光學(xué)諧振腔分析

1、2021年12月24日1緒論第一章 激光基本原理第二章 光學(xué)諧振腔與高斯光束第三章 電磁場(chǎng)與物質(zhì)的相互作用第四章 激光振蕩特性第五章 激光器特性的控制與改善第六章 激光放大器第七章 激光參數(shù)測(cè)量2021年12月24日2第二章 光學(xué)諧振腔與高斯光束光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)光學(xué)諧振腔的幾何理論光學(xué)諧振腔的衍射理論高斯光束非穩(wěn)定諧振腔的幾何自再現(xiàn)波形2021年12月24日3光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)光學(xué)諧振腔的結(jié)構(gòu)光學(xué)諧振腔的分類光學(xué)諧振腔與激光模式：縱模、橫模光學(xué)諧振腔的損耗2021年12月24日4光學(xué)諧振腔的結(jié)構(gòu)光軸光學(xué)諧振腔示意圖R1R2LO光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)2021年12月24日5光學(xué)諧振腔分類、常

2、見光學(xué)諧振腔v穩(wěn)定性:穩(wěn)定腔、非穩(wěn)定腔、臨界腔臨界腔穩(wěn)定腔非穩(wěn)定腔光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)2021年12月24日6閉腔開腔氣體波導(dǎo)腔v開放程度開放程度:閉腔閉腔、開腔開腔 、氣體波導(dǎo)腔氣體波導(dǎo)腔光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)光學(xué)諧振腔分類、常見光學(xué)諧振腔2021年12月24日7v反射鏡類型反射鏡類型:平行平面腔平行平面腔、同心、同心腔腔 、共焦腔、共焦腔腔等腔等光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)2021年12月24日8光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)光學(xué)諧振腔的結(jié)構(gòu)光學(xué)諧振腔的分類光學(xué)諧振腔與激光模式：縱模、橫模光學(xué)諧振腔的損耗2021年12月24日9光學(xué)諧振腔與激光模式20qL或以波長(zhǎng)表示：Lcqq2以頻率表示為：v縱模-沿光的傳

3、播方向的縱向光場(chǎng)分布設(shè)介質(zhì)的折射率為n，則：nLcqq2相長(zhǎng)干涉的條件：波從某一點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)腔內(nèi)往返一周再回到原來位置時(shí)，應(yīng)與初始出發(fā)波同相。即相長(zhǎng)干涉的條件可以表示為為：2220qLq=1q=2q=3L光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)2021年12月24日10nLc21基縱模的頻率為：nLcqq2q 階縱模頻率可以表達(dá)為：諧振腔內(nèi)q階縱模的頻率為基縱模頻率的整數(shù)倍(q倍）nLcqq21縱模間隔： 激光器諧振腔的頻譜示意圖光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)-縱模2021年12月24日11v說明在公式： 、 中 我們假設(shè)沿整個(gè)諧振腔的長(zhǎng)度上折射率為一常數(shù)；若激活物質(zhì)的長(zhǎng)度不等于諧振腔的長(zhǎng)度時(shí)，則有：nLc2221122Ln

4、LncnLcqq2光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)-縱模2021年12月24日12激光諧振腔內(nèi)低階縱模分布示意圖激光諧振腔內(nèi)低階縱模分布示意圖光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)-縱模2021年12月24日13激光縱模分布示意圖激光縱模分布示意圖 光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)-縱模2021年12月24日14 例題例題 1 HeNe 激光器諧振腔長(zhǎng) 50 cm，激射波長(zhǎng) 632.8nm 求：縱模頻率間隔及諧振腔內(nèi)的縱模式數(shù)； GHzHzmmnLc3.01031052sec1032818671105803.110328.610522mmLqq 解:光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)-縱模2021年12月24日152 已知：HeNe激光器諧振腔長(zhǎng)5

5、0cm，若模式m的波長(zhǎng)為632.8mn; 計(jì)算：縱模 m+1 的波長(zhǎng)； 解答： 縱模的頻率間隔為：由：m = 0.6328000*10-6 m 可以得到：光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)-縱模2021年12月24日16由： 故：lm = 632.8000 nm , lm+1 = 632.7996 nm相鄰縱模的波長(zhǎng)差：lm - lm+1 =4*10-13 m則有：光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)-縱模2021年12月24日17小結(jié)：激光器的縱模 激光器的縱模是沿激光器光軸傳播的方向的光場(chǎng)分布； 縱模的頻率間隔為常數(shù)，等于諧振腔的基頻；縮短腔長(zhǎng)， 頻率間隔增大；nLcqq21 諧振腔內(nèi)存在的縱模的頻率由諧振腔的長(zhǎng)度以及

6、激活物質(zhì) 的折射率決定；nLcqq22qqL2021年12月24日18v橫模橫模 TEMm- -橫向光場(chǎng)分布橫向光場(chǎng)分布激光橫模強(qiáng)度花樣示意圖光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)橫模2021年12月24日19橫模分布及強(qiáng)度示意圖橫模分布及強(qiáng)度示意圖光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)橫模2021年12月24日20激光諧振腔內(nèi)橫模分布示意圖激光諧振腔內(nèi)橫模分布示意圖-2-1012-2-101200.20.40.60.81-2-1012TEM00-2-1012-2-1012-0.2-0.100.10.2-2-1012TEM11光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)橫模2021年12月24日21激光多橫模振蕩示意圖激光多橫模振蕩示意圖光學(xué)諧振腔的基

7、本知識(shí)橫模2021年12月24日22光學(xué)諧振腔與激光模式（1） 諧振腔內(nèi)的縱模光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)2021年12月24日23 諧振腔內(nèi)的橫模光學(xué)諧振腔與激光模式（2）光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)2021年12月24日24光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)光學(xué)諧振腔的結(jié)構(gòu)光學(xué)諧振腔的分類光學(xué)諧振腔與激光模式：縱模、橫模光學(xué)諧振腔的損耗2021年12月24日25激光器諧振腔的損耗 v光學(xué)開腔的損耗的分類（1）幾何偏折損耗（2）衍射損耗 （3）腔鏡不完全反射損耗 （4）材料中非激活吸收、散射，以及腔內(nèi)插入物引起 的損耗光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)2021年12月24日26v與損耗相關(guān)的幾個(gè)參數(shù)與損耗相關(guān)的幾個(gè)參數(shù) 10ln21I

8、I因此：ii321如果損耗是由多種因素引起，則有：當(dāng) 很小時(shí)：)21(01 II0102 III1 平均單程損耗因子2exp01 II若初始光強(qiáng)為 ，在無源腔內(nèi)往返一次后，光強(qiáng)衰減為 ，則：0I1I光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)2021年12月24日27cLc腔壽命：光強(qiáng)從初始值衰減到初始值的1/e所用的時(shí)間；設(shè)t時(shí)刻光在腔內(nèi)往返m 次數(shù)后，光強(qiáng)變?yōu)椋簃eItI20)(cLtm2其中：ctLcteIeItI00)(因此：cteItI0)(若取t=0 時(shí)刻光強(qiáng)為 ，時(shí)刻t光強(qiáng)為 ，則：0I)(tIc 2 腔壽命光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)2021年12月24日28 3 諧振腔的品值因數(shù)Q cLcv小結(jié)： 、 、Q

