光學(xué)諧振腔分析

1、2021年12月24日1緒論第一章 激光基本原理第二章 光學(xué)諧振腔與高斯光束第三章 電磁場與物質(zhì)的相互作用第四章 激光振蕩特性第五章 激光器特性的控制與改善第六章 激光放大器第七章 激光參數(shù)測量2021年12月24日2第二章 光學(xué)諧振腔與高斯光束光學(xué)諧振腔的基本知識光學(xué)諧振腔的幾何理論光學(xué)諧振腔的衍射理論高斯光束非穩(wěn)定諧振腔的幾何自再現(xiàn)波形2021年12月24日3光學(xué)諧振腔的基本知識光學(xué)諧振腔的結(jié)構(gòu)光學(xué)諧振腔的分類光學(xué)諧振腔與激光模式：縱模、橫模光學(xué)諧振腔的損耗2021年12月24日4光學(xué)諧振腔的結(jié)構(gòu)光軸光學(xué)諧振腔示意圖R1R2LO光學(xué)諧振腔的基本知識2021年12月24日5光學(xué)諧振腔分類、常

2、見光學(xué)諧振腔v穩(wěn)定性:穩(wěn)定腔、非穩(wěn)定腔、臨界腔臨界腔穩(wěn)定腔非穩(wěn)定腔光學(xué)諧振腔的基本知識2021年12月24日6閉腔開腔氣體波導(dǎo)腔v開放程度開放程度:閉腔閉腔、開腔開腔 、氣體波導(dǎo)腔氣體波導(dǎo)腔光學(xué)諧振腔的基本知識光學(xué)諧振腔分類、常見光學(xué)諧振腔2021年12月24日7v反射鏡類型反射鏡類型:平行平面腔平行平面腔、同心、同心腔腔 、共焦腔、共焦腔腔等腔等光學(xué)諧振腔的基本知識2021年12月24日8光學(xué)諧振腔的基本知識光學(xué)諧振腔的結(jié)構(gòu)光學(xué)諧振腔的分類光學(xué)諧振腔與激光模式：縱模、橫模光學(xué)諧振腔的損耗2021年12月24日9光學(xué)諧振腔與激光模式20qL或以波長表示：Lcqq2以頻率表示為：v縱模-沿光的傳

3、播方向的縱向光場分布設(shè)介質(zhì)的折射率為n，則：nLcqq2相長干涉的條件：波從某一點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)腔內(nèi)往返一周再回到原來位置時(shí)，應(yīng)與初始出發(fā)波同相。即相長干涉的條件可以表示為為：2220qLq=1q=2q=3L光學(xué)諧振腔的基本知識2021年12月24日10nLc21基縱模的頻率為：nLcqq2q 階縱模頻率可以表達(dá)為：諧振腔內(nèi)q階縱模的頻率為基縱模頻率的整數(shù)倍(q倍）nLcqq21縱模間隔： 激光器諧振腔的頻譜示意圖光學(xué)諧振腔的基本知識-縱模2021年12月24日11v說明在公式： 、 中 我們假設(shè)沿整個(gè)諧振腔的長度上折射率為一常數(shù)；若激活物質(zhì)的長度不等于諧振腔的長度時(shí)，則有：nLc2221122Ln

4、LncnLcqq2光學(xué)諧振腔的基本知識-縱模2021年12月24日12激光諧振腔內(nèi)低階縱模分布示意圖激光諧振腔內(nèi)低階縱模分布示意圖光學(xué)諧振腔的基本知識-縱模2021年12月24日13激光縱模分布示意圖激光縱模分布示意圖 光學(xué)諧振腔的基本知識-縱模2021年12月24日14 例題例題 1 HeNe 激光器諧振腔長 50 cm，激射波長 632.8nm 求：縱模頻率間隔及諧振腔內(nèi)的縱模式數(shù)； GHzHzmmnLc3.01031052sec1032818671105803.110328.610522mmLqq 解:光學(xué)諧振腔的基本知識-縱模2021年12月24日152 已知：HeNe激光器諧振腔長5

5、0cm，若模式m的波長為632.8mn; 計(jì)算：縱模 m+1 的波長； 解答： 縱模的頻率間隔為：由：m = 0.6328000*10-6 m 可以得到：光學(xué)諧振腔的基本知識-縱模2021年12月24日16由： 故：lm = 632.8000 nm , lm+1 = 632.7996 nm相鄰縱模的波長差：lm - lm+1 =4*10-13 m則有：光學(xué)諧振腔的基本知識-縱模2021年12月24日17小結(jié)：激光器的縱模 激光器的縱模是沿激光器光軸傳播的方向的光場分布； 縱模的頻率間隔為常數(shù)，等于諧振腔的基頻；縮短腔長， 頻率間隔增大；nLcqq21 諧振腔內(nèi)存在的縱模的頻率由諧振腔的長度以及

6、激活物質(zhì) 的折射率決定；nLcqq22qqL2021年12月24日18v橫模橫模 TEMm- -橫向光場分布橫向光場分布激光橫模強(qiáng)度花樣示意圖光學(xué)諧振腔的基本知識橫模2021年12月24日19橫模分布及強(qiáng)度示意圖橫模分布及強(qiáng)度示意圖光學(xué)諧振腔的基本知識橫模2021年12月24日20激光諧振腔內(nèi)橫模分布示意圖激光諧振腔內(nèi)橫模分布示意圖-2-1012-2-101200.20.40.60.81-2-1012TEM00-2-1012-2-1012-0.2-0.100.10.2-2-1012TEM11光學(xué)諧振腔的基本知識橫模2021年12月24日21激光多橫模振蕩示意圖激光多橫模振蕩示意圖光學(xué)諧振腔的基

7、本知識橫模2021年12月24日22光學(xué)諧振腔與激光模式（1） 諧振腔內(nèi)的縱模光學(xué)諧振腔的基本知識2021年12月24日23 諧振腔內(nèi)的橫模光學(xué)諧振腔與激光模式（2）光學(xué)諧振腔的基本知識2021年12月24日24光學(xué)諧振腔的基本知識光學(xué)諧振腔的結(jié)構(gòu)光學(xué)諧振腔的分類光學(xué)諧振腔與激光模式：縱模、橫模光學(xué)諧振腔的損耗2021年12月24日25激光器諧振腔的損耗 v光學(xué)開腔的損耗的分類（1）幾何偏折損耗（2）衍射損耗 （3）腔鏡不完全反射損耗 （4）材料中非激活吸收、散射，以及腔內(nèi)插入物引起 的損耗光學(xué)諧振腔的基本知識2021年12月24日26v與損耗相關(guān)的幾個(gè)參數(shù)與損耗相關(guān)的幾個(gè)參數(shù) 10ln21I

