第2章 截面幾何性質(zhì)

1、第第2 2章章 截面截面的幾何性質(zhì)的幾何性質(zhì) 截面的靜矩截面的靜矩 ZZcyy0 0Cd AcAyzdAS對(duì)對(duì) z 軸靜矩軸靜矩 對(duì)對(duì) y 軸靜矩軸靜矩 1）靜矩為代數(shù)量）靜矩為代數(shù)量2）靜矩與坐標(biāo)軸有關(guān)）靜矩與坐標(biāo)軸有關(guān)3）靜矩的單位為）靜矩的單位為 m3說明：說明：截面的形心截面的形心ozczyozczCycCxyy(a)(b)/2/2c 均質(zhì)等厚薄板，若其截面積為均質(zhì)等厚薄板，若其截面積為A，厚度為，厚度為 ，單位，單位體積的重量為體積的重量為 ,水平放置，重心設(shè)為水平放置，重心設(shè)為C點(diǎn)，它的坐標(biāo)點(diǎn)，它的坐標(biāo)為為yc、zc。利用合力矩定理可得其重心。利用合力矩定理可得其重心C的坐標(biāo)為的坐

2、標(biāo)為 WdAzzWdAyyAcAc)(,)(W薄板的總重量薄板的總重量AWAydAyAcAzdAzAc平面圖形的形心為：平面圖形的形心為：具有對(duì)稱中心、對(duì)稱軸的圖形的形心必然在具有對(duì)稱中心、對(duì)稱軸的圖形的形心必然在對(duì)稱中心和對(duì)稱軸上只有均質(zhì)物體的重心才對(duì)稱中心和對(duì)稱軸上只有均質(zhì)物體的重心才與形心重合。與形心重合。根據(jù)靜矩的定義可得根據(jù)靜矩的定義可得ASyzcASzyc也可寫成也可寫成AySczAzScy若截面對(duì)于某一軸的靜面矩等于零，則該軸必通過截面的形心；若截面對(duì)于某一軸的靜面矩等于零，則該軸必通過截面的形心；截面對(duì)通過其形心的坐標(biāo)軸的靜面矩等于零。對(duì)于具有對(duì)稱軸截面對(duì)通過其形心的坐標(biāo)軸的靜

3、面矩等于零。對(duì)于具有對(duì)稱軸的截面，則該截面對(duì)于其對(duì)稱軸的靜面矩必為零，因?yàn)閷?duì)稱軸總的截面，則該截面對(duì)于其對(duì)稱軸的靜面矩必為零，因?yàn)閷?duì)稱軸總是通過形心的。是通過形心的。推論：推論：在平面圖形中取一微面積在平面圖形中取一微面積dA，dA與其坐標(biāo)平方的乘積與其坐標(biāo)平方的乘積y2dA、z2dA分別稱為該微面分別稱為該微面積積dA對(duì)對(duì)z軸和軸和y軸的慣性矩，軸的慣性矩，而定積分而定積分慣性矩和慣性積慣性矩和慣性積d AyzzOyAyAzdAzIdAyI22，分別稱為整個(gè)平面圖形對(duì)分別稱為整個(gè)平面圖形對(duì)z軸和軸和y軸的慣性矩軸的慣性矩，恒為正數(shù)。，恒為正數(shù)。AyzyzdAI慣性積：慣性積：可能為正或?yàn)樨?fù)，

4、也可能等于零可能為正或?yàn)樨?fù)，也可能等于零若坐標(biāo)軸若坐標(biāo)軸y或或z中有一個(gè)是圖形的對(duì)稱中有一個(gè)是圖形的對(duì)稱軸，例如中的軸，例如中的z軸軸，則：，則：0AyzyzdAI坐標(biāo)系的兩個(gè)坐標(biāo)軸中只要有一個(gè)為圖形的對(duì)稱軸，則圖形對(duì)坐標(biāo)系的兩個(gè)坐標(biāo)軸中只要有一個(gè)為圖形的對(duì)稱軸，則圖形對(duì)這一坐標(biāo)系的慣性積等于零。這一坐標(biāo)系的慣性積等于零。微面積到坐標(biāo)原點(diǎn)距離平方微面積到坐標(biāo)原點(diǎn)距離平方的乘積對(duì)整個(gè)面積的積分的乘積對(duì)整個(gè)面積的積分極慣性矩極慣性矩2pdAIAd AyzzOy222pd()dxyAAIAxyAII慣性半徑慣性半徑AiIAiIyzz2y2，慣性矩可寫成慣性矩可寫成iz平面圖形對(duì)平面圖形對(duì)z軸的慣性半

