2020屆江蘇省蘇州市常熟市高三下學(xué)期3月“線上教育”學(xué)習(xí)情況調(diào)查數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、2020屆江蘇省蘇州市常熟市高三下學(xué)期3月“線上教育”學(xué)習(xí)情況調(diào)查數(shù)學(xué)試題一、填空題1,已知集合 A x| 2 x 1,x Z, B x| 1 x 0,則 AI B .【答案】1,0【解析】求出集合A, B ,根據(jù)集合的基本運算即可得到結(jié)論.【詳解】解：A x| 2 x 1,x Z 2, 1,0,1 ,又 B x| 1 x 0,則 A B1,0 .故答案為：1,0 .【點睛】本題主要考查集合的基本運算，確定集合元素是解決本題的關(guān)鍵2.某校高一、高二、高三學(xué)生數(shù)之比為2： 3： 4,現(xiàn)用分層抽樣方法抽取 n位同學(xué)參加志愿服務(wù)，其中高三年級抽取了12位同學(xué)，則n .【答案】274.r 一【解析】

2、根據(jù)比例關(guān)系列方程 n 12,解出即可.2 3 4【詳解】-4解：由已知得n 12,2 3 4解得：n 27.故答案為：27.【點睛】本題考查分層抽樣的基本計算，是基礎(chǔ)題.3.有4件產(chǎn)品，其中1件是次品，其余為正品，從中選取兩件檢測，兩件產(chǎn)品均為正 品的概率是.【答案】-2【解析】先列舉選取兩件的基本事件個數(shù)，再列舉兩件產(chǎn)品均為正品的基本事件數(shù)，最后用古典概型公式求解概率即可.【詳解】解：設(shè)1件是次品為 A,正品為a,b,c從4件產(chǎn)品中選取兩件，有 Aa, Ab, Ac,ab,ac,bc共6個基本事件，檢測的兩件產(chǎn)品土為正品，有ab,ac,bc共3種基本事件，,、一 一 一一 、一 3 1則兩

3、件產(chǎn)品均為正品的概率是3 1.6 2 1故答案為：1.2【點睛】本題考查古典概型的概率計算，是基礎(chǔ)題.4.若執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的k值是./金出甯/【答案】4【解析】由已知中的程序語句可知： 該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算n的值并輸出相應(yīng)變量k的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.【詳解】解：模擬程序的運行，可得n = 3, k = 0不滿足條件n為偶數(shù)，n = 10, k = 1不滿足條件n =8,執(zhí)行循環(huán)體，滿足條件 n為偶數(shù)，n =5, k=2不滿足條件n =8,執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件 n為偶數(shù)，n =16, k =3第9頁共21頁不滿足條件n =8,執(zhí)

4、行循環(huán)體，滿足條件 n為偶數(shù)，n =8, k = 4此時，滿足條件n = 8,退出循環(huán)，輸出k的值為4.故答案為：4.【點睛】本題主要考查循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，正確依次寫出每次循環(huán)得到的n ,關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.k的值是解題的2019，1 i一、一5 .復(fù)數(shù)z ；一（其中i是虛數(shù)單位）的虛部是 【答案】-1【解析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案【詳解】解：Qi4 1,.2019i504 4 331 i1 i .2 .i ii i1 i,虛部為 1.故答案為：1【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題6.已知 0, ,且2sin 3cos ,貝U 21212【

5、答案】12【解析】利用誘導(dǎo)公式化為同一個角的計算問題即可.【詳解】解：由已知2sin555一 3cos 一 3sin 一1212 212得sin 0,又 0,1225c50,一12125故答案為：.12本題考查利用誘導(dǎo)公式化簡和求值，是基礎(chǔ)題 7.我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增， 共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？ ”意思是：一座7層塔共掛了 381盞燈，且相鄰兩 層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的 2倍，則塔的頂層燈數(shù)為 【答案】3【解析】分析：設(shè)塔的頂層共有 ai盞燈，則數(shù)列an公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù) 列前n項和公式能求出結(jié)果.詳解：設(shè)塔的頂層共有

