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文檔簡介

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題以下主要研究30類典型應(yīng)用題:1、歸一問題2、歸總問題3、和差問題4、和倍問題5、差倍問題6、倍比問題7、相遇問題8、追及問題9、植樹問題10、年齡問題11、行船問題12、列車問題13、時鐘問題14、盈虧問題15、工程問題16、正反比例問題17、按比例分配18、百分數(shù)問題19、“牛吃草”問題20、雞兔同籠問題21、方陣問題22、商品利潤問題23、存款利率問題24、溶液濃度問題25、構(gòu)圖布數(shù)問題26、幻方問題27、抽屜原則問題28、公約公倍問題29、最值問題30、列方程問題1 歸一問題【含義】 在解題時,先求出一份是多少(即單一量),然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)

2、,求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問題?!緮?shù)量關(guān)系】 總量÷份數(shù)1份數(shù)量 1份數(shù)量×所占份數(shù)所求幾份的數(shù)量 另一總量÷(總量÷份數(shù))所求份數(shù)【解題思路和方法】 先求出單一量,以單一量為標(biāo)準(zhǔn),求出所要求的數(shù)量。例1 買5支鉛筆要0.6元錢,買同樣的鉛筆16支,需要多少錢?解(1)買1支鉛筆多少錢? 0.6÷50.12(元) (2)買16支鉛筆需要多少錢?0.12×161.92(元)列成綜合算式 0.6÷5×160.12×161.92(元) 答:需要1.92元。例2 3臺拖拉機3天耕地90公頃,照這樣計算

3、,5臺拖拉機6 天耕地多少公頃?解(1)1臺拖拉機1天耕地多少公頃? 90÷3÷310(公頃) (2)5臺拖拉機6天耕地多少公頃? 10×5×6300(公頃)列成綜合算式 90÷3÷3×5×610×30300(公頃) 答:5臺拖拉機6 天耕地300公頃。例3 5輛汽車4次可以運送100噸鋼材,如果用同樣的7輛汽車運送105噸鋼材,需要運幾次?解 (1)1輛汽車1次能運多少噸鋼材? 100÷5÷45(噸) (2)7輛汽車1次能運多少噸鋼材? 5×735(噸) (3)105噸鋼材

4、7輛汽車需要運幾次? 105÷353(次)列成綜合算式 105÷(100÷5÷4×7)3(次) 答:需要運3次。2 歸總問題【含義】 解題時,常常先找出“總數(shù)量”,然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題,叫歸總問題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價、幾小時(幾天)的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時行的總路程等。【數(shù)量關(guān)系】 1份數(shù)量×份數(shù)總量 總量÷1份數(shù)量份數(shù) 總量÷另一份數(shù)另一每份數(shù)量【解題思路和方法】 先求出總數(shù)量,再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。例1 服裝廠原來做一套衣服用布3.2米,改進裁剪方法后,每套衣服用布2.8

5、米。原來做791套衣服的布,現(xiàn)在可以做多少套?解 (1)這批布總共有多少米? 3.2×7912531.2(米) (2)現(xiàn)在可以做多少套? 2531.2÷2.8904(套)列成綜合算式 3.2×791÷2.8904(套) 答:現(xiàn)在可以做904套。例2 小華每天讀24頁書,12天讀完了紅巖一書。小明每天讀36頁書,幾天可以讀完紅巖?解 (1)紅巖這本書總共多少頁? 24×12288(頁) (2)小明幾天可以讀完紅巖? 288÷368(天)列成綜合算式 24×12÷368(天) 答:小明8天可以讀完紅巖。例3 食堂運來一

6、批蔬菜,原計劃每天吃50千克,30天慢慢消費完這批蔬菜。后來根據(jù)大家的意見,每天比原計劃多吃10千克,這批蔬菜可以吃多少天?解 (1)這批蔬菜共有多少千克? 50×301500(千克) (2)這批蔬菜可以吃多少天? 1500÷(5010)25(天)列成綜合算式 50×30÷(5010)1500÷6025(天) 答:這批蔬菜可以吃25天。3 和差問題【含義】 已知兩個數(shù)量的和與差,求這兩個數(shù)量各是多少,這類應(yīng)用題叫和差問題?!緮?shù)量關(guān)系】 大數(shù)(和差)÷ 2 小數(shù)(和差)÷ 2【解題思路和方法】 簡單的題目可以直接套用公式;復(fù)雜

7、的題目變通后再用公式。例1 甲乙兩班共有學(xué)生98人,甲班比乙班多6人,求兩班各有多少人?解 甲班人數(shù)(986)÷252(人) 乙班人數(shù)(986)÷246(人) 答:甲班有52人,乙班有46人。例2 長方形的長和寬之和為18厘米,長比寬多2厘米,求長方形的面積。解 長(182)÷210(厘米) 寬(182)÷28(厘米)長方形的面積 10×880(平方厘米) 答:長方形的面積為80平方厘米。例3 有甲乙丙三袋化肥,甲乙兩袋共重32千克,乙丙兩袋共重30千克,甲丙兩袋共重22千克,求三袋化肥各重多少千克。解 甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙,從中可以看出