9、的關(guān)系：cccLQ22、PEPEQ2諧振腔Q值的普遍定義:式中，E：儲(chǔ)存的總能量；P：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)損耗的能量 ：腔內(nèi)電磁場(chǎng)的振蕩頻率； ：場(chǎng)的角頻率cLQc2可以推出：光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)2021年12月24日29諧振腔損耗計(jì)算rrorrln2111212101rrII20eI21ln21rr可以得出：v 由鏡面不完全反射引起的損耗 、 分別表示腔的兩個(gè)反射率，則初始光強(qiáng) 經(jīng)過一個(gè)往返后，光強(qiáng)由變?yōu)?，則有：1r2r0I1I光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)2021年12月24日30v 腔鏡傾斜的幾何損耗腔鏡傾斜的幾何損耗DmLDmLLL)12(53122)12(62 可以得到：光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)2021年

10、12月24日31LDm2利用等差級(jí)數(shù)求和公式，有：返一次的平均時(shí)間 ，則腔內(nèi)光子的平均壽命 及損耗 ： cLt/2cDL2DLcnLDcLmtc222例：諧振腔橫向尺寸 D=1cm,L=1m,n=1；若要求 分別小于0.1、0.01，分析腔的平行度。DL2LD22解答：若使小于0.01：rad622102101.01012若使小于0.1：rad42210211.01012光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)2021年12月24日32v衍射損耗衍射損耗 單程功率損耗率： aLLaaLaSSS2)()(22212aa61.0222.1由物理學(xué)可知，衍射角 ：菲涅耳系數(shù)FLaaL22.122.122 則：F1光學(xué)諧

11、振腔的基本知識(shí)2021年12月24日33第二章 光學(xué)諧振腔與高斯光束光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)光學(xué)諧振腔的幾何理論光學(xué)諧振腔的衍射理論高斯光束非穩(wěn)定諧振腔的幾何自再現(xiàn)波形2021年12月24日34光學(xué)諧振腔的幾何理論幾何理論光學(xué)變化矩陣方法共軸球面腔的光學(xué)變換矩陣共軸球面腔的穩(wěn)定性條件典型的激光器諧振腔2021年12月24日35幾何理論光學(xué)元件的光學(xué)變化矩陣T:)1()1()2()2(rrT光學(xué)變化矩陣的符號(hào)規(guī)則：1 光線在軸線上方時(shí)r取正，否則為負(fù)；2 光線的出射方向在軸線上方時(shí)，夾角取正，否則為負(fù)；v光學(xué)變化矩陣方法光學(xué)諧振腔的幾何理論2021年12月24日36)1()2()1()1()2(Lr

12、r)1()1()1()1()2()2(101rrLr 寫成矩陣：Tv自由空間傳播的光學(xué)變換矩陣光線在自由空間L傳播旁軸光線從 ，經(jīng)L傳播距離后， 達(dá)到 后，有： ),()1()1(r),()2()2(r光學(xué)諧振腔的幾何理論2021年12月24日37v球面反射鏡的光學(xué)變換矩陣球面反射鏡的光學(xué)變換矩陣Rrrr)1()1()1()2()1()2(2光線經(jīng)球面反射鏡傳播旁軸光線從 ，經(jīng)球面反射鏡后，達(dá)到 后，有：),()1()1(r),()2()2(r)1()1()1()1()2()2(1201rrRrT寫成矩陣：光學(xué)諧振腔的幾何理論2021年12月24日38共軸球面腔的光學(xué)變換矩陣 光線在共軸球面腔

13、中的往返傳播光學(xué)諧振腔的幾何理論2021年12月24日39 ),(11r腔長(zhǎng)L T1M2反射 T2 腔長(zhǎng)L T3 M1反射T4光線在諧振腔往返一次的軌跡：),(22r),(33r),(44r),(55r112211101rrLr光線由上 的 出發(fā)，到達(dá) 上時(shí)，變?yōu)樽儞Q矩陣T1T11M2M),(22r),(11r光學(xué)諧振腔的幾何理論2021年12月24日40 333344101rrLrT3光線再?gòu)那蛎骁RM2傳播到M1時(shí),變換矩陣T3：),(33r光線在球面鏡上 發(fā)生反射時(shí)，坐標(biāo)變?yōu)?2222331201rrRr變換矩陣為T2:2MT2光學(xué)諧振腔的幾何理論2021年12月24日4111111155

14、rrDCBArr經(jīng)過一個(gè)往返后，總的坐標(biāo)變換為：TT4T3T2T144415451201rrRrT4光線將在M1上發(fā)生反射，變換矩陣T4 ：光學(xué)諧振腔的幾何理論2021年12月24日42 其中：211121222121221221221RLRLRLDRLRRCRLLBRLA光學(xué)諧振腔的幾何理論2021年12月24日43 往返n次后的變換，有： 111111rDCBArTrDCBArnnnnnnnn1111nnnnnnDrCBrAr即：11)1sin(sinsinsin)1sin(sinsin1rnnDnCnBnnA)(arccos21DA 上式中： 光學(xué)諧振腔的幾何理論2021年12月24日4

15、4共軸球面腔的穩(wěn)定性條件 1)(211DA111021RLRL1021gg引入幾何g參數(shù)：令 ，則上式變?yōu)椋篿iRLg 1經(jīng)過推導(dǎo)，可以得到穩(wěn)定性條件 ： 為使光線能在腔內(nèi)任意多次往返而不橫向逸出，要求對(duì)n次往返后的光學(xué)變換矩陣 的各個(gè)元素 對(duì)任意的n保持有限，這就要求 為實(shí)數(shù)且不應(yīng)為 。nTnnnnDCBA,k2021年12月24日45光學(xué)諧振腔的幾何理論幾何理論光學(xué)變化矩陣方法共軸球面腔的光學(xué)變換矩陣共軸球面腔的穩(wěn)定性條件典型的激光器諧振腔2021年12月24日46111RLg221RLg、幾何參數(shù)g：由諧振腔的結(jié)構(gòu)所決定:R的符號(hào)規(guī)則：當(dāng)反射鏡凹面向著腔內(nèi)時(shí)，R取正值；當(dāng)反射鏡凸面向著腔

