金融工程的基本分析方法—狀態(tài)價格定價法

1、12/28/2021整理ppt1金融工程的基本分析方法金融工程的基本分析方法2.1 無套利定價法無套利定價法 定義定義2.1：套利是同時持有一種或者多種資：套利是同時持有一種或者多種資產(chǎn)的多頭或者空頭，從而存在不承擔(dān)風(fēng)險產(chǎn)的多頭或者空頭，從而存在不承擔(dān)風(fēng)險的情況下鎖定一個的情況下鎖定一個高于無風(fēng)險利率高于無風(fēng)險利率的收益。的收益。 兩種套利方法：兩種套利方法：當(dāng)前時刻凈支出為當(dāng)前時刻凈支出為0，將來獲得正收益（收益，將來獲得正收益（收益凈現(xiàn)值為正）凈現(xiàn)值為正）當(dāng)前時候一系列能帶來正收益的投資，將來的當(dāng)前時候一系列能帶來正收益的投資，將來的凈支出為零（支出的凈現(xiàn)值為凈支出為零（支出的凈現(xiàn)值為0）

2、。）。 無套利原則無套利原則：如果市場是有效率的話，市：如果市場是有效率的話，市場價格必然由于套利行為作出相應(yīng)的調(diào)整，場價格必然由于套利行為作出相應(yīng)的調(diào)整，重新回到均衡的狀態(tài)。重新回到均衡的狀態(tài)。注意：無套利并不需要市場參與的者一致行動，注意：無套利并不需要市場參與的者一致行動，實際上只要少量的理性投資者可以使市場無套實際上只要少量的理性投資者可以使市場無套利。利。在有效的金融市場上，市場在有效的金融市場上，市場不存在套利均衡不存在套利均衡。 案例案例 2-1 假設(shè)現(xiàn)在假設(shè)現(xiàn)在6個月即期年利率為個月即期年利率為10%（連續(xù)復(fù)（連續(xù)復(fù)利，下同），利，下同），1年期的即期利率是年期的即期利率是12

3、%。如。如果有人把今后果有人把今后6個月到個月到1年期的遠(yuǎn)期利率定年期的遠(yuǎn)期利率定為為11%，試問這樣的市場行情能否產(chǎn)生套，試問這樣的市場行情能否產(chǎn)生套利活動？利活動？ 答案是肯定的。答案是肯定的。12/28/2021整理整理ppt5 回顧：連續(xù)復(fù)利的概念回顧：連續(xù)復(fù)利的概念 若名義利率為若名義利率為r，一年（期）平均付息，一年（期）平均付息m次，次，則相應(yīng)的有效利率則相應(yīng)的有效利率rm為為(1)1lim1mrmmmrrrem 后者為連續(xù)復(fù)利，如果是后者為連續(xù)復(fù)利，如果是T年（期），則年（期），則(1)1lim1mTrTmmmrrrem 套利過程是：套利過程是：交易者按交易者按10%的利率借入

4、一筆的利率借入一筆6個月資金（假設(shè)個月資金（假設(shè)1000萬元）萬元）簽訂一份協(xié)議（遠(yuǎn)期利率協(xié)議），該協(xié)議規(guī)定該交易簽訂一份協(xié)議（遠(yuǎn)期利率協(xié)議），該協(xié)議規(guī)定該交易者可以按者可以按11%的利率，在的利率，在6個月后從市場借入資金個月后從市場借入資金1051萬元（等于萬元（等于1000e0.100.5）。）。按按12%的利率貸出一筆的利率貸出一筆1年期的款項金額為年期的款項金額為1000萬元。萬元。1年后收回年后收回1年期貸款，得本息年期貸款，得本息1127萬元（等于萬元（等于1000e0.121），并用），并用1110萬元（等于萬元（等于1051e0.110.5）償）償還還1年期的債務(wù)后，交易者凈

5、賺年期的債務(wù)后，交易者凈賺17萬元（萬元（1127萬元萬元-1110萬元）。萬元）。1. 這是哪一種套利？這是哪一種套利？ 先看遠(yuǎn)期外匯定價的例子先看遠(yuǎn)期外匯定價的例子 目前貨幣市場上美元利率是目前貨幣市場上美元利率是6%，馬克利率，馬克利率是是10%；外匯市場上美元與馬克的即期匯；外匯市場上美元與馬克的即期匯率是率是1 美元兌換美元兌換1.8馬克馬克 (1:1.8) 問：一年期的遠(yuǎn)期匯率是否還是問：一年期的遠(yuǎn)期匯率是否還是1:1.8？無套利的定價法的原理：無套利的定價法的原理： 套利者可以借入套利者可以借入1美元，一年后要歸還美元，一年后要歸還1.06美元；美元； 在即期市場上，他用借來的在

