中考數(shù)學中的最值問題解法

1、中考數(shù)學幾何最值問題解法在平面幾何的動態(tài)問題中，當某幾何元素在給定條件變動時，求某幾何量（如線段的長度、圖形的周 長或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差）的最大值或最小值問題，稱為最值問題。（含應用三角形的三邊關系）（4）應用二次函數(shù)求最值;解決平面幾何最值問題的常用的方法有：（1 ）應用兩點間線段最短的公理求最值；（2）應用垂線段最短的性質求最值；（3）應用軸對稱的性質求最值;（5）應用其它知識求最值。下面通過近年全國各地中考的實例探討其解法。應用兩點間線段最短的公理（含應用三角形的三邊關系）求最值典型例題:例 1.如圖，/MON=90,矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM , ON上，當B在邊

2、ON上運動時,-可編輯修改-D到點OA隨之在邊OM上運動，矩形 ABCD的形狀保持不變，其中 AB=2 , BC=1 ,運動過程中，點的最大距離為【DA.我1D.例2.在銳角三角形 ABC中,BC= 4<2 , / ABC=45BD平分/ ABC , M、川 分別是 BD、BC上的動點，則CM+MN 的最小值是例3.如圖，圓柱底面半徑為2cm,高為9 cm,點A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點，且A、B在同母線上，用一棉線從 A順著圓柱側面繞3圈到B,求棉線最短為 cm。練習題:1 .如圖，長方體的底面邊長分別為2 cm和4 cm,高為5 cm.若一只螞蟻從P點開始經過4個側面爬行一圈到達

3、 Q點，則螞蟻爬行的最短路徑長為【A.13cmB.12cmC.10cmD.8cm2 .如圖，圓柱的底面周長為 6cm ,AC是底面圓的直徑，高BC=6cm，點P是母線BC上一點，且PC=2BC.3只螞蟻從A點出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點P的最短距離是1】3 .如圖所示，在邊長為 2的正三角形ABC中，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點，點P為線段EF上一個動點，連接 BP、GP,則 BPG的周長的最小值是 .二、應用垂線段最短的性質求最值：典型例題：例1. （2012山東萊蕪4分）在 ABC中，AB = AC=5, BC=6.若點P在邊AC上移動，則 BP的最小值是 .例2.如圖，菱形AB

4、CD中，AB=2 , ZA=120 °，點P, Q, K分別為線段BC, CD, BD上的任意一點,則PK+QK的最小值為【】A. 1B. 73C. 2D. 73 + 1例 3.已知梯形 ABCD , AD / BC, AB ± BC, AD = 1 , AB = 2 , BC = 3 ,問題1:如圖1, P為AB邊上的一點，以 PD, PC為邊作平行四邊形 PCQD,請問對角線 PQ, DC的長能否相等，為什么？問題2:如圖2,若P為AB邊上一點，以PD, PC為邊作平行四邊形 PCQD ,請問對角線 PQ的長是否存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由

5、.問題3:若P為AB邊上任意一點，延長 PD至ij E,使DE = PD ,再以PE, PC為邊作平行四邊形 PCQE, 請?zhí)骄繉蔷€ PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由.問題4:如圖3,若P為DC邊上任意一點，延長 PA到E,使AE = nPA（n為常數(shù)），以PE、PB為邊作平 行四邊形PBQE,請?zhí)骄繉蔷€ PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請 說明理由.例4.如圖，點A的坐標為（-1 , 0）,點B在直線y x上運動，當線段 AB最短時，點B的坐標為【A. (0, 0)1一）2D.(五,例5.如圖，在4ABC中，/C=90

6、 ° , AC=BC=4 , D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF ,連接DE、DF、EF.在此運動變化的過程中，有下列結論:4 DFE是等腰直角三角形;四邊形CEDF不可能為正方形;四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化;點C到線段EF的最大距離為泥.其中正確結論的個數(shù)是【A. 1個 B. 2個C. 3個 D. 4個例6.如圖，長方形紙片 ABCD中，AB=8cm,AD=6cm ,按下列步驟進行裁剪和拼圖:巳沿EB, EC剪下一個三角形紙片第一步：如圖，在線段AD上任意取一點EBC（余下部分不再使用）;第二步：如圖，沿三