16、內(nèi)時(shí)，R取負(fù)值；共軸球面腔的穩(wěn)定性條件 共軸球面腔結(jié)構(gòu)示意圖諧振腔的結(jié)構(gòu)參數(shù)：R1 、 R2 、 L光軸R1R2L2021年12月24日47 1021gg 穩(wěn)定腔：012121ggorgg 非穩(wěn)定腔：012121ggorgg 臨界腔：共軸球面腔的穩(wěn)定性條件共軸球面腔的穩(wěn)定性條件共軸球面腔的穩(wěn)定性條件 2021年12月24日48v 例題例題由符號(hào)規(guī)則，凸透鏡的半徑應(yīng)為負(fù)值，即 R2 = - 0.1 m， R1 = 1.5 m諧振腔的幾何參數(shù)為： g1 = 1-L/R1 = 1-1/1.5 = 0.333. g2 = 1-L/R2 = 1+1/0.1 = 11 由穩(wěn)定性判斷規(guī)則： g1*g2 =

17、11*0.333 1因此該諧振腔為非穩(wěn)定諧振腔解答：已知：激光器諧振腔長(zhǎng)1m，由一個(gè)半徑為1.5m的凹透鏡和半徑 為10 cm的凸透鏡組成；試判斷該諧振腔的穩(wěn)定性；共軸球面腔的穩(wěn)定性條件 2021年12月24日49非穩(wěn)腔臨界腔1）平行平面腔：A點(diǎn)2）共心腔：3）半共心腔：C、D點(diǎn)121 ggLRR21LR 穩(wěn)定腔：1）雙凹穩(wěn)定腔： 1區(qū)： 2區(qū)： 3區(qū)： 4區(qū)：2）平凹穩(wěn)定腔：AC、AD3）凹凸穩(wěn)定腔： 5區(qū)： 6區(qū)：4）共焦腔5）半共焦腔：E、F （R2L）LRR21LRRRRLRRRRR122112121;,0,0或LRRRRLRRRRR211221221;,0,0或LR LRLR21,L

18、RR21LRLR21,共軸球面腔的穩(wěn)定性條件 -2021年12月24日501、給定穩(wěn)定腔的一塊反射鏡，選配另一塊反射鏡穩(wěn)區(qū)圖的應(yīng)用根據(jù)已有的反射鏡的數(shù)據(jù)，如R1 2L可以得到：g1 = 1-L/R1 = 0.5凹面鏡：2RL凸面鏡：LR22、給定穩(wěn)定腔的二塊反射鏡，確定腔長(zhǎng)根據(jù)已有的反射鏡的數(shù)據(jù)，可以確定：12RRk 代入g參數(shù)的表達(dá)式，可以得到方程：2kkkgkgkkkRLRLg11)1(111111225.05.012gg11132:0:RLRCDRLAB共軸球面腔的穩(wěn)定性條件 -2021年12月24日51光學(xué)諧振腔的幾何理論幾何理論光學(xué)變化矩陣方法共軸球面腔的光學(xué)變換矩陣共軸球面腔的穩(wěn)定

19、性條件典型的激光器諧振腔2021年12月24日52典型的激光器諧振腔v模體積激光模式在腔內(nèi)所能擴(kuò)展的空間范圍。 模體積大，對(duì)該模式的振蕩有貢獻(xiàn)的激發(fā)態(tài)粒子數(shù)就多就可能獲得大的輸出功率；v諧振腔的選擇： 衍射損耗 模體積 腔體鏡面的安裝v典型的激光器諧振腔2021年12月24日53平行平面腔結(jié)構(gòu)示意圖平行平面腔主要應(yīng)用于高功率脈沖激光器 1）衍射損耗高 2）鏡面調(diào)整難度高v平行平面腔的劣勢(shì) 1） 模體積大、 2）腔內(nèi)激光輻射沒有聚焦現(xiàn)象v平行平面腔的優(yōu)勢(shì)1.平行平面腔典型的激光器諧振腔2021年12月24日542. 2. 同心球面同心球面腔腔1）衍射損耗低 2）易于安裝調(diào)整1）模體積小 2）腔內(nèi)

20、產(chǎn)生光輻射聚焦現(xiàn)象同心球面腔結(jié)構(gòu)示意圖同心球面腔主要應(yīng)用于連續(xù)工作的染料激光器泵浦激光器v同心球面腔的劣勢(shì)：v同心球面腔的優(yōu)勢(shì)：典型的激光器諧振腔2021年12月24日553. 3. 共焦諧振腔共焦諧振腔 共焦諧振腔示意圖共焦諧振腔一般應(yīng)用于連續(xù)工作的激光器共焦諧振腔的性能介于平行平面腔與球面腔之間，其特點(diǎn)如下：1）鏡面較易安裝、調(diào)整；2）較低的衍射損耗；3）腔內(nèi)沒有過高的輻射聚焦現(xiàn)象；4）模體積適度；典型的激光器諧振腔2021年12月24日564. 4. 長(zhǎng)半徑球面腔長(zhǎng)半徑球面腔 長(zhǎng)半徑球面腔示意圖長(zhǎng)半徑球面諧振腔適于連續(xù)工作的激光器長(zhǎng)半徑球面諧振腔的性能介于共焦腔與球面腔之間，它的特點(diǎn)如下

21、：1）中等的衍射損耗；2）較易安裝調(diào)整；3）模體積很大； 4）腔內(nèi)沒有很高的光輻射聚焦現(xiàn)象；典型的激光器諧振腔2021年12月24日575. 5. 半球型諧振腔半球型諧振腔 半球型諧振腔半球型諧振腔主要應(yīng)用于低功率氦氖激光器半球型諧振腔的特點(diǎn)：1)易于安裝調(diào)整2)衍射損耗低、成本低典型的激光器諧振腔2021年12月24日586. 6. 平凹穩(wěn)定腔平凹穩(wěn)定腔 平凹穩(wěn)定腔示意圖平凹穩(wěn)定腔一般應(yīng)用與連續(xù)激光器；大多數(shù)情況下 R1 2L平凹穩(wěn)定腔的特點(diǎn)：模體積較大、 且具有價(jià)格優(yōu)勢(shì)典型的激光器諧振腔2021年12月24日597. 7. 非穩(wěn)定腔非穩(wěn)定腔 一連續(xù)高功率二氧化碳激光器的非穩(wěn)定諧振腔典型的激

22、光器諧振腔2021年12月24日60第二章 光學(xué)諧振腔與高斯光束光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)光學(xué)諧振腔的幾何理論光學(xué)諧振腔的衍射理論高斯光束非穩(wěn)定諧振腔的幾何自再現(xiàn)波形2021年12月24日61光學(xué)諧振腔的衍射理論開腔中的自再現(xiàn)模菲涅耳基爾霍夫衍射理論自再現(xiàn)模滿足的積分方程平行平面腔的自再現(xiàn)模共焦腔的模式理論一般穩(wěn)定性球面腔的模式理論2021年12月24日62開腔中的自再現(xiàn)模（b)孔闌傳輸線(a) 理想開腔光學(xué)諧振腔的衍射理論-自再現(xiàn)模2021年12月24日63v自再現(xiàn)模自再現(xiàn)模TEMm-TEMm-橫向光場(chǎng)分布橫向光場(chǎng)分布 激光束在橫截面上呈現(xiàn)各種光強(qiáng)的不同花樣的穩(wěn)定分布。 激光器諧振腔的反射鏡大小有