8、甲比丙多(3230)2千克,且甲是大數(shù),丙是小數(shù)。由此可知甲袋化肥重量(222)÷212(千克)丙袋化肥重量(222)÷210(千克)乙袋化肥重量321220(千克)答:甲袋化肥重12千克,乙袋化肥重20千克,丙袋化肥重10千克。例4 甲乙兩車原來共裝蘋果97筐,從甲車取下14筐放到乙車上,結(jié)果甲車比乙車還多3筐,兩車原來各裝蘋果多少筐?解 “從甲車取下14筐放到乙車上,結(jié)果甲車比乙車還多3筐”,這說明甲車是大數(shù),乙車是小數(shù),甲與乙的差是(14×23),甲與乙的和是97,因此甲車筐數(shù)(9714×23)÷264(筐)乙車筐數(shù)976433(筐)答:

9、甲車原來裝蘋果64筐,乙車原來裝蘋果33筐。4 和倍問題【含義】 已知兩個數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍(或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾),要求這兩個數(shù)各是多少,這類應(yīng)用題叫做和倍問題。【數(shù)量關(guān)系】 總和 ÷(幾倍1)較小的數(shù) 總和 較小的數(shù) 較大的數(shù) 較小的數(shù) ×幾倍 較大的數(shù)【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式,復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1 果園里有杏樹和桃樹共248棵,桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍,求杏樹、桃樹各多少棵?解 (1)杏樹有多少棵? 248÷(31)62(棵) (2)桃樹有多少棵? 62×3186(棵)答:杏樹有62棵,桃樹有186棵。例2 東西兩

10、個倉庫共存糧480噸,東庫存糧數(shù)是西庫存糧數(shù)的1.4倍,求兩庫各存糧多少噸?解 (1)西庫存糧數(shù)480÷(1.41)200(噸) (2)東庫存糧數(shù)480200280(噸)答:東庫存糧280噸,西庫存糧200噸。例3 甲站原有車52輛,乙站原有車32輛,若每天從甲站開往乙站28輛,從乙站開往甲站24輛,幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍?解 每天從甲站開往乙站28輛,從乙站開往甲站24輛,相當(dāng)于每天從甲站開往乙站(2824)輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當(dāng)作1倍量,這時乙站的車輛數(shù)就是2倍量,兩站的車輛總數(shù)(5232)就相當(dāng)于(21)倍,那么,幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為 (5232)÷

11、(21)28(輛)所求天數(shù)為 (5228)÷(2824)6(天)答:6天以后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍。例4 甲乙丙三數(shù)之和是170,乙比甲的2倍少4,丙比甲的3倍多6,求三數(shù)各是多少?解 乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系,因此把甲數(shù)作為1倍量。因為乙比甲的2倍少4,所以給乙加上4,乙數(shù)就變成甲數(shù)的2倍;又因為丙比甲的3倍多6,所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍;這時(17046)就相當(dāng)于(123)倍。那么,甲數(shù)(17046)÷(123)28乙數(shù)28×2452丙數(shù)28×3690答:甲數(shù)是28,乙數(shù)是52,丙數(shù)是90。5 差倍問題【含義】 已知兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾

12、倍(或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾),要求這兩個數(shù)各是多少,這類應(yīng)用題叫做差倍問題。【數(shù)量關(guān)系】 兩個數(shù)的差÷(幾倍1)較小的數(shù) 較小的數(shù)×幾倍較大的數(shù)【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式,復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1 果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍,而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵?解 (1)杏樹有多少棵? 124÷(31)62(棵) (2)桃樹有多少棵? 62×3186(棵)答:果園里杏樹是62棵,桃樹是186棵。例2 爸爸比兒子大27歲,今年,爸爸的年齡是兒子年齡的4倍,求父子二人今年各是多少歲?解 (1)兒子年齡27÷(41

13、)9(歲) (2)爸爸年齡9×436(歲)答:父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。例3 商場改革經(jīng)營管理辦法后,本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元,又知本月盈利比上月盈利多30萬元,求這兩個月盈利各是多少萬元?解 如果把上月盈利作為1倍量,則(3012)萬元就相當(dāng)于上月盈利的(21)倍,因此 上月盈利(3012)÷(21)18(萬元)本月盈利183048(萬元)答:上月盈利是18萬元,本月盈利是48萬元。例4 糧庫有94噸小麥和138噸玉米,如果每天運出小麥和玉米各是9噸,問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍?解 由于每天運出的小麥和玉米的數(shù)量相等,所以剩下的數(shù)量差等于原來的