6、即期市場上，他用借來的1美元兌換成美元兌換成1.8馬克馬克存放一年，到期可以得到存放一年，到期可以得到1.98馬克；馬克； 在遠(yuǎn)期市場上套利者在購買在遠(yuǎn)期市場上套利者在購買1.8馬克同時按照目前馬克同時按照目前的遠(yuǎn)期匯率（的遠(yuǎn)期匯率（1:1.8）賣出）賣出1.98馬克，換回馬克，換回1.1美元。美元。 在扣除掉為原先借入的在扣除掉為原先借入的1美元支付的本息美元支付的本息1.06美元美元之外，還有一個剩余之外，還有一個剩余0.04美元（美元（1.1美元美元-1.06美美元）。如果不計費用，這個剩余就是套利者獲取元）。如果不計費用，這個剩余就是套利者獲取的無風(fēng)險利潤。顯然，的無風(fēng)險利潤。顯然，1

7、:1.8不是均衡的遠(yuǎn)期外匯不是均衡的遠(yuǎn)期外匯價格。價格。無套利的價格無套利的價格 無套利均衡的價格必須使得套利者處于這無套利均衡的價格必須使得套利者處于這樣一種境地：他通過套利形成的財富的現(xiàn)樣一種境地：他通過套利形成的財富的現(xiàn)金價值，與他沒有進(jìn)行套利活動時形成的金價值，與他沒有進(jìn)行套利活動時形成的財富的現(xiàn)金價值完全相等，即套利不能影財富的現(xiàn)金價值完全相等，即套利不能影響他的期初和期末的現(xiàn)金流量狀況。響他的期初和期末的現(xiàn)金流量狀況。 套利者借入套利者借入1美元后，如果不進(jìn)行套利活動，美元后，如果不進(jìn)行套利活動，他一年后將得到他一年后將得到1.06美元；如果他實施了美元；如果他實施了套利活動，他一

8、年后將得到套利活動，他一年后將得到1.98馬克。這馬克。這兩種情況都是從期初的兩種情況都是從期初的1美元現(xiàn)金流出開始，美元現(xiàn)金流出開始，到期末時兩個現(xiàn)金流入的價值也必須相等。到期末時兩個現(xiàn)金流入的價值也必須相等。于是于是1.06美元美元=1.98馬克，即馬克，即1美元美元=1.8679馬克。這個價格才是無套利的均衡價格。馬克。這個價格才是無套利的均衡價格。 無套利的定價法的原理：無套利的定價法的原理： 無套利定價的關(guān)鍵技術(shù)是所謂無套利定價的關(guān)鍵技術(shù)是所謂“復(fù)制復(fù)制”技技術(shù)，即用一組證券來復(fù)制另外一組證券。術(shù)，即用一組證券來復(fù)制另外一組證券。 如果兩種資產(chǎn)（組合）的現(xiàn)金流特征完全相同，如果兩種資

9、產(chǎn)（組合）的現(xiàn)金流特征完全相同，根據(jù)無套利原理，二者可以相互復(fù)制根據(jù)無套利原理，二者可以相互復(fù)制如果如果A資產(chǎn)（組合）的風(fēng)險與資產(chǎn)（組合）的風(fēng)險與B資產(chǎn)（組合）資產(chǎn)（組合）完全相同，則已知完全相同，則已知A資產(chǎn)的收益，就可以推斷資產(chǎn)的收益，就可以推斷B的收益，從而得到的收益，從而得到B的資產(chǎn)的定價。的資產(chǎn)的定價。案例案例2-2 無套利定價法運用到期權(quán)定價中無套利定價法運用到期權(quán)定價中 假設(shè)一種不支付紅利的股票，目前的市價假設(shè)一種不支付紅利的股票，目前的市價為為10元，我們知道在元，我們知道在3個月后，該股票價格個月后，該股票價格要么是要么是11元，要么是元，要么是9元。元。 假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險年

10、利率等于假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險年利率等于10%， 問題：求一份問題：求一份3個月期執(zhí)行價格為個月期執(zhí)行價格為10.5元的元的該股票歐式看漲期權(quán)的價值。該股票歐式看漲期權(quán)的價值。 為了找出該期權(quán)的價值，為了找出該期權(quán)的價值， 可構(gòu)建一個由可構(gòu)建一個由一單位看一單位看漲期權(quán)空頭漲期權(quán)空頭和和單位的標(biāo)的股票多頭單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。組成的組合。若股票價格若股票價格=11，則該期權(quán)執(zhí)行，則組合收益為，則該期權(quán)執(zhí)行，則組合收益為11 -0.5若股票價格若股票價格=9，則該期權(quán)不執(zhí)行，則組合收益為，則該期權(quán)不執(zhí)行，則組合收益為9 為了使該組合在期權(quán)到期時無風(fēng)險，為了使該組合在期權(quán)到期時無風(fēng)險，必須滿足必

