貴州省六盤水市2021屆新高考第一次適應性考試數學試題含解析

1、貴州省六盤水市2021屆新高考第一次適應性考試數學試題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目 要求的。1 .若1a+白）的展開式中二項式系數和為256,則二項式展開式中有理項系數之和為（）A. 85B. 84C. 57D. 56【答案】A【解析】【分析】先求，再確定展開式中的有理項，最后求系數之和.【詳解】解：；'五十 ：的展開式中二項式系數和為256故 2" =256, = 8 8f8-4/。+1 = C；x 3 xr = C；x 3要求展開式中的有理項，則r = 2,5,8則二項式展開式中有理項系數之和為：C；+C：

2、+C卜85故選：A【點睛】考查二項式的二項式系數及展開式中有理項系數的確定，基礎題.2 .已知，（1 一川）= 2 +初（i為虛數單位，a/eR）,則ab等于（）A. 2B. -2C. -D.-22【答案】A【解析】【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數相等的條件列式求解.【詳解】i（-ai） = 2 + bi 9：.a + i = 2+hi,得。=2, b = T.:.ab = 2.故選：A.【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數相等的條件，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，是基礎題.3 .已知若對任意"?0(0，+8),關于x的不等式(x l)e一一<

3、; 一ln(7 + l) - l (e為自然對 e數的底數)至少有2個正整數解，則實數a的取值范圍是()【答案】B【解析】【分析】構造函數/(?)= Lln(?+l) - l (m>0),求導可得/(?)在0,+oo上單調遞增，則(IXzi V=問題轉化為(x l)e=一<1,即(x l)eY -1至少有2個正整數解，構造函數eez/vg(x) = (x-l)e'，Mx) = -1,通過導數研究單調性，由g(0) = /?(0)可知，要使得g(x)</?(')至少有 e2個正整數解，只需我 (2) < /?(2)即可，代人可求得結果.【詳解】構造函數 f

4、 (7)= 7-11(?+1)-1 (m>0),則/1=- (m>0),所以/(?)在 m +1 m +10,+oo上單調遞增，所以=故問題轉化為至少存在兩個正整數x,使得(x-l)e"竺一 1 成立，設g(x) = (x-l)e", /?(x) = -1,則短(x) = xe、，當x>0時/ x >0, eeg(x)單調遞增；當x>0時，妝X)單調遞增.g(2)</?(2),整理得“之胃. 2故選:B.【點睛】本題考查導數在判斷函數單調性中的應用，考查不等式成立問題中求解參數問題，考查學生分析問題的能力和邏輯推理能力，難度較難.4 .從

5、5名學生中選出4名分別參加數學，物理，化學，生物四科競賽，其中甲不能參加生物競賽，則不同的參賽方案種數為A. 48B. 72C. 90D. 96【答案】D【解析】因甲不參加生物競賽，則安排甲參加另外3場比賽或甲學生不參加任何比賽當甲參加另外3場比賽時，共有C；A/=72種選擇方案；當甲學生不參加任何比賽時，共有A：=24 種選擇方案.綜上所述，所有參賽方案有72+24=96種故答案為：96點睛：本題以選擇學生參加比賽為載體，考查了分類計數原理、排列數與組合數公式等知識，屬于基礎題.5 .設等差數列%的前項和為若4 =5,邑=81,則4。=()A. 23B. 25C. 28D. 29【答案】D【

6、解析】【分析】由邑=81可求弓=9,再求公差，再求解即可.【詳解】解：4是等差數列S() = 9a5 = 81% =9,又 4=5,公差為，/ =4,/. 4()= % + 6d = 29 ,故選：D【點睛】考查等差數列的有關性質、運算求解能力和推理論證能力，是基礎題.6 .下列幾何體的三視圖中，恰好有兩個視圖相同的幾何體是()A.正方體B.球體C.圓錐D.長寬高互不相等的長方體【答案】C【解析】【分析】根據基本幾何體的三視圖確定.【詳解】正方體的三個三視圖都是相等的正方形，球的三個三視圖都是相等的圓，圓錐的三個三視圖有一個是圓， 另外兩個是全等的等腰三角形，長寬高互不相等的長方體的三視圖是三

