探究規(guī)律題型方法總結(jié)和練習(xí)

1、探究規(guī)律題型方法總結(jié)和練習(xí)一、教學(xué)內(nèi)容：規(guī)律探究型問題1. 圖案變化規(guī)律2. 數(shù)列、代數(shù)式運(yùn)算規(guī)律3. 幾何變化規(guī)律4. 探索研究 二、知識(shí)要點(diǎn)：近年來，探索規(guī)律的題目成為數(shù)學(xué)中考的一個(gè)熱點(diǎn)，目的是考查學(xué)生觀察分析及探索的能力. 題目分為題設(shè)和結(jié)論兩部分，通常題設(shè)部分給出一些數(shù)量關(guān)系或圖形變換關(guān)系，通過觀察分析，要求學(xué)生找出這些關(guān)系中存在的規(guī)律。這種數(shù)學(xué)題目本身存在一種數(shù)學(xué)探索的思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想從特殊到一般的發(fā)現(xiàn)規(guī)律。是中考的一個(gè)難點(diǎn)，越來越引起考生重視。下面我們根據(jù)幾種不同類型的規(guī)律變化類型題進(jìn)行分析?！耙?guī)律探究型問題”根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)和認(rèn)知特點(diǎn)，分別從直觀形象和抽象符號(hào)上進(jìn)行規(guī)律

2、探索，突出數(shù)學(xué)的生活化，給學(xué)生提供更多機(jī)會(huì)體驗(yàn)學(xué)習(xí)和探索的“過程”與“經(jīng)歷”，使之擁有一定的問題解決、課題研究、社會(huì)調(diào)查的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生經(jīng)歷探索事物間的數(shù)量關(guān)系并用字母和代數(shù)式表示的過程，建立初步的符號(hào)感，發(fā)展抽象思維，進(jìn)一步使學(xué)生體會(huì)到代數(shù)式是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型?，F(xiàn)就規(guī)律探究的幾個(gè)例子，來探討一下這類專題：一、規(guī)律探索型問題的分類：1、數(shù)式規(guī)律通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式，然后猜想其中蘊(yùn)含的規(guī)律，反映了由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法，考查了學(xué)生的分析、歸納、抽象、概括能力。一般解法是先寫出數(shù)式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過橫比（比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系）或縱比（比較不同等式間相同位置的

3、數(shù)量關(guān)系）找出各部分的特征，改寫成要求的格式。如：1、有一串單項(xiàng)式：a，2a2，3a3，4a4，19a19，20a20，那么第n個(gè)單項(xiàng)式是        。2、爭(zhēng)當(dāng)小高斯：高斯在10歲的時(shí)候，曾計(jì)算出1+2+3+4+······+100=_；還有另外一種解法：設(shè)S= 1+2+3+······+99+100，那么也可以寫成S=100+99+98+97+·····

4、;·+2+1，把這兩個(gè)等式左右兩邊分別相加，可以得到2S= （1+100）+（2+99）+（3+97）+······ +（99+2） +（100+1），2S=100×101，S=     由此，猜想前n個(gè)自然數(shù)和：1+2+3+4+······+n=_，前n個(gè)偶數(shù)和：2+4+6+8+······+2n=_，前n個(gè)奇數(shù)和：1+3+5+7+ 9+·

5、83;····+ (2n-1) =_.猜想歸納是解決這類問題的有效方法，通過對(duì)已給出的材料和信息對(duì)研究的對(duì)象進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、歸納和分析綜合，作出符合一定規(guī)律與事實(shí)的推測(cè)性想象，從而發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律.它是發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)規(guī)律的重要手段.平時(shí)的教學(xué)不能局限于課本，可以設(shè)計(jì)一些猜想性、類比性的活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)觀察、試驗(yàn)等活動(dòng)過程，在活動(dòng)中通過對(duì)大量特殊情形的觀察猜想出一般情形的結(jié)論，從而探索事物的內(nèi)在規(guī)律.2、圖形規(guī)律根據(jù)一組相關(guān)圖形的變化規(guī)律，從中總結(jié)圖形變化所反映的規(guī)律。解決這類圖形規(guī)律問題的方法有兩種，一種是數(shù)圖形，將圖形轉(zhuǎn)化成數(shù)字規(guī)律，再用數(shù)字規(guī)律的解