8、I因此：ii321如果損耗是由多種因素引起，則有：當(dāng) 很小時(shí)：)21(01 II0102 III1 平均單程損耗因子2exp01 II若初始光強(qiáng)為 ，在無源腔內(nèi)往返一次后，光強(qiáng)衰減為 ，則：0I1I光學(xué)諧振腔的基本知識2021年12月24日27cLc腔壽命：光強(qiáng)從初始值衰減到初始值的1/e所用的時(shí)間；設(shè)t時(shí)刻光在腔內(nèi)往返m 次數(shù)后，光強(qiáng)變?yōu)椋簃eItI20)(cLtm2其中：ctLcteIeItI00)(因此：cteItI0)(若取t=0 時(shí)刻光強(qiáng)為 ，時(shí)刻t光強(qiáng)為 ，則：0I)(tIc 2 腔壽命光學(xué)諧振腔的基本知識2021年12月24日28 3 諧振腔的品值因數(shù)Q cLcv小結(jié)： 、 、Q

9、的關(guān)系：cccLQ22、PEPEQ2諧振腔Q值的普遍定義:式中，E：儲存的總能量；P：單位時(shí)間內(nèi)損耗的能量 ：腔內(nèi)電磁場的振蕩頻率； ：場的角頻率cLQc2可以推出：光學(xué)諧振腔的基本知識2021年12月24日29諧振腔損耗計(jì)算rrorrln2111212101rrII20eI21ln21rr可以得出：v 由鏡面不完全反射引起的損耗 、 分別表示腔的兩個(gè)反射率，則初始光強(qiáng) 經(jīng)過一個(gè)往返后，光強(qiáng)由變?yōu)?，則有：1r2r0I1I光學(xué)諧振腔的基本知識2021年12月24日30v 腔鏡傾斜的幾何損耗腔鏡傾斜的幾何損耗DmLDmLLL)12(53122)12(62 可以得到：光學(xué)諧振腔的基本知識2021年

10、12月24日31LDm2利用等差級數(shù)求和公式，有：返一次的平均時(shí)間 ，則腔內(nèi)光子的平均壽命 及損耗 ： cLt/2cDL2DLcnLDcLmtc222例：諧振腔橫向尺寸 D=1cm,L=1m,n=1；若要求 分別小于0.1、0.01，分析腔的平行度。DL2LD22解答：若使小于0.01：rad622102101.01012若使小于0.1：rad42210211.01012光學(xué)諧振腔的基本知識2021年12月24日32v衍射損耗衍射損耗 單程功率損耗率： aLLaaLaSSS2)()(22212aa61.0222.1由物理學(xué)可知，衍射角 ：菲涅耳系數(shù)FLaaL22.122.122 則：F1光學(xué)諧

11、振腔的基本知識2021年12月24日33第二章 光學(xué)諧振腔與高斯光束光學(xué)諧振腔的基本知識光學(xué)諧振腔的幾何理論光學(xué)諧振腔的衍射理論高斯光束非穩(wěn)定諧振腔的幾何自再現(xiàn)波形2021年12月24日34光學(xué)諧振腔的幾何理論幾何理論光學(xué)變化矩陣方法共軸球面腔的光學(xué)變換矩陣共軸球面腔的穩(wěn)定性條件典型的激光器諧振腔2021年12月24日35幾何理論光學(xué)元件的光學(xué)變化矩陣T:)1()1()2()2(rrT光學(xué)變化矩陣的符號規(guī)則：1 光線在軸線上方時(shí)r取正，否則為負(fù)；2 光線的出射方向在軸線上方時(shí)，夾角取正，否則為負(fù)；v光學(xué)變化矩陣方法光學(xué)諧振腔的幾何理論2021年12月24日36)1()2()1()1()2(Lr

12、r)1()1()1()1()2()2(101rrLr 寫成矩陣：Tv自由空間傳播的光學(xué)變換矩陣光線在自由空間L傳播旁軸光線從 ，經(jīng)L傳播距離后， 達(dá)到 后，有： ),()1()1(r),()2()2(r光學(xué)諧振腔的幾何理論2021年12月24日37v球面反射鏡的光學(xué)變換矩陣球面反射鏡的光學(xué)變換矩陣Rrrr)1()1()1()2()1()2(2光線經(jīng)球面反射鏡傳播旁軸光線從 ，經(jīng)球面反射鏡后，達(dá)到 后，有：),()1()1(r),()2()2(r)1()1()1()1()2()2(1201rrRrT寫成矩陣：光學(xué)諧振腔的幾何理論2021年12月24日38共軸球面腔的光學(xué)變換矩陣 光線在共軸球面腔

13、中的往返傳播光學(xué)諧振腔的幾何理論2021年12月24日39 ),(11r腔長L T1M2反射 T2 腔長L T3 M1反射T4光線在諧振腔往返一次的軌跡：),(22r),(33r),(44r),(55r112211101rrLr光線由上 的 出發(fā)，到達(dá) 上時(shí)，變?yōu)樽儞Q矩陣T1T11M2M),(22r),(11r光學(xué)諧振腔的幾何理論2021年12月24日40 333344101rrLrT3光線再從球面鏡M2傳播到M1時(shí),變換矩陣T3：),(33r光線在球面鏡上 發(fā)生反射時(shí)，坐標(biāo)變?yōu)?2222331201rrRr變換矩陣為T2:2MT2光學(xué)諧振腔的幾何理論2021年12月24日4111111155

14、rrDCBArr經(jīng)過一個(gè)往返后，總的坐標(biāo)變換為：TT4T3T2T144415451201rrRrT4光線將在M1上發(fā)生反射，變換矩陣T4 ：光學(xué)諧振腔的幾何理論2021年12月24日42 其中：211121222121221221221RLRLRLDRLRRCRLLBRLA光學(xué)諧振腔的幾何理論2021年12月24日43 往返n次后的變換，有： 111111rDCBArTrDCBArnnnnnnnn1111nnnnnnDrCBrAr即：11)1sin(sinsinsin)1sin(sinsin1rnnDnCnBnnA)(arccos21DA 上式中： 光學(xué)諧振腔的幾何理論2021年12月24日4

15、4共軸球面腔的穩(wěn)定性條件 1)(211DA111021RLRL1021gg引入幾何g參數(shù)：令 ，則上式變?yōu)椋篿iRLg 1經(jīng)過推導(dǎo)，可以得到穩(wěn)定性條件 ： 為使光線能在腔內(nèi)任意多次往返而不橫向逸出，要求對n次往返后的光學(xué)變換矩陣 的各個(gè)元素 對任意的n保持有限，這就要求 為實(shí)數(shù)且不應(yīng)為 。nTnnnnDCBA,k2021年12月24日45光學(xué)諧振腔的幾何理論幾何理論光學(xué)變化矩陣方法共軸球面腔的光學(xué)變換矩陣共軸球面腔的穩(wěn)定性條件典型的激光器諧振腔2021年12月24日46111RLg221RLg、幾何參數(shù)g：由諧振腔的結(jié)構(gòu)所決定:R的符號規(guī)則：當(dāng)反射鏡凹面向著腔內(nèi)時(shí)，R取正值；當(dāng)反射鏡凸面向著腔

