第9課時隨機變量的期望與方差習(xí)題和答案詳解

1、1 隨機變量X 的分布列為（第一次作業(yè)）X124P0.40.30.3則 E(5X 4)等于(A 15B 11C2.2D 2.3答案解析E(X) 1× 0.4 2× 0.3 4× 0.3 2.2，E(5X 4) 5E(X) 4 11 4 15.2有10 件產(chǎn)品，其中3 件是次品，從中任取2 件，若 X 表示取到次品的個數(shù)，則E（X） 等A3A.5B8B.1514C.15D 1答案解析X 服從N 10， M 3，nM 2× 3 3n 2 的超幾何分布， E(X) N 10 5.3一套重要資料鎖在一個保險柜中，現(xiàn)有n 把鑰匙依次分給n 名學(xué)生依次開柜，但其中只

2、有一把真的可以打開柜門，平均來說打開柜門需要試開的次數(shù)為()A 1B nn 1C. 2n 1D. 2答案 C1解析 已知每一位學(xué)生打開柜門的概率為1n， 打開柜門需要試開的次數(shù)的平均數(shù)（即數(shù)學(xué)期11望 ) 為 1 × n 2× n n ×1n 1n 2 ，故選 C.4某運動員投籃命中率為0.6，他重復(fù)投籃5 次，若他命中一次得10 分，沒命中不得分；命中次數(shù)為X，得分為Y，則E(X) ， D(Y) 分別為 (A 0.6， 60B3， 12C 3，答案120D3，1.2解析X B(5， 0.6)， Y 10X， E(X) 5× 0.6 3， D(X) 5&

3、#215; 0.6× 0.4 1.2.D(Y) 100D(X)120.5 (2019 川一·銀模)已知隨機變量X 的分布列如表所示，其中(0， 2)，則E(X) ()X102Psin 4sin 4cosA.2B 1 或 2C 0D 1答案 D解析 由隨機變量的分布列的性質(zhì)，得sin sin cos 1 ，即 sin 2cos 2，由44得5cos28cos 30，解得cos 3或cos 1（舍去），則sin 4，sin2cos21 ，55則 E（X） sn 2cos 1 × 4 2× 3 1.故選 D.44556 （2018 浙·江 ）設(shè) 0&

4、lt;p<1 ，隨機變量 的分布列是0121 p1p222則當(dāng) p 在 (0， 1)內(nèi)增大時，()A D() 減小B D() 增大C D() 先減小后增大D D() 先增大后減小答案 D1111解析 由題可得E() 2p，所以D() p2p4 (p2)22，所以當(dāng)p 在(0，1)內(nèi)增大時，D() 先增大后減小故選D.7 (2019 ·衡水中學(xué)調(diào)研卷)已知一次試驗成功的概率為p，進行100 次獨立重復(fù)試驗，當(dāng)成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大時，p 及標(biāo)準(zhǔn)差的最大值分別為()A 1 ，5B.4，25.25C.4，5D.1，2552答案 A解析 記 為成功次數(shù)，由獨立重復(fù)試驗的方差公式可以得

5、到D() np(1 p) n(p 21 p)2n1114，當(dāng)且僅當(dāng)p1 p2時等號成立，所以D()max100 ×2×225，D ( )max255.8 (2019 ·山東濰坊模擬)已知甲、乙兩臺自動車床生產(chǎn)同種標(biāo)準(zhǔn)件，X 表示甲車床生產(chǎn)1 000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，據(jù)此判定()A甲比乙質(zhì)量好B 乙比甲質(zhì)量好C甲與乙質(zhì)量相同D 無法判定Y 表示乙車床生產(chǎn)1 000 件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)考察一段時間，X， YX0123P0.70.10.10.1Y012P0.50.30.2A.126125解析X 0，1， 2， 3， P(X 0)271255436P(X 1) 1524

6、5， P(X 2) 13265， P(X 3)8 ，12527E(X) 0 ×12554368150 61× 2× 3×125125125 125 5.10 (2019 肥一·合模 )已知袋中有3個白球，球計 1 分，每個紅球計2 分，記 X 為取出2 個紅球，現(xiàn)從中隨機取出3 個球，其中每個白3 個球的總分值，則E(X) ()答案 A解析 E(X) 0×0.71× 0.1 2× 0.13×0.1 0.6，E(Y) 0×0.51× 0.32× 0.20.7.E(Y)>E

7、(X) ，故甲比乙質(zhì)量好9.如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為 125 個同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的油漆面數(shù)為X，則 X 的均值 E(X) ()168 C.12518A. 521B. 5C 424D. 5答案 B解析 由題意知，X 的所有可能取值為3，4， 5，且P(X 3) C333 1 ， P(X 4) C32· 3C21C510C5答案 B3， P(X 5) C31· 3C22 3，所以 E(X) 3× 1 5C510104× 3 5×5130215.11 (2019 山東濰坊期末·)