14、數(shù)量差(13894)。把幾天后剩下的小麥看作1倍量,則幾天后剩下的玉米就是3倍量,那么,(13894)就相當(dāng)于(31)倍,因此剩下的小麥數(shù)量(13894)÷(31)22(噸)運出的小麥數(shù)量942272(噸)運糧的天數(shù)72÷98(天)答:8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。6 倍比問題【含義】 有兩個已知的同類量,其中一個量是另一個量的若干倍,解題時先求出這個倍數(shù),再用倍比的方法算出要求的數(shù),這類應(yīng)用題叫做倍比問題?!緮?shù)量關(guān)系】 總量÷一個數(shù)量倍數(shù) 另一個數(shù)量×倍數(shù)另一總量【解題思路和方法】 先求出倍數(shù),再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。例1 100千克油菜籽可以榨油

15、40千克,現(xiàn)在有油菜籽3700千克,可以榨油多少?解 (1)3700千克是100千克的多少倍? 3700÷10037(倍) (2)可以榨油多少千克? 40×371480(千克)列成綜合算式 40×(3700÷100)1480(千克)答:可以榨油1480千克。例2 今年植樹節(jié)這天,某小學(xué)300名師生共植樹400棵,照這樣計算,全縣48000名師生共植樹多少棵?解 (1)48000名是300名的多少倍? 48000÷300160(倍) (2)共植樹多少棵? 400×16064000(棵)列成綜合算式 400×(48000

16、7;300)64000(棵)答:全縣48000名師生共植樹64000棵。例3 鳳翔縣今年蘋果大豐收,田家莊一戶人家4畝果園收入11111元,照這樣計算,全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元?全縣16000畝果園共收入多少元?解 (1)800畝是4畝的幾倍? 800÷4200(倍) (2)800畝收入多少元? 11111×200(元) (3)16000畝是800畝的幾倍? 16000÷80020(倍) (4)16000畝收入多少元? ×20(元)答:全鄉(xiāng)800畝果園共收入元,全縣16000畝果園共收入元。7 相遇問題【含義】 兩個運動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行,

17、在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問題?!緮?shù)量關(guān)系】 相遇時間總路程÷(甲速乙速)總路程(甲速乙速)×相遇時間【解題思路和方法】 簡單的題目可直接利用公式,復(fù)雜的題目變通后再利用公式。例1 南京到上海的水路長392千米,同時從兩港各開出一艘輪船相對而行,從南京開出的船每小時行28千米,從上海開出的船每小時行21千米,經(jīng)過幾小時兩船相遇?解 392÷(2821)8(小時)答:經(jīng)過8小時兩船相遇。例2 小李和小劉在周長為400米的環(huán)形跑道上跑步,小李每秒鐘跑5米,小劉每秒鐘跑3米,他們從同一地點同時出發(fā),反向而跑,那么,二人從出發(fā)到第二次相遇需多長時間?解 “第二次相遇”

18、可以理解為二人跑了兩圈。因此總路程為400×2相遇時間(400×2)÷(53)100(秒)答:二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時間。例3 甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行,甲每小時行15千米,乙每小時行13千米,兩人在距中點3千米處相遇,求兩地的距離。解 “兩人在距中點3千米處相遇”是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲騎得快,乙騎得慢,甲過了中點3千米,乙距中點3千米,就是說甲比乙多走的路程是(3×2)千米,因此,相遇時間(3×2)÷(1513)3(小時)兩地距離(1513)×384(千米)答:兩地距離是84千米。8 追

19、及問題【含義】 兩個運動物體在不同地點同時出發(fā)(或者在同一地點而不是同時出發(fā),或者在不同地點又不是同時出發(fā))作同向運動,在后面的,行進速度要快些,在前面的,行進速度較慢些,在一定時間之內(nèi),后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問題?!緮?shù)量關(guān)系】 追及時間追及路程÷(快速慢速) 追及路程(快速慢速)×追及時間【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式,復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1 好馬每天走120千米,劣馬每天走75千米,劣馬先走12天,好馬幾天能追上劣馬?解 (1)劣馬先走12天能走多少千米? 75×12900(千米) (2)好馬幾天追上劣馬? 900

20、47;(12075)20(天)列成綜合算式 75×12÷(12075)900÷4520(天)答:好馬20天能追上劣馬。例2 小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步,小明跑一圈用40秒,他們從同一地點同時出發(fā),同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了500米,求小亮的速度是每秒多少米。解 小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈,即200米,此時小亮跑了(500200)米,要知小亮的速度,須知追及時間,即小明跑500米所用的時間。又知小明跑200米用40秒,則跑500米用40×(500÷200)秒,所以小亮的速度是 (500200)÷40×(

21、500÷200)300÷1003(米)答:小亮的速度是每秒3米。例3 我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人,敵人在下午16點開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑,解放軍在晚上22點接到命令,以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米,問解放軍幾個小時可以追上敵人?解 敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是(2216)小時,這段時間敵人逃跑的路程是10×(2216)千米,甲乙兩地相距60千米。由此推知追及時間10×(2216)60÷(3010)120÷206(小時)答:解放軍在6小時后可以追上敵人。例4 一輛客車從甲站開往乙