23、限，鏡面邊緣起光闌的作用。任何光束經(jīng)光闌時(shí)，都會(huì)發(fā)生衍射現(xiàn)象,衍射使場(chǎng)的分布不斷發(fā)生變化，最后趨于穩(wěn)定的分布狀態(tài)，這種穩(wěn)態(tài)的場(chǎng)的分布稱為自再現(xiàn)模。(a) 理想開腔L2aL2a(b) 孔闌傳輸線模擬光學(xué)諧振腔的衍射理論-自再現(xiàn)模2021年12月24日64v開腔模式的多樣性v激光空間相干行的理解 在開腔中，正是由于衍射的作用，使非相干的自發(fā)輻射發(fā)展成空間相干性極好的激光光學(xué)諧振腔的衍射理論-自再現(xiàn)模2021年12月24日65光學(xué)諧振腔的衍射理論開腔中的自再現(xiàn)模菲涅耳基爾霍夫衍射理論自再現(xiàn)模滿足的積分方程平行平面腔的自再現(xiàn)模共焦腔的模式理論一般穩(wěn)定性球面腔的模式理論2021年12月24日66菲涅耳基

24、爾霍夫衍射理論 惠更斯菲涅耳衍射原理光學(xué)諧振腔的衍射理論2021年12月24日67 空間曲面上光波場(chǎng)的振幅和相位分布函數(shù)為 ，所要考察的空間任意一點(diǎn) 所產(chǎn)生的場(chǎng)為 ， ),(yxu),(yxP),(yxu源點(diǎn) 與觀察點(diǎn) 之間連線的長(zhǎng)度；),(yx),(yx面 上點(diǎn) 處的法線與上述連線的夾角；),(yxS面 上點(diǎn) 處的面積元；Ssd ),(yx波矢的模。/2ksdikyxuikyxus)cos1()exp(,4),(則有 ：v菲涅耳基爾霍夫衍射理論光學(xué)諧振腔的衍射理論2021年12月24日68自再現(xiàn)模滿足的積分方程 將上述公式應(yīng)用到開腔的兩個(gè)鏡面上的場(chǎng)，則有sdikyxuikyxus)cos1(

25、)exp(,4),(12光學(xué)諧振腔的衍射理論- 2021年12月24日69sdikyxuikyxusqq)cos1()exp(,4),(1經(jīng)過q 次渡越后所形成的場(chǎng) 與產(chǎn)生它的場(chǎng) 之間滿足類似的迭代關(guān)系：1ququ我們考慮對(duì)稱腔鏡的情況。當(dāng)足夠 大時(shí)， 、 滿足如下關(guān)系：q1ququqquu1sdikyxuikyxusqq)cos1()exp(,4),(故：用 表示開腔中不受衍射影響的穩(wěn)態(tài)場(chǎng)分布函數(shù)，則有：yx , sdyxyxyxKyxs,),(自再現(xiàn)模滿足的積分方程光學(xué)諧振腔的衍射理論- 2021年12月24日70 yxyxikLiyxyxikLikyxyxKsdyxyxyxKyxs,ex

26、p,exp2,),()cos1(),(),(exp4,yxyxyxyxikikyxyxK其中：取 ：/)cos1(L/2iqqqeueuu1則：:光在單程渡越過程中自再現(xiàn)模的衰減ie令： 越大，衰減越大；當(dāng) 0時(shí)，表示自再現(xiàn)模在腔內(nèi)無損耗的傳播； ：光經(jīng)過一次渡越的相位滯后， 越大，相位滯后越多；光學(xué)諧振腔的衍射理論- 2021年12月24日71v積分方程解的物理意義積分方程解的物理意義qquuargarg1 單程總相移 積分方程的解包括本征函數(shù)與本征值兩部分，它們決定了開腔自再現(xiàn)模的全部特性：qquu1qquuargargarg1arg222121qqquuu 單程總損耗 諧振條件：qarg

27、本征值：自再現(xiàn)模在傳輸過程中的模的衰減、相移和頻率特性。本征函數(shù)：給出了自再現(xiàn)模在鏡面上的振幅與相位分布；光學(xué)諧振腔的衍射理論- 2021年12月24日72 在對(duì)稱開腔中，單程總相移除包括幾何相移外kL外，還有單程附加相移，即：復(fù)常數(shù)的模量度自再現(xiàn)模的單程損耗；它的輻角量度自再現(xiàn)模的單程相移，從而決定了模諧振頻率：kL因此有：kLargcnk2mnmnqLcLqc22 :附加相移滯后:附加相移超前00光學(xué)諧振腔的衍射理論- 2021年12月24日73v激光器諧振腔的概念 nLc23）相鄰兩縱模的頻率差等于基縱模頻率：1）縱模描述了沿諧振腔內(nèi)沿軸向的電磁場(chǎng)的分布2）基縱模的頻率為： q階縱模的頻

28、率為： q階縱模的頻率為基縱模的頻率的m倍nLcqq2nLc21v 激光縱模模式光學(xué)諧振腔小結(jié)2021年12月24日74iiRLg 11021ggv激光橫模模式1）激光橫模為光在垂直與光軸的橫截面內(nèi)的分布2）基橫模為高斯分布3）基橫模具有最小的發(fā)散角4）基橫模較其他所有的模式具有最好的空間相干性v諧振腔的穩(wěn)定性判別1）諧振腔的穩(wěn)定性由諧振腔的幾何參數(shù) 決定：ig2）穩(wěn)定條件：光學(xué)諧振腔小結(jié)2021年12月24日75v光學(xué)開腔的損耗1）幾何偏折損耗2）衍射損耗3）腔鏡不完全反射損耗4）材料中非激活吸收、散射，以及腔內(nèi)插入物引起 的損耗v諧振腔的衍射理論1）利用孔闌傳輸線的模型對(duì)開腔中穩(wěn)定電磁場(chǎng)分

29、布的形成過程進(jìn)行了說明；光學(xué)諧振腔小結(jié)2021年12月24日765）積分方程的解包括本征函數(shù)與本征值兩部分，它們決定了開腔自再現(xiàn)模的全部特性 sdyxyxyxKyxs,),()cos1(),(),(exp4,yxyxyxyxikikyxyxK4）自再現(xiàn)積分方程：sdikyxuikyxusqq)cos1()exp(,4),(12）利用菲涅耳基爾霍夫衍射積分建立了表征衍射的方程式：)()(1iqqqeueuu3）穩(wěn)定電磁場(chǎng)的自再現(xiàn)：一次渡越后的場(chǎng) 應(yīng)能將 再現(xiàn)出來：1ququ光學(xué)諧振腔小結(jié)2021年12月24日77光學(xué)諧振腔的衍射理論開腔中的自再現(xiàn)模菲涅耳基爾霍夫衍射理論自再現(xiàn)模滿足的積分方程平行