11、須滿足下式：下式： 11 -0.59 ，即，即 =0.25 組合價值為組合價值為2.25元元 由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位單位股票多頭，而目前股票市場價格為股票多頭，而目前股票市場價格為10元，因此，元，因此，從無套利出發(fā)，期權(quán)費從無套利出發(fā)，期權(quán)費f（期權(quán)的價值）必須滿足（期權(quán)的價值）必須滿足元19. 225. 225. 01 . 0e10 0.252.190.31ff元 根據(jù)無套利定價原理，無風(fēng)險組合只能獲得無風(fēng)根據(jù)無套利定價原理，無風(fēng)險組合只能獲得無風(fēng)險利率，所以組合的現(xiàn)值為險利率，所以組合的現(xiàn)值為無套利定價機(jī)制的主要特征無套利定價機(jī)制

12、的主要特征 無套利定價原則要求套利活動必須在無風(fēng)險狀態(tài)下進(jìn)行無套利定價原則要求套利活動必須在無風(fēng)險狀態(tài)下進(jìn)行 在一個不存在套利機(jī)會的有效市場上，投資者可以建立在一個不存在套利機(jī)會的有效市場上，投資者可以建立起一個包含了衍生品（比如期權(quán)）頭寸和基礎(chǔ)資產(chǎn)（比起一個包含了衍生品（比如期權(quán)）頭寸和基礎(chǔ)資產(chǎn)（比如股票）頭寸的無風(fēng)險的資產(chǎn)組合。如股票）頭寸的無風(fēng)險的資產(chǎn)組合。 若數(shù)量適當(dāng)，基礎(chǔ)資產(chǎn)多頭盈利（或虧損）就會與衍生若數(shù)量適當(dāng)，基礎(chǔ)資產(chǎn)多頭盈利（或虧損）就會與衍生品的空頭虧損（或盈利）相抵，因此在短期內(nèi)該組合是品的空頭虧損（或盈利）相抵，因此在短期內(nèi)該組合是無風(fēng)險的（理論上只對瞬間的時刻保持無風(fēng)險

13、，否則，無風(fēng)險的（理論上只對瞬間的時刻保持無風(fēng)險，否則，需要在這個資產(chǎn)組合中持續(xù)地調(diào)整基礎(chǔ)證券與衍生證券需要在這個資產(chǎn)組合中持續(xù)地調(diào)整基礎(chǔ)證券與衍生證券的投資比例）。的投資比例）。 根據(jù)無套利原則，無風(fēng)險組合的收益率必須等于無風(fēng)險根據(jù)無套利原則，無風(fēng)險組合的收益率必須等于無風(fēng)險利率。所以這個原理實際上表示了衍生證券的期望收益利率。所以這個原理實際上表示了衍生證券的期望收益率，基礎(chǔ)證券的期望收益率和無風(fēng)險利率之間的一個均率，基礎(chǔ)證券的期望收益率和無風(fēng)險利率之間的一個均衡條件衡條件無套利定價法的應(yīng)用無套利定價法的應(yīng)用 金融工具的模仿金融工具的模仿（mimicking ）即通過構(gòu)建一個資產(chǎn)（組合）使

14、之與被模仿的即通過構(gòu)建一個資產(chǎn)（組合）使之與被模仿的金融工具具有金融工具具有相同或相似的盈虧狀況相同或相似的盈虧狀況。注意：盈虧狀況相似或者相同，但價值可能有所不注意：盈虧狀況相似或者相同，但價值可能有所不同。同。 金融工具的合成金融工具的合成（compound）即通過構(gòu)建一個資產(chǎn)（組合）使之與被模仿的即通過構(gòu)建一個資產(chǎn)（組合）使之與被模仿的金融工具具有金融工具具有相同價值相同價值。合成是建立在模仿的基礎(chǔ)上合成是建立在模仿的基礎(chǔ)上案例案例2-3：模仿股票（：模仿股票（the mimicking stock) 模仿股票：一個看漲期權(quán)多頭和一個看跌期權(quán)的空頭的模仿股票：一個看漲期權(quán)多頭和一個看跌期

