最新201X版 必考部分 第2章 2.3 2.3.4 平面向量共線的坐標(biāo)表示

1、2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示1.理解用坐標(biāo)表示兩向量共線的條件.(難點(diǎn))2.能根據(jù)平面向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線；并掌握三點(diǎn)共線的判斷方法.(重點(diǎn))3.兩直線平行與兩向量共線的判定.(易混點(diǎn))基礎(chǔ)·初探教材整理平面向量共線的坐標(biāo)表示閱讀教材P98“思考”以下至“例6”以上內(nèi)容，完成下列問題.1.設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，a，b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)，使ab.2.如果用坐標(biāo)表示，可寫為(x1，y1)(x2，y2)，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時(shí)，向量a，b(b0)共線.注意：對(duì)于2的形式極易寫錯(cuò)，如寫成x1y1x2y20或x1x2y1y20都是不對(duì)的，因此要理

2、解并記熟這一公式，可簡記為：縱橫交錯(cuò)積相減.判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)向量(1,2)與向量(4,8)共線.()(2)向量(2,3)與向量(4，6)反向.()【解析】(1)正確.因?yàn)?4,8)4(1,2)，所以向量(1,2)與向量(4,8)共線.(2)正確.因?yàn)?4，6)2(2,3)，所以向量(2,3)與向量(4，6)反向.【答案】(1)(2)小組合作型判定直線平行、三點(diǎn)共線(1)已知A(1，3)，B，且A，B，C三點(diǎn)共線，則C的坐標(biāo)可以是()A.(9,1) B.(9，1)C.(9,1) D.(9，1)(2)已知四點(diǎn)坐標(biāo)A(1,1)，B(1,5)，C(2，1)，D(4,

3、11)，請(qǐng)判斷直線AB與CD是否平行？【精彩點(diǎn)撥】(1)利用向量的平行條件x1y2x2y10，可證明有公共點(diǎn)的兩個(gè)平行向量共線，從而可證明三點(diǎn)共線.(2)判定兩直線平行，先判定兩向量平行，再說明兩向量上的相關(guān)點(diǎn)不共線.【自主解答】(1)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)是(x，y)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以.因?yàn)?1，3)，(x，y)(1，3)(x1，y3)，所以7(y3)(x1)0，整理得x2y7，經(jīng)檢驗(yàn)可知點(diǎn)(9,1)符合要求，故選C.【答案】C(2)因?yàn)?1,5)(1,1)(2,4)，(4,11)(1，1)(5,10)，(2，1)(1,1)(1，2)，所以2，5.所以.由于與，有共同的起點(diǎn)A，所以A，B，

4、C，D四點(diǎn)共線，因此直線AB與CD重合.再練一題1.已知A(1，1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量與平行嗎？直線AB平行于直線CD嗎？【解】因?yàn)?1(1)，3(1)(2,4)，(21,75)(1,2).又因?yàn)?×24×10，所以.又因?yàn)?1(1)，5(1)(2,6)，(2,4)，所以2×42×60，所以A，B，C不共線，所以AB與CD不重合，所以ABCD.已知平面向量共線求參數(shù)(1)已知向量a(x,3)，b(3，x)，則存在實(shí)數(shù)x，使ab；存在實(shí)數(shù)x，使(ab)a；存在實(shí)數(shù)x，m，使(mab)a；存在實(shí)數(shù)x，m，使(mab)b.其中，所

5、有敘述正確的序號(hào)為_.(2)已知a(1,2)，b(3,2)，當(dāng)k為何值時(shí)，kab與a3b平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？【精彩點(diǎn)撥】(1)可利用向量共線定理列方程判斷方程解的情況來解決.(2)方法一：可利用b與非零向量a共線等價(jià)于ba(>0，b與a同向；<0，b與a反向)求解；方法二：可先利用坐標(biāo)形式的等價(jià)條件求k，再利用ba判定同向還是反向.【自主解答】(1)由abx29無實(shí)數(shù)解，故不對(duì)；又ab(x3,3x)，由(ab)a得3(x3)x(3x)0，即x29無實(shí)數(shù)解，故不對(duì)；因?yàn)閙ab(mx3,3mx)，由(mab)a得(3mx)x3(mx3)0.即x29無實(shí)數(shù)解，故不對(duì)；由(ma

6、b)b得3(3mx)x(mx3)0，即m(x29)0，所以m0，xR，故正確.【答案】(2)法一：kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，當(dāng)kab與a3b平行時(shí)，存在唯一實(shí)數(shù)，使kab(a3b).由(k3,2k2)(10，4)，所以解得k.當(dāng)k時(shí)，kab與a3b平行，這時(shí)kabab(a3b)，因?yàn)?lt;0，所以kab與a3b反向.法二：由題知kab(k3,2k2)，a3b(10，4)，因?yàn)閗ab與a3b平行，所以(k3)×(4)10×(2k2)0，解得k.這時(shí)kab(a3b).所以當(dāng)k時(shí)，kab與a3b平行，并且反向.利用向