7、個兩兩不全等的矩形.故選：C.【點睛】本題考查基本幾何體的三視圖，掌握基本幾何體的三視圖是解題關鍵.7 .設i是虛數單位，若復數" + Wy(“eR)是純虛數，則a的值為()A. -3B. 3C. 1D. -1【答案】D【解析】【分析】整理復數為+ ci的形式，由復數為純虛數可知實部為0,虛部不為0,即可求解.【詳解】由題.“ + = “ + ,二"" = </ + 2/ +1 = (</ +1) + 2/, 出聞 2 + i (2 + /)(2-Z)I 7'因為純虛數，所以。+ 1 = 0,則。=一1,故選:D【點睛】本題考查已知復數的類型求

8、參數范圍，考查復數的除法運算.8 .已知 =5*,匕=logq= logs 2，則4，"，。的大小關系為()A. a >b>cB. a>c>b C. h>a>c D. c>b> a【答案】A【解析】【分析】根據指數函數的單調性，可得再利用對數函數的單調性，將Ac與1，!對比，即可求出結論.【詳解】11由題知 a = 55 >50 = 1J > Z? = log4 y5 > log4 2 =,2c = log5 2 < log5 y/5 =,貝ij a > > c. 2故選:A.【點睛】本題考查利用函數

9、性質比較大小，注意與特殊數的對比，屬于基礎題.9 .設? = ln2, = lg2,則()A. nin>nvi>in+nB. mn >m+h>nviC. tn+n > mti > mnD. rn+n > m-n > nui【答案】D【解析】【分析】由不等式的性質及換底公式即可得解.【詳解】 解:因為? = ln2, = lg2,則加>，且肛e(O,l),所以 m+n> nui, m + n > mn,J1_lg2-h?210=log210-log2 e = log2 一 > log2 2 = 1,rr "1 一

10、，r ,、即> 1 '貝山一 > 小，nin即 m+n > mn > nm ,故選：D.【點睛】本題考查了不等式的性質及換底公式，屬基礎題.10 .執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結果為3,則可輸入的實數x值的個數為（）|開通怙姐一A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】試題分析：根據題意，當x«2時，令/一1 = 3,得犬=±2；當x>2時，令瑛2戶3,得x = 9,故輸入的實數工值的個數為1.考點：程序框圖.H. a?+ = 1 是asine+bcos6« 1 恒成立的（）A,充分不必要條件B,必要不充分條件C.

11、充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】【詳解】a = cos a設=4sin6 + cose = sin6cosa + cos8sina = sin(6+c) K 1 成立；反之，4 = = 0滿足b = sina-asinO+bcos0<, fflti2 +b2> 故選 A.12.函數f(x)=shi(wx+0)(w>O, M|V 1 )的最小正周期是凡若將該函數的圖象向右平移楙個單位后得 到的函數圖象關于直線x=對稱，則函數f(x)的解析式為()2A. f(x)=sin(2x+B. f(x)=sin(2xy)JJC. f(x)=sin(2x+ -)D.

12、 f(x)=sin(2x)66【答案】D【解析】【分析】由函數的周期求得卬=2,再由平移后的函數圖像關于直線、=£對稱，得到2xg +。-3 =丘+三, 由此求得滿足條件的。的值，即可求得答案.【詳解】分析：由函數的周期求得co = 2,再由平移后的函數圖像關于直線x=g對稱，得到 22x； +(p g = k7r + g,由此求得滿足條件的中的值，即可求得答案. 乙J乙詳解：因為函數f(X)= sin(cox +(p)的最小正周期是兀，所以心=兀，解得=2,所以f(x) = sin(2x+(p), CD將該函數的圖像向右平移5個單位后， 0"/X 1得到圖像所對應的函數解