6、ai盞燈，則數(shù)列an公比為2的等比數(shù)列，S7= a1(1 2 ) =381 ,解得 ai=3 .故答案為 3.1 2點睛：本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力.2 2.x y28 .雙曲線-2 y2 1(a 0,b 0)的漸近線與拋物線 y2 Px(p 0)的兩個交點(原點a b除外)連線恰好經(jīng)過拋物線的焦點，則雙曲線的離心率為 .先求出雙曲線的漸近線與拋物線的一個交點,p ,再利用交點在漸近線上1b2可得結(jié)果.解：對于拋物線 y2 2px( p 0),當(dāng)x則雙曲線的漸近線與拋物線的一個交點為則雙曲線2 y b21(a 0,b 0)的漸近線的斜率a則離心率a J故答

7、案為:.5.本題考查雙曲線離心率的求解，關(guān)鍵是要通過條件找到a,b,c的關(guān)系式，是基礎(chǔ)題.9 .四棱錐P ABCD中，PA 平面ABCD,底面ABCD是邊長為2的正方形,PA 2,則四棱錐的側(cè)面積是 .【答案】4 4:2【解析】 首先證明CD 平面PAD,得到VPCD是直角三角形，進(jìn)而四棱錐P ABCD每個側(cè)面都是直角三角形，用三角形的面積公式求解即可【詳解】解：如圖：Rc由已知PA 平面ABCD,又CD 平面ABCD,則 CD PA ,又 CD AD ,且 PA AD A,所以CD 平面PAD,又PD 平面PAD ,所以CD PD ,即VPCD是直角三角形，同理VPBC也是直角三角形，且 V

8、PBC和VPCD的面積相同，四棱錐的側(cè)面積：S 2SVPAD 2SVPCD 2 1 2 2 2 1 2 22 22 4 4.2. 22故答案為：4 4.2 .【點睛】本題考查四棱錐側(cè)面積的計算，關(guān)鍵是得到側(cè)面都是直角三角形，是基礎(chǔ)題*,10 .已知正項數(shù)列 an的前n項和為Sn,且a1 2 , anan 1 2 & 1 n N ,則a2019 a2020 .【答案】4041【解析】由anan 1 2 Sn 1 ,可得n 2時，an冏 2 Sn 1 1 ,相減可得：an+1 +an 1 2,利用等差數(shù)列的通項公式即可得出.【詳解】解：: anan 1 2 Sn 1 , , n 2 時，a

9、n 1an 2 Si 1 1 ,相減可得： anan i an ian 2an,an 0.an 1 an 1 2 ,又 al 2_2019 1_ a2019 2 (2029 1 1) 2 2020.由 anan 1 2 Sn 1 ,當(dāng) n 1 時，a1a2 2 s 12 a1 1 ,得 a23 ,a20203 管 1) 22021,則 a2019a20204041 .故答案為：4041 .【點睛】 本題考查了 Sn法求數(shù)列通向公式，考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了學(xué)生計算能力，屬于中檔題.2x, x, 1111 .已知函數(shù) f (x) log xx 1，若 f(f(x) 一，則 X .,2 ,

10、23【答案】3 v 11 .一【解析】分類討論，分別令2x - , log 1 x 一，求得x后，繼續(xù)將x作為函數(shù)值求自 232變量.【詳解】由題意，當(dāng) x, 1 時，f(x) 2x (0,2,當(dāng) x 1 時，f(x) logIx 0,3-1又 f(f(x)2則2x 1,可得x 1,再令log x 1 ,得x 3 ,符缶23故答案為：3.【點睛】本題考查已知分段函數(shù)的函數(shù)值求自變量，考查分類討論的思想，是基礎(chǔ)題一，.k12.若對于給定的正實數(shù) k,函數(shù)f(x)的圖象上總存在點 C,使得以C為圓心，1 x為半徑的圓上有兩個不同的點到原點。的距離為2,則k的取值范圍是 .9【答案】0,9 2【解析