7、角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩部分，并在線段GH上任意取一點M ,線段BC上任意取一點N,沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩部分;第三步：如圖，將MN左側紙片繞G點按順時針方向旋轉 180 ° ,使線段GB與GE重合，將MN右側紙片繞H點按逆時針方向旋轉 180 ° ,使線段HC與HE重合，拼成一個與三角形紙片 EBC面積相等 的四邊形紙片.（注：裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊）則拼成的這個四邊形紙片的周長的最小值為 上 cm ,最大值為 cm .管卸例 8.如圖，4ABC 中，/BAC=60/ ABC=45D是線段BC上的一個動點，以 AD為直徑畫OO分別交AB , AC于

8、EF,連接EF,則線段EF長度的最小值為 A例9.如圖所示，在菱形 ABCD中，AB=4 , / BAD=120 ° , 4AEF為正三角形，點 E、F分別在菱形的邊BC. CD上滑動，且 E、F不與B. C. D重合.(1)證明不論E、F在BC. CD上如何滑動，總有 BE=CF;(2)當點E、F在BC. CD上滑動時，分別探討四邊形AECF和4CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大(或最小)值.例10.在銳角4ABC中，AB=4 , BC=5，/ACB=45 ° ,將4ABC繞點B按逆時針方向旋轉， 得至U AAiBCi .(1 )如圖1

9、,當點Ci在線段CA的延長線上時，求 / CCiAi的度數(shù)；（2）如圖2,連接AAi, CCi.若ABAi的面積為4,求ACBCi的面積;（3）如圖3,點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在4ABC繞點B按逆時針方向旋轉過程中，點P的對應點是點 Pi,求線段EPi長度的最大值與最小值.例11.如圖，在 4ABC中，點 D、E分別在邊 BC、AC上，連接 AD、DE ,且/ 1= / B= / C.（1）由題設條件，請寫出三個正確結論：（要求不再添加其他字母和輔助線，找結論過程中添加的字母和輔助線不能出現(xiàn)在結論中，不必證明）答： 結論一： ; 結論二： ; 結論三： .（2）若/ B=4

10、5 ° , BC=2，當點D在BC上運動時（點 D不與B、C重合），求CE的最大值；若4ADE是等腰三角形，求此時 BD的長.（注意：在第（2）的求解過程中，若有運用（1）中得出的結論，須加以證明）練習題：1.如圖，OP平分/MON , PAX ON于點A,點Q是射線OM 上的一個動點，若 PA=2 ,則PQ的最小值為【】A、 1B、2C、32如圖，等腰梯形 ABCD中，AD / BC(1)求證：AMDC是等邊三角形;(2)將4MDC繞點M旋轉，當MD一點F時，點E, F和點A構成4AEF.o0D、4AD=AB=CD=2 , / C=60M是BC的中點.（即MD '）與AB交

11、于一點E, MC （即MC '）試探究AEF的周長是否存在最小值.如果不存在,同時與AD交于請說明理由；如果存在，請計算出 4AEF周長的最小值.crDF3.如圖，OO的半徑為2,點O到直線的距離為3,點P是直線l上的一個動點,PQ切。于點Q,則PQ的最小值為【A.錯誤！未找到引用源。C. 34.如圖，在四邊形 ABCD中，/A=90,AD=4 ,連接 BD , BD ±CD , / ADB= /C.D. 2若P是BC邊上一動點，則DP長的最小值為 A.15.如圖，在 Rt ABC中，ZC=90 ° , AB=10cm , AC: BC=4 : 3,點P從點A出發(fā)沿