15、權(quán)的空頭的組合。組合。 假設(shè)假設(shè)t時刻，股票買權(quán)和賣權(quán)的價格分別是時刻，股票買權(quán)和賣權(quán)的價格分別是ct和和pt，兩個，兩個期權(quán)的執(zhí)行價格都是期權(quán)的執(zhí)行價格都是XSt（t 時刻股票的價格），到期時刻股票的價格），到期日股票價格為日股票價格為ST。則到期日的收益為。則到期日的收益為()()max(0,)max(0,)() =()r T tTTttr T tTttRSXXScp eSXcp e股票股票模仿股票模仿股票模仿股票與實際股模仿股票與實際股票有所區(qū)別！票有所區(qū)別！ 表面上看，持有模仿股票似乎不合算表面上看，持有模仿股票似乎不合算 但下面的例子表明，模仿股票在財務(wù)杠桿方面的巨大優(yōu)但下面的例子表

16、明，模仿股票在財務(wù)杠桿方面的巨大優(yōu)勢，為風(fēng)險偏好型的投資者提供了一個性質(zhì)不同的投資勢，為風(fēng)險偏好型的投資者提供了一個性質(zhì)不同的投資渠道渠道 假設(shè)一只股票現(xiàn)在的市場價格是假設(shè)一只股票現(xiàn)在的市場價格是10元，以該價格作為執(zhí)元，以該價格作為執(zhí)行價格的看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價格分別是行價格的看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價格分別是0.55元和元和0.45元。元。 一個投資者用一個投資者用10元錢采取兩種方案進(jìn)行投資元錢采取兩種方案進(jìn)行投資 方案一直接在股票市場上購買股票直接在股票市場上購買股票 方案二是用同樣的資金購買模仿股票是用同樣的資金購買模仿股票 10元錢可以購買元錢可以購買100個模仿股票個模仿股票 股票

17、價格上升到10.5元時兩個方案的比較 股票價格下跌到9.5元時兩個方案的比較 期初投資凈收益投資收益率方案一方案一方案二方案二10元元10元元10.5-10=0.5元元100*（10.5-10-0.1）=40元元5%400%期初投資凈收益投資收益率方案一方案一方案二方案二10元元10元元9.5-10=-0.5元元100*（9.5-10-0.1）=60元元-5%-600%案例案例2-4 合成股票（合成股票（compound stock） 合成股票的構(gòu)成是：一個看漲期權(quán)的多頭，合成股票的構(gòu)成是：一個看漲期權(quán)的多頭，一個看跌期權(quán)的空頭、無風(fēng)險債券多頭一個看跌期權(quán)的空頭、無風(fēng)險債券多頭Xe-r(T-t

18、) ,實際是模仿股票和無風(fēng)險債券的合成實際是模仿股票和無風(fēng)險債券的合成 目的：消除模擬股票與股票之間的差異目的：消除模擬股票與股票之間的差異則組合的最終價值為則組合的最終價值為 max(0,ST-X)-max(0,X- ST)+X= ST-X+X= ST期初價值應(yīng)相等：期初價值應(yīng)相等： St=Ct-pt+ Xe-r(T-t) 2.2 風(fēng)險中性定價法風(fēng)險中性定價法 無風(fēng)險資產(chǎn)的收益是確定的，其風(fēng)險為零，而風(fēng)無風(fēng)險資產(chǎn)的收益是確定的，其風(fēng)險為零，而風(fēng)險資產(chǎn)的收益具有隨機(jī)性險資產(chǎn)的收益具有隨機(jī)性各種狀態(tài)的出現(xiàn)具各種狀態(tài)的出現(xiàn)具有一定的概率，故具有補償風(fēng)險的超額收益率。有一定的概率，故具有補償風(fēng)險的超

19、額收益率。 啟發(fā)：改變各個狀態(tài)出現(xiàn)的概率，使風(fēng)險資產(chǎn)的啟發(fā)：改變各個狀態(tài)出現(xiàn)的概率，使風(fēng)險資產(chǎn)的回報率等于無風(fēng)險收益率回報率等于無風(fēng)險收益率超額收益率為超額收益率為0。 風(fēng)險中性定價原理風(fēng)險中性定價原理：在這個改變了：在這個改變了概率概率的世界里，的世界里，所有證券的預(yù)期收益率都等于無風(fēng)險利率所有證券的預(yù)期收益率都等于無風(fēng)險利率r，所，所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值?，F(xiàn)值。風(fēng)險中性假定僅僅是為了定價方便而作出的人為假定風(fēng)險中性假定僅僅是為了定價方便而作出的人為假定由于風(fēng)險中性，人們只關(guān)心收益不考慮風(fēng)險由于風(fēng)險中性，人們只關(guān)心收益不考慮

20、風(fēng)險風(fēng)險中性假定僅僅是為了定價方便而作出的人為假定，風(fēng)險中性假定僅僅是為了定價方便而作出的人為假定，但通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險但通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險的所有情況。中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險的所有情況。 案例案例2-2風(fēng)險中性定價法運用到期權(quán)定價中風(fēng)險中性定價法運用到期權(quán)定價中假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價為假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價為10元，元，我們知道在我們知道在3個月后，該股票價格要么是個月后，該股票價格要么是11元，要么是元，要么是9元。假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險年利率元。假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險年利率等于等于10%，