6、決問題，一種是通過圖形的直觀性，從圖形中直接尋找規(guī)律。如：1、下圖是某同學(xué)在沙灘上用石子擺成的小房子   觀察圖形的變化規(guī)律，寫出第n個(gè)小房子用了_塊石子。2、下面是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖： 經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（2）比圖（1）多出2個(gè)“樹枝”，圖（3）比圖（2）多出5個(gè)“樹枝”，圖（4）比圖（3）多出10個(gè)“樹枝”，照此規(guī)律，圖（7）比圖（6）多出 個(gè)“樹枝”圖案、圖表具有直觀、形象、簡(jiǎn)明，包含的信息量多等特點(diǎn)，解決此類問題需要把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。     二、規(guī)律探索型問題常用解法1

7、、抓住條件中的變與不變找數(shù)學(xué)規(guī)律的題目，都會(huì)涉及到一個(gè)或者幾個(gè)變化的量.所謂找規(guī)律，多數(shù)情況下，是指變量的變化規(guī)律.所以，抓住了變量，就等于抓住了解決問題的關(guān)鍵.而這些變量通常按照一定的順序給出，揭示的規(guī)律，常常包含著事物的序列號(hào).如：一組按規(guī)律排列的式子：，（），其中第7個(gè)式子是     ，第個(gè)式子是        （為正整數(shù)）分子和分母的底數(shù)沒變，變化的是符號(hào)及它們的指數(shù)，再把變量和序列號(hào)放在一起加以比較，就很容易發(fā)現(xiàn)其中的奧秘。2、化繁為簡(jiǎn)，形轉(zhuǎn)化為數(shù)有些題目看上去很大、圖形很復(fù)

8、雜，實(shí)際上，關(guān)鍵性的內(nèi)容并不多.對(duì)題目做一番認(rèn)真地分析，去粗取精，取偽存真，把其中主要的、關(guān)鍵的內(nèi)容抽出來，題目的難度就會(huì)大幅度降低，問題也就容易解決了.如：將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放：第1個(gè)圖形有6個(gè)小圓，第2個(gè)圖形有10個(gè)小圓，第3個(gè)圖形有16個(gè)小圓，第4個(gè)圖形有24個(gè)小圓，依次規(guī)律，第6個(gè)圖形有         個(gè)小圓通過比較，可以發(fā)現(xiàn)事物的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，更容易找到事物的變化規(guī)律.3、尋找事物的循環(huán)節(jié)有些題目包含著事物的循環(huán)規(guī)律，找到了事物的循環(huán)規(guī)律，其他問題就可以迎刃而解. 如：把一張紙片剪

9、成4塊，再從所得的紙片中任取若干塊，每塊又剪成4塊，像這樣依次地進(jìn)行下去，到剪完某一次為止。那么2007，2008，2009，2010這四個(gè)數(shù)中_可能是剪出的紙片數(shù)有些題目，雖然形式發(fā)生了變化，但是本質(zhì)并沒有改變.我們只要在觀察形式變化的過程中，始終注意尋找它的不變量，就可以揭示出事物的本質(zhì)規(guī)律.三、規(guī)律探索型問題常見的結(jié)論：1、乘方型：如：一張白紙引發(fā)的規(guī)律：將一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折，可得到兩層。繼續(xù)對(duì)折，對(duì)折時(shí)每次折痕與上次的折痕保持平行，1、連續(xù)對(duì)折n次后，可以得到幾層?2、連續(xù)對(duì)折n次后，可以得到幾條折痕?3、若這張白紙的面積為1，連續(xù)對(duì)折n次后單層面積是多少？另如：拉面問題：將一團(tuán)拉面拉

