第二章復(fù)變函數(shù)的積分

1、第二章 復(fù)變函數(shù)的積分柯西定理柯西公式上次課復(fù)習(xí)yuxvyvxu柯西-黎曼方程（條件），C-R條件，是復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的必要條件函數(shù)f(z)可導(dǎo)的充分必要條件：f(z)的偏導(dǎo)數(shù) 存在且連續(xù)，并滿足C-R條件。yvxvyuxu,解析函數(shù)若函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)及其鄰域上處處可導(dǎo)，則f(z)在z0點(diǎn)解析。若f(z)在區(qū)域B上每點(diǎn)都解析，則f(z)是區(qū)域B上的解析函數(shù)。解析與可導(dǎo)的關(guān)系在一點(diǎn)在區(qū)域解析函數(shù)的實(shí)部與虛部的關(guān)系2、1 復(fù)變函數(shù)的積分設(shè)在復(fù)數(shù)平面的某分段光滑曲線l上定義了連續(xù)函數(shù)f(z)，在l上取一系列分點(diǎn)z0（即起點(diǎn)A）, z1 , z2, zn（即終點(diǎn)B），把l分成n個(gè)小段，在每個(gè)小段zk-

2、1,zk上任取一點(diǎn)k，作和， nkkkkzzf11)(lZ0(A)Zn(B)Zk-1Z當(dāng)n且每小段都無(wú)限縮短時(shí)，如果這個(gè)和的極限存在，且其值與各個(gè)k的選取無(wú)關(guān)，則這個(gè)和為函數(shù)f(z)沿曲線l從A到B的路積分，記作ldzzf)(lllkkknkkkknldyyxudxyxvidyyxvdxyxuidydxyxivyxudzzfyxivyxuzfiyxzzzfdzzf),(),(),(),()(),(),()(),(),()(,)(lim)(11即復(fù)變函數(shù)的路積分可以歸結(jié)為兩個(gè)實(shí)變函數(shù)的線積分，分別是路積分的實(shí)部和虛部。復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)：2n1)()()()(, . 4)()( . 3)()()

3、()( . 2)()( . 1n212121llllllllllldzzfdzzfdzzfdzzflllldzzfdzzfdzzfdzzfdzzfzfdzzfadzzaf則若1、常數(shù)因子可以移到積分號(hào)外；2、和積分等于積分和；3、反轉(zhuǎn)路徑，積分反號(hào)；4、全路徑上的積分等于各段積分之和，且與路徑有關(guān)。分值不僅與起終點(diǎn)有關(guān)果不同。復(fù)變函數(shù)的積由于積分路徑不同，結(jié)同，起點(diǎn)、終點(diǎn)相同，可見，雖然被積函數(shù)相即解：計(jì)算積分例21021210),(,),(,Re)(.Re,Re :11010210102101012121xdxdyiIiiyxdyixdxIyxvxyxuxzzfzdzIzdzIll0l1l1

4、l2l21+21)21 (2)21 (,2,2, t,21242,2)(0),(,),(,Im)(20 ,Im 22010220210202010idtitIdtidztitztytxiyixydyidxxIxyydyiydxidydxyIyzvyyxuyzzfilzdzIll設(shè)參數(shù)另：參數(shù)積分法：解：的直線。和為連接：例0yx2+2、2 柯西Cauchy定理（一）單連通區(qū)域情形單通區(qū)域：在其中做任何簡(jiǎn)單的閉合圍線，圍線內(nèi)的點(diǎn)都是屬于該區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)。也可以認(rèn)為是一根閉合曲線圍成的區(qū)域。單連區(qū)域柯西定理：如果函數(shù)f(z)在閉單通區(qū)域B上解析，則沿B上的任一分段光滑閉合曲線l，有l(wèi)dzzf0)(ll

5、SllldzzfyuxvyvxudxdyyPxQQdyPdxyvxvyuxuzfdyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzf0)(- R-C)(B,B)(),(),(),(),()(:，條件：另有根據(jù)格林公式，上連續(xù)。在解析，因而在由于證明推廣：如果函數(shù)f(z)在單通區(qū)域B上解析，在閉單通區(qū)域B上連續(xù)，則沿B上任一分段光滑閉合曲線l（也可以是B的邊界），有l(wèi)dzzf0)(（二）復(fù)通區(qū)域情形為了將奇點(diǎn)排除在區(qū)域之外，需要做一些適當(dāng)?shù)拈]合曲線把奇點(diǎn)分隔出去，即形成復(fù)通區(qū)域。一般來(lái)說，在區(qū)域內(nèi)，只要有一個(gè)簡(jiǎn)單的閉合曲線內(nèi)有不屬于該區(qū)域的點(diǎn)，這樣的區(qū)域便稱為復(fù)通區(qū)域。對(duì)于區(qū)域（單或復(fù)通區(qū)域）的境