16、內(nèi)時(shí)，R取負(fù)值；共軸球面腔的穩(wěn)定性條件 共軸球面腔結(jié)構(gòu)示意圖諧振腔的結(jié)構(gòu)參數(shù)：R1 、 R2 、 L光軸R1R2L2021年12月24日47 1021gg 穩(wěn)定腔：012121ggorgg 非穩(wěn)定腔：012121ggorgg 臨界腔：共軸球面腔的穩(wěn)定性條件共軸球面腔的穩(wěn)定性條件共軸球面腔的穩(wěn)定性條件 2021年12月24日48v 例題例題由符號規(guī)則，凸透鏡的半徑應(yīng)為負(fù)值，即 R2 = - 0.1 m， R1 = 1.5 m諧振腔的幾何參數(shù)為： g1 = 1-L/R1 = 1-1/1.5 = 0.333. g2 = 1-L/R2 = 1+1/0.1 = 11 由穩(wěn)定性判斷規(guī)則： g1*g2 =

17、11*0.333 1因此該諧振腔為非穩(wěn)定諧振腔解答：已知：激光器諧振腔長1m，由一個(gè)半徑為1.5m的凹透鏡和半徑 為10 cm的凸透鏡組成；試判斷該諧振腔的穩(wěn)定性；共軸球面腔的穩(wěn)定性條件 2021年12月24日49非穩(wěn)腔臨界腔1）平行平面腔：A點(diǎn)2）共心腔：3）半共心腔：C、D點(diǎn)121 ggLRR21LR 穩(wěn)定腔：1）雙凹穩(wěn)定腔： 1區(qū)： 2區(qū)： 3區(qū)： 4區(qū)：2）平凹穩(wěn)定腔：AC、AD3）凹凸穩(wěn)定腔： 5區(qū)： 6區(qū)：4）共焦腔5）半共焦腔：E、F （R2L）LRR21LRRRRLRRRRR122112121;,0,0或LRRRRLRRRRR211221221;,0,0或LR LRLR21,L

18、RR21LRLR21,共軸球面腔的穩(wěn)定性條件 -2021年12月24日501、給定穩(wěn)定腔的一塊反射鏡，選配另一塊反射鏡穩(wěn)區(qū)圖的應(yīng)用根據(jù)已有的反射鏡的數(shù)據(jù)，如R1 2L可以得到：g1 = 1-L/R1 = 0.5凹面鏡：2RL凸面鏡：LR22、給定穩(wěn)定腔的二塊反射鏡，確定腔長根據(jù)已有的反射鏡的數(shù)據(jù)，可以確定：12RRk 代入g參數(shù)的表達(dá)式，可以得到方程：2kkkgkgkkkRLRLg11)1(111111225.05.012gg11132:0:RLRCDRLAB共軸球面腔的穩(wěn)定性條件 -2021年12月24日51光學(xué)諧振腔的幾何理論幾何理論光學(xué)變化矩陣方法共軸球面腔的光學(xué)變換矩陣共軸球面腔的穩(wěn)定

19、性條件典型的激光器諧振腔2021年12月24日52典型的激光器諧振腔v模體積激光模式在腔內(nèi)所能擴(kuò)展的空間范圍。 模體積大，對該模式的振蕩有貢獻(xiàn)的激發(fā)態(tài)粒子數(shù)就多就可能獲得大的輸出功率；v諧振腔的選擇： 衍射損耗 模體積 腔體鏡面的安裝v典型的激光器諧振腔2021年12月24日53平行平面腔結(jié)構(gòu)示意圖平行平面腔主要應(yīng)用于高功率脈沖激光器 1）衍射損耗高 2）鏡面調(diào)整難度高v平行平面腔的劣勢 1） 模體積大、 2）腔內(nèi)激光輻射沒有聚焦現(xiàn)象v平行平面腔的優(yōu)勢1.平行平面腔典型的激光器諧振腔2021年12月24日542. 2. 同心球面同心球面腔腔1）衍射損耗低 2）易于安裝調(diào)整1）模體積小 2）腔內(nèi)

20、產(chǎn)生光輻射聚焦現(xiàn)象同心球面腔結(jié)構(gòu)示意圖同心球面腔主要應(yīng)用于連續(xù)工作的染料激光器泵浦激光器v同心球面腔的劣勢：v同心球面腔的優(yōu)勢：典型的激光器諧振腔2021年12月24日553. 3. 共焦諧振腔共焦諧振腔 共焦諧振腔示意圖共焦諧振腔一般應(yīng)用于連續(xù)工作的激光器共焦諧振腔的性能介于平行平面腔與球面腔之間，其特點(diǎn)如下：1）鏡面較易安裝、調(diào)整；2）較低的衍射損耗；3）腔內(nèi)沒有過高的輻射聚焦現(xiàn)象；4）模體積適度；典型的激光器諧振腔2021年12月24日564. 4. 長半徑球面腔長半徑球面腔 長半徑球面腔示意圖長半徑球面諧振腔適于連續(xù)工作的激光器長半徑球面諧振腔的性能介于共焦腔與球面腔之間，它的特點(diǎn)如下

21、：1）中等的衍射損耗；2）較易安裝調(diào)整；3）模體積很大； 4）腔內(nèi)沒有很高的光輻射聚焦現(xiàn)象；典型的激光器諧振腔2021年12月24日575. 5. 半球型諧振腔半球型諧振腔 半球型諧振腔半球型諧振腔主要應(yīng)用于低功率氦氖激光器半球型諧振腔的特點(diǎn)：1)易于安裝調(diào)整2)衍射損耗低、成本低典型的激光器諧振腔2021年12月24日586. 6. 平凹穩(wěn)定腔平凹穩(wěn)定腔 平凹穩(wěn)定腔示意圖平凹穩(wěn)定腔一般應(yīng)用與連續(xù)激光器；大多數(shù)情況下 R1 2L平凹穩(wěn)定腔的特點(diǎn)：模體積較大、 且具有價(jià)格優(yōu)勢典型的激光器諧振腔2021年12月24日597. 7. 非穩(wěn)定腔非穩(wěn)定腔 一連續(xù)高功率二氧化碳激光器的非穩(wěn)定諧振腔典型的激

