積S的最大值（取3.14，結(jié)果精確到0.1米）CABDOr解：（1）當(dāng)AD=4米時(shí)，S半圓=2（米2） （2）AD=2r，ADCD=8 CD=8AD=82r S= 由知CABDOr 又2323 2.53 由知S=2.43r216r =2.430，函數(shù)圖象為開(kāi)口向下的拋物線.函數(shù)對(duì)稱軸3.3 又2.533.3由函數(shù)圖象知，在對(duì)稱軸左側(cè)S隨的增大而增

7、大，故當(dāng)=3時(shí)，有S最大值. =26.1326.1（米2）答：隧道截面的面積S的最大值約為26.1米2. （第23題）ABCPQ6、如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)P由點(diǎn)B開(kāi)始沿BC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度作勻速運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C后停止運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q由點(diǎn)C開(kāi)始沿C-A-B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度作勻速運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B后停止運(yùn)動(dòng).若點(diǎn)P，Q同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒)(t0).（1）指出當(dāng)t4秒時(shí)，點(diǎn)P,Q的位置，此時(shí)直線PQ有何特點(diǎn)？（2）當(dāng)點(diǎn)Q在AC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求PCQ的面積S1與t的函數(shù)關(guān)系式.（3）當(dāng)點(diǎn)Q在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)Q與點(diǎn)B不重合），求四邊形PCAQ的面積S2與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變

8、量t的取值范圍.圖（1）ABCDQP解：（1）當(dāng)t4秒時(shí)，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn),點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合， 此時(shí)直線PQ是ABC的對(duì)稱軸（或者說(shuō)：線段PQ是ABC中BC邊上的高、中線、角平分線）（任說(shuō)一種即可）如圖(1)，作QDBC,垂足為D,則BP=t,PC=8-t,QC=2t,QD=t.ABCEQPM(3)如圖(2)，作QEBC,AMBC,垂足為分別為E、M,則BP=t,AM=4,BQ=16-2t, QE=. =自變量t的取值范圍4t87、半徑為2.5的O中，直徑AB的不同側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P已知BC ：CA4 : 3，點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)O.(l）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于A

9、B對(duì)稱時(shí)，求CQ的長(zhǎng)；(2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)AB到的中點(diǎn)時(shí)，求CQ的長(zhǎng)； (3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CQ取到最大值？求此時(shí)CQ的長(zhǎng) 解：( l）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱時(shí)，CPAB，設(shè)垂足為D. AB為O的直徑， ACB=900. AB=5,AC:CA=4:3, BC=4, AC=3. 又AC·BC=AB·CD 在RtACB和RtPCQ中，ACBPCQ=900, CABCPQ， RtACBRtPCQ (2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧AB的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BEPC于點(diǎn)E（如圖）.P是弧AB的中點(diǎn)， 6分 又CPB=CAB CPB= tanCAB= 而從 由（l）得， (3）點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)

10、動(dòng)時(shí)，恒有 故PC最大時(shí)，CQ取到最大值當(dāng)PC過(guò)圓心O，即PC取最大值5時(shí)，CQ 最大值為。9、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，線段OA、OB的長(zhǎng)(0A<OB)是方程x2-18x+72=0的兩個(gè)根，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段OC上，OD=2CD(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求直線AD的解析式；(3)P是直線AD上的點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以0、A、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)OA=6，OB=12 點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，OC=AC 作CEx軸于點(diǎn)E OE=OA=3，CE=OB=6 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，6)

11、 (2)作DFx軸于點(diǎn)F OFDOEC，=，于是可求得OF=2，DF=4 點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，4) 設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b把A(6，0)，D(2，4)代人得 解得 直線AD的解析式為y=-x+6 (3)存在 Q1(-3，3)， Q2(3，-3)，Q3(3，-3) ，Q4(6，6) 11、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫(huà)O，P是O上一動(dòng)點(diǎn)，且P在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作O的切線與軸相交于點(diǎn)A，與軸相交于點(diǎn)B。（1）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度頁(yè)在發(fā)生變化，請(qǐng)寫(xiě)出線段AB長(zhǎng)度的最小值，并說(shuō)明理由；（2）在O上是否存在一點(diǎn)Q，使得以Q、O、A、P為頂點(diǎn)的四邊形時(shí)平行四邊形