30、平面腔的自再現(xiàn)模共焦腔的模式理論一般穩(wěn)定性球面腔的模式理論2021年12月24日78 平行平面腔的自再現(xiàn)模v矩形與條形鏡平行平面腔矩形鏡平面腔光學(xué)諧振腔的衍射理論-2021年12月24日79LyyLxxLLyyLxxLyxyx2)(2)(1),(2222222Lyyxx對(duì)矩形平面腔，在圖示的坐標(biāo)系中，有：將上式展開，當(dāng) ,并忽略高次項(xiàng):2222)(,)(bLLbaLLav矩形與條形鏡平行平面腔的自再現(xiàn)模光學(xué)諧振腔的衍射理論-2021年12月24日80我們重新寫出自再現(xiàn)模的積分方程： yxyxikLiyxyxKsdyxyxyxKyxs,exp,),(2)(2)(exp)exp(,exp,22Ly

31、yLxxikikLLiyxyxikLiyxyxK其中，積分方程的核為：這樣，平行平面腔的自再現(xiàn)模的積分方程可以簡(jiǎn)化為 ：ydxdLyyLxxikyxikLLiyxaabb 22exp,exp),(22光學(xué)諧振腔的衍射理論-2021年12月24日81 aaxxxdxxxKx, bbyyydyyyKy,yx因此有 ：)()(,yxyx上述方程是可以分離的，令： x表示在x方向?qū)挾葹?a而沿y方向無限延伸的條形鏡平面腔的自再現(xiàn)模； y表示在y方向?qū)挾葹?b而沿x方向無限延伸的條形鏡平面腔的自再現(xiàn)模；22)(expexp,LxxikikLLixxK22)(expexp,LyyikikLLiyyK并且有

32、：光學(xué)諧振腔的衍射理論-2021年12月24日82用 和 分別表示他們的第m和第n個(gè)解， 表示相應(yīng)的復(fù)常數(shù)，則有： xm ynnm, bbnynnydyyyKy, aamxmmxdxxxKx,本征值本征函數(shù)在整個(gè)鏡面上的自再現(xiàn)場(chǎng)分布函數(shù)為： yxyxnmmn,nmmn復(fù)常數(shù)為mn ：光學(xué)諧振腔的衍射理論-2021年12月24日83v圓形鏡平面腔平行平面腔的自再現(xiàn)模圓形鏡平面腔平行平面腔的自再現(xiàn)模對(duì)圓形平面腔，在圖示的極坐標(biāo)系中，有：)cos(2),(222rrrrLrr)cos(221),(22rrrrLLrr將上式展開，當(dāng) ,并忽略高次項(xiàng),可以得到:aLaLLa,)(22光學(xué)諧振腔的衍射理論

33、-2021年12月24日84將上式代入自再現(xiàn)模積分方程，有： )cos(2expexp,),(22020LrrLrrikikLLirrKdrdrrrrKra)exp()(),(imrRrmnmn對(duì)上述積分方程進(jìn)行分離變量，令：可以證明所滿足的積分方程為：)(rRmnrrLrrikLrrkJikLLkirrKrdrrRrrKrrRmmmmnmmnmn)2exp()(exp,)(221為第m階貝塞爾函數(shù)mJ光學(xué)諧振腔的衍射理論-2021年12月24日85v 平行平面腔的迭代解法平行平面腔的迭代解法 （3）如此反復(fù)運(yùn)算多次后，觀察是否形成穩(wěn)態(tài)場(chǎng)分布； （1）假設(shè)在某一鏡面上存在一個(gè)初始場(chǎng)分布 ，將它

34、代入 迭代公式，計(jì)算在腔內(nèi)經(jīng)第一次渡越而在第二個(gè)鏡面 上生成的場(chǎng) ；0u1u（2）利用1所得到 的代入迭代公式，計(jì)算在腔內(nèi)經(jīng)第二次 渡越而在第一個(gè)鏡上生成的場(chǎng) ；1u2u諧振腔的迭代解法的思路：)(1SqqsdKuu諧振腔內(nèi)描述場(chǎng)渡越的迭代公式，表示為：光學(xué)諧振腔的衍射理論-2021年12月24日86.121qqqquuuu 0u如何選取初始入射波分布函數(shù) :10u 若?。壕鶆蚱矫娌?基模TEM0； 一階模TEM110, 10, 10 xaaxu即當(dāng) 足夠大時(shí)，由數(shù)值計(jì)算得出的 是否滿足下述關(guān)系：qqu光學(xué)諧振腔的衍射理論-2021年12月24日87平行平面腔的迭代解法平行平面腔的迭代解法流程

35、圖流程圖光學(xué)諧振腔的衍射理論-2021年12月24日88 例：鏡面寬度為2a，腔長(zhǎng)為L(zhǎng)的對(duì)稱條形狀腔。 并且： 分析腔中的自再現(xiàn)模的形成過程。25.6,100,252LaFLa aaxdxuLxxikikLLixu)(2expexp122 aaxdxuLxxikikLLixu)(2expexp223解：由條形狀腔的迭代公式，可以得到：10u 取均勻平面波作為第一個(gè)鏡面上的初始波，即：1maxiu將計(jì)算結(jié)果進(jìn)行歸一化處理，即?。汗鈱W(xué)諧振腔的衍射理論-2021年12月24日89由初始場(chǎng)分布出發(fā)，經(jīng)第一次及第300次渡越后，可以得到腔內(nèi)場(chǎng)的振幅與相位的分布圖：振幅分布相位分布光學(xué)諧振腔的衍射理論-2

36、021年12月24日90v平行平面腔基橫模穩(wěn)態(tài)場(chǎng)分布特點(diǎn)：相位的分布發(fā)生了變化，鏡面已經(jīng)不是等相位面了，因此嚴(yán)格說，TEM00已不再是均勻平面波了； 在鏡面中心處的振幅最大，從中心到鏡面邊緣振幅逐漸降落。 在整個(gè)鏡面上場(chǎng)的分布具有有偶對(duì)稱性。v諧振頻率計(jì)算表明，對(duì)于條形平行平面腔，諧振頻率主要取決于縱模頻率：Lqcvq2v單程相移單程相移與菲涅耳有關(guān)，同一橫模，F(xiàn)越大，單程相移越?。籉相同時(shí)，基模的單程相移最小，橫模階數(shù)越高，單程相移越大；v 單程衍射損耗單程衍射損耗與菲涅耳有關(guān)，同一橫模，F(xiàn)越大，單程衍射損耗越?。籉相同時(shí)，基模的單程衍射損耗最小，橫模階數(shù)越高，單程衍射損耗越大；光學(xué)諧振腔的

