人教版初一數(shù)學(xué)下冊(cè)第五章相交線與平行線知識(shí)點(diǎn)整理及思想方法歸納

1、相交線與平行線知識(shí)點(diǎn)整理摘要：注意點(diǎn)：對(duì)頂角是成對(duì)岀現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角：如果 Za與Z0是對(duì)頂角，那么一定有Za = Z0：反之如果厶x =邙、那么Za與Z0不一 泄是對(duì)頂角，如果Z&與Z0互為鄰補(bǔ)角，則一定有Za + Z0 = 18O。：反之如果 厶z + Z0 = 18O。，則Zo與Z0不一立是鄰補(bǔ)角。兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一 個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè)。5.1相交線1、鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系的角，它們的概念及性質(zhì)如下表:圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系對(duì)頂角>4Z1 與 Z2有公共頂點(diǎn)Z1的兩邊與Z 2的兩邊互為反

2、 向延長線對(duì)頂角相等 即 Z1=Z2鄰補(bǔ)角Z3 與 Z4有公共頂點(diǎn)Z3與Z4有一 條邊公共，另一 邊互為反向延長 線。Z3+Z4=180°注意點(diǎn)：對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角：如果Z d與ZB是對(duì)頂角，那么一立有Za=ZP；反之如果Z a =Z P ,那么Za與Z 0不一定是對(duì)頂角如果Z a與互為鄰補(bǔ)角，則一泄有Za+Z0=18O° :反之如果Za+ZP=180° , 則Za與ZB不一定是鄰補(bǔ)角。兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè)。2、垂線定義，當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互

3、相垂直, 其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。符號(hào)語言記作：AB丄CD,垂足為0垂線性質(zhì)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直（與平行公理相比較記）垂線性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)稱：垂線段最 短。3、垂線的畫法：過直線上一點(diǎn)畫已知直線的垂線：過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線。注意：畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線；過一點(diǎn)作線段的垂線, 垂足可在線段上，也可以在線段的延長線上。畫法：一靠：用三角尺一條直角邊靠在已知直線上，二移：移動(dòng)三角尺使一點(diǎn)落在它的 另一邊直角邊上，三畫：沿著這條直角邊畫線，不要畫成給人的印象是線段的線。4、點(diǎn)

4、到直線的距離直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離記得時(shí)候應(yīng)該結(jié)合圖形進(jìn)行記憶。>PA OB如圖，PO丄AB,同P到直線AB的距離是PO的長。PO是垂線段。P0是點(diǎn)P到直線AB 所有線段中最短的一條?，F(xiàn)實(shí)生活中開溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質(zhì)的應(yīng)用。5、如何理解“垂線”、"垂線段”、“兩點(diǎn)間距離”、“點(diǎn)到直線的距離”這些相近而又相異的 概念分析它們的聯(lián)系與區(qū)別垂線與垂線段區(qū)別：垂線是一條直線，不可度量長度；垂線段是一條線段，可以度量 長度。聯(lián)系：具有垂直于已知直線的共同特征。（垂直的性質(zhì)）兩點(diǎn)間距離與點(diǎn)到直線的距離 區(qū)別：兩點(diǎn)間的距離是點(diǎn)與點(diǎn)之間，點(diǎn)到直

5、線的距離 是點(diǎn)與直線之間。 聯(lián)系：都是線段的長度；點(diǎn)到直線的距離是特殊的兩點(diǎn)（即已知點(diǎn)與 垂足）間距離。線段與距離距離是線段的長度，是一個(gè)量：線段是一種圖形，它們之間不能等同。5.2平行線1、平行線的概念：在同一平而內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，直線"與直線b互相平行，記作a/bo2、兩條直線的位置關(guān)系在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交：平行。因此當(dāng)我們得知在同一平面內(nèi)兩直線不相交時(shí)，就可以肯定它們平行:反過來也一樣（這 里，我們把重合的兩直線看成一條直線）判斷同一平而內(nèi)兩直線的位宜關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)它們的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來確定: 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩直線相交； 無公共點(diǎn)，