12、 AB方向向點 B 運動，速度為1cm/s ,同時點Q從點B出發(fā)沿B-C-A方向向點A運動，速度為2cm/s ,當一個運動點到達終點時，另一個運動點也隨之停止運動.(1 )求AC、BC的長；(2)設點P的運動時間為x (秒)，4PBQ的面積為y (cm2),當4PBQ存在時，求y與x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)當點Q在CA上運動，使PQXAB時，以點B、P、Q為定點的三角形與 4ABC是否相似，請說明 理由；(4)當x=5秒時，在直線 PQ上是否存在一點 M,使4BCM得周長最小，若存在，求出最小周長，若 不存在，請說明理由.三、應用軸對稱的性質求最值：典型例題：例1.如圖，

13、圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm ,在杯內離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點 A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為 cm .例2.如圖，四邊形 ABCD 中，/BAD = 120° , /B=/D = 90°，在BC、CD上分別找一點 M、N,>AAMN周長最小時，則 ZAMN + / ANM 的度數(shù)為【A. 130B. 120 ° C, 110 ° D, 100例3.點A、B均在由面積為1的相同小矩形組成的網格的格點上，建立平面直角 坐標系如圖所示.若P是x軸上使得|PA PB的值最大的

14、點，Q是y軸上使得QA十QB的值最小的點,則 OP OQ =A例4.如圖，正方形 ABCD中，AB=4 , E是BC的中點，點P是對角線AC上一動點，則PE+PB的最小值為 例5.如圖，MN為。的直徑，A、B是。上的兩點，過 A作ACLMN于點C,過B作BDLMN于點D, P為DC上的任意一點，若MN =20, AC = 8, BD =6,貝U PA+PB 的最小值是例6.閱讀材料：例：說明代數(shù)式 7x2 1 7(x 3)2 + 4的幾何意義，并求它的最小值.解：Jx21J(x3)2 4J(x0)212J(x3)222,如圖，建立平面直角坐標系，點P(x,0)是x軸上一點，則 J(x 0)2

15、12可以看成點P與點A (0, 1)的距離，J(x 3)2 22可以看成點P與點B (3, 2)的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值.設點A關于x軸的對稱點為 A',則PA=PA ',因此，求PA+PB的最小值，只需求 PA' + PB的最小 值，而點A'、B間的直線段距離最短，所以PA' +PB的最小值為線段 A' B的長度.為此，構造直角三角形A' CB,因為A' C=3 , CB=3，所以A' B=3 J2 ,即原式的最小值為 3灰。根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：

16、(1)代數(shù)式 而 1)2 1 J(x 2)2 9的值可以看成平面直角坐標系中點P (x, 0)與點A (1 , 1)、點B 的距離之和.(填寫點B的坐標)(2)代數(shù)式 &49 Jx2 12x 37的最小值為 .例7.在學習軸對稱的時候，老師讓同學們思考課本中的探究題。A、B兩鎮(zhèn)供氣.泵站修在管道的什么地方,如圖（1）,要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向可使所用的輸氣管線最短?你可以在l上找?guī)讉€點試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你可以在l上找?guī)讉€點試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)聰明的小華通過獨立思考，很快得出了解決這個問題的正確辦法.他把管道l看成一條直線（圖（2）,問題就轉化為，要在直線 l上找一點P

17、,使AP與BP的和最小.他的做法是這樣的:作點B關于直線l的對稱點B' .連接AB '交直線l于點P,則點P為所求.請你參考小華的做法解決下列問題.如圖在4ABC中，點D、E分別是AB、AC邊的中點，BC=6 , BC邊上的高為4,請你在BC邊上確定一點P,使4PDE得周長最小.（1）在圖中作出點 P （保留作圖痕跡，不寫作法）（2）請直接寫出4PDE周長的最小值:練習題:1.如圖，已知點 A(1 , 1)、B(3, 2),且P為x軸上一動點，則 AABP的周長的最小值為2.如圖，在平面直角坐標系中，有 A(1 , 2), B(3, 3)兩點，現(xiàn)另取一點 C(a, 1),當a=