37、衍射理論-2021年12月24日91光學(xué)諧振腔的衍射理論開腔中的自再現(xiàn)模菲涅耳基爾霍夫衍射理論自再現(xiàn)模滿足的積分方程平行平面腔的自再現(xiàn)模共焦腔的模式理論一般穩(wěn)定性球面腔的模式理論2021年12月24日92共焦腔的模式理論方形鏡對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模方形鏡對(duì)稱共焦腔的行波場(chǎng)圓形鏡對(duì)稱共焦腔自再現(xiàn)模圓形鏡對(duì)稱共焦腔的行波場(chǎng)一般穩(wěn)定球面腔2021年12月24日93方形鏡對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模方形孔徑對(duì)稱共焦腔 LRR21共焦腔的模式理論-2021年12月24日94v方形鏡對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模的積分方程方形鏡對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模的積分方程22112121),(QPPQQQPPyxyx由圖示，可知： 我們知

38、道：由球面鏡的幾何關(guān)系，可以得到：RyxPPPQ222111RyxPPQP222222 及共焦腔的模式理論-LyyLxxLQQ2)(2)(22212021年12月24日95 方形鏡對(duì)稱共焦腔自再現(xiàn)模積分方程 aaaamnmnmnydxdLyyxxikyxikLLiyxexp,exp,可以得到： yxyxikLiyxyxKsdyxyxyxKyxs,exp,),( 將上式代入積分方程：共焦腔的模式理論-則有：)(1222)(2)(),(222222yyxxLLRyxRyxLyyLxxLyxyx2021年12月24日96v方形鏡對(duì)稱共焦腔自再現(xiàn)模積分方程的求解方形鏡對(duì)稱共焦腔自再現(xiàn)模積分方程的求解進(jìn)

39、行如下變換：FLaLkacyacYxacX22,22ccccnmnmnmYdYiYYGXdXiXXFikLiYGXFexpexp2exp則積分方程轉(zhuǎn)化為可分離變量的積分方程：YGXFyxnmmn),(令：求解上述方程的問題等價(jià)于如下兩個(gè)方程的求解問題：ccmmmXdXiXXFikLiXFexp2exp2/1ccnnnYdYiYYGikLiYGexp2exp2/1共焦腔的模式理論-2021年12月24日97,.2,1 ,0,/,/,),(nmcYcScXcSYGXFyxvonomnmmn在c為有限值時(shí)，自再現(xiàn)模積分方程的本征函數(shù)為:上式中：axcScXcSomom,/,aycScYcSonon,

40、/,角向長(zhǎng)橢球函數(shù) ikLinmnmexp與 相應(yīng)的本征值為：yxmn,.2, 1 ,0,1 ,/2)1(mcRicommm,.2, 1 ,0,1 ,/2)1(ncRiconnn式中：共焦腔的模式理論-2021年12月24日982exp),(2XXHCcXcSXFmmomm2exp),(2YYHCcYcSYGnnonn可以證明，在 時(shí)：ayax, 式中 、 :為常系數(shù)； :為 m 階厄米多項(xiàng)式 mCnCXHm)1 ,()1 ,(2)1()1(2)1(cRcReconomnmkLinm 徑向長(zhǎng)橢球函數(shù)厄米多項(xiàng)式 :022222!2!1expexp1mkkmkmmmmXkmkmXdXdXXH共焦腔

41、的模式理論-2021年12月24日991)(0XHXXH2)(124)(22XXHXXXH128)(33124816)(244XXXH厄米多項(xiàng)式具有如下的性質(zhì)： 有m個(gè)實(shí)數(shù)根最初幾階厄米多項(xiàng)式：0)(xHm當(dāng)c1時(shí)，將X,Y換回鏡面上的直角坐標(biāo)系x,y，得到本征函數(shù)：/exp2221exp,22222LyxyLHxLHCyxacyacHxacHCyxnmmnnmmnmn2)1(expnmkLimn本征值的近似解：厄米多項(xiàng)式的零點(diǎn)決定了鏡面上場(chǎng)分布圖的過零點(diǎn)得位置，高斯函數(shù)決定了自再現(xiàn)模的分布的外形輪廓共焦腔的模式理論-2021年12月24日100v鏡面上場(chǎng)的振幅鏡面上場(chǎng)的振幅基?；；Ｕ穹?/p>

42、大值的1/e處Lws0基模在鏡面上的光斑半徑 ：sw0LyxCyx220000exp,0 nm當(dāng) ，得出共焦腔基模（TEM00）的場(chǎng)的分布函數(shù)：半功率點(diǎn)的光斑半徑：sswLw005889.022ln)0,0(21,00IyxI2022swyx基模強(qiáng)度最大值1/2處共焦腔的模式理論-2021年12月24日101 高斯分布與光斑半徑v鏡面上場(chǎng)的振幅基模共焦腔的模式理論-2021年12月24日102v鏡面上場(chǎng)的振幅鏡面上場(chǎng)的振幅高階橫模高階橫模利用基模光斑半徑，本征函數(shù)的解可以寫為：ssnsmmnmnwyxywHxwHCyx022200exp22,202210202201010expexp22,ss

43、swyxxCwyxxwCyx202201202200101expexp22,ssswyxyCwyxxwCyx20220222020220222020exp4exp224,sssswyxwxCwyxwxCyx2022112022021111expexp24,ssswyxxyCwyxxywCyx因此，最初幾個(gè)橫模的振幅分布函數(shù)為：共焦腔的模式理論-2021年12月24日103高階橫模光斑半徑須按沿不同坐標(biāo)來計(jì)算，可以證明，沿x,y方向的光斑半徑分別為：snssmswnwwmw001212 ,.2, 1 ,0,/,/,),(nmcYcScXcSYGXFyxvonomnmmn自再現(xiàn)模 的輻角決定了鏡面

44、上場(chǎng)的相位分布：yxmn,無論對(duì)基?；蛘吒唠A模式，共焦腔反射鏡本身構(gòu)成一個(gè)等相位面共焦腔的模式理論-2021年12月24日104v單程損耗單程損耗 單程功率損耗2211nmnmmnF94.400109.10共焦腔基模單程功率損耗經(jīng)驗(yàn)公式：例： HeNe激光器采用共焦腔，L=30cm,a=0.2cm,振蕩波長(zhǎng)0.6328微米；分析其損耗特性。%200而同一菲涅耳數(shù)的圓形平面鏡腔基模的損耗：2.250010因此：267.5)106328.030(1.0422LaF菲涅耳數(shù)：共焦腔的模式理論-2021年12月24日105v單程損耗單程損耗 方形鏡共焦腔的單程功率損耗共焦腔的模式理論-2021年12月