7、量平行的條件處理求值問題的思路：(1)利用共線向量定理ab(b0)列方程組求解.(2)利用向量平行的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2x2y10直接求解.再練一題2.(1)已知向量a(1,2)，b(2,3)，若向量ab與向量c(4，7)共線，則_.(2)已知向量a(1，2)，b(3,4)，若(3ab)(akb)，求實(shí)數(shù)k的值.【解析】(1)a(1,2)，b(2,3)，ab(，2)(2,3)(2,23).向量ab與向量c(4，7)共線，7(2)4(23)0，2.【答案】2(2)3ab(0，10)，akb(13k，24k)，(3ab)(akb)，0(1030k)0，k.向量共線的綜合應(yīng)用如圖2­3

8、73;17所示，已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo).圖2­3­17【精彩點(diǎn)撥】要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，只需求出向量的坐標(biāo)，由與共線得到，利用與共線的坐標(biāo)表示求出即可；也可設(shè)P(x，y)，由及，列出關(guān)于x，y的方程組求解.【自主解答】法一：由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)(4，4)，則(44,4)，(2,6).由與共線得(44)×64×(2)0，解得，所以(3,3)，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,3).法二：設(shè)P(x，y)，則(x，y)，因?yàn)?4,4)，且與共線，所以，即xy.又(x4，y)，(2,6)，且與共線，則得(x4)×

9、6y×(2)0，解得xy3，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,3).1.關(guān)于解決兩線段的交點(diǎn)問題可以用解析幾何的知識(shí)聯(lián)立兩直線方程求交點(diǎn)的坐標(biāo)；也可以使用對(duì)應(yīng)向量共線列等式，再列方程組求解.2.本例利用了向量共線定理，已知四邊形四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)求對(duì)角線交點(diǎn)坐標(biāo)的向量解法，為我們展示了向量的坐標(biāo)運(yùn)算在解決平面幾何、平面解析幾何問題中的應(yīng)用，在以后學(xué)習(xí)中應(yīng)加以體會(huì)運(yùn)用.再練一題3.如圖2­3­18，已知A(4,5)，B(1,2)，C(12,1)，D(11,6)，求AC與BD的交點(diǎn)P的坐標(biāo).圖2­3­18【解】設(shè)(111,62)(10，4).易得(11,1)，(10

10、11,41).又(8,4)，而與共線，4×(1011)8×(41)0，解得.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP，yP)，(5,2)(xP1，yP2)，即故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,4).探究共研型共線向量與中點(diǎn)坐標(biāo)公式探究1設(shè)P1，P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求線段P1P2的中點(diǎn)P的坐標(biāo)？【提示】如圖所示，P為P1P2的中點(diǎn)，()，線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)是.探究2設(shè)P1，P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2)，點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，則P點(diǎn)坐標(biāo)是什么？【提示】點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，()；當(dāng)時(shí)，().探究3當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什

11、么？【提示】()，(x1，y1)(x2，y2)，P.已知點(diǎn)A(3，4)與點(diǎn)B(1,2)，點(diǎn)P在直線AB上，且|2|，求點(diǎn)P的坐標(biāo).【精彩點(diǎn)撥】點(diǎn)P在直線AB上，包括點(diǎn)P在線段AB內(nèi)和在線段AB的延長線上，因此應(yīng)分類討論.【自主解答】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，|2|.當(dāng)P在線段AB上時(shí)，2，(x3，y4)2(1x,2y)，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為.當(dāng)P在線段AB延長線上時(shí)，2，(x3，y4)2(1x,2y)，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為(5,8).綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或(5,8).在求有向線段分點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，不必過分強(qiáng)調(diào)公式記憶，可以轉(zhuǎn)化為向量問題后解方程組求解，同時(shí)應(yīng)注意分類討論.再練一題4.已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)依次

12、為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，求ABC的重心G的坐標(biāo).【解】延長AG交BC于點(diǎn)D，G為ABC的重心，D為BC的中點(diǎn)，()()().綜上所述，G的坐標(biāo)為.1.下列滿足平行的一組向量是()A.a(1，4)，b(504，2 016)B.a(2,3)，b(4，6)C.a(1,2)，b(1 008,2 016)D.a(1,4)，b(3,12)【解析】A中，x1y2x2y11×(2 016)504×(4)0，ab；B中，x1y2x2y12×(6)4×3240，a與b不平行；C中，x1y2x2y11×2 016(1 008)

13、5;24 0320，a與b不平行；D中，x1y2x2y11×123×4240，a與b不平行.【答案】A2.設(shè)kR，下列向量中，與向量a(1，1)一定不平行的向量是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00680052】A.b(k，k) B.c(k，k)C.d(k21，k21) D.e(k21，k21)【解析】由向量共線的判定條件，當(dāng)k0時(shí)，向量b，c分別與a平行；當(dāng)k±1時(shí)，向量e與a平行.對(duì)任意kR,1·(k21)1·(k21)0，a與d不平行.【答案】C3.已知a(6,2)，b(m，3)，且ab，則m()A.9B.9C.3D.3【解析】因?yàn)閍(6,2)，b(m，3)，若ab，則6×(3)2m0，解得m9.【答案】B4.與向量a(1,2)平行，且模等于的向量為_.【解析】因?yàn)樗笙蛄颗c向量a(1,2)平行，所以可設(shè)所求向量為x(1,2)，又因?yàn)槠淠?，所?/p>