22、光器諧振腔2021年12月24日60第二章 光學(xué)諧振腔與高斯光束光學(xué)諧振腔的基本知識光學(xué)諧振腔的幾何理論光學(xué)諧振腔的衍射理論高斯光束非穩(wěn)定諧振腔的幾何自再現(xiàn)波形2021年12月24日61光學(xué)諧振腔的衍射理論開腔中的自再現(xiàn)模菲涅耳基爾霍夫衍射理論自再現(xiàn)模滿足的積分方程平行平面腔的自再現(xiàn)模共焦腔的模式理論一般穩(wěn)定性球面腔的模式理論2021年12月24日62開腔中的自再現(xiàn)模（b)孔闌傳輸線(a) 理想開腔光學(xué)諧振腔的衍射理論-自再現(xiàn)模2021年12月24日63v自再現(xiàn)模自再現(xiàn)模TEMm-TEMm-橫向光場分布橫向光場分布 激光束在橫截面上呈現(xiàn)各種光強(qiáng)的不同花樣的穩(wěn)定分布。 激光器諧振腔的反射鏡大小有

23、限，鏡面邊緣起光闌的作用。任何光束經(jīng)光闌時(shí)，都會發(fā)生衍射現(xiàn)象,衍射使場的分布不斷發(fā)生變化，最后趨于穩(wěn)定的分布狀態(tài)，這種穩(wěn)態(tài)的場的分布稱為自再現(xiàn)模。(a) 理想開腔L2aL2a(b) 孔闌傳輸線模擬光學(xué)諧振腔的衍射理論-自再現(xiàn)模2021年12月24日64v開腔模式的多樣性v激光空間相干行的理解 在開腔中，正是由于衍射的作用，使非相干的自發(fā)輻射發(fā)展成空間相干性極好的激光光學(xué)諧振腔的衍射理論-自再現(xiàn)模2021年12月24日65光學(xué)諧振腔的衍射理論開腔中的自再現(xiàn)模菲涅耳基爾霍夫衍射理論自再現(xiàn)模滿足的積分方程平行平面腔的自再現(xiàn)模共焦腔的模式理論一般穩(wěn)定性球面腔的模式理論2021年12月24日66菲涅耳基

24、爾霍夫衍射理論 惠更斯菲涅耳衍射原理光學(xué)諧振腔的衍射理論2021年12月24日67 空間曲面上光波場的振幅和相位分布函數(shù)為 ，所要考察的空間任意一點(diǎn) 所產(chǎn)生的場為 ， ),(yxu),(yxP),(yxu源點(diǎn) 與觀察點(diǎn) 之間連線的長度；),(yx),(yx面 上點(diǎn) 處的法線與上述連線的夾角；),(yxS面 上點(diǎn) 處的面積元；Ssd ),(yx波矢的模。/2ksdikyxuikyxus)cos1()exp(,4),(則有 ：v菲涅耳基爾霍夫衍射理論光學(xué)諧振腔的衍射理論2021年12月24日68自再現(xiàn)模滿足的積分方程 將上述公式應(yīng)用到開腔的兩個(gè)鏡面上的場，則有sdikyxuikyxus)cos1(

25、)exp(,4),(12光學(xué)諧振腔的衍射理論- 2021年12月24日69sdikyxuikyxusqq)cos1()exp(,4),(1經(jīng)過q 次渡越后所形成的場 與產(chǎn)生它的場 之間滿足類似的迭代關(guān)系：1ququ我們考慮對稱腔鏡的情況。當(dāng)足夠 大時(shí)， 、 滿足如下關(guān)系：q1ququqquu1sdikyxuikyxusqq)cos1()exp(,4),(故：用 表示開腔中不受衍射影響的穩(wěn)態(tài)場分布函數(shù)，則有：yx , sdyxyxyxKyxs,),(自再現(xiàn)模滿足的積分方程光學(xué)諧振腔的衍射理論- 2021年12月24日70 yxyxikLiyxyxikLikyxyxKsdyxyxyxKyxs,ex

26、p,exp2,),()cos1(),(),(exp4,yxyxyxyxikikyxyxK其中：取 ：/)cos1(L/2iqqqeueuu1則：:光在單程渡越過程中自再現(xiàn)模的衰減ie令： 越大，衰減越大；當(dāng) 0時(shí)，表示自再現(xiàn)模在腔內(nèi)無損耗的傳播； ：光經(jīng)過一次渡越的相位滯后， 越大，相位滯后越多；光學(xué)諧振腔的衍射理論- 2021年12月24日71v積分方程解的物理意義積分方程解的物理意義qquuargarg1 單程總相移 積分方程的解包括本征函數(shù)與本征值兩部分，它們決定了開腔自再現(xiàn)模的全部特性：qquu1qquuargargarg1arg222121qqquuu 單程總損耗 諧振條件：qarg

27、本征值：自再現(xiàn)模在傳輸過程中的模的衰減、相移和頻率特性。本征函數(shù)：給出了自再現(xiàn)模在鏡面上的振幅與相位分布；光學(xué)諧振腔的衍射理論- 2021年12月24日72 在對稱開腔中，單程總相移除包括幾何相移外kL外，還有單程附加相移，即：復(fù)常數(shù)的模量度自再現(xiàn)模的單程損耗；它的輻角量度自再現(xiàn)模的單程相移，從而決定了模諧振頻率：kL因此有：kLargcnk2mnmnqLcLqc22 :附加相移滯后:附加相移超前00光學(xué)諧振腔的衍射理論- 2021年12月24日73v激光器諧振腔的概念 nLc23）相鄰兩縱模的頻率差等于基縱模頻率：1）縱模描述了沿諧振腔內(nèi)沿軸向的電磁場的分布2）基縱模的頻率為： q階縱模的頻

28、率為： q階縱模的頻率為基縱模的頻率的m倍nLcqq2nLc21v 激光縱模模式光學(xué)諧振腔小結(jié)2021年12月24日74iiRLg 11021ggv激光橫模模式1）激光橫模為光在垂直與光軸的橫截面內(nèi)的分布2）基橫模為高斯分布3）基橫模具有最小的發(fā)散角4）基橫模較其他所有的模式具有最好的空間相干性v諧振腔的穩(wěn)定性判別1）諧振腔的穩(wěn)定性由諧振腔的幾何參數(shù) 決定：ig2）穩(wěn)定條件：光學(xué)諧振腔小結(jié)2021年12月24日75v光學(xué)開腔的損耗1）幾何偏折損耗2）衍射損耗3）腔鏡不完全反射損耗4）材料中非激活吸收、散射，以及腔內(nèi)插入物引起 的損耗v諧振腔的衍射理論1）利用孔闌傳輸線的模型對開腔中穩(wěn)定電磁場分