22、站,每小時行48千米;一輛貨車同時從乙站開往甲站,每小時行40千米,兩車在距兩站中點16千米處相遇,求甲乙兩站的距離。解 這道題可以由相遇問題轉(zhuǎn)化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車(16×2)千米,客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間,這個時間為 16×2÷(4840)4(小時)所以兩站間的距離為 (4840)×4352(千米)列成綜合算式 (4840)×16×2÷(4840)88×4352(千米)答:甲乙兩站的距離是352千米。例5 兄妹二人同時由家上學(xué),哥哥每分鐘走90米,妹妹每分鐘走60米。哥哥到

23、校門口時發(fā)現(xiàn)忘記帶課本,立即沿原路回家去取,行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學(xué)校有多遠?解 要求距離,速度已知,所以關(guān)鍵是求出相遇時間。從題中可知,在相同時間(從出發(fā)到相遇)內(nèi)哥哥比妹妹多走(180×2)米,這是因為哥哥比妹妹每分鐘多走(9060)米,那么,二人從家出走到相遇所用時間為180×2÷(9060)12(分鐘)家離學(xué)校的距離為 90×12180900(米)答:家離學(xué)校有900米遠。例6 孫亮打算上課前5分鐘到學(xué)校,他以每小時4千米的速度從家步行去學(xué)校,當(dāng)他走了1千米時,發(fā)現(xiàn)手表慢了10分鐘,因此立即跑步前進,到學(xué)校恰好準(zhǔn)時上課。后來算了

24、一下,如果孫亮從家一開始就跑步,可比原來步行早9分鐘到學(xué)校。求孫亮跑步的速度。解 手表慢了10分鐘,就等于晚出發(fā)10分鐘,如果按原速走下去,就要遲到(105)分鐘,后段路程跑步恰準(zhǔn)時到學(xué)校,說明后段路程跑比走少用了(105)分鐘。如果從家一開始就跑步,可比步行少9分鐘,由此可知,行1千米,跑步比步行少用9(105)分鐘。所以 步行1千米所用時間為 1÷9(105)0.25(小時)15(分鐘)跑步1千米所用時間為 159(105)11(分鐘)跑步速度為每小時 1÷11605.5(千米)答:孫亮跑步速度為每小時 5.5千米。9 植樹問題【含義】 按相等的距離植樹,在距離、棵距、

25、棵數(shù)這三個量之間,已知其中的兩個量,要求第三個量,這類應(yīng)用題叫做植樹問題。【數(shù)量關(guān)系】 線形植樹 棵數(shù)距離÷棵距1 環(huán)形植樹 棵數(shù)距離÷棵距 方形植樹 棵數(shù)距離÷棵距4 三角形植樹 棵數(shù)距離÷棵距3 面積植樹 棵數(shù)面積÷(棵距×行距)【解題思路和方法】 先弄清楚植樹問題的類型,然后可以利用公式。例1 一條河堤136米,每隔2米栽一棵垂柳,頭尾都栽,一共要栽多少棵垂柳?解 136÷2168169(棵)答:一共要栽69棵垂柳。例2 一個圓形池塘周長為400米,在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹,一共能栽多少棵白楊樹?解 400÷

26、;4100(棵) 答:一共能栽100棵白楊樹。例3 一個正方形的運動場,每邊長220米,每隔8米安裝一個照明燈,一共可以安裝多少個照明燈?解 220×4÷841104106(個)答:一共可以安裝106個照明燈。例4 給一個面積為96平方米的住宅鋪設(shè)地板磚,所用地板磚的長和寬分別是60厘米和40厘米,問至少需要多少塊地板磚?解 96÷(0.6×0.4)96÷0.24400(塊)答:至少需要400塊地板磚。例5 一座大橋長500米,給橋兩邊的電桿上安裝路燈,若每隔50米有一個電桿,每個電桿上安裝2盞路燈,一共可以安裝多少盞路燈?解 (1)橋的一邊有

27、多少個電桿? 500÷50111(個) (2)橋的兩邊有多少個電桿? 11×222(個) (3)大橋兩邊可安裝多少盞路燈?22×244(盞)答:大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。10 年齡問題【含義】 這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名,它的主要特點是兩人的年齡差不變,但是,兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長在發(fā)生變化?!緮?shù)量關(guān)系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系,尤其與差倍問題的解題思路是一致的,要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點?!窘忸}思路和方法】 可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。 兩個數(shù)的差÷(幾倍1)較小的數(shù)例1 爸爸今年35歲,亮

28、亮今年5歲,今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍?明年呢?解 35÷57(倍) (35+1)÷(5+1)6(倍)答:今年爸爸的年齡是亮亮的7倍,明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。例2 母親今年37歲,女兒今年7歲,幾年后母親的年齡是女兒的4倍?解 (1)母親比女兒的年齡大多少歲? 37730(歲) (2)幾年后母親的年齡是女兒的4倍?30÷(41)73(年)列成綜合算式 (377)÷(41)73(年)答:3年后母親的年齡是女兒的4倍。例3 3年前父子的年齡和是49歲,今年父親的年齡是兒子年齡的4倍,父子今年各多少歲?解 今年父子的年齡和應(yīng)該比3年前增加(3×2