12、？若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（1）線段AB長(zhǎng)度的最小值為4 理由如下： 連接OP因?yàn)锳B切O于P，所以O(shè)PAB取AB的中點(diǎn)C，則 當(dāng)時(shí)，OC最短，即AB最短，此時(shí) （2）設(shè)存在符合條件的點(diǎn)Q，如圖，設(shè)四邊形APOQ為平行四邊形，因?yàn)樗倪呅蜛POQ為矩形又因?yàn)樗运倪呅蜛POQ為正方形所以，在RtOQA中，根據(jù)，得Q點(diǎn)坐標(biāo)為（）。 如圖，設(shè)四邊形APQO為平行四邊形因?yàn)镺QPA，所以，又因?yàn)樗?，因?yàn)?PQOA，所以 軸。設(shè)軸于點(diǎn)H，在RtOHQ中，根據(jù)，得Q點(diǎn)坐標(biāo)為（）所以符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）或（）。12、某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一種單價(jià)為40元的籃球，如果以單價(jià)50元出售，

13、那么每月可售出500個(gè)，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，售價(jià)每提高1元，銷售量相應(yīng)減少10個(gè)；（1）假設(shè)銷售單價(jià)提高元，那么銷售每個(gè)籃球所獲得的利潤(rùn)是 元；這種籃球每月的銷售量是 個(gè)；（用含的代數(shù)式表示）（4分）（2）8000元是否為每月銷售這種籃球的最大利潤(rùn)？如果是，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不是，請(qǐng)求出最大利潤(rùn)，此時(shí)籃球的售價(jià)應(yīng)定為多少元？（8分）解：（1）， （2）設(shè)月銷售利潤(rùn)為元，由題意得：整理得： ，當(dāng)時(shí)，有最大值9000，答：8000元不是最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是9000元，此時(shí)籃球售價(jià)為70元； 13、如圖，已知O的直徑AB垂直于弦CD于E，連結(jié)AD、BD、OC、OD，且OD5。（1）若，求CD的長(zhǎng)；（2）若

14、ADO：EDO4：1，求扇形OAC（陰影部分）的面積（結(jié)果保留）。 解：（1）因?yàn)锳B是O的直徑，OD5所以ADB90°，AB10在RtABD中，又，所以，所以因?yàn)锳DB90°，ABCD所以所以所以 所以（2）因?yàn)锳B是O的直徑，ABCD 所以 所以BADCDB，AOCAOD因?yàn)锳ODO，所以BADADO 所以CDBADO設(shè)ADO4x，則CDB4x由ADO：EDO4：1，則EDOx因?yàn)锳DOEDOEDB90°所以所以x10°所以AOD180°（OADADO）100°所以AOCAOD100°14、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊

15、形OABC為菱形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0)，AOC=60°，垂直于x軸的直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點(diǎn)M、N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方).(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)OMN的面積為S，直線l運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0t6)，試求S與t的函數(shù)表達(dá)式；(3)在題(2)的條件下，t為何值時(shí)，S的面積最大？最大面積是多少？ 解：(1)四邊形OABC為菱形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0)， OA=AB=BC=CO=4.過(guò)點(diǎn)A作ADOC于D. AOC=60°，OD=2，AD=2.A(2,2)，B（6,2).(2)直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正