18、 時,AC十 BC的值最小.3.去冬今春，濟寧市遭遇了 200年不遇的大旱，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了解決抗旱問題，要在某河道建一座水泵站，分別向河的同一側張村 A和李村B送水。經實地勘查后，工程人員設計圖紙時，以河道上的大橋O為坐標原點，以河道所在的直線為x軸建立直角坐標系(如圖)。兩村的坐標分別為 A (2, 3), B (12, 7)。(1)若從節(jié)約經費考慮，水泵站建在距離大橋。多遠的地方可使所用輸水管道最短?(2)水泵站建在距離大橋 O多遠的地方，可使它到張村、李村的距離相等?4.如圖，正方形 ABCD的邊長是4, /DAC的平分線交DC于點E,若點P、Q分別是AD和AE上的動點，則DQ+PQ的最小值

19、【A、2B、4D、C、2V24.25.如圖，在矩形 ABCD中，AB = 6, BC=8,點E是BC中點，點F是邊CD上的任意一點，當4AEF的周長最小時,則 DF的長為【C. 3A. 1B. 2D. 46.如圖，在菱形 ABCD中，對角線AC=6 , BD=8，點E、F分別是邊AB、BC的中點，點P在AC上運動，在運動過程中，存在 PE+PF的最小值，則這個最小值是A. 3B. 4C. 5D. 67.如圖，在梯形 ABCD 中，AB/CD, / BAD=90° , AB=6 ,對角線 AC平分/ BAD，點E在AB上,且AE=2 (AEVAD),點P是AC上的動點，則 PE+PB的

20、最小值是 A£四、應用二次函數(shù)求最值：典型例題: 例1.正方形ABCD的邊長為1cm , M、N分別是BC. CD上兩個動點，且始終保持 AM ±MN ,當BM二A cm時，四邊形 ABCN的面積最大，最大面積為 cm2.例2.如圖，線段AB的長為2, C為AB上一個動點，分別以 AC、BC為斜邊在AB的同側作兩個等腰直角三角形4ACD和ABCE,那么DE長的最小值是 例3.在矩形 ABCD中，AB=2 , AD=3,P 是BC上的任意一點(P與B、C不重合)，過點P作AP，PE, 垂足為P, PE交CD于點E.(1)連接AE,當4APE與4ADE全等時，求 BP的長;(2

21、)若設BP為x, CE為y,試確定y與x的函數(shù)關系式。當 x取何值時，y的值最大？最大值是多少?若PE/ BD ,試求出此時 BP的長.例4.如圖，在平行四邊形 ABCD中，AB=5 ,BC=10 , F為AD的中點，CEL AB于E,設/ ABC= a (60° < a <90° ).(1 )當a =60 °時，求CE的長;(2)當 60 ° v a <90° 時, 是否存在正整數(shù) k,使得/EFD=k /AEF?若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.連接CF,當CE2-CF2取最大值時，求tan Z DCF的值.例5.

22、等邊 ABC的邊長為2, P是BC邊上的任一點(與 B、C不重合)，連接AP ,以AP為邊向兩側作等邊4APD和等邊4APE,分別與邊 AB、AC交于點M、N (如圖1)。(1)求證：AM=AN ;(2 )設 BP=x。若，BM= 3,求x的值；8記四邊形ADPE與4ABC重疊部分的面積為 S,求S與x之間的函數(shù)關系式以及 S的最小值；連接DE,分別與邊 AB、AC交于點G、H (如圖2),當x取何值時，/ BAD=15 0?并判斷此時以 DG、GH、HE這三條線段為邊構成的三角形是什么特殊三角形，請說明理由。例6.如圖，已知半徑為 2的。與直線l相切于點A,點P是直徑AB左側半圓上的動點，過

23、點P作直線l的垂線，垂足為 C, PC與。O交于點D,連接PA、PB,設PC的長為錯誤！未找到引用源。,5當x= 5錯誤！未找到引用源。時，求弦PA、PB的長度;當x為何值時，PD的值最大？最大值是多少?例7.如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為 4的正方形紙片 ABCD，點P為正方形AD邊上的一點(不與點 A、點D重合)將正方形紙片折疊， 使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H ,折痕為EF,連接BP、BH .(1 )求證：ZAPB= ZBPH ;(2)當點P在邊AD上移動時，4PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結論；(3)設AP為x,四邊形EFGP的面積為S,求出S與x的函數(shù)關系式，試問S是否