21、現(xiàn)在我們要找出一份，現(xiàn)在我們要找出一份3個月期協(xié)個月期協(xié)議價格為議價格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的元的該股票歐式看漲期權(quán)的價值。價值。 在風(fēng)險中性世界中，我們假定該股票上升的概率在風(fēng)險中性世界中，我們假定該股票上升的概率為為P，下跌的概率為，下跌的概率為1-P。（雖然有實際的概率，。（雖然有實際的概率，但可以不管），如果風(fēng)險中性，則該股票無超額但可以不管），如果風(fēng)險中性，則該股票無超額收益，這個風(fēng)險中性世界的概率是收益，這個風(fēng)險中性世界的概率是0.1 0.25(119(1)10,0.6266PP eP0.1 0.25(0.5 0.62660 0.3734)0.31fe 元n同樣，在風(fēng)險中

22、性的世界里，可以賦予期權(quán)價值同樣，在風(fēng)險中性的世界里，可以賦予期權(quán)價值的概率，該期權(quán)同樣只能獲得無風(fēng)險收益率，則的概率，該期權(quán)同樣只能獲得無風(fēng)險收益率，則期權(quán)的現(xiàn)值為期權(quán)的現(xiàn)值為n兩種方法求得結(jié)果是等價兩種方法求得結(jié)果是等價風(fēng)險中性定價本質(zhì)風(fēng)險中性定價本質(zhì)上仍是無套利定價。上仍是無套利定價。比較兩種定價方法比較兩種定價方法 假設(shè)一個無紅利支付的股票，當(dāng)前時刻假設(shè)一個無紅利支付的股票，當(dāng)前時刻t，股，股票價格為票價格為S，基于該股票的某個期權(quán)的價值，基于該股票的某個期權(quán)的價值是是f，期權(quán)的有效期是，期權(quán)的有效期是T，在這個有效期內(nèi)，在這個有效期內(nèi)，股票價格或者上升到股票價格或者上升到Su（u1）

23、，或者下降），或者下降到到Sd（1d0）。）。 當(dāng)股票價格上升到當(dāng)股票價格上升到Su時，我們假設(shè)期權(quán)的收時，我們假設(shè)期權(quán)的收益為益為fu，如果股票的價格下降到，如果股票的價格下降到Sd時，期權(quán)時，期權(quán)的收益為的收益為fd。 SfuSufdSdf總結(jié)：無套利定價法的思路總結(jié)：無套利定價法的思路 首先，構(gòu)造由首先，構(gòu)造由股股票多頭和一個看漲期權(quán)股股票多頭和一個看漲期權(quán)空頭組成的證券組合，并計算出該組合為空頭組成的證券組合，并計算出該組合為無風(fēng)險時的無風(fēng)險時的值。值。 (2.1)ududSufSdfffSuSd 令，則 如果無風(fēng)險利率為如果無風(fēng)險利率為r，則該無風(fēng)險組合的現(xiàn)，則該無風(fēng)險組合的現(xiàn)值為值

24、為()()(1)(1)r T tr T tr T tudr T tudededfeffududePfP f（）（）()()()()r T tr T tudSufeSdfe 在無套利假定下，構(gòu)造組合的成本滿足在無套利假定下，構(gòu)造組合的成本滿足()()(2.2)r T tuSfSufe 將（將（2.1）代入（）代入（2.2）整理得到）整理得到()r T tedPud總結(jié)：風(fēng)險中性定價的思路總結(jié)：風(fēng)險中性定價的思路 假定風(fēng)險中性世界中股票的上升概率為假定風(fēng)險中性世界中股票的上升概率為P，由于股，由于股票的期望值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)，其現(xiàn)值必須等于該票的期望值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)，其現(xiàn)值必須等于該股票目前的價

25、格，因此該概率可通過下式求得：股票目前的價格，因此該概率可通過下式求得： ()(1)r T tSeSu PSdP()r TtedPud()(1)r T tudfePfP f 由上式可見，期權(quán)價值只與無風(fēng)險利率、由上式可見，期權(quán)價值只與無風(fēng)險利率、股票上漲（下跌）的幅度和時間有關(guān)，而股票上漲（下跌）的幅度和時間有關(guān)，而不依賴于股票上漲的不依賴于股票上漲的實際概率實際概率。這完全違。這完全違反直覺！反直覺！ 期權(quán)的價值依賴于標(biāo)的資產(chǎn)的上漲（下期權(quán)的價值依賴于標(biāo)的資產(chǎn)的上漲（下跌），但未來上升和下跌的概率已經(jīng)包含跌），但未來上升和下跌的概率已經(jīng)包含在股票的價格中！在股票的價格中！()(1)r T t