8、某籃球隊對隊員進行考核，規(guī)則是每人進行3 個輪次的投籃；每個輪次每人投籃2 次，若至少投中1 次，則本輪通過，否則不通過已知隊員甲投籃1次投中的概率為2，如果甲各次投籃投中與否互不影響，那么甲3 個輪次通過的次數(shù)X 的期3望是 ()8A 3B.35C 2D.3答案 B81解析 在一輪投籃中，甲通過的概率為P，未通過的概率為.由題意可知，甲3 個輪次99通過的次數(shù)X 的可能取值為0，1，2，3，則 P(X0)(1)31 ，P(X1)C31×8×(1)297299924，P(X2)C32×(8)2×1192，P(X3)(8)351272939)97299)7

9、29.數(shù)學(xué)期望X 分布列為X0123P124192512729729729729E(X) 0× 1 1× 24 2× 192 3× 512 8 729729729729 312 (2017 課·標(biāo)全國 ， 理 )一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取100 次， X 表示抽到的二等品件數(shù)，則D(X) 答案 1.96解析 依題意，X B(100， 0.02)，所以D(X) 100× 0.02× (1 0.02) 1.96.13 (2015 ·重慶，理)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗設(shè)一盤

10、中裝有10 個粽子，其中豆沙粽 2 個，肉粽3 個，白粽5 個，這三種粽子的外觀完全相同從中任意選取3 個(1)求三種粽子各取到1 個的概率；(2)設(shè) X 表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X 的分布列與數(shù)學(xué)期望13答案 (1)1 (2)345解析 (1)令 A 表示事件“ 三種粽子各取到1 個 ” ，則由古典概型的概率計算公式有P(A) C21 C31C511C103 4.C837C21C827(2)X 的所有可能值為0，1，2，且P(X 0)C10315，P(X 1) C103 15，X012P715715115P(X 2)C22C81C103115.綜上可知，X 的分布列為故 E(X) 0

11、5;14 (2019 高考調(diào)研原創(chuàng)題 ·)為了評估天氣對某市運動會的影響，制定相應(yīng)預(yù)案，衡水市氣象局通過對最近50 多年的氣象數(shù)據(jù)資料的統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn) 8 月份是該市雷電天氣高峰期，在 31 天中平均發(fā)生雷電14.57天 (如圖) 如果用頻率作為概率的估計值，并假定每一天發(fā)生雷電的概率均相等，且相互獨立(1)求在該市運動會開幕(8 月 12 日 )后的前 3 天比賽中，恰好有2 天發(fā)生雷電天氣的概率(精確到0.01)；(2)設(shè)運動會期間(8 月 12 日至 23 日，共 12天 )，發(fā)生雷電天氣的天數(shù)為X，求X 的數(shù)學(xué)期望和方差答案 (1)0.35 (2)5.64， 2.989 21

12、457解析(1)設(shè)8 月份一天中發(fā)生雷電天氣的概率為p， 由已知，得p 14.57 0.47.因為每一天31發(fā)生雷電天氣的概率均相等，且相互獨立，所以在運動會開幕后的前3 天比賽中，恰好有2天發(fā)生雷電天氣的概率P C32× 0.472× (1 0.47) 0.351 231 0.35.(2)由題意，知X B(12， 0.47)所以 X 的數(shù)學(xué)期望E(X) 12× 0.47 5.64，X 的方差 D(X) 12× 0.47× (1 0.47) 2.989 2.15 (2019 福龍海二·建中摸底)某校要用三輛汽車從新校區(qū)把教職工接到老校

13、區(qū)，已知從新校區(qū)到老校區(qū)有兩條公路，汽車走公路堵車的概率為1， 不堵車的概率為3； 汽車走公路堵44車的概率為p，不堵車的概率為1 p 若甲、乙兩輛汽車走公路，丙汽車由于其他原因走公路，且三輛車是否堵車相互之間沒有影響(1)若三輛汽車中恰有一輛汽車被堵的概率為176，求走公路堵車的概率；(2)在 (1)的條件下，求三輛汽車中被堵車輛的個數(shù)X 的分布列和數(shù)學(xué)期望15 答案(1)3(2)(3)丙要將家中閑置的10 萬元錢進行投資，決定在“投資股市”和“購買基金”這兩種方案 11中選擇一種，已知p21，q61，那么丙選擇哪種投資方案，才能使得一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望較大？結(jié)合結(jié)果并說明理由答案(1)