11、】 根據(jù)題意得：以C為圓心，1為半徑的圓與原點為圓心，2為半徑的圓有兩個交點，即C到原點距離小于3,即f(x)的圖象上離原點最近的點到原點的距離小于3,設(shè)出C坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式表示出C到原點的距離，利用基本不等式求出距離的最小值，讓最小值小于3列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集即可得到 k的范圍.【詳解】解：根據(jù)題意得：2 110c 1 2 3,Q|0C| Jx2 % 加,9則k的范圍為0,-2一 9故答案為：0,2 .【點睛】此題考查圓與圓位置關(guān)系的判定，基本不等式的運用，以及兩點間的距離公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出以 C為圓心，1為半徑的圓與原點為圓心，2為半徑的圓有兩個交點，

12、即C到原點距離小于 3.uuur uur13 .已知平面四邊形 ABCD中，AB 1,CD 2,DA 3,AC BD 10 ,則BC .【答案】4uur uuur uuir uuuunr【解析】根據(jù)平面向量的線性運算與數(shù)量積運算，用 AB , BC,CD和DA表示AC和BD ,計算即可.【詳解】解：平面四邊形 ABCD中，AB 1,CDuur uuir2,DA 3, AC BD 101 caXix2x2 2,作差X2第11頁共21頁uur2uuur uuu uuur uurAB(AC CB) (AD DB)uuur uuurAC ADuuu uuurCB DBuuur uuur uuu uuu

13、rAC DB CB ADuuur2ACuuuBDuiur2 ADuuu 2CBuuir (DBuuuCB)uuirCDuuuruuruur2uur2uur 22ACBDADCBCD2 10 3222,即12uur2 CB解得uuu 2 CBuur16,即 CB4;uuu ACuuur BDuuu (ACuuurADuuuCBuuurAD)uuuCBuuur DBuuu ACuuur BDuuurABuuur uuu uuurAD CB DBuuu ACuuur BDuuu (ADuuurDB)uuuADuuuCBuuu (DCuuuCB)uurACuuurBDuur2ADuurDBuuur A

14、Duuu CBuur DCuur 2 CBuuu ACuuur BDuuur 2ADuuur DBuuu (ACuuur uuu uuu CD) CB DCuuu2CBuuu ACuuur BDUUU2ADuuur DBuuur ACuuur (DBuuinCDuuuCBuuuDC)uuu2CB所以BC 4.故答案為：4.本題考查了平面向量的線性表示與數(shù)量積運算問題，也考查了運算求解能力，是難題14.設(shè)函數(shù)f(x)aln x(a R)的兩個極值點分別為 x, x2,若f x1f x22ex22恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是1【解析】由函數(shù)f (x) - x alnx(a R)有兩個極值點分別為

15、x,x2,可知f x不 x單調(diào)，利用導(dǎo)數(shù)求得 a的范圍，運用韋達(dá)定理可得X2,再由條件，結(jié)合恒成立思想，運用函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)F(x)e2 1范圍.lnx,(x 1),通過求導(dǎo)，判斷單調(diào)性可得x e,即可得到a的解：:函數(shù)f(x)x aln x(aR)有兩個極值點分別為x1 ?2 ,x的定義域為(0,),，、1，(x)21x2x ax 12xg(x) x2 axa2 4.a 2時,V 0, f (x) 0, f (x)在(0,)上單調(diào)遞減,不合題意2時,0,g(x) 0的兩根都小于零，在(0,)上,(0,)上單調(diào)遞減，不合題意.2時,設(shè)g(x)。的兩個根為42都大于零,a ；a2 4,x2