26、udfePfP f ()r T tedPud2.3 狀態(tài)價格定價技術(shù)狀態(tài)價格定價技術(shù) 狀態(tài)價格的定義狀態(tài)價格的定義：指的是在特定的狀態(tài)發(fā)生時回：指的是在特定的狀態(tài)發(fā)生時回報為報為1，否則回報為，否則回報為0的資產(chǎn)在當(dāng)前的價格。的資產(chǎn)在當(dāng)前的價格。 狀態(tài)價格定價技術(shù)：狀態(tài)價格定價技術(shù)：如果未來時刻有如果未來時刻有N種狀態(tài)，種狀態(tài)，而這而這N種狀態(tài)的價格我們都知道，那么我們只要種狀態(tài)的價格我們都知道，那么我們只要知道某種資產(chǎn)在未來各種狀態(tài)下的知道某種資產(chǎn)在未來各種狀態(tài)下的回報狀況回報狀況以及以及市場市場無風(fēng)險利率水平無風(fēng)險利率水平，我們就可以對該資產(chǎn)進(jìn)行，我們就可以對該資產(chǎn)進(jìn)行定價。定價。 該方法

27、是無套利定價原則和證券復(fù)制技術(shù)的具體該方法是無套利定價原則和證券復(fù)制技術(shù)的具體運用。運用。 A是有風(fēng)險證券，其目前的價格是是有風(fēng)險證券，其目前的價格是PA，一年后其，一年后其價格要么上升到價格要么上升到uPA，要么下降到，要么下降到dPA (d1+rf=RAu) 這就是市場的兩種狀態(tài)：上升狀態(tài)（概率是這就是市場的兩種狀態(tài)：上升狀態(tài)（概率是q）和）和下降狀態(tài)（概率是下降狀態(tài)（概率是1-q）(1)()(1)AAAAquPq dPE Rquq dP22()(1)()ARqq ud12() (1) ()ARqqud狀態(tài)價格定價技術(shù)的原理狀態(tài)價格定價技術(shù)的原理案例案例 2-5 1 1、構(gòu)造兩個基本證券（

28、單位證券）。、構(gòu)造兩個基本證券（單位證券）。基本證券基本證券1在證券市場上升時價值為在證券市場上升時價值為1，下跌時，下跌時價值為價值為0；基本證券；基本證券1現(xiàn)在的市場價格是現(xiàn)在的市場價格是u u，基本證券基本證券2恰好相反，在市場上升時價值為恰好相反，在市場上升時價值為0，在下跌時價值為在下跌時價值為1?；咀C券。基本證券2的價格是的價格是d d。 u和和d分別被稱為上升狀態(tài)的價格和下降狀態(tài)分別被稱為上升狀態(tài)的價格和下降狀態(tài)的價格的價格這兩個基本證券的特征是，它們可以用來復(fù)制這兩個基本證券的特征是，它們可以用來復(fù)制有風(fēng)險的有風(fēng)險的A證券證券 10u uq1-q01d dq1-qq1-quu

29、PA+ddPA1uPA0dPAuPA0uPA1dPAdPAuPAdPAPAq1-qn 2、由基本證券模擬證券、由基本證券模擬證券A。購買購買uPA份基本證券份基本證券1和和dPA份基本證券份基本證券2組成一個假想的組成一個假想的證券組合證券組合根據(jù)無套利假設(shè)根據(jù)無套利假設(shè) 由此可見，該組合在由此可見，該組合在T時刻無論發(fā)生什么情時刻無論發(fā)生什么情況，都能夠產(chǎn)生和證券況，都能夠產(chǎn)生和證券A一樣的現(xiàn)金流，所一樣的現(xiàn)金流，所以組合是證券以組合是證券A的復(fù)制品。的復(fù)制品。 根據(jù)無套利原理，復(fù)制品與被復(fù)制對象的根據(jù)無套利原理，復(fù)制品與被復(fù)制對象的市場價格應(yīng)該相等，即市場價格應(yīng)該相等，即 PA=uuPA+

30、ddPA 或者或者1 uu+dd （2.3） 3、證明：在、證明：在T時刻無論出現(xiàn)什么狀態(tài)，各時刻無論出現(xiàn)什么狀態(tài)，各1個單個單位位(uPA= dPA=1)基本證券構(gòu)成的組合的回報都是基本證券構(gòu)成的組合的回報都是1元。元。()()1r T tr T tudee 因此，該組合是無風(fēng)險的，它只能獲得無因此，該組合是無風(fēng)險的，它只能獲得無風(fēng)險收益率，若無風(fēng)險收益率為風(fēng)險收益率，若無風(fēng)險收益率為r，則，則（2.4）q1-q1u+1d1101101111tT()()11,r T tr T tuddeueudud所以由（所以由（2.3）和（）和（2.4）聯(lián)立得到）聯(lián)立得到 1=uu+dd()r T tud