29、)歲,今年二人的年齡和為 493×255(歲)把今年兒子年齡作為1倍量,則今年父子年齡和相當(dāng)于(41)倍,因此,今年兒子年齡為 55÷(41)11(歲)今年父親年齡為 11×444(歲)答:今年父親年齡是44歲,兒子年齡是11歲。例4 甲對乙說:“當(dāng)我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時,你才4歲”。乙對甲說:“當(dāng)我的歲數(shù)將來是你現(xiàn)在的歲數(shù)時,你將61歲”。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少?(可用方程解)解這里涉及到三個年份:過去某一年、今年、將來某一年。列表分析: 過去某一年今 年將來某一年甲歲歲61歲乙4歲歲歲表中兩個“”表示同一個數(shù),兩個“”表示同一個數(shù)。因為兩個人

30、的年齡差總相等:461,也就是4,61成等差數(shù)列,所以,61應(yīng)該比4大3個年齡差,因此二人年齡差為 (614)÷319(歲)甲今年的歲數(shù)為 611942(歲)乙今年的歲數(shù)為 421923(歲)答:甲今年的歲數(shù)是42歲,乙今年的歲數(shù)是23歲。11 行船問題【含義】 行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速與水速,船速是船只本身航行的速度,也就是船只在靜水中航行的速度;水速是水流的速度,船只順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和;船只逆水航行的速度是船速與水速之差?!緮?shù)量關(guān)系】 (順?biāo)俣饶嫠俣龋?#247;2船速 (順?biāo)俣饶嫠俣龋?#247;2水速 順?biāo)俅?#215;2

31、逆水速逆水速水速×2 逆水速船速×2順?biāo)夙標(biāo)偎?#215;2【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1 一只船順?biāo)?20千米需用8小時,水流速度為每小時15千米,這只船逆水行這段路程需用幾小時?解 由條件知,順?biāo)俅偎?20÷8,而水速為每小時15千米,所以,船速為每小時 320÷81525(千米)船的逆水速為 251510(千米)船逆水行這段路程的時間為 320÷1032(小時)答:這只船逆水行這段路程需用32小時。例2 甲船逆水行360千米需18小時,返回原地需10小時;乙船逆水行同樣一段距離需15小時,返回

32、原地需多少時間?解由題意得 甲船速水速360÷1036 甲船速水速360÷1820可見 (3620)相當(dāng)于水速的2倍,所以, 水速為每小時 (3620)÷28(千米)又因為, 乙船速水速360÷15,所以, 乙船速為 360÷15832(千米)乙船順?biāo)贋?32840(千米)所以, 乙船順?biāo)叫?60千米需要 360÷409(小時)答:乙船返回原地需要9小時。例3 一架飛機飛行在兩個城市之間,飛機的速度是每小時576千米,風(fēng)速為每小時24千米,飛機逆風(fēng)飛行3小時到達,順風(fēng)飛回需要幾小時?解 這道題可以按照流水問題來解答。(1)兩城相距

33、多少千米? (57624)×31656(千米)(2)順風(fēng)飛回需要多少小時? 1656÷(57624)2.76(小時) 列成綜合算式 (57624)×3÷(57624)2.76(小時)答:飛機順風(fēng)飛回需要2.76小時。12 列車問題【含義】 這是與列車行駛有關(guān)的一些問題,解答時要注意列車車身的長度?!緮?shù)量關(guān)系】 火車過橋:過橋時間(車長橋長)÷車速 火車追及:追及時間(甲車長乙車長距離)÷(甲車速乙車速) 火車相遇:相遇時間(甲車長乙車長距離)÷(甲車速乙車速)【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1 一

34、座大橋長2400米,一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋,從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米?解 火車3分鐘所行的路程,就是橋長與火車車身長度的和。(1)火車3分鐘行多少米? 900×32700(米)(2)這列火車長多少米? 27002400300(米)列成綜合算式 900×32400300(米)答:這列火車長300米。例2 一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋,用了2分5秒鐘時間,求大橋的長度是多少米?解 火車過橋所用的時間是2分5秒125秒,所走的路程是(8×125)米,這段路程就是(200米橋長),所以,橋長為8×

35、125200800(米)答:大橋的長度是800米。例3 一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛,一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕,求快車從追上到追過慢車需要多長時間?解 從追上到追過,快車比慢車要多行(225140)米,而快車比慢車每秒多行(2217)米,因此,所求的時間為(225140)÷(2217)73(秒)答:需要73秒。例4 一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛,有一個扳道工人以每秒3米的速度迎面走來,那么,火車從工人身旁駛過需要多少時間?解 如果把人看作一列長度為零的火車,原題就相當(dāng)于火車相遇問題。150÷(223)6(秒)答:火車從工人

36、身旁駛過需要6秒鐘。例5 一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒,以同樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少?解 車速和車長都沒有變,但通過隧道和大橋所用的時間不同,是因為隧道比大橋長??芍疖囋冢?858)秒的時間內(nèi)行駛了(20001250)米的路程,因此,火車的車速為每秒(20001250)÷(8858)25(米)進而可知,車長和橋長的和為(25×58)米,因此,車長為 25×581250200(米)答:這列火車的車速是每秒25米,車身長200米。13 時鐘問題【含義】 就是研究鐘面上時針與分針關(guān)系的問題,如兩針