13、析式為y = sin 2 x-3+(p =sin 2x +(p-m,由此函數圖像關于直線X = |對稱，得：c 兀兀 1 兀- IT 1r2x + (p-= k;i + , 即(p = k7r -,k eZ, 2326取k = o,得<P = 一滿足阿vg,/ 、所以函數f(x)的解析式為f(x) = sin 2x-：,故選D.k o /【點睛】本題主要考查了三角函數的圖象變換，以及函數的解析式的求解，其中解答中根據三角函數的圖象變換得 到)，= sin(2x + e-g),再根據三角函數的性質求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。1

14、3 .已知一個圓錐的底面積和側面積分別為9和15乃，則該圓錐的體積為【答案】12幾【解析】【分析】依據圓錐的底面積和側面積公式，求出底面半徑和母線長，再根據勾股定理求出圓錐的高，最后利用圓錐 的體積公式求出體積?！驹斀狻吭O圓錐的底面半徑為小 母線長為/,高為力，所以有7ir = 97trl -15zr解得.=5，*=J=>/52 -32 = 4故該圓錐的體積為v= - 7trh =4x32x4 = 12萬。【點睛】本題主要考查圓錐的底面積、側面積和體積公式的應用。/、r + 2x H . 2 < x < 0/、 I / I尸 +2x-l,x<-2,x>014 .已

15、知函數/3 = j ,4x2+8x，若函數g(x) = 4/(x)| + l有6個零點，則實數。的取值范圍是.【答案】-t-【解析】【分析】由題意首先研究函數y = /(x)|的性質，然后結合函數的性質數形結合得到關于a的不等式，求解不等式 即可確定實數a的取值范圍.【詳解】當IvxvO時，函數«x) = W+2x在區(qū)間(-1,0)上單調遞增，很明顯/(x)£(1,0),且存在唯一的實數占滿足%)=一：，-1,一彳上單調遞減，在區(qū)間L /當一IW/CO時，由對勾函數的性質可知函數y=，+不在區(qū)間 單調遞增, 結合復合函數的單調性可知函數y= Y + 2x+彳熹；在區(qū)間(-1

16、,內)上單調遞減，在區(qū)間(,0)上單 調遞增，且當X"時，），=+2x + e1I,考查函數y =尸+ 2x-l|在區(qū)間（0,+8）上的性質，由二次函數的性質可知函數），=尸+2.1|在區(qū)間（口企-1）上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，函數g（x） =+1有6個零點，即方程4/（X）| +1 = o有6個根，也就是!/'（X）1=有6個根，即y =1 f（x） |與y = - 1有6個不同交點，aa注意到函數y = x2+2x關于直線x =-1對稱，則函數y =1 /（x）關于直線x = -1對稱，繪制函數y =1 fM I的圖像如圖所示,綜上可得，實數。的取值范圍是4）故答案為

17、-1，一百【點睛】本題主要考查分段函數的應用，復合函數的單調性，數形結合的數學思想，等價轉化的數學思想等知識， 意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.15.已知點4（0,-1）是拋物線/=2分，的準線上一點，F為拋物線的焦點，P為拋物線上的點，且PF = mPAt若雙曲線C中心在原點，F是它的一個焦點，且過P點，當m取最小值時，雙曲線C的 離心率為.【答案】V2 + 1【解析】【分析】由點A坐標可確定拋物線方程，由此得到月坐標和準線方程；過戶作準線的垂線，垂足為N,根據拋物 線定義可得力不=，可知當直線F4與拋物線相切時，取得最小值；利用拋物線切線的求解方法可求得P點坐標，根據雙曲線定義得到實

