人教版九年級數學上冊《22-3 第1課時 幾何圖形的最大面積》導學案設計優(yōu)秀公開課3

1、第二十二章二次函數22.3實際問題與二次函數第 1 課時 幾何圖形的最大面積學習目標：1.分析實際問題中變量之間的二次函數關系.2. 會運用二次函數求實際問題中的最大值或最小值.3. 能應用二次函數的性質解決圖形中最大面積問題.重點：能應用二次函數的性質解決圖形中最大面積問題. 難點：能正確分析實際問題中變量之間的二次函數關系.自主學習一、知識鏈接寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標，并寫出其最值. (1) y=x24x5；(配方法)(2) y=x23x+4.(公式法)課堂探究二、要點探究探究點 1：求二次函數的最大(或最小)值引例從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度 h（單位：m）與小

2、球的運動時間 t(單位：s)之間的關系式是 h= 30t5t 2(0t6)小球的運動時間是多少時，小球最高？小球運動中的最大高度是多少？問題 1二次函數 y = ax2 + bx + c 的最值由什么決定？問題 2當自變量 x 為全體實數時，二次函數 y = ax2 + bx + c 的最值是多少？問題 3當自變量 x 有限制時，二次函數 y = ax2 + bx + c 的最值如何確定？試一試根據探究得出的結論，解決引例的問題：典例精析例 1求下列函數的最大值與最小值.(1)y = x2 + 3x - 2(-3 x 1)(2)y = - 1 x2 - 2x + 1(-3 x 1) 5方法歸納

3、：當自變量的范圍有限制時，二次函數 y = ax2 + bx + c 的最值可以根據以下步驟來確定：1. 配方，求二次函數的頂點坐標及對稱軸.2. 畫出函數圖象，標明對稱軸，并在橫坐標上標明 x 的取值范圍.3. 判斷，判斷 x 的取值范圍與對稱軸的位置關系.根據二次函數的性質，確定當 x取何值時函數有最大或最小值.然后根據 x 的值，求出函數的最值. 探究點 2：二次函數與幾何圖形面積的最值例2用總長為60 米的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S(平方米)隨矩形一邊長l(米)的變化而變化.當 l 是多少米時，場地的面積 S 最大？(1) 矩形面積公式是什么？(2) 如何用 l 表示其鄰邊的長？(3

4、) 面積 S 的函數關系式是什么？(4) 當 l 是多少米時，場地的面積 S 最大？變式題如圖，用一段長為 60m 的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園.(1) 當墻長 32m 時，這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？分析：設垂直于墻的邊長為 x m，則平行于墻的邊長為 m.矩形菜園的面積 S= .想一想如何求解自變量 x 的取值范圍？墻長 32m 對此題有什么作用？解決問題：當這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？(2) 當墻長 18 m 時，這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？問題 1與(1)有什么區(qū)別？試一試在(2)中，求

5、自變量的取值范圍.問題 2當 21 x30 時，S 的值隨 x 的增大，是如何變化的？當 x 取何值時，S 取得最大值？注意：實際問題中求解二次函數最值問題時，需要結合自變量的取值范圍，不一定都是在頂點處取得最值.例 3用長為 6 米的鋁合金材料做一個形狀如圖所示的矩形窗框.窗框的高與寬各為多少時，它的透光面積最大？最大透光面積是多少？(鋁合金型材寬度不計)要點歸納：二次函數解決幾何面積最值問題的方法1. 求出函數解析式和自變量的取值范圍；2. 配方變形，或利用公式求它的最大值或最小值,3. 檢查求得的最大值或最小值對應的自變量的值必須在自變量的取值范圍內.三、課堂小結幾何面積最值問題一個關鍵

6、依據常見幾何圖形的面積公式建立函數關系式一個注意最值有時不在頂點處，則要利用函數的增減性來確定當堂檢測1.二次函數 y=(x+1)2-2 的最小值是（ ）A-2B-1C1D22.二次函數 y=-2x2-4x+3（x-2）的最大值為 .3. 已知直角三角形的兩直角邊之和為 8，則該三角形的面積的最大值是 .4. 某小區(qū)在一塊一邊靠墻(墻長 25m)的空地上修建一個矩形綠化帶 ABCD，綠化帶一邊靠墻， 另三邊用總長為 40m 的柵欄圍住設綠化帶的邊長 BC 為 xm，綠化帶的面積為 ym2(1) 求 y 與 x 之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍.(2) 當 x 為何值時，滿足條件的綠化帶