24、存在最小值？若存在， 求出這個最小值；若不存在，請說明理由.例8.如圖，正三角形 ABC的邊長為3+J3 .(1 )如圖，正方形EFPN的頂點E、F在邊AB上，頂點N在邊AC上.在正三角形 ABC及其內部，以A為位似中心，作正方形 EFPN的位似正方形 E'F'P'N',且使正方形 E'F'P'N'的面積最大(不要求寫作法)；(2)求(1)中作出的正方形 E'F'P'N'的邊長；(3)如圖，在正三角形 ABC中放入正方形 DEMN 和正方形EFPH ,使得D、EF在邊AB上，點P、N分別在邊CB、C

25、A上，求這兩個正方形面積和的最大值及最小值，并說明理由.圖°例9.如圖，在4ABC中，Z C=90BC=5米，AC=12米.M點在線段CA上，從C向A運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒.運動時間為t秒.（1 ）當t為何值時,ZAMN= Z ANM ?（2）當t為何值時, AMN的面積最大？并求出這個最大值.C例10.如圖，A、B兩點的坐標分別是（8, 0）、（0, 6）,點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A作勻速直線運動，速度為每秒 3個單位長度，點 Q由A出發(fā)沿AO （O為坐標原點）方向向點 O作勻速直線運動,速度為每秒2個單位長度，連接 PQ ,若

26、設運動時間為t （0vtv電）秒.解答如下問題:3（1 ）當t為何值時，PQ / BO ?（2）設4AQP的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關系式，并求出S的最大值;若我們規(guī)定：點P、Q的坐標分別為（X1, y1），（X2, y2）,則新坐標（X2- X1, y2- y1）稱為“向量 PQ”的坐標.當S取最大值時，求“向量PQ”的坐標.例14.在Rt POQ中，OP=OQ=4,M 是PQ中點，把一三角尺的直角頂點放在點M處，以M為旋轉中心，旋轉三角尺，三角尺的兩直角邊與4POQ的兩直角邊分別交于點 A、B,(1)求證：MA=MB(2)連接AB,探究：在旋轉三角尺的過程中，4AOB的周長是否存在最小

27、值，若存在，求出最小值，若不存在。請說明理由。例15. (2012江蘇南京8分)某玩具由一個圓形區(qū)域和一個扇形區(qū)域組成，如圖，在 eO1和扇形02cD中，e01與O2C、O2D分別相切于 A、B,CO2D60 ,E、F事直線O1O2與e 01、扇形O2CD的兩個交點，EF=24cm ,設e 01的半徑為x cm ,用含x的代數(shù)式表示扇形 02cD的半徑；若e O1和扇形02cD兩個區(qū)域的制作成本分別為0.45元/cm2和0.06元/cm2，當e O1的半徑為多少時，該玩具成本最??？OiO2例16. (2012 湖南婁底10分)如圖，在 4ABC中，AB=AC , / B=30 ° ,

28、 BC=8 , D在邊BC上，E在線段DC上，DE=4 , ADEF是等邊三角形，邊 DF交邊AB于點M ,邊EF交邊AC于點N .(1 )求證：ABMD scne ;(2)當BD為何值時，以 M為圓心，以MF為半徑的圓與 BC相切?圍)；當x為何值時,(3)設BD=x ,五邊形ANEDM的面積為y,求y與x之間的函數(shù)解析式(要求寫出自變量x的取值范練習題:1. (2011寧夏自治區(qū)10分)在等腰 ABC中，AB=AC=5 , BC=6 .動點M、N分別在兩腰 AB、AC上(M不與A、B重合，N不與A、C重合)，且MN / BC.將4AMN沿MN所在的直線折疊，使點 A的對應點為P.(1)當M