45、24日106結(jié)論：1.損耗隨著菲涅耳系數(shù)F的增大而迅速減小2.菲涅耳系數(shù)相同時(shí)，不同橫模的損耗不同，模的階次越高，損耗越大；3.共焦腔模的損耗要小于平面腔模的損耗，這是因?yàn)楣步骨粚?duì)光束會(huì)聚作用的結(jié)果。4.自再現(xiàn)模的衍射損耗小于均勻平面波的衍射損耗，因?yàn)樽栽佻F(xiàn)模的形成過程反應(yīng)了衍射損耗的影響，從而使得邊緣部分強(qiáng)度變小，衍射損耗的作用變小。 v單程損耗單程損耗共焦腔的模式理論-2021年12月24日107v單程相移和諧振頻率單程相移和諧振頻率 22q由諧振條件:1212nmqLcmnq可以得出各階模的諧振頻率為 ：Lcq2同一橫模的相鄰兩縱模之間的頻率間隔為：qnqm21,21q一定時(shí)，m,n改變

46、，頻率間隔為：TEMmn模在腔內(nèi)一次渡越的總相移為：nmmnarg2)1(nmkLmn)1 ,()1 ,(2)1()1(2)1(cRcReconomnmkLinm附加相移共焦腔的模式理論-2021年12月24日108共焦腔的振蕩頻譜共焦腔的模式理論-2021年12月24日109方形鏡共焦腔方形鏡共焦腔強(qiáng)度花樣強(qiáng)度花樣共焦腔的模式理論-2021年12月24日110方形鏡共焦腔方形鏡共焦腔振幅分布振幅分布-2-1012-2-101200.20.40.60.81-2-1012 TEM00 TEM11-2-1012-2-1012-0.2-0.100.10.2-2-1012共焦腔的模式理論-2021年1

47、2月24日111v共焦腔與平行平面腔之不同共焦腔與平行平面腔之不同1 鏡面上基模場(chǎng)的分布 平行平面腔基模在分布在整個(gè)鏡面上，呈偶對(duì)稱性分布，鏡面中心處振幅最大，向鏡邊緣振幅逐漸降低； 共焦腔基模在鏡面上的分布在厄米-高斯近似下，與鏡的橫向幾何尺寸無關(guān)，僅由腔長(zhǎng)決定；一般共焦腔模集中在鏡面中心附近； 2 相位分布平行平面腔的反射鏡不是等相面；而共焦腔的反射鏡為等相面3 單程損耗平行平面腔衍射損耗遠(yuǎn)高于共焦腔的衍射損耗4 單程相移與諧振頻率 平行平面腔中橫模階次m、n的變化引起的頻率改變遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于縱模階次q的改變對(duì)諧振頻率的改變； 在共焦腔中， m、n的變化或q的改變對(duì)諧振頻率的影響具有相同的數(shù)量級(jí)

48、； 共焦腔的模式理論-2021年12月24日112共焦腔的模式理論方形鏡對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模方形鏡對(duì)稱共焦腔的行波場(chǎng)圓形鏡對(duì)稱共焦腔自再現(xiàn)模圓形鏡對(duì)稱共焦腔的行波場(chǎng)一般穩(wěn)定球面腔2021年12月24日113方形鏡共焦腔的行波場(chǎng) 坐標(biāo)原點(diǎn)選在腔軸線的中心 zyxizwyxyzwHxzwHzwwEAzyxEnmmnmn,exp)(exp)(2)(2)(,22200 fztgnmzRyxkkzzyxfzwfzwfzLzws12220202)1()(2,11212其中：式中： ：共焦腔的腔長(zhǎng) ：鏡的焦距 L2/Lf共焦腔場(chǎng)的解析式：共焦腔的模式理論-2021年12月24日1141 ：振幅衰減因子)(0

49、zww2 ：行波場(chǎng)橫向振幅分布因子)(exp)(2)(222zwryzwHxzwHnmfztgnmzRyxkkzzyx122)1()(2,3 ：位相因子zyxi,expvTEMmn模在腔內(nèi)任意點(diǎn)(x,y,z) 處的電場(chǎng)強(qiáng)度：zyxizwyxyzwHxzwHzwwEAzyxEnmmnmn,exp)(exp)(2)(2)(,22200傳播因子位相彎曲因子附加相移因子共焦腔的模式理論-2021年12月24日115v振幅分布和光斑尺寸振幅分布和光斑尺寸 在z=0處有最小值 共焦場(chǎng)的振幅分布為：)(exp)(2)(2)(,22200zwyxyzwHxzwHzwwEAzyxEnmmnmnzwyxzwwEA

50、zyxE222000000exp,對(duì)基模： 2020112fzwfzwzws基模光斑尺寸 ：Lwfwzws0在共焦鏡面上： fww00基模高斯光束的束腰半徑 ：共焦腔的模式理論-2021年12月24日116共焦腔中，基模光斑隨著坐標(biāo)按雙曲線規(guī)律變化： 122202fzwzw共焦腔基模高斯光束腰斑半徑002 wws共焦腔的模式理論-2021年12月24日117v模體積模體積2)12)(12(21222LnmwwLVnsmsmn高階模模體積通常用下式估算：220002121LwLVs基模模體積通常用下式估算：共焦腔的模式理論-2021年12月24日118v等相位面的分布等相位面的分布 拋物面方程)

51、(2)(2022220zRyxzRyxzz忽略附加相移因子， z0點(diǎn)的等相位面方程為：)(210zRf 拋物面焦距：可以證明，在近軸情況下，共焦場(chǎng)的在z0處的等相位面近似為球面，其曲率半徑為：)()(000zffzfzR0,0,0,zzyx與腔的軸線交于z0點(diǎn)的等相位面方程可以寫成：共焦腔的模式理論-2021年12月24日119共焦腔的反射鏡面是兩個(gè)等相位面，且曲率半徑最小一般情況下，共焦腔的等相面凹面向著腔的中心的球面 腔中點(diǎn)或距腔中點(diǎn)無限遠(yuǎn)處，等相面為平面)0(R)0(R當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，0zzLzR)(0當(dāng) 時(shí)，fz0)(2220zRyxzz當(dāng) 時(shí)， 0z0)(zR當(dāng) 時(shí)，0)(zR0z)

52、()(zffzfzR由：00z00 zz0)(0zR00z00 zz0)(0zR共焦腔的模式理論-2021年12月24日120v 共焦腔等相位面的一個(gè)重要的性質(zhì)： 若在等相位面處放置一個(gè)具有相應(yīng)曲率的反射鏡片，不影響共焦腔的場(chǎng)分布。 共焦場(chǎng)等相面的分布 共焦腔的模式理論-2021年12月24日121v遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角 某共焦腔二氧化碳激光器， L=1m, m6.10rad3102.5 fwzfzwzzwzz22)(12lim2lim020基模遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角：雙曲線兩根漸近線之間的夾角：radf3103.22例：某共焦腔氦氖激光器，L=30cm, m638.0共焦腔的模式理論-2021年12月2