37、重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比?!緮?shù)量關(guān)系】 分針的速度是時針的12倍, 二者的速度差為11/12。 通常按追及問題來對待,也可以按差倍問題來計算?!窘忸}思路和方法】 變通為“追及問題”后可以直接利用公式。例1 從時針指向4點開始,再經(jīng)過多少分鐘時針正好與分針重合?解 鐘面的一周分為60格,分針每分鐘走一格,每小時走60格;時針每小時走5格,每分鐘走5/601/12格。每分鐘分針比時針多走(11/12)11/12格。4點整,時針在前,分針在后,兩針相距20格。所以分針追上時針的時間為 20÷(11/12) 22(分)答:再經(jīng)過22分鐘時針正

38、好與分針重合。例2 四點和五點之間,時針和分針在什么時候成直角?解 鐘面上有60格,它的1/4是15格,因而兩針成直角的時候相差15格(包括分針在時針的前或后15格兩種情況)。四點整的時候,分針在時針后(5×4)格,如果分針在時針后與它成直角,那么分針就要比時針多走 (5×415)格,如果分針在時針前與它成直角,那么分針就要比時針多走(5×415)格。再根據(jù)1分鐘分針比時針多走(11/12)格就可以求出二針成直角的時間。 (5×415)÷(11/12) 6(分)(5×415)÷(11/12) 38(分)答:4點06分及4點3

39、8分時兩針成直角。例3 六點與七點之間什么時候時針與分針重合?解 六點整的時候,分針在時針后(5×6)格,分針要與時針重合,就得追上時針。這實際上是一個追及問題。(5×6)÷(11/12) 33(分)答:6點33分的時候分針與時針重合。14 盈虧問題【含義】 根據(jù)一定的人數(shù),分配一定的物品,在兩次分配中,一次有余(盈),一次不足(虧),或兩次都有余,或兩次都不足,求人數(shù)或物品數(shù),這類應(yīng)用題叫做盈虧問題?!緮?shù)量關(guān)系】 一般地說,在兩次分配中,如果一次盈,一次虧,則有:參加分配總?cè)藬?shù)(盈虧)÷分配差如果兩次都盈或都虧,則有:參加分配總?cè)藬?shù)(大盈小盈)

40、7;分配差參加分配總?cè)藬?shù)(大虧小虧)÷分配差【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1 給幼兒園小朋友分蘋果,若每人分3個就余11個;若每人分4個就少1個。問有多少小朋友?有多少個蘋果?解 按照“參加分配的總?cè)藬?shù)(盈虧)÷分配差”的數(shù)量關(guān)系:(1)有小朋友多少人? (111)÷(43)12(人)(2)有多少個蘋果? 3×121147(個)答:有小朋友12人,有47個蘋果。例2 修一條公路,如果每天修260米,修完全長就得延長8天;如果每天修300米,修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米?解 題中原定完成任務(wù)的天數(shù),就相當(dāng)于“參加分配

41、的總?cè)藬?shù)”,按照“參加分配的總?cè)藬?shù)(大虧小虧)÷分配差”的數(shù)量關(guān)系,可以得知原定完成任務(wù)的天數(shù)為 (260×8300×4)÷(300260)22(天)這條路全長為 300×(224)7800(米)答:這條路全長7800米。例3 學(xué)校組織春游,如果每輛車坐40人,就余下30人;如果每輛車坐45人,就剛好坐完。問有多少車?多少人?解 本題中的車輛數(shù)就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”,于是就有(1)有多少車? (300)÷(4540)6(輛)(2)有多少人? 40×630270(人)答:有6 輛車,有270人。15 工程問題【含義】 工

42、程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中,常常不給出工作量的具體數(shù)量,只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等,在解題時,常常用單位“1”表示工作總量。【數(shù)量關(guān)系】 解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”,這樣,工作效率就是工作時間的倒數(shù)(它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾),進而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關(guān)系列出算式。工作量工作效率×工作時間 工作時間工作量÷工作效率工作時間總工作量÷(甲工作效率乙工作效率)【解題思路和方法】 變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。例1 一項工程,甲

43、隊單獨做需要10天完成,乙隊單獨做需要15天完成,現(xiàn)在兩隊合作,需要幾天完成?解 題中的“一項工程”是工作總量,由于沒有給出這項工程的具體數(shù)量,因此,把此項工程看作單位“1”。由于甲隊獨做需10天完成,那么每天完成這項工程的1/10;乙隊單獨做需15天完成,每天完成這項工程的1/15;兩隊合做,每天可以完成這項工程的(1/101/15)。由此可以列出算式: 1÷(1/101/15)1÷1/66(天)答:兩隊合做需要6天完成。例2 一批零件,甲獨做6小時完成,乙獨做8小時完成?,F(xiàn)在兩人合做,完成任務(wù)時甲比乙多做24個,求這批零件共有多少個?解 設(shè)總工作量為1,則甲每小時完成1