29、布的形成過程進(jìn)行了說明；光學(xué)諧振腔小結(jié)2021年12月24日765）積分方程的解包括本征函數(shù)與本征值兩部分，它們決定了開腔自再現(xiàn)模的全部特性 sdyxyxyxKyxs,),()cos1(),(),(exp4,yxyxyxyxikikyxyxK4）自再現(xiàn)積分方程：sdikyxuikyxusqq)cos1()exp(,4),(12）利用菲涅耳基爾霍夫衍射積分建立了表征衍射的方程式：)()(1iqqqeueuu3）穩(wěn)定電磁場的自再現(xiàn)：一次渡越后的場 應(yīng)能將 再現(xiàn)出來：1ququ光學(xué)諧振腔小結(jié)2021年12月24日77光學(xué)諧振腔的衍射理論開腔中的自再現(xiàn)模菲涅耳基爾霍夫衍射理論自再現(xiàn)模滿足的積分方程平行

30、平面腔的自再現(xiàn)模共焦腔的模式理論一般穩(wěn)定性球面腔的模式理論2021年12月24日78 平行平面腔的自再現(xiàn)模v矩形與條形鏡平行平面腔矩形鏡平面腔光學(xué)諧振腔的衍射理論-2021年12月24日79LyyLxxLLyyLxxLyxyx2)(2)(1),(2222222Lyyxx對矩形平面腔，在圖示的坐標(biāo)系中，有：將上式展開，當(dāng) ,并忽略高次項(xiàng):2222)(,)(bLLbaLLav矩形與條形鏡平行平面腔的自再現(xiàn)模光學(xué)諧振腔的衍射理論-2021年12月24日80我們重新寫出自再現(xiàn)模的積分方程： yxyxikLiyxyxKsdyxyxyxKyxs,exp,),(2)(2)(exp)exp(,exp,22Ly

31、yLxxikikLLiyxyxikLiyxyxK其中，積分方程的核為：這樣，平行平面腔的自再現(xiàn)模的積分方程可以簡化為 ：ydxdLyyLxxikyxikLLiyxaabb 22exp,exp),(22光學(xué)諧振腔的衍射理論-2021年12月24日81 aaxxxdxxxKx, bbyyydyyyKy,yx因此有 ：)()(,yxyx上述方程是可以分離的，令： x表示在x方向?qū)挾葹?a而沿y方向無限延伸的條形鏡平面腔的自再現(xiàn)模； y表示在y方向?qū)挾葹?b而沿x方向無限延伸的條形鏡平面腔的自再現(xiàn)模；22)(expexp,LxxikikLLixxK22)(expexp,LyyikikLLiyyK并且有

32、：光學(xué)諧振腔的衍射理論-2021年12月24日82用 和 分別表示他們的第m和第n個(gè)解， 表示相應(yīng)的復(fù)常數(shù)，則有： xm ynnm, bbnynnydyyyKy, aamxmmxdxxxKx,本征值本征函數(shù)在整個(gè)鏡面上的自再現(xiàn)場分布函數(shù)為： yxyxnmmn,nmmn復(fù)常數(shù)為mn ：光學(xué)諧振腔的衍射理論-2021年12月24日83v圓形鏡平面腔平行平面腔的自再現(xiàn)模圓形鏡平面腔平行平面腔的自再現(xiàn)模對圓形平面腔，在圖示的極坐標(biāo)系中，有：)cos(2),(222rrrrLrr)cos(221),(22rrrrLLrr將上式展開，當(dāng) ,并忽略高次項(xiàng),可以得到:aLaLLa,)(22光學(xué)諧振腔的衍射理論

33、-2021年12月24日84將上式代入自再現(xiàn)模積分方程，有： )cos(2expexp,),(22020LrrLrrikikLLirrKdrdrrrrKra)exp()(),(imrRrmnmn對上述積分方程進(jìn)行分離變量，令：可以證明所滿足的積分方程為：)(rRmnrrLrrikLrrkJikLLkirrKrdrrRrrKrrRmmmmnmmnmn)2exp()(exp,)(221為第m階貝塞爾函數(shù)mJ光學(xué)諧振腔的衍射理論-2021年12月24日85v 平行平面腔的迭代解法平行平面腔的迭代解法 （3）如此反復(fù)運(yùn)算多次后，觀察是否形成穩(wěn)態(tài)場分布； （1）假設(shè)在某一鏡面上存在一個(gè)初始場分布 ，將它

34、代入 迭代公式，計(jì)算在腔內(nèi)經(jīng)第一次渡越而在第二個(gè)鏡面 上生成的場 ；0u1u（2）利用1所得到 的代入迭代公式，計(jì)算在腔內(nèi)經(jīng)第二次 渡越而在第一個(gè)鏡上生成的場 ；1u2u諧振腔的迭代解法的思路：)(1SqqsdKuu諧振腔內(nèi)描述場渡越的迭代公式，表示為：光學(xué)諧振腔的衍射理論-2021年12月24日86.121qqqquuuu 0u如何選取初始入射波分布函數(shù) :10u 若?。壕鶆蚱矫娌?基模TEM0； 一階模TEM110, 10, 10 xaaxu即當(dāng) 足夠大時(shí)，由數(shù)值計(jì)算得出的 是否滿足下述關(guān)系：qqu光學(xué)諧振腔的衍射理論-2021年12月24日87平行平面腔的迭代解法平行平面腔的迭代解法流程

35、圖流程圖光學(xué)諧振腔的衍射理論-2021年12月24日88 例：鏡面寬度為2a，腔長為L的對稱條形狀腔。 并且： 分析腔中的自再現(xiàn)模的形成過程。25.6,100,252LaFLa aaxdxuLxxikikLLixu)(2expexp122 aaxdxuLxxikikLLixu)(2expexp223解：由條形狀腔的迭代公式，可以得到：10u 取均勻平面波作為第一個(gè)鏡面上的初始波，即：1maxiu將計(jì)算結(jié)果進(jìn)行歸一化處理，即?。汗鈱W(xué)諧振腔的衍射理論-2021年12月24日89由初始場分布出發(fā)，經(jīng)第一次及第300次渡越后，可以得到腔內(nèi)場的振幅與相位的分布圖：振幅分布相位分布光學(xué)諧振腔的衍射理論-2

36、021年12月24日90v平行平面腔基橫模穩(wěn)態(tài)場分布特點(diǎn)：相位的分布發(fā)生了變化，鏡面已經(jīng)不是等相位面了，因此嚴(yán)格說，TEM00已不再是均勻平面波了； 在鏡面中心處的振幅最大，從中心到鏡面邊緣振幅逐漸降落。 在整個(gè)鏡面上場的分布具有有偶對稱性。v諧振頻率計(jì)算表明，對于條形平行平面腔，諧振頻率主要取決于縱模頻率：Lqcvq2v單程相移單程相移與菲涅耳有關(guān)，同一橫模，F(xiàn)越大，單程相移越小；F相同時(shí)，基模的單程相移最小，橫模階數(shù)越高，單程相移越大；v 單程衍射損耗單程衍射損耗與菲涅耳有關(guān)，同一橫模，F(xiàn)越大，單程衍射損耗越??；F相同時(shí)，基模的單程衍射損耗最小，橫模階數(shù)越高，單程衍射損耗越大；光學(xué)諧振腔的

