多元線性回歸模型公式

1、多元線性回歸模型公式二多元線性回歸模型在多要素的地理環(huán)境系統(tǒng)中，多個(gè)(多于兩個(gè))要素之間也存在著相 互影響、相互關(guān)聯(lián)的情況。因此，多元地理回歸模型更帶有普遍性的 意義。(-)多元線性回歸模型的建立假設(shè)某一因變量y受k個(gè)自變量在心,的影響，其n組觀測值為 (”，小，均,小)，4 = 12.。那么，多元線性回歸模型的結(jié)構(gòu)形式為：=Bo+ PXa + PlX2a + + PkXka +(3.2. 11)式中：用用為待定參數(shù)；為隨機(jī)變量。如果為出，,4分別為自兇以血的擬合值，則回歸方程為y=b() + bxxA + b2x2 +.+bkxk ( 3. 2. 12 )式中：%為常數(shù)；bi, b2，,bk

2、稱為偏回歸系數(shù)。偏回歸系數(shù)e3 = 12火)的意義是，當(dāng)其他自變量，(/)都固 定時(shí)，自變量為每變化一個(gè)單位而使因變量y平均改變的數(shù)值。根據(jù)最小二乘法原理，p, (i = 012.)的估計(jì)值 (i = 0,l,2,.M)應(yīng) 該使0 = 一)j+4%) - min( 3. 2. 13 )=1 1) d=jXja =0(j = L2,./)有求極值的必要條件得(3. 2. 14)義= 物 絲 颯將方程組(3. 2. 14)式展開整理后得:曲+(X /也+(X占。血+(Z加血=z 乂 n-i-1】n-1nnnnn(3.2. 15)(2G%+QX)4+(Z32”2+(Z*%)4 =2X北 -1 nnn

3、nn(22；)4)+(255)仇 +(ZE泡 + fl-io-in-1/?-!(Z%)%+(Zla。)優(yōu)+(Z4)a = Z*/。.a-】o-lo-ln-1方程組(3.2.15)式，被稱為正規(guī)方程組。如果引入一下向量和矩陣：r i i iN1內(nèi)2 再3A = X.X =X，31、(X如再”1再2x22-看2%1須3孫也均4E-E-g演/ 1 Xll A21, %、V)1 M2 物h =b2,y=)?2 ,x =1再33勺3 5”J X|w ，2”kn)1、0、X”% 玉 n-ln-1n En fl-lfl-1則正規(guī)方程組(3.2.15)式可以進(jìn)一步寫成矩陣形式Ab=B (3. 2. 15)求解

4、(3.2. 15)式可得：b = AlB = (XTXYlXTY (3. 2. 16)如果引入記號(hào)：nn-l4 =之與 一 W)(” 一亍)(，=12,k)H-1則正規(guī)方程組也可以寫成：1+2+.+ Lkbk =L1y1 + -2”2 +匕卜14=Ly v(3. 2. 15)AuA + Lk 也? + + 4 也=% bQ = ybxx -b2x2-.bkxk(二)多元線性回歸模型的顯著性檢驗(yàn)與一元線性回歸模型一樣，當(dāng)多元線性回歸模型建立以后，也需要進(jìn) 行顯著性檢驗(yàn)。與前面的一元線性回歸分析一樣，因變量y的觀測值 為刈，,以之間的波動(dòng)或差異，是由兩個(gè)因素引起的，一是由于自變量 不士一力的取之不同，另一是受其他隨機(jī)因素的影響而引起的。為了 從y的離差平方和中把它們區(qū)分開來，就需要對回歸模型進(jìn)行方差分 析，也就是將y的離差平方和%或（LG分解成兩個(gè)部分，即回歸平 方和U與剩余平方和Q：Sr=Lyy = U + Q在多元線性回歸分析中，回歸平方和表示的是所有k個(gè)自變量對y的 變差的總影響，它可以按公式1=1=1計(jì)算，而剩余平方和為A 2以上幾個(gè)公式與一元線性回歸分析中的有關(guān)公式完全相似。它們所代 表的意義也相似，即回歸平方和越大，則剩余平方和Q就越小，回歸 模型的效果就越好。不過，在多元線性回歸分析中，各平方和的自由 度略有不同，回歸平方和U的自由度等