10、一次，再捏合一次，再拉第二次，又捏合一次，如此重復(fù)下去，第n次捏合后，有多少根拉面？這類問題的關(guān)鍵在于觀察數(shù)的特征：將“數(shù)”進(jìn)行比較，一定會(huì)發(fā)現(xiàn)“數(shù)”與“數(shù)”間的聯(lián)系  2、等比型：這類題型最簡(jiǎn)單，通過觀察、比較，學(xué)生能很容易解決。如：觀察下列圖形，則第個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)是_3、等差型：這些題型在數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣，題型最多。例如：火柴棍引發(fā)若干的規(guī)律1、用火柴棍拼三角形 三角形個(gè)數(shù)12345n火柴棍根數(shù)3     變式1：用火柴棍拼正方形正方形個(gè)數(shù)123。n火柴棒條數(shù)    

11、   （1）搭一搭，填一填：（2）根據(jù)你的算法，搭100個(gè)這樣的正方形需要根火柴棒。變式2：用同樣規(guī)律的藍(lán)白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)地面，如圖所示第n個(gè)圖形中需用藍(lán)色瓷磚 塊   當(dāng)數(shù)學(xué)問題所反映的數(shù)列的差值均為整數(shù)K時(shí)，其通式就與整數(shù)K的倍數(shù)有關(guān)，結(jié)果一定是（Kn±常數(shù)）的形式（n為自然數(shù)），將K代入特例中驗(yàn)證即可輕易得到通式，這種方法簡(jiǎn)便易行，熟練后可口頭作出答解。4、差值呈自然數(shù)增長(zhǎng)型這類通式往往與前n個(gè)自然數(shù)的和、前n個(gè)奇數(shù)和或前n個(gè)偶數(shù)和有關(guān)。這類習(xí)題有許多實(shí)例：一條直線上有2個(gè)點(diǎn)，則有1條線段；如有3個(gè)點(diǎn)，則有2+1條

12、線段；有4個(gè)點(diǎn)，則有3+2+1條線段；依次類推：有n個(gè)已知點(diǎn)，則有線段（n-1）+（n-2）+3+2+1條線段，即有（n-1+1）(n-1)÷2=n（n-1）÷2條線段。 另外還有“幾個(gè)人相互握手總次數(shù)和”、“打籃球進(jìn)行單循環(huán)比賽取總場(chǎng)次”等問題。所反映的是同一個(gè)數(shù)學(xué)問題，只是將其置身于各類不同的生活背景中，但歸根到底是求前（n-1）個(gè)自然數(shù)的和。又如，1、用大小相同的正方形拼圖，拼第1個(gè)圖形需要3個(gè)正方形，拼第2個(gè)圖形需要6個(gè)正方形，依次類推，拼第4個(gè)圖形需要_個(gè)正方形，拼第n個(gè)圖形需要_個(gè)正方形。   2、下邊是一個(gè)有規(guī)律排列的數(shù)表,請(qǐng)用含

13、n的代數(shù)式(n為正整數(shù))表示數(shù)表中第n行第n列的數(shù):_第一列第二列第三列 第四列 第一行125  10第二行436  11第三行987  12第四行 16 15 14  13  結(jié)論的歸結(jié)無非是乘方型、n的一次式s=kn+b或二次式s=an²+bn+c。數(shù)學(xué)規(guī)律，多數(shù)是函數(shù)的解析式.函數(shù)的解析式里常常包含著數(shù)學(xué)運(yùn)算,所以，要求把變量和序列號(hào)放在一起，做一些計(jì)算，是解答找規(guī)律題的好途徑.規(guī)律探索型問題涉及的基礎(chǔ)知識(shí)非常廣泛，題目沒有固定的形式，因此沒有固定的解題方法。它既能充分地考察學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟悉程度，又能較好地考察學(xué)生的觀察

14、、分析、比較、概括及發(fā)散思維的能力及創(chuàng)新意識(shí)，因而成為中考的熱點(diǎn).這就啟發(fā)廣大數(shù)學(xué)教師必須注重過程教學(xué),用科學(xué)的方法引導(dǎo)學(xué)生親身參與、經(jīng)歷探索規(guī)律的過程,在這樣的過程中讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)之美,感受探索的愉悅,逐步培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立探究能力。1. 圖案變化規(guī)律探究題圖案變化規(guī)律題是指在一定條件下，探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)圖形所具有的規(guī)律性或不變性的問題，它往往給出了一組變化了的圖形或條件，要求學(xué)生通過閱讀、觀察、分析、猜想來探索規(guī)律，它體現(xiàn)了“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法，考查了學(xué)生分析、解決問題的能力，觀察、聯(lián)想、歸納的能力，以及探究能力和創(chuàng)新能力，題型可涉及填空、選擇或解答。例：如圖，是一個(gè)裝飾物品連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所