37、衍射理論-2021年12月24日91光學(xué)諧振腔的衍射理論開腔中的自再現(xiàn)模菲涅耳基爾霍夫衍射理論自再現(xiàn)模滿足的積分方程平行平面腔的自再現(xiàn)模共焦腔的模式理論一般穩(wěn)定性球面腔的模式理論2021年12月24日92共焦腔的模式理論方形鏡對稱共焦腔的自再現(xiàn)模方形鏡對稱共焦腔的行波場圓形鏡對稱共焦腔自再現(xiàn)模圓形鏡對稱共焦腔的行波場一般穩(wěn)定球面腔2021年12月24日93方形鏡對稱共焦腔的自再現(xiàn)模方形孔徑對稱共焦腔 LRR21共焦腔的模式理論-2021年12月24日94v方形鏡對稱共焦腔的自再現(xiàn)模的積分方程方形鏡對稱共焦腔的自再現(xiàn)模的積分方程22112121),(QPPQQQPPyxyx由圖示，可知： 我們知

38、道：由球面鏡的幾何關(guān)系，可以得到：RyxPPPQ222111RyxPPQP222222 及共焦腔的模式理論-LyyLxxLQQ2)(2)(22212021年12月24日95 方形鏡對稱共焦腔自再現(xiàn)模積分方程 aaaamnmnmnydxdLyyxxikyxikLLiyxexp,exp,可以得到： yxyxikLiyxyxKsdyxyxyxKyxs,exp,),( 將上式代入積分方程：共焦腔的模式理論-則有：)(1222)(2)(),(222222yyxxLLRyxRyxLyyLxxLyxyx2021年12月24日96v方形鏡對稱共焦腔自再現(xiàn)模積分方程的求解方形鏡對稱共焦腔自再現(xiàn)模積分方程的求解進(jìn)

39、行如下變換：FLaLkacyacYxacX22,22ccccnmnmnmYdYiYYGXdXiXXFikLiYGXFexpexp2exp則積分方程轉(zhuǎn)化為可分離變量的積分方程：YGXFyxnmmn),(令：求解上述方程的問題等價(jià)于如下兩個(gè)方程的求解問題：ccmmmXdXiXXFikLiXFexp2exp2/1ccnnnYdYiYYGikLiYGexp2exp2/1共焦腔的模式理論-2021年12月24日97,.2,1 ,0,/,/,),(nmcYcScXcSYGXFyxvonomnmmn在c為有限值時(shí)，自再現(xiàn)模積分方程的本征函數(shù)為:上式中：axcScXcSomom,/,aycScYcSonon,

40、/,角向長橢球函數(shù) ikLinmnmexp與 相應(yīng)的本征值為：yxmn,.2, 1 ,0,1 ,/2)1(mcRicommm,.2, 1 ,0,1 ,/2)1(ncRiconnn式中：共焦腔的模式理論-2021年12月24日982exp),(2XXHCcXcSXFmmomm2exp),(2YYHCcYcSYGnnonn可以證明，在 時(shí)：ayax, 式中 、 :為常系數(shù)； :為 m 階厄米多項(xiàng)式 mCnCXHm)1 ,()1 ,(2)1()1(2)1(cRcReconomnmkLinm 徑向長橢球函數(shù)厄米多項(xiàng)式 :022222!2!1expexp1mkkmkmmmmXkmkmXdXdXXH共焦腔

41、的模式理論-2021年12月24日991)(0XHXXH2)(124)(22XXHXXXH128)(33124816)(244XXXH厄米多項(xiàng)式具有如下的性質(zhì)： 有m個(gè)實(shí)數(shù)根最初幾階厄米多項(xiàng)式：0)(xHm當(dāng)c1時(shí)，將X,Y換回鏡面上的直角坐標(biāo)系x,y，得到本征函數(shù)：/exp2221exp,22222LyxyLHxLHCyxacyacHxacHCyxnmmnnmmnmn2)1(expnmkLimn本征值的近似解：厄米多項(xiàng)式的零點(diǎn)決定了鏡面上場分布圖的過零點(diǎn)得位置，高斯函數(shù)決定了自再現(xiàn)模的分布的外形輪廓共焦腔的模式理論-2021年12月24日100v鏡面上場的振幅鏡面上場的振幅基?；；Ｕ穹?/p>

42、大值的1/e處Lws0基模在鏡面上的光斑半徑 ：sw0LyxCyx220000exp,0 nm當(dāng) ，得出共焦腔基模（TEM00）的場的分布函數(shù)：半功率點(diǎn)的光斑半徑：sswLw005889.022ln)0,0(21,00IyxI2022swyx基模強(qiáng)度最大值1/2處共焦腔的模式理論-2021年12月24日101 高斯分布與光斑半徑v鏡面上場的振幅基模共焦腔的模式理論-2021年12月24日102v鏡面上場的振幅鏡面上場的振幅高階橫模高階橫模利用基模光斑半徑，本征函數(shù)的解可以寫為：ssnsmmnmnwyxywHxwHCyx022200exp22,202210202201010expexp22,ss

43、swyxxCwyxxwCyx202201202200101expexp22,ssswyxyCwyxxwCyx20220222020220222020exp4exp224,sssswyxwxCwyxwxCyx2022112022021111expexp24,ssswyxxyCwyxxywCyx因此，最初幾個(gè)橫模的振幅分布函數(shù)為：共焦腔的模式理論-2021年12月24日103高階橫模光斑半徑須按沿不同坐標(biāo)來計(jì)算，可以證明，沿x,y方向的光斑半徑分別為：snssmswnwwmw001212 ,.2, 1 ,0,/,/,),(nmcYcScXcSYGXFyxvonomnmmn自再現(xiàn)模 的輻角決定了鏡面

44、上場的相位分布：yxmn,無論對基?；蛘吒唠A模式，共焦腔反射鏡本身構(gòu)成一個(gè)等相位面共焦腔的模式理論-2021年12月24日104v單程損耗單程損耗 單程功率損耗2211nmnmmnF94.400109.10共焦腔基模單程功率損耗經(jīng)驗(yàn)公式：例： HeNe激光器采用共焦腔，L=30cm,a=0.2cm,振蕩波長0.6328微米；分析其損耗特性。%200而同一菲涅耳數(shù)的圓形平面鏡腔基模的損耗：2.250010因此：267.5)106328.030(1.0422LaF菲涅耳數(shù)：共焦腔的模式理論-2021年12月24日105v單程損耗單程損耗 方形鏡共焦腔的單程功率損耗共焦腔的模式理論-2021年12月

