D3_6一階線性微分方程變量代換法ppt課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一階線性微分方程 第六節(jié)(3)(4) 第三章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一階線性微分方程一、一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:)()(ddxQyxPxy假設(shè) Q(x) 0, 0)(ddyxPxy假設(shè) Q(x) 0, 稱為非齊次的 .1. 解齊次方程分離變量xxPyyd)(d兩邊積分得CxxPylnd)(ln故通解為xxPCyd)(e稱為齊次的 ;目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxPCyd)(e對應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解xxPCd)(e2. 解非齊次方程)()(ddxQyxPxy用常數(shù)變易法:,e)()()(xxPxuxyd那么xxP

2、ud)(e)(xPxxPud)(e)(xQ故原方程的通解xxQxxPxxPde)(ed)(d)(CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(y即即作變換xxPuxPd)(e)(xxPxQxud)(e)(ddCxxQuxxPde)(d)(兩端積分得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1 1 求方程求方程 dyyxdx的通解。的通解。解解 1先求齊次的通解0dyydxdydxy 2常數(shù)變易法 xyh x e設(shè)代入方程 xh xxe原方程的通解為1xyCex( )xh x ex有Cxye e ln yxC xyCe ( )xxyh x eh x eyx xxh xxeeC目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

3、例例2. 解方程解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解先解,012ddxyxy即1d2dxxyy積分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常數(shù)變易法求特解.,) 1()(2xxuy那么) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齊次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解為Cxxy232) 1(32) 1(令目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3 3 求方程求方程3()yx yy 的通解。分析：分析：21dxxydyy312xyCydxxdyy xh y y 212h yyC解解1齊次通解2常數(shù)變易法 2hy yy原方程的通解為3dyydxyx()xy把

4、看成因變量，把 看成自變量xCydxdyxylnlnlnxyC求滿足初值條件求滿足初值條件 的特解！的特解！0|1xy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、齊次微分方程二、齊次微分方程形如形如)(ddxyxy的方程叫做齊次微分方程的方程叫做齊次微分方程 .令令,xyu ,xuy 則代入原方程得代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d兩邊積分兩邊積分, 得得xxuuud)(d積分后再用積分后再用xy替代替代 u, 便得原方程的通解便得原方程的通解.解法解法:分離變量分離變量: 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 解微分方程解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu

5、令,uxuy則代入原方程得代入原方程得uuuxutan分離變量分離變量xxuuuddsincos兩邊積分兩邊積分xxuuuddsincos得得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解為故原方程的通解為xCxysin( 當(dāng)當(dāng) C = 0 時時, y = 0 也是方程的解也是方程的解)( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )0C此處此處目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 解微分方程解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解: :,2dd2xyxyxy方程變形為,xyu 令則有則有22uuuxu分離變量分離變量xxuuudd2積分得積分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代

6、回原變量得通解代回原變量得通解即即Cuux )1(yCxyx)(闡明闡明: 顯然顯然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解也是原方程的解, 但在但在(C 為任意常數(shù)為任意常數(shù))求解過程中丟失了求解過程中丟失了. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5 5 求解微分方程求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx解解，令令xyu ，則則udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu 微分方程的解為微分方程的解為.lnsinCxxy 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、伯努利三、伯努利 ( Bern

7、oulli )方程方程 伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd則)()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz求出此方程通解后求出此方程通解后,除方程兩邊除方程兩邊 , 得得換回原變量即得伯努利方程的通解換回原變量即得伯努利方程的通解.解法解法:(線性方程線性方程)伯努利伯努利 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 求方程求方程2)ln(ddyxaxyxy的通解.解解: 令令,1 yz則方程變形為xaxzxzlndd其通解為ez將1 yz1)ln(22xaCxy

8、xxd1exa)ln(xxd1Cxd2)ln(2xaCx代入, 得原方程通解: 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、其他可用變量代換法的方程四、其他可用變量代換法的方程 例例7. 求方程求方程cos()yxy的通解.例例8. 求解初值問題求解初值問題tancosdyxydxy0|4xy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 一階線性方程)()(ddxQyxPxy方法1 先解齊次方程 , 再用常數(shù)變易法.方法2 用通解公式CxxQyxxPxxPde)(e)()(dd,1 nyu令化為線性方程求解.2. 伯努利方程nyxQyxPxy)()(dd)1,0(n目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3

9、. 注意用變量代換將方程化為已知類型的方程例如, 解方程yxxy1ddyxyxdd, yxu, xuy1ddddxuxy法法1. 取取 y 作自變量作自變量: 線性方程 法法2. 作變換作變換 那么 代入原方程得 ,11dduxuuuxu1dd可分離變量方程目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)判別下列方程類型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分離 變量方程xyxyxylndd齊次方程221dd2xyxxy線性方程221dd2y

10、xyyx線性方程2ln2ddyxxyxxy伯努利方程目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0d2d3yyxyyxx2. 求方程求方程的通解 .解解: 留意留意 x, y 同號同號,d2d, 0,xxxyx此時不妨設(shè)yyxyx2dd2yyP21)(yyQ1)(由一階線性方程通解公式 , 得exyy2de1(yyy2d故方程可變形為yy1y1 lndCy 所求通解為 )0(eCCyyxyCyln這是以x為因變量 y 為自變量的一階線性方程Cylnd)0(C目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題1. 求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù))(xf使其滿足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0提示提示:令

11、txuuufxxfxd)(sin)(0則有xxfxfcos)()(0)0(f線性方程)esin(cos21)(xxxxf利用公式可求出目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 設(shè)有微分方程設(shè)有微分方程, )(xfyy其中)(xf10,2 x1,0 x試求此方程滿足初始條件00 xy的連續(xù)解.解解: 1) 先解定解問題先解定解問題10, 2xyy00 xy利用通解公式, 得xyde1dde2Cxx)e2(e1CxxxCe21利用00 xy得21C故有) 10(e22xyx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2) 再解定解問題1,0 xyy11e22) 1 ( yyx此齊次線性方程的通解為) 1(e2xCyx利用銜接條件得) 1(e22C因此有) 1(e) 1(e2xyx3) 原問題的解為y10),e1 (2xx1,e) 1(e2xx) 10(e22xyx( 雅各布第一 伯努利 ) 書中給出的伯努利數(shù)在很多地