16、2x x1時，f (x)0 ,當(dāng) x x x2 時,(x)。，當(dāng)x x2 時，f (x) 0,x分別在0,x1 ,x2 ,上單調(diào)遞減,x1,x2上單調(diào)遞增,a的取值范圍是(2,).x2x2x2又2x1x2x1x2x1x1a In x11一x2x2a In x2Inx1x21n x2 ,f x1f x2In x1In x2a 2 a 1n x11n x2xx2xx2x x2xx2第19頁共21頁什 f xf x2若x1 x22e e-a 2恒成立，則 21In x1In x2XiX2In x1In x2x1x22e e不妨設(shè)xiX2,xie-J lnx1 lnx2 . 2ex2x2x2x22 e

17、2e2ln x2 ,x2jx2x21恒成立.記 F (x)e2 1In x記x1(x 1),F (x)1x2-2F(x)在1,x2上單調(diào)遞增，在 x2,上單調(diào)遞減,且易知0 x 1 x2 e.又F(1)0,F (e) 0當(dāng) x (1,e)時，F(xiàn)(x) 0；當(dāng) xe,)時,F(x)0.故由式可得,又2e,代入方程g x22x2ax2 10,1得 ax2 一X2x21一在x2 x2e,)上遞增).又a 2,a的取值范圍是故答案為：a本題考查利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、極值,主要考查極值的運用，運用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵，同時考查函數(shù)的單調(diào)性的運用和基本不等式的運用，考查運算能力，屬于難題.二、解答

18、題15.已知直三棱柱 ABC ABC1中，VABC為等腰直角三角形，BAC 90 ,且AB AA ,點 D,E,F 分別為 ABi,CCi,BC 中點.山(1)求證：DF /平面 ACCiA ；(2)求證：EF 平面B1AF .【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【解析】(1)連結(jié)A1B, AC ,推導(dǎo)出D是AB1中點，從而DF /AC ,由此能證明DF/平面ACC1A -(2)推導(dǎo)出AB AC , AF BC , BB AF ,從而AF 平面BCC B ,進(jìn)而AF EF ,從而四邊形BCC1B1是矩形，推導(dǎo)出VRBF VFCE ,從而EF BF ,由此能證明EF 平面B1AF .(1)

19、連AB, AC,三棱柱ABC A1BC1中，側(cè)面ABB1A1是平行四邊形,因平行四邊形對角線互相平分，D是ABi中點，.D是AB中點，又F是BC中點，DF/AC,DF 平面 ACCiA,AC 平面 ACC1A1,DF /平面 ACCiA ;(2) VABC為等腰直角三角形，BAC 900,AB AC,又F是BC中點，AF BC,由直三棱柱ABC ABC知BBi平面ABC, AF 平面ABC ,BB1 AF ,又 BCI B4 B,BC,B4 平面 BCC1B1,AF 平面 BCCi Bi ,又 EF 平面 BCCBi ,AF EF ,又由VABC為等腰直角三角形，BAC 90 ,且AB AA

20、,可知 BC 72bb ,又F是BC中點，E是CCi中點，易證VBiBF VFCE ,得 BFBiCEF,BBiFCFE,又BB1FBFB1CEF CFE 90 ,BFB1CFE 90 , EF B1F ,又 AFIB1F F, B1F,AF 平面 B1AF,EF 平面 B1AF .【點睛】本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題16.在VABC中，角A、B、C的對邊分別為a,b, c,已知c 1, C -.3(1)若VABC的面積為近，求a , b ；4(2)若 sin2B 6sin AcosB ,求 VABC 的

21、面積.【答案】(1) a b 1; (2)也或31 628【解析】(1)由已知利用三角形的面積公式可求ab 1,利用余弦定理可得 a b 2,聯(lián)立方程即可得解 a , b的值.(2)由已知可求得 cosB 0,或sin B 3sinA,分類討論，當(dāng)cosB 0時，可得B ,求得a ,利用三角形的面積公式即可求解；當(dāng) sinB 3sin A時，由正弦定理 2可得b 3a,進(jìn)而根據(jù)余弦定理，三角形的面積公式即可求解【詳解】1 一 1. 3,3斛(1) Q Svabc absinC ab ，2224ab 1,由 c2a2 b22abcosC(ab)2 3ab1,a b 2 ,解得 a b 1 ；(2

