D8_7方向?qū)?shù)與梯度

1、 第八章 第七節(jié)第七節(jié)一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、梯度二、梯度 三、物理意義三、物理意義 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度l),(zyxP一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)定義定義: 若函數(shù)),(zyxff0lim則稱lflf,)()()(222zyx,cosx,cosycosz為函數(shù)在點(diǎn) P 處沿方向 l 的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù).),(),(lim0zyxfzzyyxxf在點(diǎn) ),(zyxP處沿方向 l (方向角為, ) 存在下列極限: 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P記作記作 ,),(),(處可微在點(diǎn)若函數(shù)zyxPzyxf),(zyxPl定理定理:則函數(shù)在該點(diǎn)沿任

2、意方向沿任意方向 l 的方向?qū)?shù)存在 ,flf0limcoscoscoszfyfxflf.,的方向角為其中l(wèi)證明證明: 由函數(shù)),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf且有)(o在點(diǎn) P 可微 , 得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P故coscoscoszfyfxf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)于二元函數(shù), ),(yxf為, ) 的方向?qū)?shù)為方處沿方向在點(diǎn)(),(lyxP),(),(lim0yxfyyxxflfcos),(cos),(yxfyxfyx,)()(22yx)cos.,cosyxPlxyoxflf特別特別: : 當(dāng) l 與 x 軸同向有時(shí),2

3、,0 當(dāng) l 與 x 軸反向有時(shí),2,xflfl向角例例1. 求函數(shù) 在點(diǎn) P(1, 1, 1) 沿向量zyxu2, 1,2(l3) 的方向?qū)?shù) .,142cosPlu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解: 向量 l 的方向余弦為例例2. 求函數(shù) 在點(diǎn)P(2, 3)沿曲線223yyxz12 xy朝 x 增大方向的方向?qū)?shù).解解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為2)2, 1 (xxPlz它在點(diǎn) P 的切向量為,171cos1760 xoy2P1 2xyxx1716xy174)23(2yx)3,2()4, 1

4、 (174cos1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 設(shè)是曲面n在點(diǎn) P(1, 1, 1 )處指向外側(cè)的法向量,解解: 方向余弦為,142cos,143cos141cos而Pxu,148Pyu14PzuPnu同理得) 1,3,2(2632222zyx方向的方向?qū)?shù).Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在點(diǎn)P 處沿求函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 nn二、梯度二、梯度 方向?qū)?shù)公式coscoscoszfyfxflf令向量這說明方向：f 變化率最大的方向模 : f 的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

5、 結(jié)束 zfyfxfG,)cos,cos,(cos0l),cos(0lGG)1(0l0lGlf,0方向一致時(shí)與當(dāng)Gl:GGlfmax1. 定義定義, fadrg即fadrg同樣可定義二元函數(shù)),(yxf),(yxPyfxfjyfixff,grad稱為函數(shù) f (P) 在點(diǎn) P 處的梯度zfyfxf,kzfjyfixf記作(gradient),在點(diǎn)處的梯度 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 G說明說明: 函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影.向量2. 梯度的幾何意義梯度的幾何意義函數(shù)在一點(diǎn)的梯度垂直于該點(diǎn)等值面(或等值線) ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 面上的投在曲線xoyCzyxfz

6、),(CyxfL),(:*影稱為函數(shù) f 的等值線等值線 . ,不同時(shí)為零設(shè)yxff則L*上點(diǎn)P 處的法向量為 Pyxff),(Pfgradoyx1cf 2cf 3cf )(321ccc設(shè)P同樣, 對(duì)應(yīng)函數(shù), ),(zyxfu 有等值面(等量面),),(Czyxf當(dāng)各偏導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零時(shí), 其上 點(diǎn)P處的法向量為.gradPf, ),(yxfz 對(duì)函數(shù)指向函數(shù)增大的方向.3. 梯度的基本運(yùn)算公式梯度的基本運(yùn)算公式0grad(1)CuCuCgrad)(grad(2)vuvugradgrad)(grad(3)uvvuvugradgrad)(grad(4)uufufgrad)()(grad(5)機(jī)動(dòng)

7、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4.,)(可導(dǎo)設(shè)rf),(222zyxPzyxr為點(diǎn)其中證證:xrf)()(rf yrf)()( gradrf)(1)(kzjyixrrfrrrf1)( rzrfzrf)()(0)(rrfjyrf)(kzrf)(xrrf)(222zyxxPxozy,)(ryrf ixrf)(試證rxrf)( 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .)()(radg0rrfrf處矢徑 r 的模 ,r三、物理意義三、物理意義函數(shù)(物理量的分布)數(shù)量場(chǎng)數(shù)量場(chǎng) (數(shù)性函數(shù))場(chǎng)向量場(chǎng)向量場(chǎng)(矢性函數(shù))可微函數(shù))(Pf梯度場(chǎng)梯度場(chǎng))(gradPf( 勢(shì) )如: 溫度場(chǎng), 電位場(chǎng)等如: 力場(chǎng)

8、,速度場(chǎng)等(向量場(chǎng)) 注意注意: 任意一個(gè)向量場(chǎng)不一定是梯度場(chǎng).機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 已知位于坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)電荷 q 在任意點(diǎn)),(4222zyxrrqu),(zyxP試證證證: 利用例4的結(jié)果 這說明場(chǎng)強(qiáng):處所產(chǎn)生的電位為垂直于等位面,且指向電位減少的方向.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 Eugrad)4(02rrqE 場(chǎng)強(qiáng)04gradrrqu024rrqE0)()(gradrrfrf內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 三元函數(shù) ),(zyxf在點(diǎn)),(zyxP沿方向 l (方向角),為的方向?qū)?shù)為coscoscoszfyfxflf 二元函數(shù) ),(yxf在點(diǎn))

9、,(yxP),的方向?qū)?shù)為coscosyfxflf沿方向 l (方向角為yfxfcossin機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 梯度梯度 三元函數(shù) ),(zyxf在點(diǎn)),(zyxP處的梯度為zfyfxff,grad 二元函數(shù) ),(yxf在點(diǎn)),(yxP處的梯度為),(, ),(gradyxfyxffyx3. 關(guān)系關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 可微機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0gradlflf梯度在方向 l 上的投影.思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè)函數(shù)zyxzyxf2),(1) 求函數(shù)在點(diǎn) M ( 1, 1, 1 ) 處沿曲線 12 32tztytx在該點(diǎn)切線方向的方向?qū)?shù);(2)

10、求函數(shù)在 M( 1, 1, 1 ) 處的梯度梯度與(1)中切線方向切線方向 的夾角 .2. P73 題 16機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,),(2zyxzyxf曲線 12 32tztytx1. (1)在點(diǎn))3,4, 1 (1dd,dd,ddttztytx)1 , 1 , 1(coscoscoszyxMffflf266解答提示解答提示:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 函數(shù)沿 l 的方向?qū)?shù)lM (1,1,1) 處切線的方向向量)0,1,2(grad)2(MfMMflfgrad13061306arccosMfgrad機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 l cosMfgradl42042

11、042020020020022222220czbyaxczzbyyaxxnuM4204204202czbyax2. P73 題 16P51 2，3，6，7，8，9，10 作業(yè)作業(yè)第八節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題 1. 函數(shù))ln(222zyxu在點(diǎn))2,2, 1 (M處的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令則xu21rx2注意 x , y , z 具有輪換對(duì)稱性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92(92考研考研)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向?qū)?/p>