《數(shù)學(xué)分析》第八章-不定積分-2

1、2021/8/612 換元積分法和分部積分法換元積分法和分部積分法2021/8/62問(wèn)題問(wèn)題 xdx2cos,2sinCx 解決方法解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過(guò)程過(guò)程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx 一、第一類換元法一、第一類換元法2021/8/63在一般情況下：在一般情況下：設(shè)設(shè)),()(ufuF 則則.)()( CuFduuf如果如果)(xu （可微）（可微）dxxxfxdF)()()( CxFdxxxf)()()( )()(xuduuf 由此可得換元法定理由此可得換元法定理2021/8/64

2、設(shè)設(shè))(uf具具有有原原函函數(shù)數(shù)， dxxxf)()( )()(xuduuf 第一類換元公式第一類換元公式（湊微分法湊微分法）說(shuō)明說(shuō)明使用此公式的關(guān)鍵在于將使用此公式的關(guān)鍵在于將 dxxg)(化為化為.)()( dxxxf觀察重點(diǎn)不同，所得結(jié)論不同觀察重點(diǎn)不同，所得結(jié)論不同.)(xu 可可導(dǎo)導(dǎo)，則有換元公式則有換元公式定理定理1 12021/8/65例例1 1 求求.2sin xdx解解（一）（一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx 解解（二）（二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 解解（三）（三） xdx2sin x

3、dxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 2021/8/66例例2 2 求求.231dxx 解解,)23(23121231 xxxdxx 231dxxx)23(23121 duu 121Cu ln21.)23ln(21Cx dxbaxf)( baxuduufa)(1一般地一般地2021/8/67例例3 3 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx xuln21 duu121Cu ln21.)ln21ln(21Cx 2021/8/68例例4 4 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx

4、 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx 221)1(2111CxCx .)1(21112Cxx 2021/8/69例例5 5 求求.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa 2021/8/610例例6 6 求求.25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31Cx 2021/8/611例例7 7 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(C

5、exx 2021/8/612例例8 8 求求.)11(12dxexxx 解解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx 2021/8/613例例9 9 求求.12321dxxx 原式原式 dxxxxxxx 123212321232dxxdxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx .121213212133Cxx 2021/8/614例例1010 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin

6、1cotCxx 2021/8/615例例1111 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 說(shuō)明說(shuō)明 當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開(kāi)奇當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開(kāi)奇次項(xiàng)去湊微分次項(xiàng)去湊微分.2021/8/616例例1212 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(co

7、s212cos3cos.5sin101sin21Cxx 2021/8/617例例1313 求求解解（一）（一） dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanln.)cotln(cscCxx （使用了三角函數(shù)恒等變形）（使用了三角函數(shù)恒等變形）2021/8/618解解（二）（二） dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx 類似地可推出類似地可推出.)tanl

8、n(secsec Cxxxdx2021/8/619解解例例1414 設(shè)設(shè) 求求 .,cos)(sin22xxf )(xf令令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212Cuu .21)(2Cxxxf 2021/8/620例例1515 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin2arcsin1xdx .2arcsinlnCx 2021/8/621問(wèn)題問(wèn)題?125 dxxx解決方法解決方法改變中間變量的設(shè)置方法改變中間變量的設(shè)置方法.過(guò)程過(guò)程令令txsin ,costdtdx dxxx25

9、1tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （應(yīng)用（應(yīng)用“湊微分湊微分”即可求出結(jié)果）即可求出結(jié)果）二、第二類換元法二、第二類換元法2021/8/622其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函數(shù)數(shù). .證證設(shè)設(shè) 為為 的原函數(shù)的原函數(shù),)(t )()(ttf 令令)()(xxF 則則dxdtdtdxF )()()(ttf ,)(1t 設(shè)設(shè))(tx 是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)， )()()()(xtdtttfdxxf 則有換元公式則有換元公式并且并且0)( t ，又又設(shè)設(shè))()(ttf 具具有有原原函函數(shù)數(shù)，定理定理2 22021/8/623第二類積分換

10、元公式第二類積分換元公式 CxFdxxf)()(,)(Cx )()()()(xtdtttfdxxf )(tf ).(xf 說(shuō)說(shuō)明明)(xF為為)(xf的的原原函函數(shù)數(shù),2021/8/624例例1616 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 2,2t2021/8/625例例1717 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin3

