復(fù)合梯形與復(fù)合辛普森對(duì)比

1、SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 題目名稱：復(fù)合梯形公式與復(fù)合辛普森公式對(duì)比 學(xué)生姓名 : 學(xué)生學(xué)號(hào) : 班級(jí) :學(xué)院（ 系）:目錄1. 概述 32. 問(wèn)題提出 43. 算法推導(dǎo) 54. 算法框圖 64.1 復(fù)合梯形公式算法流程圖 64.2 復(fù)合辛普森公式算法流程圖 75. MATLAB源程序 86. 結(jié)論與展望 9圖表目錄圖 4-1 復(fù)合梯形公式算法流程圖 6圖 4-2 復(fù)合辛普森公式算法流程圖 7圖 6-1 MATLAB 計(jì)算結(jié)果 9表 2-1 函數(shù)計(jì)算結(jié)果表 41. 概述梯形求積公式和辛普森求積公式分別是牛頓 -科斯特公式中 n=1 和 n=2時(shí)的情形。 其中

2、梯形求積公式可表示為其公式左端是以 a,b 區(qū)間上積分，右端為 b-a 為高、端點(diǎn)函數(shù)值為上下底的梯形的面 積值，故通稱為梯形公式，具有 1 次代數(shù)精確度。類似的，辛普森求積公式可以表示為該公式一般在 立體幾何中用來(lái)求 擬柱體的 體積，由于偶數(shù) n 階牛頓 -科特斯求積公式至少 具有 n+1 次代數(shù)精確度，所以辛普森公式實(shí)際上具有 3 次代數(shù)精確度。由于牛頓 - 科斯特公式在 n8 時(shí)不具有穩(wěn)定性，故不可能通過(guò)提高階的方法來(lái)提高求 積精度。為了提高精度通常可把積分區(qū)間分成若干子區(qū)間（通常是等分） ，再在每個(gè)子區(qū)間 上用低階求積公式。這種方法稱為復(fù)合求積法。本文主要討論復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛普森公

3、式在同一數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用。首先給出了 復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛普森公式的推導(dǎo)過(guò)程以及其余項(xiàng)的表達(dá)形式，然后用流程圖的形式 介紹算法思路，再運(yùn)用 MATLAB編寫代碼計(jì)算結(jié)果，最后對(duì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比討論。希望通過(guò)兩個(gè)算法在同一個(gè)算例中的應(yīng)用對(duì)比，更好的理解和掌握復(fù)合梯形公式和復(fù) 合辛普森公式的適用范圍和適用條件。并且能夠熟悉MATLAB編程求解問(wèn)題的流程， 掌握編程化的思想方法。同時(shí)對(duì)兩種方法的計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析，討論兩種求積方法的計(jì)算精度。2. 問(wèn)題提出對(duì)于函數(shù) 給出的函數(shù)表如下，試用復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛普森公式計(jì)算積分 。表 2-1 函數(shù)計(jì)算結(jié)果表xf(x)011/81/43/81/25/83/47/

4、813. 算法推導(dǎo)3.1 復(fù)合梯形公式根據(jù)梯形公式，將區(qū)間 劃分為 n 等份 ，分點(diǎn) , , ，在每個(gè)子區(qū)間上采用梯形公式，則得：記則 為復(fù)合梯形公式。另外，復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)可表示為3.2 復(fù)合辛普森公式根據(jù)辛普森公式將區(qū)間劃分為 n 等份，在每個(gè)子區(qū)間上采用辛普森公式。若記則得記 該公式即為復(fù)合辛普森公式。復(fù)合辛普森公式的余項(xiàng)可表示為4. 算法框圖4.1 復(fù)合梯形公式算法流程圖圖 4-1 復(fù)合梯形公式算法流程圖4.2 復(fù)合辛普森公式算法流程圖開始輸入?yún)^(qū)間斷點(diǎn) a, b及等分?jǐn)?shù) nu m2求出步長(zhǎng)各h節(jié)，點(diǎn)各函節(jié)數(shù)點(diǎn)值 ，相鄰節(jié)求點(diǎn)和中s點(diǎn)um1,及函出數(shù)積結(jié)值分束, 值結(jié)束k=1,2,.n