15、成的三個(gè)圖形，照此規(guī)律閃爍，下一個(gè)呈現(xiàn)出來的圖形是（ ）。分析：觀察圖像變化規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)陰影部分的圖形是按順時(shí)針每次旋轉(zhuǎn)兩個(gè)小格。答案是B2. 數(shù)列、代數(shù)式運(yùn)算規(guī)律猜想型探究題題設(shè)中提供某些信息，供解題者觀察、類比、推理、反思，從而歸納、猜測(cè)、驗(yàn)證得出一般性的規(guī)律和結(jié)論，這樣的問題稱為猜想型探究題。猜想型探究題能培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)字的敏感和直覺思維，能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的思維品質(zhì)和探索精神。3. 幾何變化規(guī)律探究題觀察幾何圖形、根據(jù)題中的變化規(guī)律進(jìn)行分析，猜想下面所沒有給出的圖形變化情況、探究圖形的變化和所求的結(jié)果、歸納總結(jié)發(fā)現(xiàn)規(guī)律。例：對(duì)面積為1的ABC逐次進(jìn)行以下操作：第一次操作，分別延長(zhǎng)AB

16、、BC、CA至點(diǎn)A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，順次連接A1、B1、C1，得到A1B1C1，記其面積為S1；第二次操作，分別延長(zhǎng)A1B1、B1C1、C1A1至點(diǎn)A2、B2、C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，順次連接A2、B2、C2，得到A2B2C2，記其面積為S2；按此規(guī)律繼續(xù)下去，可得到A5B5C5，則其面積S5=_. 4. 探索研究已知題中給出一個(gè)全新的名詞，根據(jù)所學(xué)的知識(shí)和名詞的含義解題.體現(xiàn)學(xué)生對(duì)新知識(shí)、新事物的判斷和認(rèn)知能力，通過提高數(shù)學(xué)知識(shí)技能，準(zhǔn)確地運(yùn)用數(shù)學(xué)基本思想和方法解題.例：如果一個(gè)三

17、角形和一個(gè)矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在矩形這邊的對(duì)邊上，則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”. 如圖所示，矩形ABEF即為ABC的“友好矩形”. 顯然，當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，其“友好矩形”只有一個(gè).根據(jù)上面敘述，（1）說明什么樣的平行四邊形是一個(gè)三角形的“友好平行四邊形”；（2）如圖，若ABC為直角三角形，且C=90°，在圖中畫出ABC的所有“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大小.（2）此時(shí)共有2個(gè)友好矩形，如圖的BCAD、ABEF.易知，矩形BCAD、ABEF的面積都等于ABC面積的2倍， ABC的“友好矩形”的面積相等. 三、重點(diǎn)難點(diǎn)：

18、通過觀察、分析，找出存在的規(guī)律。它既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)，著重考查學(xué)生觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、歸納、猜想、驗(yàn)證等能力，是對(duì)學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)的重要前提【典型例題】例題1、圖形的操作過程（本題中四個(gè)矩形的水平方向的邊長(zhǎng)均為a，豎直方向的邊長(zhǎng)均為b）：在圖中，將線段A1A2向右平移1個(gè)單位到B1B2，得到封閉圖形A1A2B2B1（即陰影部分）；在圖中，將折線A1A2A3向右平移1個(gè)單位到B1B2B3，得到封閉圖形A1A2A3B3B2B1（陰影部分）.（1）在圖中，請(qǐng)你類似地畫一條有兩個(gè)折點(diǎn)的折線，同樣向右平移1個(gè)單位，從而得到一個(gè)封閉圖形，并用斜線畫出陰影；（2）請(qǐng)你分別寫出上述三個(gè)圖形中除去陰影部