18、軸長，結合焦距可求得所求的離心率.【詳解】: 4(0,1)是拋物線W = 2py準線上的一點二 = 2，拋物線方程為d=4y./()，準線方程為y = -l過P作準線的垂線，垂足為N,則|PN| = |PE|'.PF = mPA善=1 = m1111PA PA設直線PA的傾斜角為a ,則sin a = m當取得最小值時，sina最小，此時直線力與拋物線相切設直線P4的方程為)' =日-1,代入/ =4)、得：/一46+ 4 = 0. = 16公_16 = 0,解得：A=±l /(Zl)或(2,1)雙曲線的實軸長為|產川一忙曰=2(72-1),焦距為|AF| = 2-雙

19、曲線的離心率。= 必1故答案為：V2 + 1【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解問題，涉及到拋物線定義和標準方程的應用、雙曲線定義的應用；關鍵是能 夠確定當?取得最小值時，直線PA與拋物線相切，進而根據拋物線切線方程的求解方法求得P點坐標.16 .從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名代表，甲被選中的概率為.【答案】I 【解析】【分析】甲被選中，只需從乙、丙、丁、戊中,再選一人即有C：種方法，從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名共有 種方法，根據公式即可求得概率.【詳解】甲被選中，只需從乙、丙、丁、戊中,再選一人即有C：種方法，從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名共有種方法，尸=詈=彳C5 32故答案為

20、:【點睛】本題考查古典概型的概率的計算，考查學生分析問題的能力，難度容易.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17 .已知等差數列凡的前n項和為S“，g=8q + l,公差d>0,，、與、兒成等比數列，數列也 滿足 log2 bn =(tzrt-l)log2 4x (D求數列口,也的通項公式；(2)已知=一，求數列q,+“的前n項和乙.a1【答案】(1) %=2-1, bn = A-"-1 (x>0)； (2) 八 +二.【解析】【分析】(1)根據卜4是等差數列，域=8q+l, S、名、$6成等比數列，列兩個方程即可求出,",從而 求得

21、乙,代入化簡即可求得乩；(2)化簡g后求和為裂項相消求和，*“+”分組求和即可，注意討論 公比是否為1.【詳解】(1)由題意知 與=q, S4=4at+6d t $6 = 16q+120d,由 S；=SS|,得(4q +6") = q (16q + 120d),解得" = 20 >0.又片=(% + df = 8q +1,得 9”； =+1,解得4 =1或4=一：(舍)./. J = 2 , 4“ = 2 - 1.又 log2 bH =(2/?-2)log2 6 = log,/-1 (x>0),a blt =xd-' (x>0).11 if 1 I

22、 (2) c = - - "(2/1-1)(277 + 1) 21 2/7 -1 2n + )當I時，+ .T =(G +c2 + +c) + (4 + +勿) =2當KW1時，. 1 . 1 1一天4=- 1 一 +2l 2n + i) 1-x【點睛】此題等差數列的通項公式的求解，裂項相消求和等知識點，考查了化歸和轉化思想，屬于一般性題目.fiY18.已知函數/(幻=下(。00).e(1)求函數f(x)的單調區(qū)間;(2)當4 = 1時，如果方程/(x)= f有兩個不等實根不，占，求實數t的取值范圍，并證明玉+&>2.【答案】(1)當。>0時，/(X)的單調遞增區(qū)

23、間是(-8/)，單調遞減區(qū)間是(1，+8)；當<。時，的單調遞增區(qū)間是(1,+s),單調遞減區(qū)間是(-8/)；(2)。，一,證明見解析. I eJ【解析】【分析】(1)求出/'*)，對。分類討論，分別求出/'")>0,/'。)<。的解，即可得出結論；(2)由(1)得出/(x) = f有兩解時，的范圍，以及，小關系，將內+%>2,等價轉化為證明+1) > 2 ,不妨設$ >x?,令加=玉一/，則"? >°，> 1.即證。-2)d" +? + 2 >0,L2構造函數g(x) = (