44、/6,乙每小時完成1/8,甲比乙每小時多完成(1/61/8),二人合做時每小時完成(1/61/8)。因為二人合做需要1÷(1/61/8)小時,這個時間內(nèi),甲比乙多做24個零件,所以(1)每小時甲比乙多做多少零件?24÷1÷(1/61/8)7(個)(2)這批零件共有多少個? 7÷(1/61/8)168(個)答:這批零件共有168個。解二 上面這道題還可以用另一種方法計算:兩人合做,完成任務(wù)時甲乙的工作量之比為 1/61/843由此可知,甲比乙多完成總工作量的 43 / 43 1/7所以,這批零件共有 24÷1/7168(個)例3 一件工作,甲獨做

45、12小時完成,乙獨做10小時完成,丙獨做15小時完成。現(xiàn)在甲先做2小時,余下的由乙丙二人合做,還需幾小時才能完成?解 必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示,就會給計算帶來方便,因此,我們設(shè)總工作量為12、10、和15的某一公倍數(shù),例如最小公倍數(shù)60,則甲乙丙三人的工作效率分別是60÷125 60÷106 60÷154 因此余下的工作量由乙丙合做還需要 (605×2)÷(64)5(小時)答:還需要5小時才能完成。 也可以用(1-1/12*2)/(1/10+1/15)例4 一個水池,底部裝有一個常開的排水管,上部裝有若干個同樣粗細

46、的進水管。當(dāng)打開4個進水管時,需要5小時才能注滿水池;當(dāng)打開2個進水管時,需要15小時才能注滿水池;現(xiàn)在要用2小時將水池注滿,至少要打開多少個進水管?解 注(排)水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項工程,水的流量就是工作量,單位時間內(nèi)水的流量就是工作效率。要2小時內(nèi)將水池注滿,即要使2小時內(nèi)的進水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率及總工作量(一池水)。只要設(shè)某一個量為單位1,其余兩個量便可由條件推出。我們設(shè)每個同樣的進水管每小時注水量為1,則4個進水管5小時注水量為(1×4×5),2個進水管15小時注水量為(1×

47、;2×15),從而可知每小時的排水量為 (1×2×151×4×5)÷(155)1即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。由此可知一池水的總工作量為 1×4×51×515 又因為在2小時內(nèi),每個進水管的注水量為 1×2, 所以,2小時內(nèi)注滿一池水 至少需要多少個進水管? (151×2)÷(1×2)8.59(個) 答:至少需要9個進水管。16 正反比例問題【含義】 兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比的比值一定(即商一定),那

48、么這兩種量就叫做成正比例的量,它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定,這兩種量就叫做成反比例的量,它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用?!緮?shù)量關(guān)系】 判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決,而且比較簡捷?!窘忸}思路和方法】 解決這類問題的重要方法是:把分率(倍數(shù))轉(zhuǎn)化為比,應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。例1 修一條公路,已修的是未修的1/3,再

49、修300米后,已修的變成未修的1/2,求這條公路總長是多少米?解 由條件知,公路總長不變。原已修長度總長度1(13)14312現(xiàn)已修長度總長度1(12)13412比較以上兩式可知,把總長度當(dāng)作12份,則300米相當(dāng)于(43)份,從而知公路總長為 300÷(43)×123600(米)答: 這條公路總長3600米。例2 張晗做4道應(yīng)用題用了28分鐘,照這樣計算,91分鐘可以做幾道應(yīng)用題?解 做題效率一定,做題數(shù)量與做題時間成正比例關(guān)系設(shè)91分鐘可以做X應(yīng)用題 則有 28491X28X91×4 X91×4÷28 X13答:91分鐘可以做13道應(yīng)用題。

50、例3 孫亮看十萬個為什么這本書,每天看24頁,15天看完,如果每天看36頁,幾天就可以看完?解 書的頁數(shù)一定,每天看的頁數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系設(shè)X天可以看完,就有 2436X15 36X24×15 X10答:10天就可以看完。例4 一個大矩形被分成六個小矩形,其中四個小矩形的面積如圖所示,求大矩形的面積。A 252036B16解 由面積÷寬長可知,當(dāng)長一定時,面積與寬成正比,所以每一上下兩個小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又因為第一行三個小矩形的寬相等,第二行三個小矩形的寬也相等。因此,A362016 25B2016 解這兩個比例,得 A45 B20所以,大矩形面積

51、為 453625202016162答:大矩形的面積是162.17 按比例分配問題【含義】 所謂按比例分配,就是把一個數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式:一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù),另一種是直接給出份數(shù)?!緮?shù)量關(guān)系】 從條件看,已知總量和幾個部分量的比;從問題看,求幾個部分量各是多少。 總份數(shù)比的前后項之和【解題思路和方法】 先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾,把比的前后項相加求出總份數(shù),再求各部分占總量的幾分之幾(以總份數(shù)作分母,比的前后項分別作分子),再按照求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法,分別求出各部分量的值。例1 學(xué)校把植樹560棵的任務(wù)按