45、24日106結(jié)論：1.損耗隨著菲涅耳系數(shù)F的增大而迅速減小2.菲涅耳系數(shù)相同時(shí)，不同橫模的損耗不同，模的階次越高，損耗越大；3.共焦腔模的損耗要小于平面腔模的損耗，這是因?yàn)楣步骨粚馐鴷圩饔玫慕Y(jié)果。4.自再現(xiàn)模的衍射損耗小于均勻平面波的衍射損耗，因?yàn)樽栽佻F(xiàn)模的形成過程反應(yīng)了衍射損耗的影響，從而使得邊緣部分強(qiáng)度變小，衍射損耗的作用變小。 v單程損耗單程損耗共焦腔的模式理論-2021年12月24日107v單程相移和諧振頻率單程相移和諧振頻率 22q由諧振條件:1212nmqLcmnq可以得出各階模的諧振頻率為 ：Lcq2同一橫模的相鄰兩縱模之間的頻率間隔為：qnqm21,21q一定時(shí)，m,n改變

46、，頻率間隔為：TEMmn模在腔內(nèi)一次渡越的總相移為：nmmnarg2)1(nmkLmn)1 ,()1 ,(2)1()1(2)1(cRcReconomnmkLinm附加相移共焦腔的模式理論-2021年12月24日108共焦腔的振蕩頻譜共焦腔的模式理論-2021年12月24日109方形鏡共焦腔方形鏡共焦腔強(qiáng)度花樣強(qiáng)度花樣共焦腔的模式理論-2021年12月24日110方形鏡共焦腔方形鏡共焦腔振幅分布振幅分布-2-1012-2-101200.20.40.60.81-2-1012 TEM00 TEM11-2-1012-2-1012-0.2-0.100.10.2-2-1012共焦腔的模式理論-2021年1

47、2月24日111v共焦腔與平行平面腔之不同共焦腔與平行平面腔之不同1 鏡面上基模場的分布 平行平面腔基模在分布在整個(gè)鏡面上，呈偶對稱性分布，鏡面中心處振幅最大，向鏡邊緣振幅逐漸降低； 共焦腔基模在鏡面上的分布在厄米-高斯近似下，與鏡的橫向幾何尺寸無關(guān)，僅由腔長決定；一般共焦腔模集中在鏡面中心附近； 2 相位分布平行平面腔的反射鏡不是等相面；而共焦腔的反射鏡為等相面3 單程損耗平行平面腔衍射損耗遠(yuǎn)高于共焦腔的衍射損耗4 單程相移與諧振頻率 平行平面腔中橫模階次m、n的變化引起的頻率改變遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于縱模階次q的改變對諧振頻率的改變； 在共焦腔中， m、n的變化或q的改變對諧振頻率的影響具有相同的數(shù)量級

48、； 共焦腔的模式理論-2021年12月24日112共焦腔的模式理論方形鏡對稱共焦腔的自再現(xiàn)模方形鏡對稱共焦腔的行波場圓形鏡對稱共焦腔自再現(xiàn)模圓形鏡對稱共焦腔的行波場一般穩(wěn)定球面腔2021年12月24日113方形鏡共焦腔的行波場 坐標(biāo)原點(diǎn)選在腔軸線的中心 zyxizwyxyzwHxzwHzwwEAzyxEnmmnmn,exp)(exp)(2)(2)(,22200 fztgnmzRyxkkzzyxfzwfzwfzLzws12220202)1()(2,11212其中：式中： ：共焦腔的腔長 ：鏡的焦距 L2/Lf共焦腔場的解析式：共焦腔的模式理論-2021年12月24日1141 ：振幅衰減因子)(0

49、zww2 ：行波場橫向振幅分布因子)(exp)(2)(222zwryzwHxzwHnmfztgnmzRyxkkzzyx122)1()(2,3 ：位相因子zyxi,expvTEMmn模在腔內(nèi)任意點(diǎn)(x,y,z) 處的電場強(qiáng)度：zyxizwyxyzwHxzwHzwwEAzyxEnmmnmn,exp)(exp)(2)(2)(,22200傳播因子位相彎曲因子附加相移因子共焦腔的模式理論-2021年12月24日115v振幅分布和光斑尺寸振幅分布和光斑尺寸 在z=0處有最小值 共焦場的振幅分布為：)(exp)(2)(2)(,22200zwyxyzwHxzwHzwwEAzyxEnmmnmnzwyxzwwEA

50、zyxE222000000exp,對基模： 2020112fzwfzwzws基模光斑尺寸 ：Lwfwzws0在共焦鏡面上： fww00基模高斯光束的束腰半徑 ：共焦腔的模式理論-2021年12月24日116共焦腔中，基模光斑隨著坐標(biāo)按雙曲線規(guī)律變化： 122202fzwzw共焦腔基模高斯光束腰斑半徑002 wws共焦腔的模式理論-2021年12月24日117v模體積模體積2)12)(12(21222LnmwwLVnsmsmn高階模模體積通常用下式估算：220002121LwLVs基模模體積通常用下式估算：共焦腔的模式理論-2021年12月24日118v等相位面的分布等相位面的分布 拋物面方程)

51、(2)(2022220zRyxzRyxzz忽略附加相移因子， z0點(diǎn)的等相位面方程為：)(210zRf 拋物面焦距：可以證明，在近軸情況下，共焦場的在z0處的等相位面近似為球面，其曲率半徑為：)()(000zffzfzR0,0,0,zzyx與腔的軸線交于z0點(diǎn)的等相位面方程可以寫成：共焦腔的模式理論-2021年12月24日119共焦腔的反射鏡面是兩個(gè)等相位面，且曲率半徑最小一般情況下，共焦腔的等相面凹面向著腔的中心的球面 腔中點(diǎn)或距腔中點(diǎn)無限遠(yuǎn)處，等相面為平面)0(R)0(R當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，0zzLzR)(0當(dāng) 時(shí)，fz0)(2220zRyxzz當(dāng) 時(shí)， 0z0)(zR當(dāng) 時(shí)，0)(zR0z)

52、()(zffzfzR由：00z00 zz0)(0zR00z00 zz0)(0zR共焦腔的模式理論-2021年12月24日120v 共焦腔等相位面的一個(gè)重要的性質(zhì)： 若在等相位面處放置一個(gè)具有相應(yīng)曲率的反射鏡片，不影響共焦腔的場分布。 共焦場等相面的分布 共焦腔的模式理論-2021年12月24日121v遠(yuǎn)場發(fā)散角遠(yuǎn)場發(fā)散角 某共焦腔二氧化碳激光器， L=1m, m6.10rad3102.5 fwzfzwzzwzz22)(12lim2lim020基模遠(yuǎn)場發(fā)散角：雙曲線兩根漸近線之間的夾角：radf3103.22例：某共焦腔氦氖激光器，L=30cm, m638.0共焦腔的模式理論-2021年12月2