22、)Qsin2B6sin AcosB ,即 2sin BcosB6sin AcosB ,2cos B(sin B 3sin A)0,可得 cosB 0,或 sin B 3sin A,當(dāng)cosB 0時，由于B(0,)，可得 B2又c 1, C .可得a3J'SVABC31一 acsinB 2當(dāng)sinB 3sinA時，由正弦定理可得 b 3a,又 c2 a2 b22abeosC 7a2 1，可得 a 外 亭,SVABC1 “1-7 37 、3 3 - 3- absinC - 2277228三角形的面積為或3® . 628本題主要考查了三角形的面積公式，余弦定理,正弦定理在解三角形中

23、的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和分類討論思想，屬于中檔題17.江南某濕地公園內(nèi)有一個以 。為圓心，半徑為20米的圓形湖心洲.該湖心洲的所對兩岸近似兩條平行線 l12,且兩平行線之間的距離為70米.公園管理方擬修建一條木棧道淇路線為A B C （如圖，A在B右側(cè)）.其中，BC與圓。相切于點Q,OA li,OA 30米.設(shè) CBP ,滿足0（1）試將木棧道 A B C的總長表示成關(guān)于的函數(shù)L（）,并指出其定義域；（2）求木棧道 A B C總長的最短長度.90 30cos »2【答案】（）L ,定義域為0,彳，其中cos 0 ；（2） 60sin23【解析】（1）試將木棧道A B C的總長表示

24、成關(guān)于的函數(shù)L ，由AB 0且BC 0求三角不等式得函數(shù)定義域；（2）利用導(dǎo)數(shù)求木棧道 A B C總長的最短長度【詳解】解：（1）過Q分別向AO和li作垂線，垂足為 H,M ,PMBAC由題意可得，QOH , QH 20sin , OH 20cos則 AH MQ30 20cosQM 30 20cos 在直角二角形 BMQ中，BM tan tanAB AM BM QH BM 20sin30 20cos20 30costansinBC 至，LsinBCAB70 sin20 30cossin90 30cossinQ AB 0 且 BC0,cossin令 cos 00, 一2定義域為0, 2cos 0

25、(2)由 L()9030cos sin，得L（301 3cos_2-sin0, 20,得cosQ3當(dāng) cos1 工L( )min時，3901 110 60.2故木棧道C總長的最短長度為60亞米.本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷,根據(jù)直線和圓相切的等價條件,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題2 X18.已知橢圓C :不 a2y-r 1(a b b23。）上一點1,-與橢圓右焦點的連線垂直于x軸,過橢圓C上一點P的直線l ： y kxm與橢圓22E : 1交于A, B兩點(A, B均 16 12不在坐標(biāo)軸上）,設(shè)O為坐標(biāo)原點，過O的射線OP與橢圓E交于點Q .(1)若 |OQ|OP

26、|,求實數(shù)的值;（2）當(dāng)P為1,2時，若四邊形OAQB的面積為12,試求直線l的方程.【答案】（1）2； (2) y【解析】（1）卜2由題意可知c 1且b- a3-,從而求出橢圓C的方程，再把點P,Q再把 2第25頁共21頁代入橢圓方程，即可求出的值;（2）設(shè)A Xi，y1，B X2，y2 ,由直線過點3 ,3iq知k m ，分別聯(lián)立直線l與橢22圓E和橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理得到所以SvAQB2SvaOBml4、. 3 v 16k2 12 m23 4k212,化簡得4k2 3 m2，由即可解得k和m的值，從而求出直線l的方程.【詳解】解：（1）橢圓C的右焦點坐標(biāo)為（1,0),b2又 a2