24、A- 2)ex + x + 2(x > 0),只要證明對于任意A > 0, g(x) > 0恒成立即可.【詳解】(1)/“)的定義域為R，且廣(幻=如:立. et x1 x由 >。，得 XV1；由一r<0,得.E>1 ee故當a >0時，函數f(x)的單調遞增區(qū)間是(J),單調遞減區(qū)間是(L+s);當“<0時，函數f(x)的單調遞增區(qū)間是單調遞減區(qū)間是(-8).(2)由(1)知當a=1 時，K/UU =/0)=-. ee當x<0時，/W<0,當x>o時，/(x)>0.,當o V r V,時，直線y =，與y = fW的圖像

25、有兩個交點, e( 二實數t的取值范圍是。,一.< e，方程/(A)=，有兩個不等實根$ , X,= =，M = tex' , x2 = te x-, e 1 e '.-.Xl-x2=t(ex'-eXi)t 即f = ex -要證+人>2,只需證/(e"+e")>2,即證包二必士£Q>2,不妨設 6一涉令7 = 為一公，則"7>0,>1,則要證>2,即證(加-2)-" + "7 + 2>0.一 1令 g(x) =(X - 2)ex + x+2(x> 0),則

26、 gx) = (x-l>' +1.令 A(x) = (x-l)cv + 1,則 '(x) = xex > 0 ,h(x) = (x1)/ + 1 在(0, +s)上單調遞增,/*)> MO) = 0.g(x)>09,g(x)在(0,+s)上單調遞增，g(x)> g(0) = 0,即(x-2)/ +x + 2>0 成立，即("7-2)/”+7 + 2>0成立玉+X2 >2.【點睛】本題考查函數與導數的綜合應用，涉及到函數單調性、極值、零點、不等式證明，構造函數函數是解題的 關鍵，意在考查直觀想象、邏輯推理、數學計算能力，屬

27、于較難題.19.已知函數 y = f(x)的定義域為(0,4-00),且滿足 f(xy) = /(X)+ /()，)，當 X e )時，有 /(X)> 0 ,且2) = 1.(1)求不等式/(4，)一/(1一。<2的解集；(2)對任意xe 0,g , f 2sin2 x + f5cos(x-f -5 + 2 知'(6-2a)恒成立，求實數。的L 2I 4j 4J J取值范圍.1 >5【答案】(D 0，彳;(2)3【解析】【分析】(1)利用定義法求出函數y = /(x)在(0，+。)上單調遞增，由/(邛)= /'*)+/(>)和/'(2) = 1,

28、求出 /(4),求出/(4，)</4(1一»,運用單調性求出不等式的解集;(2)由于/ 2sin2 x + - -2x/2cos x- 5。+ 2 匆(6-2a)恒成立，由(1)得出 y = /(x)在 . kk 4；2sin2 x + 2四cos x- -5a + 2>6-2a (0,+s)上單調遞增，4j 4 J恒成立，設6 2。> 0g(x) = 2sin2(x + ?J 2V?cosx ?)-5 + 2,利用三角恒等變換化簡g(x),結合恒成立的條件,構造新函數，利用單調性和最值，求出實數。的取值范圍.【詳解】(1)設玉 f/ / ,/(X1)-/(X2)=

29、 / >X2 -f(X2)= f +/(X2)-/(X2)= / >°，X27X2 X2 7所以函數y = /*)在(o,+s)上單調遞增，又因為/(")="X)+ /(V)和/=1,貝!)/(4) = "2x2) =/(2) +"2) = 2,所以 /(40 </(1-0 + 2 = /(1-0 + /(4) = /4(1-04f <4(1 一/)”0解得 /<1 ,即1 t<-21 A 故，的取值范圍為0,-；(2)由于/ 2sin21 x+ 2cosL V 4；(萬、2sin2 x + i-2-/2co

30、s x Oj I 4；4)6 2。> 0設g(x) = 2sin2 fx + - -2>/2cos x-4 JI則 g(x) = 2sin2 x +工-2>/2cos x-V 4 J1=l-cos2x + y-2>/2 -cosx + -=3 + 2 sin x cos x - 2(cos x + sin x) - 5a/ 令，= cosx + sinx = VJsin x + ,'I 4 J所以 Mf) =產 _2f_5a + 2 = (f_l)2_5,所以(f)min =-5)+ 1,"-5。+ 22/(6-2)恒成立, V 4 J.一5。+ 26