16、方向運(yùn)動(dòng)與菱形OABC的兩邊相交有三種情況： 0t2時(shí)，直線l與OA、OC兩邊相交(如圖). MNOC，ON=t. MN=ONtan60°=t. 當(dāng)2t4時(shí)，直線l與AB、OC兩邊相交(如圖).S=ON·MN=×t×2=t.6分當(dāng)4t6時(shí)，直線l與AB、BC兩邊相交(如圖). 方法一：設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)H.MN=2-(t-4)=6-t， . (3)由(2)知，當(dāng)0t2時(shí)， 當(dāng)2t4時(shí)，當(dāng)4t6時(shí)，配方得，當(dāng)t=3時(shí)，函數(shù)的最大值是. 但t=3不在4t6內(nèi)，在4t6內(nèi)，函數(shù)的最大值不是.而當(dāng)t3時(shí)，函數(shù)隨t的增大而減小， 當(dāng)4t6時(shí)，S4.11分綜上所述

17、，當(dāng)t=4秒時(shí)，16、如圖，有兩個(gè)形狀完全相同的直角三角形ABC和EFG疊放在一起（點(diǎn)A與點(diǎn)E重合），已知AC8cm，BC6cm，C90°，EG4cm，EGF90°，O 是EFG斜邊上的中點(diǎn)如圖，若整個(gè)EFG從圖的位置出發(fā)，以1cm/s 的速度沿射線AB方向平移，在EFG 平移的同時(shí)，點(diǎn)P從EFG的頂點(diǎn)G出發(fā)，以1cm/s 的速度在直角邊GF上向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)，EFG也隨之停止平移設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），F(xiàn)G的延長(zhǎng)線交 AC于H，四邊形OAHP的面積為y（cm2)（不考慮點(diǎn)P與G、F重合的情況）（1）當(dāng)x為何值時(shí)，OPAC ?（2）求y與x 之間的函

18、數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍（3）是否存在某一時(shí)刻，使四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324？若存在，求出x的值；若不存在，說(shuō)明理由（參考數(shù)據(jù)：1142 12996，1152 13225，1162 13456或4.42 19.36，4.52 20.25，4.62 21.16）解：（1）RtEFGRtABC ，F(xiàn)G3cm當(dāng)P為FG的中點(diǎn)時(shí)，OPEG ，EGAC ，OPAC x ×31.5（s）當(dāng)x為1.5s時(shí)，OPAC （2）在RtEFG 中，由勾股定理得：EF 5cmEGAH ，EFGAFH AH（ x 5），F(xiàn)H（x5）過(guò)點(diǎn)O作ODFP ，垂足為 D 點(diǎn)O為EF中點(diǎn)，O

19、DEG2cmFP3x ，S四邊形OAHP SAFH SOFP·AH·FH·OD·FP·（x5）·（x5）×2×（3x ）x2x3 （0x3（3）假設(shè)存在某一時(shí)刻x，使得四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324則S四邊形OAHP×SABCx2x3××6×86x285x2500解得 x1， x2 （舍去）0x3，當(dāng)x（s）時(shí)，四邊形OAHP面積與ABC面積的比為132418、把兩塊全等的直角三角形和疊放在一起，使三角板的銳角頂點(diǎn)與三角板的斜邊中點(diǎn)重合，其中，把三角板固定不動(dòng)，

20、讓三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線與射線相交于點(diǎn)，射線與線段相交于點(diǎn)（1）如圖9，當(dāng)射線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，易證此時(shí)，（2）將三角板由圖9所示的位置繞點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為其中，問(wèn)的值是否改變？說(shuō)明你的理由()()()B(Q)CFEAP圖9圖10圖11（1） 在（2）的條件下，設(shè)，兩塊三角板重疊面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式（圖10，圖11供解題用）解：（1）8（）（2）的值不會(huì)改變理由如下：在與中，即（）（3）情形1：當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)兩三角板重疊部分為四邊形，過(guò)作于，于，由（2）知：得于是情形2：當(dāng)時(shí)，時(shí)，即，此時(shí)兩三角板重疊部分為，由于，易證：，即解得于是綜上所述，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，19如圖，OAB是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)B在軸正方向上，將OAB 折疊，使點(diǎn)A落在邊OB上，記為A，折痕為EF.（1）當(dāng)AE/軸時(shí)，求點(diǎn)A和E的坐標(biāo)；（2）當(dāng)AE/軸，且拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和E時(shí)，求拋物線與軸的