5、徑軸的慣性半徑iy平面圖形對(duì)平面圖形對(duì)y軸的慣性半徑軸的慣性半徑AIAIizzyyi，平行移軸公式平行移軸公式zoybcZyazcyczcd Aycazzbyycc如圖平面圖形如圖平面圖形AAcAcAcAzAAcAcAcAydAbdAybdAydAbydAyIdAadAzadAzdAazdAzI2222222222AAcAcAccAccAyzdAabdAzbdAyadAzydAazbyyzdAI0;0;22zcAcycAcAAzccAyccSdAySdAzAdAIdAyIdAz式中：式中：化簡可得化簡可得即為平行移軸公式即為平行移軸公式abAIIAbIIzAaIIcczyyzzcycy;22慣

6、性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式zyy1z1y1yzz1d AOsincossincos11yzzzyy設(shè)任意截面對(duì)通過任一點(diǎn)設(shè)任意截面對(duì)通過任一點(diǎn)O的的y、z軸的慣性矩和慣性積為軸的慣性矩和慣性積為Iy、Iz和和Iyz。若。若y、z軸繞軸繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 角（規(guī)角（規(guī)定定 角以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)為正）至角以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)為正）至y1、z1位置，截面對(duì)位置，截面對(duì)y1、z1軸的慣性軸的慣性矩和慣性積設(shè)為矩和慣性積設(shè)為Iy1、Iz1和和Iy1z12sinsincoscossin2sincossincos2222222211yzzyAAAAAyIIIyzdAdAydAzdAyzdAzI利用三

7、角公式利用三角公式2cos1212cos121cos22xin同時(shí)滿足：同時(shí)滿足：2sin2cos221yzzyzyyIIIIII2sin2cos221yzzyzyzIIIIII2cos2sin211yzzyzyIIIIpzyzyIIIII11可得轉(zhuǎn)軸公式可得轉(zhuǎn)軸公式截面的主慣性軸和主慣性矩截面的主慣性軸和主慣性矩由公式可知，由公式可知，至少存在某一個(gè)特殊的角度至少存在某一個(gè)特殊的角度 ，使得，使得對(duì)相應(yīng)的對(duì)相應(yīng)的y0、z0軸的慣性積軸的慣性積 ，這一對(duì)坐標(biāo)，這一對(duì)坐標(biāo)軸稱軸稱為主慣性軸為主慣性軸（簡稱（簡稱主軸主軸）。截面對(duì)主軸的慣性矩）。截面對(duì)主軸的慣性矩稱稱為主慣性矩為主慣性矩。0zyy

8、zIII22tan0 當(dāng)主軸的交點(diǎn)與截面的形心重合時(shí)，這對(duì)坐標(biāo)軸就當(dāng)主軸的交點(diǎn)與截面的形心重合時(shí)，這對(duì)坐標(biāo)軸就形心主慣性軸形心主慣性軸（簡稱（簡稱形心主軸形心主軸）。截面對(duì)形心主軸的慣）。截面對(duì)形心主軸的慣性矩稱為性矩稱為形心主慣性矩形心主慣性矩。 截面對(duì)過形心的諸軸的慣性矩中，兩形心主慣性矩截面對(duì)過形心的諸軸的慣性矩中，兩形心主慣性矩之一為最大值，另一對(duì)為最小值。一般可根據(jù)截面面積之一為最大值，另一對(duì)為最小值。一般可根據(jù)截面面積離形心主軸的遠(yuǎn)近，直觀判定對(duì)哪個(gè)軸的慣性矩為最大離形心主軸的遠(yuǎn)近，直觀判定對(duì)哪個(gè)軸的慣性矩為最大值，對(duì)哪一個(gè)的是最小值。在彎曲問題的計(jì)算中，都需值，對(duì)哪一個(gè)的是最小值。在彎曲問題的計(jì)算中，都需要確定形心主軸的位置，并算出形心主慣性矩之值。要確定形心主軸的位置，并算出形心主慣性矩之值。 若截面若截面有兩個(gè)對(duì)稱軸有兩個(gè)對(duì)稱軸時(shí)：時(shí)： 這兩個(gè)對(duì)稱軸就是截面的形心主軸。因?yàn)檫@兩個(gè)對(duì)稱軸就是截面的形心主軸。因?yàn)閷?duì)稱軸必通過截面的形心，且截面對(duì)于對(duì)稱軸對(duì)稱軸必通過截面的形心，且截面對(duì)于對(duì)稱軸的慣性積等于零。的慣性積等于零。 當(dāng)截面當(dāng)截面只有一個(gè)對(duì)稱軸時(shí)只有一個(gè)對(duì)稱軸時(shí)：則該對(duì)稱軸則該對(duì)稱軸過形心并與對(duì)稱軸相垂直的軸即為截面的形心過形心并與對(duì)稱軸相垂直的軸即為截面的形心主軸主軸 沒有對(duì)稱軸沒有對(duì)稱軸時(shí)：時(shí)： 則需要?jiǎng)t需要 確定截面的形心位置，選取便于計(jì)算慣性確定截面