偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用ppt課件

1、第四節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用本節(jié)內(nèi)容簡介一、曲面的切平面與法線 二、多元函數(shù)的極值本節(jié)重點(diǎn)：多元函數(shù)的極值的概念、求法及其應(yīng)用 本節(jié)難點(diǎn)：應(yīng)用題分析，條件極值教學(xué)方法：啟發(fā)式教學(xué)手段：面授和多媒體課件相結(jié)合教學(xué)課時：4學(xué)時一、曲面的切平面與法線000000 設(shè)M 為曲面 上的一點(diǎn)，則通過M 在曲面上可以作無數(shù)條曲線，若這些曲線在M 處切線均在同一平面上，則稱該平面為曲面 在點(diǎn)M 處的切平面，過點(diǎn)M 且垂直于切平面的直線，稱為曲面 在點(diǎn)M 處的法線。00000000000000000000000 F(x,y,z)=0, M( , ),( , )()( , )()( , )() 0 x-x F( , )(

2、xyzyzyx y zFF FMx y zx xF x y zy yF x y zz zy yx y zF0 x設(shè)曲面 的方程為為 上的一點(diǎn)在 點(diǎn)連續(xù)且不同時為零。則可以證明，曲面 上過M的任何曲線的切線都在同一平面上，即切平面，其方程為F 法線方程為0000000, )( , )zz zx y zF x y z222222X (1,2,3)(1,2,3)y(1,2,3)(1,2,3)z(1,2,3)(1,2,3)1 x14123 F x,y,z)=x14, F22, F24, F26 2(x-1)+4(y-2)+6(z-3)=0 , x+yzyzxyz例 求球面在點(diǎn)（， ， ）處的切平面及法

3、線方程。解 令 （則切平面方程為：即2y+3z-14=0 x-12323 , .24623yzyz法線方程為：x-1即 122022x(2,1,3)(2,1,3)y(2,1,3)(2,1,3)z(2,1,3)2 z=3x211213 Fx,y,z)=z-3x211, F612, F44, F1, -12(x-2)-4(y-1)+(z-3)=yMyxy例求橢圓拋物面在點(diǎn) （， ， ）處的切平面和 法線方程。解 令 （則故切平面方程為：0, 12x+4y-z-25=0, x-213 -1241yz即法線方程為：返回、二、多元函數(shù)的極值1.極值的定義及求法 000000000000(x ,y )PP

4、 x,y),f(x,y)f(x ,y ) ( f(x,y)f(x ,y )z=f(x,y)P( , )( , ).x yf x y0 定 義 設(shè) 函 數(shù) z=f(x,y)在 點(diǎn) p的 某 一 鄰 域 內(nèi) 有 定 義 ，如 果 對 于 該 鄰 域 內(nèi) 異 于 的 任 意 點(diǎn) （都 有或， 則 稱 函 數(shù)在 點(diǎn)處 有 極 大 值（ 或 極 小 值 ）極 大 值 和 極 小 值 統(tǒng) 稱 為 極 值 ， 使 函 數(shù) 取得 極 值 的 點(diǎn) 稱 為 極 值 點(diǎn) 。3 22例 函數(shù)z= 1-x -y 在點(diǎn)(0,0)處有極大值f(0,0)，因?yàn)閷τ?點(diǎn)（0，0）附近的任意點(diǎn)(x,y),都有f(x,y)1=f(

5、0,0)。001 ( , )0,( , )0( ,)( , )yx yfx yx yf x y000000 x00y00 x 定理若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x ,y )處取得極值，且在P(x ,y )處的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，則f(x ,y )=0,f(x ,y )=0。 使f同時成立的點(diǎn)稱為的駐點(diǎn)。但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。224 20,200 0 f(0,0)=0 x +y (0,0)yxfy22x例求f(x,y)=x +y 的極值。解 f得駐點(diǎn)（ ， ）而為極小值點(diǎn)，極小值為0。xx00 xy00yy002 A=f (x ,y ), B=f (x ,y ), C=f (x ,y ), 1 (2

6、) 000020000000定理設(shè)P(x ,y )是函數(shù)z=f(x,y)的駐點(diǎn)，又函數(shù)在點(diǎn)P的某個鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，令則（） 當(dāng)B -AC0時，函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x ,y )處有極值，且 當(dāng)A0時， f(x ,y )是極小值； 3 2002000當(dāng)B -AC0時, f(x ,y )不是極值；（ ） 當(dāng)B -AC=0時，函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x ,y )可能有極值，也可能沒有極值。5 3222xyxxxyyy2例求函數(shù)f(x,y)=x -4x +2xy-y 的極值。解 f(x,y)=3x -8x+2y=0 f(x,y)=2x-2y=0 得駐點(diǎn)（0，0），（2，2

7、），而 f (x,y)=6x-8, f (x,y)=2, f (x,y)=-2 在（0，0）處有：B=2，A=-8，C=-2，B -AC=-120, 點(diǎn)（2，2）不是極值點(diǎn)。2.最大值與最小值（1) 閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)一定有最值。（2) 要求最值，只須求出駐點(diǎn)、一階偏導(dǎo)不存在的點(diǎn)的函數(shù)值及函數(shù)在區(qū)域邊界上的.最大值與最小值，取這些函數(shù)中的最大值和最小值就是所求的最大值和最小值。（3) 在解決實(shí)際問題時，若函數(shù)只有一個駐點(diǎn)，則該駐點(diǎn)即所求的最值點(diǎn)。見教材中例6。3.條件極值在此介紹拉格朗日乘數(shù)法。xyxxyy00求f(x,y)在約束條件 (x,y)下的極值，其步驟如下：(1) 設(shè)F（x,y）=f(x,y)