31、 2。'恒成立，I 5(1 + 2 , 4J-5a + 2/2 , 1 sinx - 5。+22Z9則VI,/+1在區(qū)間1、點上單調遞增，'41 >0得人一>05所以足一,.【點睛】本題考查利用定義法求函數的單調性和利用單調性求不等式的解集，考查不等式恒成立問題，還運用降器 公式、兩角和與差的余弦公式、輔助角公式，考查轉化思想和解題能力.20.已知函數/（工）=|4、一1|一卜+ 2|.（1）解不等式/（人）2；（2）記函數y = /（x） + 5|x+2|的最小值為k,正實數。、b滿足a + 6b =',求證：行”之2G.【答案】（1） （y，一|）uG，

32、+sj；（2）見解析.【解析】【分析】（D分工這-2、-2x；、xN；三種情況解不等式/（力2,綜合可得出原不等式的的解集；（2）利用絕對值三角不等式可求得函數），=/（可+ 5卜+2的最小值為 =9,進而可得出。+劭=1,再將代數式：與。+劭相乘，利用基本不等式求得& + I的最小值，進而可證得結論成立.a ba b【詳解】（1）當X這一2時，由/（工）2,得 14x + x+22,即 1 3x0,解得xv；,此時xW2；133當一2cxv 時，由/。）2,得l4xx22,即5x+30,解得工一二，此時一2cxe-三；當時，由/（x）2,得4xl1一22,即3天一50,解得v2,此時

33、433綜上所述，不等式仆）2的解集為-oo,-1u|,+oo（2） y = /（A-） + 5|x+2| = |4A-l| + 4|x+2| = |4.v-l| + |4x + 8|4x-l-（4x + 8）| = 9,當且僅當（4工1）（4X+8）0時取等號，所以攵=9, . + 6/2 = 1.所以 3 + 9C + , + 636 + 9 +/6之12 + 21 = 24,當且僅當.=；,即 =，b 時等號成立，所以2 + ?224.a b 212a b所以后。2粕，即后尹之2"【點睛】本題考查含絕對值不等式的求解，同時也考查了利用基本不等式證明不等式成立，涉及絕對值三角不等式

34、 的應用，考查運算求解能力，屬于中等題.21 .已知公比為正數的等比數列%的前項和為工，且，4 =2, S3=1.(1)求數列%的通項公式；(2)設=("%,求數列也的前項和rn.n-2【答案】a” =(2)=6-(2 + 3)己 2 >【解析】【分析】(1)判斷公比q不為1,運用等比數列的求和公式，解方程可得公比彘 進而得到所求通項公式;(1Y-1=(2/7-1)-111 ,運用數列的錯位相減法求和，以及等比數列的求和公式,計算可得所求和.【詳解】 解：(1)設公比q為正數的等比數列q的前項和為S“，且4=2,邑=(， 可得* = 1時，S3 = 3%=6手;,不成立；2(1

35、)13解得“二(-產),則0(=(277 1)12前項和+ 31<2+ 5-兩式相減可得2;一(21)也伊一擊)fiY=1 + 2；-弓，1-'2,2/ 、一1化簡可得7；=6 (2 + 3)-.、2，【點睛】本題考查等比數列的通項公式和求和公式的運用，考查數列的錯位相減法求和，考查方程思想和運算能力, 屬于中檔題.22 .已知拋物線C: )3= 4x的焦點為尸，點4(。,3),點夕為拋物線C上的動點.(1)若|尸山+ |尸產|的最小值為5,求實數。的值；(2)設線段0P的中點為M,其中。為坐標原點，若NM04 = NM4O = N4O產，求AOP4的面積.【答案】(1)。的值為一3或4. (2)他