29、N為何值時，點P恰好落在BC上?(2)當MN=x , AMNP與等腰 ABC重疊部分的面積為 y,試寫出y與x的函數(shù)關系式.當 x為何值時，y的值最大，最大值是多少?/ B=602. (2011福建龍巖14分)如圖，在直角梯形 ABCD中，Z D= / BCD=90點E是CD上的一個動點(E不與D重合)，過點E作EF/ AC,交AD于點F(當E運動到C時，EF與AC 重合).把 DEF沿EF對折，點D的對應點是點 G,設DE=x , AGEF與梯形ABCD重疊部分的面積為 y。(1)求CD的長及/ 1的度數(shù)；(2)若點G恰好在BC上，求此時x的值；(3)求y與x之間的函數(shù)關系式。并求 x為何值

30、時，y的值最大？最大值是多少？3. (2011浙江杭州12分)圖形既關于點 O中心對稱，又關于直線 AC, BD對稱，AC=10 , BD=6 ,已 知點E, M是線段AB上的動點(不與端點重合)，點。到EF, MN的距離分別為h1 , h2 , 4OEF與OGH 組成的圖形稱為蝶形。(1)求蝶形面積S的最大值；(2)當以EH為直徑的圓與以 MQ為直徑的圓重合時，求 h1與卜2滿足的關系式，并求 卜2的取值范 圍。4. (2011江蘇宿遷12分)如圖，在邊長為 2的正方形 ABCD中，P為AB的中點，Q為邊CD上一動點，設DQ=t (0WtW2),線段PQ的垂直平分線分別交邊 AD、BC于點M

31、、N,過Q作QELAB于點E,過M作MFBC于點F.(1)當 twi 時，求證：PEQA NFM ;(2)順次連接P、M、Q、N,設四邊形PMQN的面積為S,求出S與自變量t之間的函數(shù)關系式，并求 S的最小值.a5. (2011 江蘇淮安 12 分)如圖，在 Rt ABC 中，/C = 90 ° , AC = 8 , BC = 6 ,點 P 在 AB 上,AP = 2。 點E、F同時從點P出發(fā)，分另1J沿PA、PB以每秒1個單位長度的速度向點 A、B勻速運動，點 E到達點A后立即以原速度沿 AB向點B運動，點F運動到點B時停止，點E也隨之停止.在點E、F運動過程中， 以EF為邊作正方

32、形 EFGH,使它與4ABC在線段AB的同側，設E、F運動的時間為t秒(t >0),正 方形EFGH與4ABC重疊部分面積為 S.(1)當t = 1時，正方形EFGH的邊長是;當t = 3時，正方形 EFGH的邊長是 ;(2)當0 v t W2時，求S與t的函數(shù)關系式；(3)直接答出：在整個運動過程中，當t為何值時，S最大？最大面積是多少？6. (2011內蒙古巴彥淖爾、赤峰 14分)如圖(圖1,圖2),四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點 E在線段BC上，Z AEF=90 ° ,且EF交正方形外角平分線 CP于點F,交BC的延長線于點 N, FN ± BC.(1)若

33、點E是BC的中點(如圖1), AE與EF相等嗎？（2）點E在BC間運動時（如圖 2）,設BE=x , ECF的面積為y.求y與x的函數(shù)關系式；當x取何值時，y有最大值，并求出這個最大值.五、應用其它知識求最值：典型例題：例 1. （2011山東濱州3分）如圖.在 4ABC 中，/ B=90 ° ,Z A = 30 ° , AC = 4cm ,將 ABC繞頂點 C順時針方向旋轉至 A'B'C的位置，且 A、C、B'三點在同一條直線上，則點 A所經過的最短路線的長為【A、4 J3Gm錯誤!未找到引用源D、8 cm錯誤！未找到引用源。3B、8cm 8cmC

34、、16cm錯誤！未找到引用源。例2. （2012廣西來賓3分）如圖，已知線段 OA交。O于點B,且OB=AB，點P是。O上的一個動點,那么/ OAP的最大值是【A. 30B. 45° C. 60° D. 90例3. （2011貴州貴陽3分）如圖，4ABC中，ZC=90 ° , AC=3 , / B=30 °，點P是BC邊上的動點,則AP長不可能是【】A、3.5B、4.2 C、5.8 D、7例 4. （2012 河北省 12 分）如圖 1 和 2,在 4ABC 中，AB=13 , BC=14 , cos / ABC= . 13探究：如圖 1, AH