6、則兩直線平行： 兩個(gè)或兩個(gè)以上公共點(diǎn)，則兩直線重合（因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線）3、平行公理一一平行線的存在性與惟一性經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行4、平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行如左圖所示，*/ b /a, c /ab: .b / c 注意符號(hào)語言書寫，前提條件是兩直線都平行于第三條直線，才 ° 會(huì)結(jié)論，這兩條宜線都平行。5、三線八角兩條直線被第三條直線所截形成八個(gè)角，它們構(gòu)成了同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁內(nèi)角。I如圖，直線“0彼直線/所截'34一a Z1與Z5在截線/的同側(cè)，同在被截直線"0的上方，叫做同位角（位置相

7、同）氣b Z5與Z3在截線/的兩旁（交錯(cuò)），在被截直線之間（內(nèi)），叫故內(nèi)錯(cuò)角（位豊在內(nèi)且交錯(cuò)） Z5與Z4在截線/的同側(cè)，在被截直線之間（內(nèi)），叫做同旁內(nèi)角。 三線八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型；內(nèi)錯(cuò)角是"Z”型：同旁內(nèi)角是"U” 型。6、如何判別三線八角判別同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)鍵是找到構(gòu)成這兩個(gè)角的"三線”，有時(shí)需要將有關(guān) 的部分“抽出”或把無關(guān)的線略去不看，有時(shí)又需要把圖形補(bǔ)全。例如:如圖，判斷下列各對(duì)角的位置關(guān)系:（1）Z 1與Z2； （2）Z1與Z7； （3）Z1與ZBAD： （4）Z2 與Z6；Z5與我們將各對(duì)角從圖形中抽出來（或者說略

8、去與有關(guān)角無關(guān)的線），得到下列各圖。如圖所示，不難看出Z1與Z2是同旁內(nèi)角：Z1與Z7是同位角：Z1與ZBAD是同旁 內(nèi)角：Z2與Z6是內(nèi)錯(cuò)角；Z5與Z8對(duì)頂角。注意：圖中Z2與Z9,它們是同位角嗎？不是，因?yàn)閆2與Z9的各邊分別在四條不同直線上，不是兩直線被第三條直線所截而成。7、兩直線平行的判定方法方法一兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡(jiǎn)稱：同位角相等，兩直線平行方法二兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行簡(jiǎn)稱：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行方法三兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行簡(jiǎn)稱：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行幾何符號(hào)語

9、言：.*Z3=Z2. AB/7CD （同位角相等，兩直線平行）/ Z1 = Z2. ABCD （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.Z4+Z2=180a. AB/7CD （同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）請(qǐng)同學(xué)們注意書寫的順序以及前因后果，平行線的判左是由角相等，然后得岀平行。平行線 的判定是寫角相等，然后寫平行。注意：幾何中，圖形之間的"位置關(guān)系”一般都與某種“數(shù)量關(guān)系”有著內(nèi)在的聯(lián)系，常 由"位置關(guān)系”決左其“數(shù)量關(guān)系”，反之也可從“數(shù)量關(guān)系”去確左"位置關(guān)系”。上述平 行線的判左方法就是根據(jù)同位角或內(nèi)錯(cuò)角“相等”或同旁內(nèi)角“互補(bǔ)”這種"數(shù)量關(guān)系”， 判定兩直線“平