14、152(2)53<p23(3)丙選擇“投資股市”，理由略解析(1)因為“ 購買基金” 后，投資結(jié)果只有“ 獲利 ”“ 不賠不賺”“ 虧損 ” 三種，且三6解析(1)依題意，“ 三輛汽車中恰有一輛汽車被堵” 包含只有甲被堵，只有乙被堵和只有丙被堵三種情形 C21× × × (1 p) ( )(1)當(dāng) p 4時，求q 的值；× p，即3p 1 ，p.4 44163(2)X 的所有可能取值為0， 1 ， 2， 3.P(X0)(2)已知甲、乙兩人分別選擇了“投資股市”和“購買基金”進行投資，如果一年后他們中× 3×23，P(X1)1種投

15、資結(jié)果相互獨立，所以p31 q 1.，P(X2)1× 1×2C21× 1×3× 11，P(X0)4 438()16()4 4324 4 361111P(X 3)× × ，P(X 3) 4 4 3 48 X 的分布列為X0123P3711816648 E(X) 0×31 × 7 2 × 1 3× 1 5()8166486.16 (2019 ·湖北潛江二模)現(xiàn)有兩種投資方案，一年后投資盈虧的情況如下表：投資股市：投資結(jié)果獲利40%不賠不賺虧損20%概率113288購買基金：投資結(jié)

16、果獲利20%不賠不賺虧損10%概率p13q15又因為p 14，所以q 152.(2)記事件A 為 “ 甲投資股市且盈利” ，事件 B 為 “ 乙購買基金且盈利”，事件 C 為 “ 一年后甲、乙兩人中至少有一人投資獲利 ”則 C AB AB AB ，且 A， B 獨立1由題表可知，P(A) 12， P(B) p.所以 P(C) P(AB) P(AB) P(AB) 12· (1 p) 12p 21p 21 21p.因為 P(C) 1 1p>4，所以p>3.2255又因為p1q1， q0，所以p2，所以3<p2.3353(3)假設(shè)丙選擇“ 投資股市” 方案進行投資，且記X

17、 為丙投資股市的獲利金額(單位：萬元)，所以隨機變量X 的分布列為X402P113288則 E(X) 4× 1 0× 1 ( 2)× 3 5. 2884假設(shè)丙選擇“ 購買基金” 方案進行投資，且記Y 為丙購買基金的獲利金額(單位：萬元)，所以隨機變量Y 的分布列為Y201P111236則 E(Y) 2× 1 0× 1 ( 1)× 1 5. 2366因為 E(X)>E(Y) ，所以丙選擇“ 投資股市” ，才能使得一年后的投資收益的數(shù)學(xué)期望較大(第二次作業(yè))1 (2019 廣東校·七聯(lián)考)某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需

18、在下周一、下周二兩天內(nèi)采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘，下雨會影響藥材品質(zhì)，基地收益如下表所示：若基地額外聘請工人，可在下周一當(dāng)天完成全部采摘任務(wù)無雨時收益為20 萬元；有雨時周一無雨無雨有雨有雨周二無雨有雨無雨有雨收益20 萬元15 萬元10 萬元7.5 萬元收益為 10 萬元額外聘請工人的成本為a 萬元20 萬元的概率為 0.36.(1)若不額外聘請工人，寫出基地收益X 的分布列及基地的預(yù)期收益；(2)該基地是否應(yīng)該額外聘請工人，請說明理由答案 (1)X2015107.5P0.360.240.240.16預(yù)期收益為14.4 萬元1.6 萬元時，額外聘(2)當(dāng)額外聘請工人的成本

19、高于1.6萬元時，不額外聘請工人；成本低于請工人；成本恰為1.6萬元時，額外聘請或不聘請工人均可以解析 (1)設(shè)下周一無雨的概率為p，由題意得，p2 0.36，解得p 0.6，基地收益X 的可能取值為20，15，10，7.5，則P(X15)0.24， P(X10)0.24， P(X 7.5)0.16.X 的分布列為X2015107.5P0.360.240.240.16E(X) 20× 0.36 15× 0.24 10× 0.24 7.5× 0.16 14.4(萬元)，14.4 萬元(2)設(shè)基地額外聘請工人時的收益為Y 萬元，則其預(yù)期收益E(Y) 20&#

20、215; 0.610× 0.4a16a(萬元)，E(Y) E(X) 1.6a(萬元)，綜上，當(dāng)額外聘請工人的成本高于1.6 萬元時，不額外聘請工人；成本低于1.6 萬元時，額外聘請工人；成本恰為1.6 萬元時，額外聘請或不聘請工人均可以2某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8 個等級，等級系數(shù)X 依次為1， 2，8，其中 X 5 為標(biāo)準(zhǔn) A， X 3 為標(biāo)準(zhǔn) B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A 生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6 元 /件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B 生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4 元 /件假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)(1)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下表所示：X15678P0.4ab0