35、77;BC 于點 H,則 AH= , AC=, AABC 的面積 S*bc= ;拓展：如圖2,點D在AC上（可與點A, C重合），分別過點A、C作直線BD的垂線，垂足為 E, F,設BD=x , AE=m , CF=n （當點D與點A重合時，我們認為 Saabd =0 ）（1 ）用含x, m , n的代數(shù)式表示 Saabd及Sacbd ；（2）求（m+n ）與x的函數(shù)關系式，并求（m+n ）的最大值和最小值；（3）對給定的一個x值，有時只能確定唯一的點D,指出這樣的x的取值范圍.發(fā)現(xiàn)：請你確定一條直線，使得 A、B、C三點到這條直線的距離之和最?。ú槐貙懗鲞^程） ，并寫出這個 最小值.例5.

36、（2011河北省10分）如圖1至圖4中，兩平行線AB、CD間的距離均為6,點M為AB上一定點.思考如圖1,圓心為0的半圓形紙片在 AB, CD之間（包括 AB , CD）,其直徑 MN在AB上，MN=8 , 點P為半圓上一點，設 ZMOP= a .當a= 度時,點P到CD的距離最小，最小值為 .探究一在圖1的基礎上，以點 M為旋轉中心，在 AB, CD之間順時針旋轉該半圓形紙片，直到不能再轉動為止，如圖 2,得到最大旋轉角 Z BMO= 度,此時點N到CD的距離是 .探究二將如圖1中的扇形紙片NOP按下面對a的要求剪掉，使扇形紙片MOP繞點M在AB, CD之間順 時針旋轉.（1）如圖3,當a

37、=60 °時，求在旋轉過程中，點 P至ij CD的最小距離，并請指出旋轉角Z BMO的最大值；（2）如圖4,在扇形紙片MOP旋轉過程中，要保證點P能落在直線CD上，請確定a的取值范圍.（參考數(shù)楣：sin49 0 =錯誤！未找到引用源。，cos41。=錯誤!未找到引用源。，tan37 0 =錯誤！未找 到引用源。.）例6. （2011四川成都4分）在三角形紙片 ABC中，已知Z ABC=90。，AB=6 , BC=8 .過點A作直線l平行于BC,折疊三角形紙片 ABC,使直角頂點 B落在直線l上的T處，折痕為 MN .當點T在直線l 上移動時，折痕的端點 M、N也隨之移動.若限定端點

38、M、N分別在AB、BC邊上移動，則線段 AT長 度的最大值與最小值之和為 （計算結果不取近似值）.例7. （2011陜西省12分）如圖，在矩形ABCD中，將矩形折疊，使 B落在邊AD （含端點）上，落 點記為E,這時折痕與邊 BC或者邊CD （含端點）交于F,然后展開鋪平，則以 B、E、F為頂點的三角形 BEF稱為矩形ABCD的“折痕三角形”(1)由“折痕三角形”的定義可知，矩形 ABCD的任意一個“折痕4BEF”是一個 三角形(2)如圖、在矩形ABCD中，AB=2 , BC=4 ,當它的“折痕ABEF”的頂點E位于AD的中點時，畫出這個“折痕BEF”，并求出點F的坐標;(3)如圖，在矩形AB

39、CD中，AB=2 , BC=4 ,該矩形是否存在面積最大的“折痕4BEF” ?若存在,說明理由，并求出此時點 E的坐標？若不存在，為什么?例8. (2011浙江金華、麗水 3分)如圖，西安路與南京路平行，并且與八一街垂直，曙光路與環(huán)城路垂直.如果小明站在南京路與八一街的交叉口，準備去書店，按圖中的街道行走，最近的路程約為【A、600mB、500mC、400mD、300m例9. (2011湖北宜昌10分)如圖1, Rt ABC兩直角邊的邊長為 AC=1 , BC=2 .(1 )如圖2,。與Rt ABC的邊AB相切于點X,與邊CB相切于點Y.請你在圖2中作出并標明OO的圓心(用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明)(2) P是這個RtAABC上和其內部的動點， 以P為圓心的OP與R