27、b2 1,a b 0,解得：a2 4, b2 3,22所以橢圓C的方程為：土匕1 ,43設(shè) P %, yo ,則 QXo, yo ,22x0 y0- 1432 22 2X Vo1612得:又 0,故 2;(2)設(shè) A。y1，B X2，y2 ,由直線過點3 .一 3 一19知k m -,22y kx m由x2 y2得，一 一 116 124.222_3 4k x 8kmx 4m 48,_2_22-有1(8km)4 3 4k 4m 48-2_24 12 16k12 m0,且x,x28km2，取23 4 k22_4m 4823 4k2y kx m由 x2 v2得，3 4k2 x2 8kmx 4m2

28、12匕143一,，_.、2 一 . 22 一 一 .2 一 2_因為 2 (8km)4 3 4k 4m 1248 4k 3 m 0,所以4k2 3 m2，訴門 c ccI,一 I 4V3Jl6k2 12 m2所 S SVAQB 2 SVAOB m | x1 X2 | 1m |3-4k212，2c 2化簡得 2 4k2 3m24k2 3 ，得 4k2 3 m2 ，1由解得：k -, m 2 , 2L 1所以直線l的方程為：y - x 2. 2【點睛】本題主要考查了直線與橢圓的綜合，考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用及面積的計算，考查了學(xué)生計算能力與分析能力，是一道中檔題.19 .構(gòu)造數(shù)組，規(guī)則如下：第一組是兩

29、個1,即(1,1),第二組是(1,2a,1),第三組是(1,a(1 2a),2a,a(2a 1),1),在每一組的相鄰兩個數(shù)之間插入這兩個數(shù)的和的a倍得到下一組，其中a (0,1) .設(shè)第n組中有an個數(shù)，且這an個數(shù)的和為Sn n N(1)直接寫出an 1與an的關(guān)系式，并求an和Sn；，、一1 .(2)已知 a - , bn2,n 2k 1,k an 111 ,n 2k,k NSn 1，Tn是數(shù)列bn的前n項和，Hn是數(shù)列 Tn的前n項和.若對任意n N* , Hx x4滿足條件的正整數(shù) k的值.【答案】(1) an1 2an 1, an 1 2n 1, Sn1 (2a 1)n 1 ； (

30、2) k 1,2,3【解析】(1) a1 2,an 1 2an 1 ,化為：an 11 2 an 1 ,數(shù)列an 1為等比數(shù)列，可得：anS1 2, Sn1 Sn 2a Sn 1 ,可得:Sn 1 1 2a 1Sn1 ,Si 11 ,利用通項公式可得Sn ；(2) bn2k 1,k可得Tn可得H2n據(jù)對任意解：（1）a1數(shù)列an可得:Sn(2)bnH2nTi T2N ,H 2n2, an 12k,k N.T2n 3x|2an 1 ,化為:(2a為等比數(shù)列，可得anS 2a Sn2a1)n1 Sn解得:Snan 11 1.(2a1)n2k1,kTnT1123H2n對任意J22 nH2n2k,k

31、N3T2n21x|2 k3, 4解得0 k103正整數(shù) k 1,2,3 .12n0,即可得出.2 an可得:12n,0,2k 1,k2k,k NH 2n 1an2n2k 1,k N2k, k N第29頁共21頁【點睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式與求和公式、不等式的解法、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題20.已知函數(shù)f(x)13§x ax,g(x)(1)設(shè) F(x)f (x) g(x)當(dāng)a1時，求曲線y F(x)在點(1,F(1)處的切線方程;2當(dāng)a 0時，求證：F(x)對任意x (0,)恒成立.e(2)討論G(x) f (x) g(x)的極值點個數(shù).2【答案】(1)y ；證明見解析；(2)當(dāng)a 0時，f (x)有且僅有一個極值點； e當(dāng)a 0時，f(x)有三個極值點【解析】(1)將a 1代入，求出切點及斜率，利用點斜