19、分后剩余部分的面積：S1，S2，S3；（3）聯(lián)想與橋梁如圖中，在一塊矩形草地上，有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬度都是1個(gè)單位），請(qǐng)你猜想空白部分表示的草地面積是多少？并說明你的猜想是正確的.考點(diǎn)：平行四邊形的面積.【分析】這個(gè)題目是要求學(xué)生從幾何圖形的變化中，探索圖形面積的變化，并加以說明. 在前面的三個(gè)圖形中，常規(guī)的辦法是利用平行四邊形（或分別割成多個(gè)平行四邊形）的面積計(jì)算來求陰影部分的面積，進(jìn)而計(jì)算空白部分的面積注意平行四邊形的面積是底乘以高，陰影部分的面積以一個(gè)單位為底，高均為b，或者多個(gè)和為b，所以空白部分面積均為abb. 但是當(dāng)陰影部分的左右邊界由折線變?yōu)槿我獾那€時(shí)，計(jì)

20、算的方法已經(jīng)不再適用，因此我們考慮圖形的拆分和拼接，利用平移得到空白部分構(gòu)成的“簡(jiǎn)單”圖形來計(jì)算草地的面積【解析】（1）畫圖（要求對(duì)應(yīng)點(diǎn)在水平位置上，寬度保持一致） 想一想，什么樣的兩數(shù)之積等于這兩數(shù)之和？設(shè)n表示正整數(shù)，用關(guān)于n的等式表示這個(gè)規(guī)律為：×=+考點(diǎn)：探究規(guī)律、導(dǎo)出公式【分析】該題是通過觀察給出的運(yùn)算，找到反映其規(guī)律的表達(dá)式此類問題不僅考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握，同時(shí)考查學(xué)生觀察分析的能力通過觀察給出的四個(gè)等式左邊是一個(gè)分?jǐn)?shù)與一個(gè)整數(shù)的積且分?jǐn)?shù)的分子比分母大1，而整數(shù)與分子相同右邊是這兩個(gè)數(shù)的和，所以不難發(fā)現(xiàn)其規(guī)律為：左邊例題4、我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形的兩條對(duì)

21、角線相等，則稱這個(gè)四邊形為等對(duì)角線四邊形請(qǐng)解答下列問題：（1）寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是等對(duì)角線四邊形的兩種圖形的名稱；（2）探究：當(dāng)?shù)葘?duì)角線四邊形中兩條對(duì)角線所夾銳角為時(shí)，這對(duì)角所對(duì)的兩邊之和與其中一條對(duì)角線的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論考點(diǎn)：平行四邊形、等邊三角形的性質(zhì)和判定、三角形的兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)等.【分析】本題的名詞為學(xué)生的猜想提供了條件，正確結(jié)論的探索，是證明的基礎(chǔ).結(jié)論的證明綜合了平行四邊形、等邊三角形的性質(zhì)、三角形的性質(zhì)及平移的方法和手段，將兩邊之和平移到同一線段上，再與第三邊進(jìn)行比較.【解析】（1）答案不唯一，如正方形、矩形、等腰梯形等等即等對(duì)角線四邊形中兩條對(duì)角線所夾

22、銳角為時(shí)，這對(duì)角所對(duì)的兩邊之和大于或等于其中一條對(duì)角線的長(zhǎng)例題5、四邊形一條對(duì)角線所在直線上的點(diǎn)，如果到這條對(duì)角線的兩端點(diǎn)的距離不相等，但到另一對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，則稱這點(diǎn)為這個(gè)四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)如圖1，點(diǎn)P為四邊形ABCD對(duì)角線AC所在直線上的一點(diǎn)，PDPB，PAPC，則點(diǎn)P為四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)（1）如圖2，畫出菱形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn)（2）如圖3，作出四邊形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn)（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）（3）如圖4，在四邊形ABCD中，P是AC上的點(diǎn)，PAPC，延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DP交BC于點(diǎn)F，且CDFCBE，CECF求證：點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等

23、距點(diǎn)考點(diǎn)：三角形全等、特殊四邊形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)等.【分析】根據(jù)題中的“準(zhǔn)等距點(diǎn)”的概念，PDPB，PAPC，可以知道，點(diǎn)P在線段BD的垂直平分線上，再由菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定解題.【解析】（1）如圖2，點(diǎn)P即為所畫點(diǎn)（答案不唯一點(diǎn)P不能畫在AC中點(diǎn)）