21、.1且 X1的數(shù)學(xué)期望E(X 1) 6，求a， b 的值；(2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2， 從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30 件， 相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：353385563463475348538343447567用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X 2的數(shù)學(xué)期望；(3)在(1)， (2)的條件下，若以“性價比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由注：產(chǎn)品的“性價比”產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望/產(chǎn)品的零售價；“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性答案(1)a 0.3， b 0.2 (2)4.8 (3)乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由略解析 (1) E

22、(X1)6，5× 0.46a7b8×0.1 6，即 6a7b3.2，又 0.4ab0.11 ，即a b 0.5，由(2)由已知，用這個樣本的分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)6a 7b 3.2，a0.3，得a b 0.5，b 0.2.X2的概率分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1E(X2)3× 0.34× 0.2 5× 0.2 6× 0.1 7× 0.1 8× 0.14.8，即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望等于4.8.(3)乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下：甲廠產(chǎn)品的等級

23、系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6，價格為6 元 /件，其性價比為6 1，6乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8，價格為4 元 /件，其性價比為4.8 1.2，4又 1.2>1 ，乙廠的產(chǎn)品更具可購買性3 (2019 ·武昌調(diào)研)某機構(gòu)隨機詢問了72 名不同性別的大學(xué)生，調(diào)查其在購買食物時是否看營養(yǎng)說明，得到如下列聯(lián)表：男女合計看營養(yǎng)說明162844不看營養(yǎng)說明20828合計363672(1)根據(jù)以上列聯(lián)表判斷，能否在犯錯誤的概率不超過0.005 的前提下認為性別和看營養(yǎng)說明 有關(guān)系？(2)從被詢問的28名不看營養(yǎng)說明的大學(xué)生中，隨機抽取2 名學(xué)生，求抽到女生的人數(shù) 的分布列及數(shù)學(xué)期望附：

24、P(K2 k0)0.0100.0050.001k06.6357.87910.8282K2n ( ad bc) 2a b)(c d)(a c)(b d) .答案(1)能(2)分布列為4期望值為47解析 (1)由計算可得8.416>7.879，012P951898018922772× ( 16× 8 28× 20) 2K2的觀測值k 8.416.44× 28× 36× 36所以能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為性別與看營說明有關(guān)系(2) 的所有可能取值為C20295P( 0) C282 1890， 1， 2.C81C201

25、80C822P( 1)， P( 2)C282189C282 27.012P9580218918927E() 0× 19859 1× 18809 2× 227 74.4某中學(xué)共開設(shè)了A， B， C， D 四門選修課，每個學(xué)生必須且只能選修1 門選修課，現(xiàn)有該校的甲、乙、丙3 名學(xué)生(1)求這 3名學(xué)生選修課所有選法的總數(shù)；(2)求恰有 2 門選修課沒有被這3 名學(xué)生選擇的概率；(3)求 A 選修課被這3名學(xué)生選擇的人數(shù)X 的分布列和數(shù)學(xué)期望答案 (1)64(2)196 (3)E(X) 34解析 (1)每個學(xué)生有四個不同選擇，根據(jù)分步計數(shù)原理，選法總數(shù)N 4 

26、5; 4× 4 64.222(2)設(shè) “ 恰有 2 門選修課沒有被這3 名學(xué)生選擇” 為事件E，則P(E) C4 C433A2 196，所以9恰有 2 門選修課沒有被這3 名學(xué)生選擇的概率為196.(3)方法一：X 的所有可能取值為0，1， 2， 3，且33 27P(X 0) 43 64，C31×3227C32×39C331P(X 1)C3432647，P(X 2)C343 694，P(X 3)C433614，所以 X 的分布列為X0123P27279164646464E(X) 0× 271×272× 9 3× 1 3646

27、464644.所以 X 的數(shù)學(xué)期望方法二：因為A 選修課被每位學(xué)生選中的概率均為14，沒被選中的概率均為43.1所以 X 的所有可能取值為0， 1 ， 2， 3，且X B(3， 14)，3271327139P(X0)(4)364，P(X1)C31×4×(4)264，P(X2)C32×(4)2×464，11P(X 3) (4)3 64，所以 X 的分布列為X0123P2727916464646413所以 X的數(shù)學(xué)期望E(X) 3× 41 34.5某手機游戲研發(fā)公司為進行產(chǎn)品改進，對游戲用戶每天在線的時間進行調(diào)查，隨機抽取50 名用戶對其每天在線的時間進行了調(diào)查統(tǒng)計，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，其4 h以上(包括4 h)的用戶被稱為“資深玩家”，根據(jù)頻率分布直方圖回答(1)從所調(diào)查的“資深玩家”中任取 3 人再進行每天連續(xù)在線時間的調(diào)查，求抽取的3 人中至少有 2 人的在線時間在5，6內(nèi)的概率；(2)為響應(yīng)社會要求，公司擬對“資深玩家”進行防沉迷限時， 使其每天的在線時間