初一數(shù)學(xué)第12講：數(shù)與式的規(guī)律(教師版)0001

1、第十二講 數(shù)與式的規(guī)律常見的數(shù)列有 等差數(shù)列：如果一個數(shù)列從第 等比數(shù)列：如果一個數(shù)列從第 混合數(shù)列2 項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)。2 項起，每一項與它的前一項的比值等于同一個常數(shù)。探索規(guī)律的一般步驟：觀察、比較、歸納、驗證。1. 利用代數(shù)式表示規(guī)律2. 探索規(guī)律的方法例 1 1 只青蛙 1 張嘴， 2 只眼睛 4 條腿， 1 聲撲通跳下水。2 只青蛙 2 張嘴， 4 只眼睛 8 條腿， 2 聲撲通跳下水。3 只青蛙 3 張嘴， 6 只眼睛 12 條腿， 3 聲撲通跳下水。n 只青蛙張嘴，只眼睛條腿，聲撲通跳下水。解析： 有幾只青蛙就有幾張嘴和跳水聲， 眼睛的只數(shù)是青蛙只數(shù)的

2、2倍，腿的條數(shù)是青蛙只 數(shù)的 4 倍。1、2、3、4、5、62、4、6、8、10 4、8、12、 16、20這些都是等差數(shù)列答案： n 只青蛙 n 張嘴， 2n 只眼睛 4n 條腿， n 聲撲通跳下水。例 2 （出示某年某月的日歷）星期 日星期星期星期星期 四星期 五星期 六123456789101112131415161718192021222324252627282930311. 請看看日歷中的數(shù)字有什么特征？2. 在日歷中隨意選取一個數(shù)， 觀察該數(shù)的前后兩個數(shù)， 上下兩個數(shù)， 左下右上兩個數(shù)及左上 右下兩個數(shù)與這個數(shù)分別有什么關(guān)系？3. 在日歷中的某一天設(shè)定為 a，能用 a 表示相鄰的日

3、期嗎？4. 在日歷中圈出一個 3×3 的方框，這九個數(shù)的和與該框正中間的數(shù)有什么關(guān)系？ 解析： 不急于將規(guī)律告訴學(xué)生， 讓學(xué)生親自進行這一探索，給學(xué)生留出一定的空間，讓學(xué)生 去發(fā)現(xiàn)、認識、歸納出這一規(guī)律。答案： 1. 由一些大于等于 1 而小于等于 31 的整數(shù)構(gòu)成，是等差數(shù)列；2. 一行中的后一個數(shù)比前一個數(shù)大 1 ，一列中從上到下的兩數(shù)，依次比上一個大7，每一斜列，左下的比右上的數(shù)大6，右下的比左上的大 8；3. 把日歷中的某一天設(shè)為 a，則與 a 同列的上一數(shù)為 a-7 ，下一數(shù)為 a+7，與 a 同行 的前一數(shù)為 a-1 ，后一數(shù)為 a+1，與 a 斜列右上的為 a-6 ，左

4、下的為 a+6，左上的數(shù)為 a-8 ，右下的數(shù)為 a+8，即：列表可表示為：a-8a-7a-6a-1aa+1a+6a+7a+84. 如果用 a表示中間的數(shù)，那么這 9 個數(shù)的和等于 9a。例 3 按下列程序計算，把答案寫在表格內(nèi)：1）填寫表格：2算的一般規(guī)律1答案： （1）當(dāng) n 時，答案為 1，當(dāng) n2 時，答案為 1；2（ 2）代數(shù)式為：（ n2+n）÷nn，化簡結(jié)果為： 1例 4 老師在黑板上寫出三個算式： 52328×2， 92 728×4，152328×27，王華接著 又寫了兩個具有同樣規(guī)律的算式： 112528×12，15272 8

5、×22，（1）請你再寫出兩個（不同于上面算式）具有上述規(guī)律的算式；（2）用文字寫出反映上述算式的規(guī)律；（3）證明這個規(guī)律的正確性分析： 觀察分析已知條件中老師和王華的四道式子的數(shù)字特點，可以發(fā)現(xiàn)相鄰的兩個奇數(shù) 的平方差是 8 的整數(shù)倍，于是要解答的三個問題容易獲解答案： （1）答案不唯一如： 1321128×6，152132 8×7等 （2）任意兩個奇數(shù)的平方差是 8 的倍數(shù)（ 3）證明：設(shè) m、 n 為整數(shù)，則兩個奇數(shù)可表示為 2m+1、 2n+1則（ 2m+1） 2（ 2 n+1） 2 4（ m n）（ m+n+1）當(dāng) m、n 同是奇數(shù)或偶數(shù)時，（ m n）一