5、-1圖 4-2 復(fù)合辛普5森. 公M式A算TL法A流B源程程序%復(fù)合梯形公式及復(fù)合辛普森積分公式圖 clear all;format long;a=0;b=1;n=8;h=(b-a)/n;% 步長(zhǎng) for i=1:n+1x(i)=a+(i-1)*h;if isnan(sin(x(i)/x(i)syms t;tmp=limit(sin(t)./t,t,x(i);% 當(dāng)被積函數(shù)在某點(diǎn)值不存在時(shí)，求其極限 y(i)=eval(tmp);elsey(i)=sin(x(i)/x(i);% 被積函數(shù)求節(jié)點(diǎn)的值endend%復(fù)合梯形公式及復(fù)合辛普森積分公式s1=0;for k=2:ns1=s1+y(k);e

6、ndT8=h/2*(y(1)+2*s1+y(n+1)%復(fù)合辛普森積分公式s2=0;s3=0;for k=2:2:ns2=s2+y(k);endfor k=3:2:n-1s3=s3+y(k);end h1=2*h;%注：此時(shí)步長(zhǎng)是原來(lái)的 2 倍S4=h1/6*(y(1)+4*s2+2*s3+y(n+1)fprintf( 梯形積分公式：%6.6fn 辛普森公式積分： %6.6fn,T8,S4)6. 結(jié)論與展望圖 6-1 MATLAB 計(jì)算結(jié)果運(yùn)行 MATLAB程序，得到復(fù)合梯形求積公式的積分值為 0.945691 ，復(fù)合辛普森求積公式 的積分值為 0.946083(四舍五入后保留 6位小數(shù))。而實(shí)

7、際的積分準(zhǔn)確值保留到 6 位小數(shù)的 結(jié)果為 0.946083 。通過(guò)上述結(jié)果對(duì)比可以得出，雖然復(fù)合梯形公式將區(qū)間分成了 8 等分而復(fù)合辛普森公 式將區(qū)間分成了 4 等分，但兩種計(jì)算方法實(shí)際都需要使用 9 個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，計(jì)算量基本 也相同，然而最終精度差別卻很大。在保留 6 位小數(shù)的前提下，復(fù)合辛普森法計(jì)算結(jié)果與 精確解完全一致，而復(fù)合梯形公式的計(jì)算結(jié)果卻只有前兩位數(shù)字與精確解相同，誤差相對(duì) 比較大。面利用余項(xiàng)公式來(lái)估計(jì)兩種算法的誤差。首先需要求 的高階導(dǎo)數(shù)。由于f (x)sin xxcos(xt)dt ,所以有f k(x)0 ddxk (cos xt)dt0 dx0 tk cos(xt k

8、)dt ,于是k1kkmax0x1f k (x)0cos( xt )2t kdttkdt01k1從而復(fù)合梯形公式的誤差h2max12 0 x 1f (x)1 (1)2 1 0.434 1012 8 3而復(fù)合辛普森公式的誤差R8(f)1 (1)41 0.271 10 6.2880 4 5從而，對(duì)比兩者可得，復(fù)合辛普森公式在計(jì)算該問(wèn)題時(shí)的精度遠(yuǎn)高于復(fù)合梯形公式。通過(guò)以上分析，本文所得結(jié)論如下：1. 復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛普森公式都可以用來(lái)作為數(shù)值積分估算的替代公式。2. 在計(jì)算量基本相同的前提下， 復(fù)合辛普森公式計(jì)算結(jié)果的計(jì)算精度要比復(fù)合梯形公式計(jì) 算精度高的多。3. 本算例也驗(yàn)證了辛普森公式作為偶數(shù)階牛頓 - 柯特斯公式的更為精確的代數(shù)精度。關(guān)于如何開展下一步研究，提出以下構(gòu)想：1. 對(duì)多個(gè)算例進(jìn)行分析， 保證計(jì)算量基本相同的情況下去比較計(jì)算精度， 驗(yàn)證復(fù)合辛普森公式具有更高精度的結(jié)論。2. 對(duì)多個(gè)算例進(jìn)行 MATLAB編程分析， 在要求相同計(jì)算精度的前提下去比較計(jì)算量的大小， 從而分析復(fù)合梯形公式與復(fù)合辛普森公式的優(yōu)劣。參考文獻(xiàn)1 穆耶賽爾 艾合買提 ,阿布都熱西提 阿布都外力 . 改進(jìn)復(fù)合梯形求積公式 J. 首都師范大學(xué)學(xué)報(bào) （ 自然科學(xué) 版）,2016,06:1-4.2 劉智穎 , 王向公 , 任威龍 , 龍耀萍 . 辛普森公式的推廣形式及應(yīng)用 J. 山東理工大學(xué)學(xué)