10、行”這種“位置關(guān)系”。根據(jù)平行線的泄義和平行公理的推論，平行線的判左方法還有兩種：如果兩條直線 沒有交點(diǎn)（不相交），那么兩直線平行。如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條 直線平行。典型例題：判斷下列說法是否正確，如果不正確，請(qǐng)給予改正：不相交的兩條直線必建平行線。在同一平而內(nèi)不相重合的兩條直線，如果它們不平行，那么這兩條直線一泄相交。過一點(diǎn)可以且只可以畫一條直線與已知直線平行解答：（1）錯(cuò)誤，平行線是“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線”?！霸谕黄矫鎯?nèi)”是一項(xiàng)重要 條件，不能遺漏。正確不正確，正確的說法是"過直線外一點(diǎn)”而不是“過一點(diǎn)”。因?yàn)槿绻@一點(diǎn)不在 已知直線上，是作不出這條

11、直線的平行線的。典型例題：如圖，根據(jù)下列條件，可以判定哪兩條直線平行，并說明判左的根據(jù)是什么？解答：由Z2=ZB可判泄ABDE,根據(jù)是同位角相等，兩直線平行：由Z1 = ZD可判定ACDF,根據(jù)是內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行：由Z3+ZF=180°可判泄ACDF,根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。5.3平行線的性質(zhì)1、平行線的性質(zhì)：性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。幾何符號(hào)語言：VAB/7CDAZ1 = Z2 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）VAB/7CDZ3=Z2（兩直線平行，同位角相等）VAB/7CDZ4+Z2=180°

12、（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）2、兩條平行線的距離如圖，直線ABCD, EF丄AB于E, EF丄CD于F,則稱線段EF的長度為兩平行線AB與CD間的距離。AnEBCn h"1 DF注意：直線ABCD,在直線AB上任取一點(diǎn)G,過點(diǎn)G作CD的垂線段GH,則垂線段 GH的長度也就是直線AB與CD間的距離。3、命題：命題的概念：判斷一件事情的語句，叫做命題。命題的組成每個(gè)命題都是題設(shè)、結(jié)論兩部分組成。題設(shè)是已知事項(xiàng)；結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)。 命題常寫成"如果，那么”的形式。具有這種形式的命題中，用''如果”開始的部 分是題設(shè)，用"那么”開始的部分是結(jié)論。

13、有些命題，沒有寫成“如果，那么”的形式，題設(shè)和結(jié)論不明顯。對(duì)于這樣的命 題，要經(jīng)過分析才能找出題設(shè)和結(jié)論，也可以將它們改寫成"如果，那么”的形式。 注意：命題的題設(shè)（條件）部分，有時(shí)也可用"已知”或者'若”等形式表述：命 題的結(jié)論部分，有時(shí)也可用“求證”或'則”等形式表述。4、平行線的性質(zhì)與判定平行線的性質(zhì)與判泄是互逆的關(guān)系兩直線平行 <=> 同位角相等；兩直線平行 <=> 內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行 <=> 同旁內(nèi)角互補(bǔ)。其中，由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位宜關(guān)系）這是平行線 的判左；由平行線（位置

14、關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)。典型例題：已知Z1 = ZB,求證：Z2=ZC注意，在了 DEBC,不需要再寫一次了，得到了 DEBC,這可以把它當(dāng)作條件來用了。典型例題：如圖，ABDF, DEBC, Zl=65° 求Z2、Z3的度數(shù)AB解答：VDE/7BC （已知）.Z2=Z1=65° （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）VAB/7DF （已知）.ABDF （已知）.Z3 + Z2=180° （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）C解：加與必平行且相等，因?yàn)樵谌切蜛BC和三角形DEF中，BC = EF, BC/EF ,又A, D. C. F四點(diǎn)共線, 且AD = CF,所以將三角形ABC沿CF方向平移CF的長度便可得到三角形DEF ,因?yàn)?AB. DE是對(duì)應(yīng)線段所以 AB/DE, AB = DE 二.比較的思想方法利用這一思想方法，可分清易混淆的概念和性質(zhì)，加深對(duì)概念和性質(zhì)的理解和認(rèn)識(shí)，例如， 平行線的判定左理和平行線的性質(zhì)左理最易混淆，學(xué)習(xí)時(shí)，可通過比