53、4日122不同的腰半徑的激光光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角對(duì)比圖共焦腔的模式理論-2021年12月24日123共焦腔的模式理論方形鏡對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模方形鏡對(duì)稱共焦腔的行波場(chǎng)圓形鏡對(duì)稱共焦腔自再現(xiàn)模圓形鏡對(duì)稱共焦腔的行波場(chǎng)一般穩(wěn)定球面腔2021年12月24日124圓形鏡對(duì)稱共焦腔v圓形鏡對(duì)稱共焦腔自再現(xiàn)模積分方程mwrwrLwrcrussmnmsmnmncos)exp()2()2(),(2022020Lws0),(r：為鏡面上的極坐標(biāo)，并且)(mnL：拉蓋爾多項(xiàng)式1)(0mLmLm1)(1)2(2)2)(1(21)(22mmmLm可以證明，當(dāng)時(shí)，圓形鏡共焦腔積分方程的本征函數(shù)的近似解：N共焦腔的模式理論-

54、2021年12月24日1252)1(expnmkLimn本征值的近似解：v鏡面上對(duì)基模及高階模的場(chǎng)振幅分布：2020000),(swrecrucos2),(20201010swrsrewcru202)21(),(020101swrsewrcrucos)1(22),(20220201111swrssewrrwcru共焦腔的模式理論-2021年12月24日126v模的振幅和相位分布模的振幅和相位分布 鏡面上，基模振幅分布是高斯型的，在鏡面中心處（r=0） 處，振幅最大。對(duì)于高階模，在沿輻角方向有節(jié)線，數(shù)目為m；沿半徑方向有節(jié)圓，節(jié)圓數(shù)為n；m、n增加，模的光斑半徑增大，并且隨著n的增大光斑半徑的增

55、大來的更快；mnTEM基模在鏡面上的光斑半徑：Lws0圓形共焦鏡面本身也是等相位面。高階模的光斑半徑：振幅降低至最外面的極大值的1/e處的點(diǎn)與鏡面中心的距離；共焦腔的模式理論-2021年12月24日127v單程相移和諧振頻率單程相移和諧振頻率 12212nmqLcmnq圓形鏡共焦腔模的諧振頻率為 :Lcqmnqnqmm4211Lcqmnqqmnn21Lcmnqmnqq212)12(argnmkLmn自再現(xiàn)模在腔內(nèi)一次渡越的總相移為 :共焦腔的模式理論-2021年12月24日128v單程衍射損耗單程衍射損耗 圓形鏡共焦腔的行波場(chǎng)分布與方形鏡完全類似 v圓形鏡共焦腔的行波場(chǎng) 3 基模的損耗高階模的

56、損耗，模階次越高，損耗越大；2 方形鏡共焦腔損耗圓形鏡共焦腔損耗平面腔損耗平面波損耗；1 所有模式的損耗隨F值的增大而急劇減小；共焦腔的模式理論-2021年12月24日129圓形鏡共焦腔橫截面場(chǎng)強(qiáng)度圓形鏡共焦腔橫截面場(chǎng)強(qiáng)度分布（分布（1）-2-1012x-2-1012y00.20.40.60.81-2-1012yTEM00-2-1012x-2-1012y00.20.40.60.81-2-1012yTEM01共焦腔的模式理論-2021年12月24日130圓形鏡共焦腔橫截面場(chǎng)強(qiáng)度分布（2）-2-1012x-2-1012y00.20.40.60.81-2-1012yTEM02-2-1012x-2-1

57、012y00.20.40.60.81-2-1012yTEM10共焦腔的模式理論-2021年12月24日131共焦腔的模式理論方形鏡對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模方形鏡對(duì)稱共焦腔的行波場(chǎng)圓形鏡對(duì)稱共焦腔自再現(xiàn)模圓形鏡對(duì)稱共焦腔的行波場(chǎng)一般穩(wěn)定球面腔2021年12月24日132一般穩(wěn)定球面腔 共焦腔與穩(wěn)定球面腔的等價(jià)性 v一般穩(wěn)定球面腔與共焦腔的等價(jià)性 共焦腔的模式理論-2021年12月24日133v任一共焦腔與無窮多個(gè)穩(wěn)定球面腔等價(jià)任一共焦腔與無窮多個(gè)穩(wěn)定球面腔等價(jià) 根據(jù)曲率半徑R的符號(hào)規(guī)定：曲面凸向z軸正向?yàn)檎?，在放置在c1、c2處的反射鏡，則有：122222212111,)(,)(zzLzfzzRRz

58、fzzRR即放置在c1、c2處的反射鏡構(gòu)成穩(wěn)定腔221212111fzzzfRLg222212221fzzzfRLg1021gg對(duì)腔進(jìn)行穩(wěn)定性判斷：共焦腔的模式理論-2021年12月24日134v任一穩(wěn)定的球面腔唯一地等價(jià)于某一共焦腔任一穩(wěn)定的球面腔唯一地等價(jià)于某一共焦腔 1222221211,zzLzfzRzfzR穩(wěn)定球面腔和它的等價(jià)共焦腔 我們需要確定共焦腔的焦距及共焦腔的中心位置。 以共焦腔的中心o點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則同樣有 ：假設(shè)實(shí)際穩(wěn)定腔的參數(shù)為 ，其對(duì)應(yīng)的共焦腔已知。LRR,21共焦腔的模式理論-2021年12月24日135由上述方程聯(lián)立可以求解：2212121221122121222

59、RRLLRRLRLRLfRRLLRLzRRLLRLz02f任一穩(wěn)定的球面腔唯一地等價(jià)于某一共焦腔可以證明，當(dāng) 滿足穩(wěn)定腔條件時(shí)，有LRR,21共焦腔的模式理論-2021年12月24日136v一般穩(wěn)定球面腔鏡面上基模的光斑尺寸一般穩(wěn)定球面腔鏡面上基模的光斑尺寸412112211)()(LRRLRLLRRLws412121222)()(LRRLRLLRRLws將求得的焦距f代入上式可以得到一般穩(wěn)定球腔（ ）行波場(chǎng)的基模光斑尺寸的分布，從而得到：鏡面上基模的光斑尺寸LRR,212020112fzwfzwzws共焦腔中基模的光斑尺寸：共焦腔的模式理論-2021年12月24日137上式還可以用腔的g參數(shù)表示：41211201)1(ggggwwss41212102)1(ggggwwssLws0其中：v諧振頻率諧振頻率 qzzzyxmnmnmn2,0,0,0,02,212將f 、z1、z2代入上式，并由諧振條件：fztgnmzRyxkkzzyxmn122)1()(2,共焦鏡的相位函數(shù)：fztgfztgnmqLcmnq2111(1212對(duì)于方形一般穩(wěn)定球面腔，可以得到諧振頻率：共焦腔的模式理論-2021年12月24日138211211cos1212)1)(1(cos1212ggnmqLcRLRLnmq