D113一階線性ppt課件

1、一階線性微分方程 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 第三節(jié) 第十一章 一、一階線性微分方程一、一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:(1) )()(ddxqyxpxy 假設(shè) q(x) 0, 假設(shè) q(x) 0, 稱為非齊次線性方程稱為非齊次線性方程 .稱為齊次線性方程稱為齊次線性方程 ;機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 0)(ddyxpxy1. 解齊次線性方程解齊次線性方程分離變量xxpyyd)(d兩邊積分得Cxxpylnd)(ln 故通解為xxpeCyd)(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 .)()(dxxpxveey即2. 解非齊次線性方程解非齊次線性方程).()(xqyxpdx

2、dy討論討論,)()(dxxpyxqydy兩邊積分兩邊積分,)()(ln dxxpdxyxqy),()(xvdxyxq為設(shè),)()(ln dxxpxvy非齊次方程通解形式非齊次方程通解形式與對應(yīng)齊次方程通解相比與對應(yīng)齊次方程通解相比: :)(xuC )(xudxxpCey)(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 xxpeuxpd)()(對應(yīng)齊次方程通解xxpeCyd)(對應(yīng)齊次對應(yīng)齊次方程通解方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解xxpCed)(2. 解非齊次方程解非齊次方程)()(ddxqyxpxy用常數(shù)變易法用常數(shù)變易法:,)()(d)(xxpexuxy那么xxpeud)()(xpxxpeud

3、)()(xq故原方程的通解xexqexxpxxpd)(d)(d)(d)(d)(d)(Cxexqeyxxpxxpy或即作變換xxpexqxud)()(ddCxexquxxpd)(d)(兩端積分得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 常數(shù)變易法常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法. .實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì): : 未知函數(shù)的變量代換未知函數(shù)的變量代換. .)()(xyxu原未知函數(shù)新未知函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 1dexxy1dindsexxxCxx( )d( )de( )edp xxp xxyq xxClnlnsineedxxxxCx1(

4、cos)xCxCxxxdsin1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例2. 解方程解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解先解,012ddxyxy即1d2dxxyy積分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常數(shù)變易法求特解用常數(shù)變易法求特解. 令令,) 1()(2xxuy那么) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齊次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解為Cxxy232) 1(32) 1(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 d()()deedyyyxyC11 eedyyyyCe1yCy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例4. 4. 求微分方程

5、求微分方程 的通解的通解. .)0( 0)(3ydyyxydx對于未知函數(shù)對于未知函數(shù)x ( y 為自變量為自變量)來說，所給方程就是一來說，所給方程就是一階線性非齊次方程，對未知函數(shù)階線性非齊次方程，對未知函數(shù) x 的一階線性非齊次的一階線性非齊次方程方程0dd3yyxyx) 1 ( ,1dd 2yxyyx即對于未知函數(shù)對于未知函數(shù) y，它不是線性方程，但是方程可，它不是線性方程，但是方程可改寫為改寫為解解: 原方程可寫為原方程可寫為0dd3yxyxy的通解公式為的通解公式為 )()(ddyqxypyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 de)(ed)(d)(Cyyqxyypyyp 方程方程

6、(1)中，中， 代入上式，即得所代入上式，即得所求上述方程的通解為求上述方程的通解為2)(,1)( yyqyyp Cyyxyyyydeed2d11)de(eln2lnCyyyy)d(12Cyyyy).4(14Cyy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例5.求下列微分方程滿足所給初始條件的特解求下列微分方程滿足所給初始條件的特解: :解解: :于是于是, 0)ln(ln dxxyxdyx. 1 exy將方程標(biāo)準(zhǔn)化為將方程標(biāo)準(zhǔn)化為,1ln1xyxxy Cdxexeyxxdxxxdxlnln1 Cdxexexxlnlnlnln1.ln21ln12 Cxx故所求特解為故所求特解為由初始條件由初始條件

7、, 1 exy得得,21 C.ln1ln21 xxy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ddvmmgkvtddvkvgtm機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ddeedkkttmmvCgtektmmgCk機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 0( )(0)1edkttmmgx txtk1ektmmgmtkk機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二、伯努利二、伯努利( Bernoulli )方程方程機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:)1,0()()(ddyxqyxpxyy以)()(dd1xqyxpxyy令,1 yzxyyxzdd)1 (dd則)()1 ()()1 (ddxqz

8、xpxz求出此方程通解后,除方程兩邊 , 得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法解法:(線性方程線性方程)伯努利 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例7. 求方程求方程2)ln(ddyxaxyxy的通解.解解: 令令,1 yz則方程變形為xaxzxzlndd其通解為ez 將1 yz1)ln(22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cxd2)ln(2xaCx代入, 得原方程通解: 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例8. 8. 求解微分方程求解微分方程2222xxexyyy 解：解：1221 yxexyyx,)(211yyz 令,dxdyydxdz2 則,22xxexzdxdz 222Cd

9、xexeezxdxxxdx 所求通解為所求通解為).2(222Cxeyx 原方程變形為).(Cxex 222機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 一階線性方程)()(ddxqyxpxy方法1 先解對應(yīng)的齊次方程 , 再用常數(shù)變易法.方法2 用通解公式 Cxexqeyxxpxxp d)(d)(d)(,1 yu令化為線性方程求解.2. 伯努利方程yxqyxpxy)()(dd)1,0(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.判別下列方程類型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yx

10、yxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分離 變量方程xyxyxylndd齊次方程齊次方程221dd2xyxxy線性方程線性方程221dd2yxyyx線性方程線性方程2sin2ddyxxyxxy伯努利伯努利方程方程機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2. 求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù))(xf使其滿足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0提示提示:令txuuufxxfxd)(sin)(0則有xxfxfcos)()(0)0(f利用公式可求出)sin(cos21)(xexxxf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 3. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf可微且滿足關(guān)系式可微且滿

11、足關(guān)系式 xxfdttf0, 1)(1)(2求求).(xf解解: : 原方程兩邊對原方程兩邊對x求導(dǎo)得求導(dǎo)得),()(xfxf 12即即,)()(12 xfxf其通解為其通解為,)(xCexf221 代入初始條件代入初始條件, 1)0( f得得,21 C從而所求的函數(shù)為從而所求的函數(shù)為).1(21)(2xexf 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 4. 設(shè)有微分方程設(shè)有微分方程, )(xfyy其中)(xf10,2 x1,0 x試求此方程滿足初始條件00 xy的連續(xù)解.解解: 1) 先解定解問題先解定解問題10, 2xyy00 xy利用通解公式, 得xeyd1dd2Cxex)2(1CeexxxeC12利用00 xy得21C故有) 10(22xeyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2) 再解定解問題1,0 xyy1122) 1 (eyyx此齊次線性方程的通解為) 1(2xeCyx利用銜接條件得) 1(22eC因此有) 1() 1(2xeeyx3) 原問題的解為y10),1 (2xex1,) 1(2xeex機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 P439 1 (1) , (3) , (5) ; 2 (1) ; 3 ; 5 (1) , (3) 作作 業(yè)業(yè)第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ( 雅各布第一 伯努利 ) 書中給出的