6、定為偶數(shù)，所以 4（mn）一定是 8的倍數(shù)；當(dāng) m、n 一奇一偶時，（ m+n+1）一定為偶數(shù)，所以 4（ m+n+1）一定是 8的倍 數(shù)綜上：任意兩個奇數(shù)的平方差是 8 的倍數(shù)例 5 計算： 2111，22 13，2317，24 115，2觀察下列等式：131，歸納各計算結(jié)果 中的個位數(shù)字規(guī)律，猜測 22 0061 的個位數(shù)字是（）A1B 3C7D5分析： 由 2111，221 3，2317，24115，25131，我們可以發(fā)現(xiàn)，個 位數(shù)字呈 1，3，7，5 周期性循環(huán)，于是問題即可獲解答案： 因為 2111， 22 13，231 7，24115，25131，2第 1 行 3=4 11 63

7、，271 127，281 255，所以個位數(shù)字呈 1，3，7，5 周期性循環(huán)而 22 00624×501+2，所以 22 0061 的個位數(shù)是 3故應(yīng)選 B例 6 觀察下面的點陣圖形和與之相對應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律： （1）請你在 和 后面的橫線上分別寫出相對應(yīng)的等式：（2）通過猜想，寫出與第 n 個圖形相對應(yīng)的等式 分析：通過觀察分析順著已知三個式子的書寫規(guī)律即可寫出 式和 式，進而可以推出 其一般規(guī)律答案： （1）因為 4×014×13； ×1 14×23；4×214×33，所以可 以類似地推得 4×3 14

8、×4 3 和4×414×53（2）由已知條件結(jié)合（ 1）可得第 n 個圖形相對應(yīng)的等式是： 4（n1）1=4n3A檔1. 觀察下面的一列單項式： x，2x2，4x3,8 x4，16x5 ，根據(jù)其中的規(guī)律，得出的第 10 個代數(shù)式是（A.29 x10B.9x10C.29 x9D.29x答案： B2. 根據(jù)如圖所示的（ 1），（ 2），（ 3）三個圖所表示的規(guī)律，依次下去第n 個圖中平行四邊形的個數(shù)是（ ）（1）A. 3nB. 3n答案： An1）2）C. 6n D. 6n（3） n1）A.861B.C.分析：可列式為63865D.867n2 1，當(dāng) n=8時，選 C

9、n13. 小王利用計算機設(shè)計了一個計算程序，輸入和輸出的數(shù)據(jù)如下表：輸入12345輸出1234525101726那么，當(dāng)輸入數(shù)據(jù)是 8 時，輸出的數(shù)據(jù)是（ ）答案： C4. 如圖，是 2009年 9 月的日歷表， 任意圈出一豎列上相等的三個數(shù)， 這三個數(shù)的和不可能 是（ ）日一二三四五六123456789101112131415161718192021222324252627282930A. 27 B. 36 C. 40 D. 54分析： 設(shè)這三個數(shù)為 n， n+7，n+7+7，則其和為 3n+21，代入驗證即可 答案： C 5 *第 2 行 5=9 4 第 3 行 7=16 9 第 4 行

10、9=25 16 按照上述規(guī)律，第 n 行的等式為答案： 2n+1= n 1 2 n 286. 根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，在最后一個圖形中填空。3 54 15 6 357. 觀察下列圖形的構(gòu)成規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，第 8 個圖形中有個圓。分析： 規(guī)律為 n2 1答案： 65 個 8. 符號“ f ”表示一種運算，它對一些數(shù)的運算結(jié)果如下：（1）f （1） =0 f （2）=1 f （3）=2 f （4）=3，. 1111（2）f（1）=2 f （1）=3 f （1）=4 f （ 1 ） =5，. 23451利用以上規(guī)律計算 f（ 1 ）f （2009）的值。200911答案：由（1）可得 f（n）=n-1

11、，由（2）可得 f（ ）=n，所以 f（）-f （2009）=2009-n 2009（2009-1 ）=1B檔 9. 觀察下列順序排列的等式：9×01=1， 9×12=11，9×23=21，9×34=31，9×45=41，.猜想：第 n 個等式（ n 為正整數(shù)） 答案： 9 （n-1 ）+n=10n-1210. 已知： 2 233，3323 ，4 4428 154 ， . 若 10152a102ba,b 為正整數(shù)），求b 得值？答案： 規(guī)律為 n所以 a=10， b=99，a+b=10911. 觀察下列算式： 132 ， 26 4 42，3 7

