分析斜面與平面結(jié)合模型得出的一個(gè)有趣結(jié)論

1、分析斜面與平面結(jié)合模型得出的一個(gè)有趣結(jié)論高中物理中“斜面與平面結(jié)合”是力學(xué)和運(yùn)動(dòng) 學(xué)中常見(jiàn)的模型，往往會(huì)涉及到一些簡(jiǎn)單實(shí)用的結(jié)論， 如常見(jiàn)的功的等效關(guān)系 （ 表示物體在水平方向的位 移），這個(gè)結(jié)論給出物體沿斜面下滑到水平面運(yùn)動(dòng)， 最 終停止運(yùn)動(dòng)過(guò)程中摩擦力功的等效結(jié)果 .筆者對(duì)此過(guò) 程做了進(jìn)一步研究，發(fā)現(xiàn)物體沿水平面滑行直至停止 在水平面上，物體運(yùn)動(dòng)停止時(shí)的位置存在規(guī)律性，得 出了一個(gè)新的且具備一定普遍性的結(jié)論 .如圖 1 所示，質(zhì)量為 m 的物體靜止在斜面上， A 點(diǎn)到水平面的高度為h,與斜面的動(dòng)摩擦因數(shù)為卩1, 物體與水平面的動(dòng)摩擦因素為 卩2,斜面與水平面形成 的角為a 將物體無(wú)初速度從

2、A點(diǎn)釋放（物體在B處 無(wú)能量損失）,物體下滑到水平面上并最終靜止在水平 面上.物體下滑直到停止的過(guò)程中,由物體重力做功獲 得的動(dòng)能被斜面和平面上滑動(dòng)摩擦力的功所損耗,由 功能關(guān)系可以得到WG=Wf 總（ 1 ）展開(kāi)得 mgh=f1xAB+f2xBC=卩 Imgcosa hsin a +2mgxBC (2)解得 xBC=h (1- i Icosa sina) i 2 (3)分析( 3)式可以得出， 物體停止在水平面上的位 置只與水平面的高度h,斜面和水平面的動(dòng)摩擦因數(shù) i 1、i 2以及斜面的傾角a的正切值有關(guān)，與物體的 質(zhì)量無(wú)關(guān) .此結(jié)果表明， 從同一高度處下滑的不同質(zhì)量 的物體，最終停止在同

3、一位置處，如圖 2 所示.連接 AC 兩點(diǎn)，設(shè) AC 連線與水平方向的夾角為B，則tan 3 =xADxDC (4)由 xAD=h ，xDC=xDB+xBC=htan a +h( 1-i 1cosa sina )i 2 ( 5)將( 5)式帶入( 4)式得tan3 =hhtana +h( 1-i 1cosa sina )i 2=i 2tan a ( i 2-i 1 ) +tana ( 6)分析( 6)式可以得出， 起點(diǎn)與終點(diǎn)的連線與水平 方向的夾角的正切值tan 3的大小只與物體與斜面和 水平面的動(dòng)摩擦因數(shù)i 1, 12以及斜面的傾角a的正 切值有關(guān)，與物體距水平面的高度 h 無(wú)關(guān).如圖 3

4、所示,物體由 A 點(diǎn)開(kāi)始下滑,改變水平面 的高度,隨著斜面距離增大,由于重力做功總是比滑 動(dòng)摩擦力做功多，物體到達(dá)水平面時(shí)獲得的動(dòng)能大， 在水平面上滑行的距離也會(huì)越大， 而由（ 6）式物體停 止的位置一定在 AC 的連線上，即物體最終停止的位 置都在斜率為tan B的直線處.推出（6）式的結(jié)論并沒(méi)有對(duì)動(dòng)摩擦因數(shù)提出限制 條件，所以口 1和卩2的取值可以任意改變，結(jié)論具備 普遍性.若卩2=0,即水平面光滑，無(wú)論斜面光滑與否，物 體到達(dá)水平面上后會(huì)一直保持勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，不滿足 本結(jié)論物體在水平面上停止的前提條件， 不是（6）式 結(jié)論所包含的范圍 .若卩仁0,卩2工0,即斜面光滑，水平面粗糙， tanB = 1 2tana 卩 2+tana （7） 由于斜面光滑，物體到達(dá)水平面時(shí)獲得的動(dòng)能大， 物體沿水平面滑動(dòng)距離最遠(yuǎn)，這時(shí) AC直線夾角卩取 得最小值，符合物體運(yùn)動(dòng)的實(shí)際情況 .若1仁1 2=1工0,即斜面與水平面動(dòng)摩擦因數(shù) 相等tan B = 1 （8）如圖 4 所示，斜面和水平面的摩擦系數(shù)可以直接 用tanB表