7、的面積最大？5. 某廣告公司設計一幅周長為 12m 的矩形廣告牌，廣告設計費用每平方米 1000元，設矩形的一邊長為 x(m)，面積為 S(m2).(1) 寫出 S 與 x 之間的關系式，并寫出自變量 x 的取值范圍；(2) 請你設計一個方案，使獲得的設計費最多，并求出這個費用.能力提升6. 如圖，在ABC 中，B=90，AB=12cm，BC=24cm，動點 P 從點 A 開始沿AB 向 B 以 2cm/s 的速度移動)不與點 B 重合)，動點 Q 從點 B 開始 BC 以 4cm/s 的速度移動(不與點 C 重合).如果 P、Q 分別從 A、B 同時出發(fā)，那么經過 秒， 四邊形 APQC 的

8、面積最小.參考答案自主學習知識鏈接解：（1）y=x2-4x-5=(x-2)2-9,開口方向：向上；對稱軸：直線 x=2； 頂點坐標：（2，-9）；最小值：-9；(2)y= x2 3x+4, 開口方向： 向上； 對稱軸： 直線 x= - b2a= - 3 ; 頂點坐標：2 - b4ac - b2 3 25 ；最大值為 4ac - b2 = 25 .,2a4a = - ,4a4 2 4 課堂探究二、要點探究探究點 1：求二次函數的最大(或最小)值問題 1 二次函數 y = ax2 + bx + c 的最值由 a 及自變量的取值范圍決定.問題 2 當 a0 時，yx= - b .2a= 4ac -

9、b2 ，此時 x= -最小值 4ab .當 a0 時，y2a= 4ac - b2 ，此時最大值4a問題 3 先判斷 x= - b2a是否在限定范圍內，若在，則二次函數在 x= - b2a時，取得最大（或?。┲?；若不在，則根據二次函數的增減性確定二次函數的最值.試一試 解： t= - b2a= -30 2 (-5)=036，h= 4ac - b23,=4a-3024 (-5)= 45.則小球運動的時間是 3s 時，小球最高.小球運動中的最大高度是 45 m典例精析例 1解：（1）y= 3 29 ,即 y= 3 21 3， x + 2- 2 -4 x + 2- 4 .4-3 - 12所以當 x=

10、- 3 時，y 最小值= -4 1 .24當 x=1 時，y 最大值=1+3-2=2.（2）y= - 1 ( x + 5)2 + 6, -5 -3 ，即 x 在對稱軸的右側.函數的值隨著 x 的增大而5減小.所以當 x=-3 時，y 最大值= 26 . 當 x=1 時，y 最小值= - 6 .55探究點 2：二次函數與幾何圖形面積的最值例 2解：（1）矩形面積=長寬；（2）鄰邊長為(30-l)米；（3）S=(30-l)l=-l2+30l.（4）解：根據題意得 S=-l2+30l (0l 0, 故 022 x 2. 矩形窗框的透光面積 y 與 x 之間的函數關系式是 y = xg6 - 3x ，

11、 即2y = - 3 x 2 + 3x. 配方得 y = - 3 ( x -1)2 + 3 . 所以當 x=1 時，函數取得最大值，最大值222y=1.5.x=1 滿足 0x2，這時 6 - 3x = 1.5. 因此，所做矩形窗框的寬為 1 m、高為21.5 m 時，它的透光面積最大，最大面積是 1.5 m2.當堂檢測1.A2.33.84.解：（1）BC=xm， AB = 40 - x m . y = 40 - x x = - 1 x2 + 20 x(0 x 25).222（2） y = - 1 x2 + 20 x = - 1 ( x2 - 40 x) = - 1 ( x - 20)2 + 200.0x25，當