11、2 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 2021/8/626例例1818 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 2021/8/627說(shuō)明說(shuō)明(1)(1) 以上幾例所使用的均為以上幾例所使用的均為三角代換三角代換.三角代換的三角代換的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)

12、中含有一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 2021/8/628說(shuō)明說(shuō)明(2)(2) 積分中為了化掉根式除采用三角代積分中為了化掉根式除采用三角代換外還可用換外還可用雙曲代換雙曲代換.1sinhcosh22 tttaxtaxcosh,sinh 也可以化掉根式也可以化掉根式例例 中中, 令令dxax 221taxsinh tdtadxcosh dxax 221 dttatacoshcosh CtdtCaxar sinh.ln22Caaxax 2021/8/629 積分中為了化掉根式是否

13、一定采用積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換（或雙曲代換）并不是絕對(duì)的，需三角代換（或雙曲代換）并不是絕對(duì)的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來(lái)定根據(jù)被積函數(shù)的情況來(lái)定.說(shuō)明說(shuō)明(3)(3)例例1919 求求dxxx 251（三角代換很繁瑣）（三角代換很繁瑣）21xt 令令, 122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解解2021/8/630例例2020 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2

14、Cxex ,1ln2 tx2021/8/631說(shuō)明說(shuō)明(4)(4) 當(dāng)分母的階較高時(shí)當(dāng)分母的階較高時(shí), 可采用可采用倒代換倒代換.1tx 例例2121 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解2021/8/632例例2222 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1 ,12dttdx dxttt 22411111（分母的階較高）（分母的階較高）dttt 231222121dttt 2tu 2021/8/633 duuu121 duuu11

15、121 )1(11121uduu Cuu 11313.1131232Cxxxx 2021/8/634說(shuō)明說(shuō)明(5)(5) 當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式根式 時(shí)，可采用令時(shí)，可采用令 （其中（其中 為各根指數(shù)的為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù)） lkxx,ntx n例例2323 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt22162021/8/635 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 2021/8/636基基本本積積分分表表;cos

16、lntan)16( Cxxdx;sinlncot)17( Cxxdx;)tanln(secsec)18( Cxxxdx;)cotln(csccsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa 2021/8/637;ln211)22(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22Caxdxxa .)ln(1)24(2222Caxxdxax ;ln211)21(22Caxaxadxax 2021/8/638三、小結(jié)三、小結(jié)兩類積分換元法：兩類積分換元法： （一）（一）湊微分湊微分（二）（二）三角代換、倒代換、根式代換三角代換、倒代換、根式代換基本積分表基本積分表(2

17、)2021/8/639思考題思考題求積分求積分.)1(ln)ln(dxxxxp 2021/8/640思考題解答思考題解答dxxxxd)ln1()ln( dxxxxp)1(ln)ln( )ln()ln(xxdxxp 1,)lnln(1,1)ln(1pCxxpCpxxp2021/8/641一、一、 填空題：填空題：1 1、 若若CxFdxxf )()(而而)(xu 則則 duuf)(_；2 2、 求求 )0(22adxax時(shí)，可作變量代換時(shí)，可作變量代換_ _，然后再求積分；，然后再求積分；3 3、 求求 dxxx211時(shí)可先令時(shí)可先令 x_；4 4、 dxx_)1(2xd ；5 5、 dxex2

18、_ _ _ _)1(2xed ；6 6、 xdx_ _ _ _ _)ln53(xd ；練練 習(xí)習(xí) 題題2021/8/6427 7、 291xdx = =_ _ _ _ _)3arctan(xd；8 8、 21xxdx_ _ _ _ _)1(2xd ；9 9、 dtttsin_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；1 10 0、 222xadxx_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二、 求求下下列列不不定定積積分分： （第第一一類類換換元元法法）1 1、 dxxaxa； 2 2、 )ln(lnlnxxxdx；2021/8/643

19、3 3、 221.1tanxxdxx； 4 4、 xxeedx；5 5、 dxxx321； 6 6、 dxxxx4sin1cossin；7 7、 dxxxxx3cossincossin； 8 8、 dxxx2491；9 9、 dxxx239； 10 10、 )4(6xxdx；1111、 dxxxx)1(arctan ； 12 12、 dxxexxx)1(1；1313、 dxxx2arccos2110； 14 14、 dxxxxsincostanln. .2021/8/644三、三、 求下列不定積分：求下列不定積分： （第二類換元法）（第二類換元法）1 1、 21xxdx；2 2、 32)1(xdx；3 3、 xdx21；4