53、4日122不同的腰半徑的激光光束的遠(yuǎn)場發(fā)散角對比圖共焦腔的模式理論-2021年12月24日123共焦腔的模式理論方形鏡對稱共焦腔的自再現(xiàn)模方形鏡對稱共焦腔的行波場圓形鏡對稱共焦腔自再現(xiàn)模圓形鏡對稱共焦腔的行波場一般穩(wěn)定球面腔2021年12月24日124圓形鏡對稱共焦腔v圓形鏡對稱共焦腔自再現(xiàn)模積分方程mwrwrLwrcrussmnmsmnmncos)exp()2()2(),(2022020Lws0),(r：為鏡面上的極坐標(biāo)，并且)(mnL：拉蓋爾多項(xiàng)式1)(0mLmLm1)(1)2(2)2)(1(21)(22mmmLm可以證明，當(dāng)時(shí)，圓形鏡共焦腔積分方程的本征函數(shù)的近似解：N共焦腔的模式理論-

54、2021年12月24日1252)1(expnmkLimn本征值的近似解：v鏡面上對基模及高階模的場振幅分布：2020000),(swrecrucos2),(20201010swrsrewcru202)21(),(020101swrsewrcrucos)1(22),(20220201111swrssewrrwcru共焦腔的模式理論-2021年12月24日126v模的振幅和相位分布模的振幅和相位分布 鏡面上，基模振幅分布是高斯型的，在鏡面中心處（r=0） 處，振幅最大。對于高階模，在沿輻角方向有節(jié)線，數(shù)目為m；沿半徑方向有節(jié)圓，節(jié)圓數(shù)為n；m、n增加，模的光斑半徑增大，并且隨著n的增大光斑半徑的增

55、大來的更快；mnTEM基模在鏡面上的光斑半徑：Lws0圓形共焦鏡面本身也是等相位面。高階模的光斑半徑：振幅降低至最外面的極大值的1/e處的點(diǎn)與鏡面中心的距離；共焦腔的模式理論-2021年12月24日127v單程相移和諧振頻率單程相移和諧振頻率 12212nmqLcmnq圓形鏡共焦腔模的諧振頻率為 :Lcqmnqnqmm4211Lcqmnqqmnn21Lcmnqmnqq212)12(argnmkLmn自再現(xiàn)模在腔內(nèi)一次渡越的總相移為 :共焦腔的模式理論-2021年12月24日128v單程衍射損耗單程衍射損耗 圓形鏡共焦腔的行波場分布與方形鏡完全類似 v圓形鏡共焦腔的行波場 3 基模的損耗高階模的

56、損耗，模階次越高，損耗越大；2 方形鏡共焦腔損耗圓形鏡共焦腔損耗平面腔損耗平面波損耗；1 所有模式的損耗隨F值的增大而急劇減??；共焦腔的模式理論-2021年12月24日129圓形鏡共焦腔橫截面場強(qiáng)度圓形鏡共焦腔橫截面場強(qiáng)度分布（分布（1）-2-1012x-2-1012y00.20.40.60.81-2-1012yTEM00-2-1012x-2-1012y00.20.40.60.81-2-1012yTEM01共焦腔的模式理論-2021年12月24日130圓形鏡共焦腔橫截面場強(qiáng)度分布（2）-2-1012x-2-1012y00.20.40.60.81-2-1012yTEM02-2-1012x-2-1

57、012y00.20.40.60.81-2-1012yTEM10共焦腔的模式理論-2021年12月24日131共焦腔的模式理論方形鏡對稱共焦腔的自再現(xiàn)模方形鏡對稱共焦腔的行波場圓形鏡對稱共焦腔自再現(xiàn)模圓形鏡對稱共焦腔的行波場一般穩(wěn)定球面腔2021年12月24日132一般穩(wěn)定球面腔 共焦腔與穩(wěn)定球面腔的等價(jià)性 v一般穩(wěn)定球面腔與共焦腔的等價(jià)性 共焦腔的模式理論-2021年12月24日133v任一共焦腔與無窮多個(gè)穩(wěn)定球面腔等價(jià)任一共焦腔與無窮多個(gè)穩(wěn)定球面腔等價(jià) 根據(jù)曲率半徑R的符號規(guī)定：曲面凸向z軸正向?yàn)檎?，在放置在c1、c2處的反射鏡，則有：122222212111,)(,)(zzLzfzzRRz

58、fzzRR即放置在c1、c2處的反射鏡構(gòu)成穩(wěn)定腔221212111fzzzfRLg222212221fzzzfRLg1021gg對腔進(jìn)行穩(wěn)定性判斷：共焦腔的模式理論-2021年12月24日134v任一穩(wěn)定的球面腔唯一地等價(jià)于某一共焦腔任一穩(wěn)定的球面腔唯一地等價(jià)于某一共焦腔 1222221211,zzLzfzRzfzR穩(wěn)定球面腔和它的等價(jià)共焦腔 我們需要確定共焦腔的焦距及共焦腔的中心位置。 以共焦腔的中心o點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則同樣有 ：假設(shè)實(shí)際穩(wěn)定腔的參數(shù)為 ，其對應(yīng)的共焦腔已知。LRR,21共焦腔的模式理論-2021年12月24日135由上述方程聯(lián)立可以求解：2212121221122121222

59、RRLLRRLRLRLfRRLLRLzRRLLRLz02f任一穩(wěn)定的球面腔唯一地等價(jià)于某一共焦腔可以證明，當(dāng) 滿足穩(wěn)定腔條件時(shí)，有LRR,21共焦腔的模式理論-2021年12月24日136v一般穩(wěn)定球面腔鏡面上基模的光斑尺寸一般穩(wěn)定球面腔鏡面上基模的光斑尺寸412112211)()(LRRLRLLRRLws412121222)()(LRRLRLLRRLws將求得的焦距f代入上式可以得到一般穩(wěn)定球腔（ ）行波場的基模光斑尺寸的分布，從而得到：鏡面上基模的光斑尺寸LRR,212020112fzwfzwzws共焦腔中基模的光斑尺寸：共焦腔的模式理論-2021年12月24日137上式還可以用腔的g參數(shù)表示：41211201)1(ggggwwss41212102)1(ggggwwssLws0其中：v諧振頻率諧振頻率 qzzzyxmnmnmn2,0,0,0,02,212將f 、z1、z2代入上式，并由諧振條件：fztgnmzRyxkkzzyxmn122)1()(2,共焦鏡的相位函數(shù)：fztgfztgnmqLcmnq2111(1212對于方形一般穩(wěn)定球面腔，可以得到諧振頻率：共焦腔的模式理論-2021年12月24日138211211cos1212)1)(1(cos1212ggnmqLcRLRLnmq