52、人數(shù)分配給五年級三個班,已知一班有47人,二班有48人,三班有45人,三個班各植樹多少棵?解 總份數(shù)為 474845140一班植樹 560×47/140188(棵)二班植樹 560×48/140192(棵)三班植樹 560×45/140180(棵) 答:一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。例2 用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形,三角形三條邊的比是345。三條邊的長各是多少厘米?解 34512 60×3/1215(厘米) 60×4/1220(厘米)60×5/1225(厘米)答:三角形三條邊的長分別是15厘米、20厘米、25

53、厘米。例3 從前有個牧民,臨死前留下遺言,要把17只羊分給三個兒子,大兒子分總數(shù)的1/2,二兒子分總數(shù)的1/3,三兒子分總數(shù)的1/9,并規(guī)定不許把羊宰割分,求三個兒子各分多少只羊。解 如果用總數(shù)乘以分率的方法解答,顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解,則很容易得到 1/21/31/996296217 17×9/179 17×6/176 17×2/172答:大兒子分得9只羊,二兒子分得6只羊,三兒子分得2只羊。例4 某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為81221,第一車間比第二車間少80人,三個車間共多少人?人 數(shù)80人一共多少人?對應(yīng)的份數(shù)128812

54、21解 80÷(128)×(81221)820(人)答:三個車間一共820人。18 百分數(shù)問題【含義】 百分數(shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分數(shù)是一種特殊的分數(shù)。分數(shù)常??梢酝ǚ帧⒓s分,而百分數(shù)則無需;分數(shù)既可以表示“率”,也可以表示“量”,而百分數(shù)只能表示“率”;分數(shù)的分子、分母必須是自然數(shù),而百分數(shù)的分子可以是小數(shù);百分數(shù)有一個專門的記號“%”。在實際中和常用到“百分點”這個概念,一個百分點就是1%,兩個百分點就是2%?!緮?shù)量關(guān)系】 掌握“百分數(shù)”、“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系: 百分數(shù)比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量 標(biāo)準(zhǔn)量比較量÷百分數(shù)【解題思

55、路和方法】 一般有三種基本類型:(1) 求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾;(2) 已知一個數(shù),求它的百分之幾是多少;(3) 已知一個數(shù)的百分之幾是多少,求這個數(shù)。例1 倉庫里有一批化肥,用去720千克,剩下6480千克,用去的與剩下的各占原重量的百分之幾?解 (1)用去的占 720÷(7206480)10%(2)剩下的占 6480÷(7206480)90%答:用去了10%,剩下90%。例2 紅旗化工廠有男職工420人,女職工525人,男職工人數(shù)比女職工少百分之幾? 解 本題中女職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量,男職工比女職工少的人數(shù)是比較量 所以 (525420)÷5250.220%

56、 或者 1420÷5250.220%答:男職工人數(shù)比女職工少20%。例3 紅旗化工廠有男職工420人,女職工525人,女職工比男職工人數(shù)多百分之幾? 解 本題中以男職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量,女職工比男職工多的人數(shù)為比較量,因此 (525420)÷4200.2525% 或者 525÷42010.2525%答:女職工人數(shù)比男職工多25%。例4 紅旗化工廠有男職工420人,有女職工525人,男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾?解 (1)男職工占 420÷(420525)0.44444.4%(2)女職工占 525÷(420525)0.55655.6%答:男職

57、工占全廠職工總數(shù)的44.4%,女職工占55.6%。例5 百分數(shù)又叫百分率,百分率在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用很廣泛,常見的百分率有:增長率增長數(shù)÷原來基數(shù)×100%合格率合格產(chǎn)品數(shù)÷產(chǎn)品總數(shù)×100%出勤率實際出勤人數(shù)÷應(yīng)出勤人數(shù)×100%出勤率實際出勤天數(shù)÷應(yīng)出勤天數(shù)×100%缺席率缺席人數(shù)÷實有總?cè)藬?shù)×100%發(fā)芽率發(fā)芽種子數(shù)÷試驗種子總數(shù)×100%成活率成活棵數(shù)÷種植總棵數(shù)×100%出粉率面粉重量÷小麥重量×100%出油率油的重量÷

58、;油料重量×100%廢品率廢品數(shù)量÷全部產(chǎn)品數(shù)量×100%命中率命中次數(shù)÷總次數(shù)×100%烘干率烘干后重量÷烘前重量×100%及格率及格人數(shù)÷參加考試人數(shù)×100%19 “牛吃草”問題【含義】 “牛吃草”問題是大科學(xué)家牛頓提出的問題,也叫“牛頓問題”。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素?!緮?shù)量關(guān)系】 草總量原有草量草每天生長量×天數(shù)【解題思路和方法】 解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長量。例1 一塊草地,10頭牛20天可以把草吃完,15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完?解 草是均勻生長的,所以,草總量原有草量草每天生長

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