12、4 52 ，48262，請你在觀察規(guī)律之后并用你得到的規(guī)律填空：502,第 n 個式子呢 ?答案： 48 × 52 4=502 n×（ n 4） 4=（ n 2）212. 一張長方形桌子可坐 6 人，按下列方式講桌子拼在一起。2 張桌子拼在一起可坐人。3 張桌子拼在一起可坐人， n張桌子拼在一起可坐人。 答案： 8 102n 413. 如圖 1-29 等的兩部分的點 法繼續(xù)下去 , 請你根據(jù)圖中三角形個數(shù)的規(guī)律圖 1-29C檔 所示 , 圖是一個三角形 , 分別連結(jié)這個三角形三邊的中點 （將這條邊分為相 ） 得到圖 ; 再分別連結(jié)圖中間的小三角形三邊的中點 , 得到圖 ,

13、按此方 , 完成下列問題 :（1） 將下表填寫完整圖形符號12345三角形個數(shù)159（2） 在第 n個圖形中有幾個三角形 ?（用含 n 的代數(shù)式表示 ） 答案： （ 1）13 17（ 2）4（n1） 114. 1311 2 212 22 ，41323129 22432，13233133 3643242（1） 猜想填空：13 23 333 1 2 n3 ( ) 2 ( )4(2) 若 1323333 n142240 2 ,試求 n 的值.答案：（1）n n 1（2）15(由于 240=15×16)15. 探索規(guī)律：用棋子按下面的方式擺出正方形按圖示規(guī)律填寫下表：圖形編號（1）（2）（3

14、）（4）（5）（6）棋子個數(shù)按照這種方式擺下去，擺第 n 個正方形需要多少個棋子？答案： 4 9 16 25 36 49 n21. 觀察下面的幾個算式：1+2+1=4，1+2+3+2+1=9，1+2+3+4+3+2+1=16，1+2+3+4+5+4+3+2+1=25， 根據(jù)你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請你直接寫出下面式子的結(jié)果： 1+2+3+ +99+100+99+ +3+2+1=_ _ 。 答案： 100002. 已知下列等式： 1 3 12； 1 3 23 32 ； 1 3 23 33 62；3 3 3 3 2 1 3 23 3343 102 ； 由此規(guī)律知，第個等式是 。 答案： 13 23 33

15、43 53 1523. 觀察下列等式：12 2 11 （12）222 22 （22）2322 33 （32）則第 n 個等式可以表示為。 答案： n2 2 n n （n 2）4. 如圖是用火柴棍擺成邊長分別是1、2、3 根火柴棍時的正方形，若擺出的正方形所用的火柴棍的根數(shù)為 整數(shù)）當(dāng)邊長為 n 根火柴棍時， n 的代數(shù)式表示， n 為正答案： 2n （n1）5. 如圖是五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個圖形。照此規(guī)律閃爍，下一個呈現(xiàn)出來的圖形 是（ ）答案： A則搭 n 條“金魚需要火柴根。子（）枚用含有n 的代數(shù)式表示）答案：4（n1）1. 黑、白兩種顏色的棋子擺設(shè)如下圖所示的正方形圖案，則第

16、n 個圖案需要用白色棋2. 在計算機程序中，二杈樹是一種表示數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的方法。如圖，一層二杈樹的結(jié)點總數(shù)是1，二層二杈樹的結(jié)點總數(shù)是 3，三層二杈樹的結(jié)點總數(shù)是 7，四層二杈樹的結(jié)點總數(shù)是 15照此規(guī)律七層二杈樹的結(jié)點總數(shù)是。9 16 25 36、 、 、5 12 21 32n 個數(shù)據(jù)是 _中得到巴爾末公式， 從而打_ 。答案： 2n 13. 瑞士中學(xué)教師巴爾末成功地從光譜數(shù)據(jù)開了光譜奧妙的大門。請你按這種規(guī)律寫出第 答案：n215. 在數(shù)學(xué)活動中，小明為了求 1211122 23 241n 的值（結(jié)果用 n 表示），設(shè)計如2n4. 觀察下列數(shù)表：1234 第一行2345 第二行3456 第三行4567 第四行第第第第一二三四列列列列根據(jù)表中所反映的規(guī)律，猜想第6 行與第6 列的交叉點上的數(shù)應(yīng)為 _，第 n 行（ n為正整數(shù)）與第 n 列的交叉點上的數(shù)應(yīng)為 答案： 11 2n 1圖所示的幾何圖形。請你利用這個幾何圖形求1 1 1 1 2342 22 23 24答案： 1 1n2n121n 的值為6. 如