31、e決定基本證券價格的實際上就是決定基本證券價格的實際上就是3個因素：無風(fēng)險個因素：無風(fēng)險利率利率r,金融工具價格上升的速度金融工具價格上升的速度u和其價格下降的和其價格下降的速度速度d，同其他的因素就沒有關(guān)系了，同其他的因素就沒有關(guān)系了 結(jié)論：結(jié)論： 只要有具備上述性質(zhì)的兩個基本證券存在，只要有具備上述性質(zhì)的兩個基本證券存在，我們就能夠通過復(fù)制技術(shù)，為金融市場上我們就能夠通過復(fù)制技術(shù)，為金融市場上的任何有價證券定價。的任何有價證券定價。擴(kuò)展二叉數(shù)模型。擴(kuò)展二叉數(shù)模型。 關(guān)于有價證券的價格上升的概率關(guān)于有價證券的價格上升的概率q，雖依賴，雖依賴于人們作出的主觀判斷，但是人們于人們作出的主觀判斷，

32、但是人們對對q認(rèn)識認(rèn)識的分歧不影響為有價證券定價的結(jié)論。的分歧不影響為有價證券定價的結(jié)論。無套利分析（包括其應(yīng)用狀態(tài)價格定價技術(shù)）無套利分析（包括其應(yīng)用狀態(tài)價格定價技術(shù)）的過程與結(jié)果同市場參與者的風(fēng)險偏好無關(guān)。的過程與結(jié)果同市場參與者的風(fēng)險偏好無關(guān)。 練習(xí)練習(xí) 假設(shè)有價證券的市場情況如下：假設(shè)有價證券的市場情況如下：PA100，r2，u1.07，d0.98，Tt1，若，若另外有一個證券另外有一個證券B，其價格，其價格1年后可能上升年后可能上升為為103，也可能下降為，也可能下降為98.5元，求該證券的元，求該證券的合理價格。合理價格。 提示：先求基本證券提示：先求基本證券1和和2，由基本證券來

33、，由基本證券來復(fù)制證券復(fù)制證券B：uPB份的基本證券份的基本證券1和和dPB份的份的基本證券基本證券2。具體例子具體例子1：用基本證券：用基本證券1和和2來復(fù)制證券來復(fù)制證券B 假如有價證券假如有價證券A的市場情況如下：的市場情況如下：PA=100，r=2%，u=1.07, d=0.98，T-t=1, 可以求得：可以求得： 假設(shè)另一個證券假設(shè)另一個證券B，它在一年后的價格可能上升到，它在一年后的價格可能上升到103元，也可能下降到元，也可能下降到98.5元。那么，它當(dāng)前的價格應(yīng)該是元。那么，它當(dāng)前的價格應(yīng)該是 PB=uuPB+ddPB =0.4378103+98.50.5424=98.520.

34、020.021 0.981.0710.4378,0.54241.070.981.070.98udee()()11,r T tr T tuddeueudud具體例子具體例子2：用：用現(xiàn)實中現(xiàn)實中的證券的證券A和無風(fēng)和無風(fēng)險證券來復(fù)制證券險證券來復(fù)制證券B 復(fù)制過程：用復(fù)制過程：用份證券份證券A和當(dāng)前市場價值為和當(dāng)前市場價值為L的無的無風(fēng)險證券構(gòu)成市場價值為風(fēng)險證券構(gòu)成市場價值為I的組合，其成本是的組合，其成本是I=100+L 一年后，該組合無論市場價格上升還是下降，都一年后，該組合無論市場價格上升還是下降，都必須與證券必須與證券B的價格相同。于是有的價格相同。于是有 解得解得=0.5,L=48.

