復(fù)變函數(shù)第二章習(xí)題答案

1、文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版.word版本可編輯. 歡迎下載支持. 第二章解析函數(shù)1-6題中：（1）只要不滿足C-R條件，肯定不可導(dǎo)、不可微、不解析（2）可導(dǎo)、可微的證明：求出一階偏導(dǎo)，”只要一階偏導(dǎo)存 在且連續(xù)，同時(shí)滿足C-R條件。（3）解析兩種情況：第一種函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，只要在區(qū)域內(nèi)處處 可導(dǎo)，就處處解析；第二種情況函數(shù)在某一點(diǎn)解析，只要函數(shù)在該點(diǎn) 及其鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)則在該點(diǎn)解析，如果只在該點(diǎn)可導(dǎo)，而在其鄰域 不可導(dǎo)則在該點(diǎn)不解析。（4）解析函數(shù)的虛部和實(shí)部是調(diào)和函數(shù)，而且實(shí)部和虛部守C-R條 件的制約，證明函數(shù)區(qū)域內(nèi)解析的另一個(gè)方法為：其實(shí)部和虛部滿足 調(diào)和函數(shù)和C-R條件，反過(guò)來(lái)

2、，如果函數(shù)實(shí)部或者虛部不滿足調(diào)和函 數(shù)或者C-R條件則肯定不是解析函數(shù)。解析函數(shù)求導(dǎo)：/=，+/4、若函數(shù)/（z）在區(qū)域D上解析，并滿足下列的條件，證明/（z）必為 常數(shù)。（1）r（z）=°（z£0證明：因?yàn)榱嗽趨^(qū)域上解析，所以。令 /（z） = （x,y） +，u（x,y），印=，二 = 一丁 J （） = + / = 0 o ox oy oy ox ox 由復(fù)數(shù)相等的定義得：包=史=0坐=-包=0。dx dy dy dx所以，心,y） = C（常數(shù)），心,y） = G （常數(shù)），即/= q+iG為 常數(shù)。5、證明函數(shù)在z平面上解析，并求出其導(dǎo)數(shù)。()'(-cos

3、y-ysin y) + iex(ycos y + xsin y)-文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版.word版本可編輯. 歡迎下載支持. 證明:設(shè)，(Z)= (乂)+八，(Xy) = e，(xcosy -ysin y) + ie，(ycosy + xsiny).貝 lj (x，') = " *8S y-ysin y)v(x, y) = ex(ycosy+x sin y)=ex(xcos y - y sin y) + ex cos y = ex cos y - y sin yex +xcos yex dx'. oy9du x/ .、切 一k = -e (xsin y +

4、 sin y + ycosy)=e (ycos y + xsin y + siny)8y. dx滿足ex / dy dx即函數(shù)在Z平面上",3，)可微且滿足C-R條件，故函數(shù)在z平面上 解析。8、( 1)由已知條件求解析函數(shù)/(z) = + iv, u = x2 -y2 +xy , /(/) = -l + Z o 解.ux=2x + ytuy=-2y + x由于函數(shù)解析，根據(jù)C-R條件得ux = vy =2x + y于是y2v = 2xy + - + y/(x)2其中“(x)是x的待定函數(shù)，再由CR條件的另一個(gè)方程得匕=2y + '(幻=-ay = 2y 7 ,所以 /(X)

5、= -X ,即= - + C O2于是22c V* 廠v = 2xy + - 一 + c22又因?yàn)?(i) =-1 +，所以當(dāng) x = 0,y = l,時(shí) =1, u = L + c = l 得 c = 122文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版.word版本可編輯. 歡迎下載支持.所以,y2 %21f(z) = x2 -y2 + + /(2 + - -+乙 乙 乙9、提示：解析函數(shù)的實(shí)部和虛部為調(diào)和函數(shù)，只要該函數(shù)不是調(diào)和 函數(shù)則它就不能做為解析函數(shù)的實(shí)部或虛部。10、提示：求出實(shí)部和虛部對(duì)x, y的一階偏導(dǎo)，若不滿足C-R條件 則肯定不是解析函數(shù)，若滿足C-R條件，同時(shí)滿足一階偏導(dǎo)存在且連 續(xù)

6、則為解析函數(shù)。14.若 z = x +，y, 試證：(1 ) sin z = sin xchy + icosxshy o不. sin z = sin(x+zy) = sin x cos iy + cos x sin iyiiv . -J(iy)iiy 八一小. e +ee esin xF cos a22iV t - Vf(rv). e +e . e -c sin x+1 cos x=22 =sin xchy + i cos xshy18、解方程(1) /解：/=1 +，有=2/丁'”其中& = 0,±l,±2則女開(kāi))1z = Lu2e 3 = n2 + i(

7、- + 2k7T)3(2 ) In z = o2解：In z = In |z| + i arg z = 0 + 文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版.word版本可編輯. 歡迎下載支持.|z| = l,argz = y設(shè)Z = x + iy7777=1, arx+/»=l得 X = 0,y = l,即 g。20、(2 ) 3' = elL,'3 = e,ln3 = cos (In 3) + /sin (In 3)試求(1 + /)* ,3*,e2' 及 Ln(l + i) o 解:(1) (l + 0/ =eb，l<1+,yi =eib,i因?yàn)閎ld + i

8、) = Ln缶勺 = In 41 + /(- + 2k4) 4所以(l + j)i=/氏92=小久寸MEk = 0,±l,±2,(3) i = eibti “E+2S3 冗 Lni = Die 2=/(- + 2)jilMi-5-2 i = e = e -k = 0,±l,±2,(4 ) e+，= e2e' = e(cosl + /sin 1)(5) Zj/(1 + /) =。?卜&"了"' = In 亞 + /(- + 2ki)44word版本可編輯.歡迎下載支持.文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版wod版本可編輯.歡迎下載支持.22,求證 = l f zv sin z . sin(x + /y).hm= lim -證：z = x+&