35、52 于是于是B現(xiàn)在的市場價值是現(xiàn)在的市場價值是I=100+L=1000.5+48.52=98.52()()107103,9898.5r T tr T tudILeILe 狀態(tài)價格定價技術(shù)：兩期的情況狀態(tài)價格定價技術(shù)：兩期的情況求求B現(xiàn)在的均衡價格？現(xiàn)在的均衡價格？解出解出U=0.49，Lu=50.76, 因此有因此有PBU=107U+Lu=102.99對右下方的二叉樹，同理解出對右下方的二叉樹，同理解出d=0.51，Ld=48.62, 因此有因此有PBd=98d+Ld=98.500.020.02114.49107.67104.86102.97uuuueLeL 使用倒推法，先從使用倒推法，先從

36、B 的圖形中右上部分開始。的圖形中右上部分開始。在第在第1年末，假設(shè)市場處于上升狀態(tài)，此時用年末，假設(shè)市場處于上升狀態(tài)，此時用u份證券份證券A和和市場價值為市場價值為Lu的無風(fēng)險證券來復(fù)制證券的無風(fēng)險證券來復(fù)制證券B的組合，見圖的組合，見圖2.5。 107114.49104.86107U+Lu104.86U+e0.02Lu114.49U+e0.02Lu 最后，我們用最后，我們用份證券份證券A和價值為和價值為L的無風(fēng)險證券的組合復(fù)的無風(fēng)險證券的組合復(fù)制證券制證券B 同前例同理，解出同前例同理，解出=0.5,L=48.53,證券證券B的價值的價值PB=98.52 當(dāng)二叉樹模型由單期擴(kuò)展到二期（或以

37、上）時，需用動態(tài)當(dāng)二叉樹模型由單期擴(kuò)展到二期（或以上）時，需用動態(tài)無套利的方法來解釋這里涉及到的無套利的方法來解釋這里涉及到的“自融資自融資”問題。在第問題。在第一期期末時一期期末時和和L發(fā)生變化：原是（發(fā)生變化：原是（，L）=（0.5,48.53）,現(xiàn)在是（現(xiàn)在是（0.49，50.76）,但證券組合價值未改變，因為有但證券組合價值未改變，因為有 107+e0.02L= PBU（=103）=107U+Lu狀態(tài)價格定價法在期權(quán)定價中的應(yīng)用狀態(tài)價格定價法在期權(quán)定價中的應(yīng)用 假設(shè)某股票符合前面提到的兩種市場狀態(tài)，假設(shè)某股票符合前面提到的兩種市場狀態(tài)，即期初價值是即期初價值是S0，期末價值是，期末價值

38、是S1 S1只可能取兩個值：只可能取兩個值： S1=Su=uS0,u1 S1= Sd=dS0,d1 求：以該股票為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)的價求：以該股票為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)的價值是多少？值是多少？ 構(gòu)造與看漲期權(quán)的價值特征完全相同的投資組合：構(gòu)造與看漲期權(quán)的價值特征完全相同的投資組合： 以無風(fēng)險利率以無風(fēng)險利率r借入一部分資金借入一部分資金B(yǎng)（相當(dāng)于做空無風(fēng)（相當(dāng)于做空無風(fēng)險債券），同時在股票市場上購入險債券），同時在股票市場上購入N股標(biāo)的股票股標(biāo)的股票 該組合成本為該組合成本為N S0-B 到了期末，該組合的價值到了期末，該組合的價值V是是N S1-RB，R是利率是利率 對應(yīng)于對應(yīng)于S1的兩種可

39、能，的兩種可能，V有兩個取值：有兩個取值： S1=Su,則則V=Vu= N Su-RB S1=Sd, 則則V=Vd= N Sd-RB。 令到期日組合的價值與看漲期權(quán)的價值相令到期日組合的價值與看漲期權(quán)的價值相同同 解得解得()()e,e.uur T tuddr T tdVNSBcVNSBc0()()()()/()()/(),()/()()()/()udududduududr T tddr T tudr T tNccSSccud SBS cS cSSeNScedcuceud 由于期初的組合應(yīng)該等于看漲期權(quán)的價值，由于期初的組合應(yīng)該等于看漲期權(quán)的價值，即有即有N S0-B=c0,把把N和和B 代入

40、，得到看漲期代入，得到看漲期權(quán)的價值公式權(quán)的價值公式 c0=pcu+(1-p)cde-r(T-t) p=(er(T-t)S0-Sd)/(Su-Sd)=(er(T-t)-d)/(u-d)。0()()/(),()/()ududr T tNccud SBdcuceud具體例子具體例子 假設(shè)一份看漲期權(quán)，到期日為假設(shè)一份看漲期權(quán)，到期日為1年，執(zhí)行價格年，執(zhí)行價格X是是112元；標(biāo)的股票當(dāng)前的價格是元；標(biāo)的股票當(dāng)前的價格是100元，無風(fēng)險利率（單元，無風(fēng)險利率（單利）是利）是8%。1年后，股票的價格或是上升到年后，股票的價格或是上升到180元，元，或是下降到或是下降到60元。元。 根據(jù)上述公式，得到：根據(jù)上述公式，得到： N=（68-0）/（180-60）=0.57（股）（股） B=（0.5760-0）e-0.08=31.57（元）（元） c0=NS0-B=0.57100-31.57=25.430()()()/()()/(),()()/()udududddr T tu