6、界線，通常這樣規(guī)定（內(nèi)外）正方向，區(qū)域在觀察者的左邊。復(fù)通區(qū)域柯西定理：如果f(z)是閉復(fù)通區(qū)域上的單值解析函數(shù)，則l為區(qū)域外境界線， li為內(nèi)境界線，積分均沿正方向進(jìn)行。lnilidzzfdzzf0)()(向積分相等。沿內(nèi)外境界線逆時(shí)針方即：的積分值抵消，于是其中沿同一割線兩邊緣按單通區(qū)域柯西定理，在這上是解析的。段為境界線的單通區(qū)域了以，原來(lái)的復(fù)通區(qū)域變成做割線連接內(nèi)外境界線證明lnilllBAlABlidzzfdzzfzfBAllA1)()(00)(B:11ll1BA 總結(jié)：1、閉單通區(qū)域上的解析函數(shù)沿境界線積分為零；2、閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿所有內(nèi)外境界線正方向積分和為零；3、閉復(fù)通

7、區(qū)域上的解析函數(shù)沿境界線逆時(shí)針方向積分等于沿所有內(nèi)境界線逆時(shí)針積分之和。對(duì)于某個(gè)閉單通或閉復(fù)通于區(qū)上為解析的函數(shù)，只有起、終點(diǎn)固定不變，當(dāng)積分路徑連續(xù)變形（不跳過“孔”），路積分值不變。1ReRe121Re,ReC1211211CRaa )2( 01 a, (1):a1a0121:20diiIdidzazdzazidzaziIazlIlazllldzaziIiiiiCll上在復(fù)通區(qū)域內(nèi)解析。則，為半徑作小圓為圓心，以包圍（單通區(qū)域柯西定理）所圍區(qū)域內(nèi)解析，在不包圍解包圍不包圍例CaR2、3 不定積分根據(jù)柯西定理，若函數(shù)f(z)在單通區(qū)域B上解析，則沿B上任一路徑l的積分 的值只跟起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)

8、，而與路徑無(wú)關(guān)。因此，當(dāng)起點(diǎn)和終點(diǎn)固定時(shí)，這個(gè)不定積分就定義了一個(gè)單值函數(shù)，記作F(z)在B上是解析的，且F(z)=f(z)，即F(z)是f(z)的一個(gè)原函數(shù)。路積分的值等于原函數(shù)的改變量。ldzzf)(zzdfzF0)()()()()(1221zFzFidiIneniiRIndeiRideReRdeRdzzIzIllIlzfldzzIninniniinnlCiinnninl2-10) 1(1-1)Re()(ReCCR0,n; 00,n)2(0)() 1 ().n()(:2020)1(120)1(120時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)上，在。為半徑作圓周為圓心，。以則存在一個(gè)奇點(diǎn)如所圍區(qū)域仍是解析的，被積函數(shù)在，

9、如包含若根據(jù)柯西定理，所圍區(qū)域上是解析的，在，則不包含若解：為整數(shù)例ll i.2)ln(),-ln(z)(-1)()(-11)()(,)()(11的改變量為一周，逆時(shí)針繞多值函數(shù)。的原函數(shù)為時(shí)，當(dāng)?shù)母淖兞繛榱悖灰恢?，為單值函?shù)，繞時(shí)，當(dāng)意義：zznzFzFnnzzF2、4 柯西Cauchy公式單通域柯西公式：若f(z)在閉單通區(qū)域B上解析， l為B的境界線，為B內(nèi)一點(diǎn)，則dzzzfifl)(21)(閉區(qū)域上解析=開區(qū)域內(nèi)解析， l為其中一圍線。意義： 是l內(nèi)任一點(diǎn)，解析函數(shù)的值由邊界上的值唯一確定。比如，無(wú)源電場(chǎng)的電位。dfzfdeiefzfidzzfzfideidzezdzzfzfidzzf

10、zfizfzflzfzfzdzzfzfizdzzfifzdzfizdziffiiliilllll2020C)()(21)()(21)()(21,zC)()(21)()(21)()(C,C)()()2(.0)()(21)(21)()(2121)()() 1 (有：于是有：上的對(duì)于根據(jù)柯西定理，單值解析。所圍復(fù)通區(qū)域上及這樣在為半徑做小圓為圓心，取任意小的奇點(diǎn)，因此，以為因?yàn)榧纯杀容^，只需證明與已知證明：dzzzfifdzzfzfiddfzfdfzffzfzzfll)(21)(, 0)()(2121| | )()(|21)()(21| )()(|, 0)()3(202020因而有：時(shí)，當(dāng)連續(xù)，一定

11、可以找到因?yàn)楣烙?jì)現(xiàn)在需要對(duì)上式右端做回顧證明過程，利用大圍線積分等于小圍線積分，當(dāng)圍線很小時(shí)，積分趨于0，所以大圍線的積分也只能為0.柯西公式把解析函數(shù)在任一內(nèi)點(diǎn)的值f()用沿境界線l的回路積分來(lái)表示。因?yàn)榻馕龊瘮?shù)在各點(diǎn)的值可以通過C-R方程相互聯(lián)系。從物理上說，解析函數(shù)緊密聯(lián)系于平面標(biāo)量場(chǎng)，而平面場(chǎng)的邊界條件決定著區(qū)域內(nèi)部的場(chǎng)。dzfizfl)(21)(柯西公式也常寫做：若f(z)在l上所圍區(qū)域上存在奇點(diǎn)，則考慮挖去奇點(diǎn)后的復(fù)通區(qū)域。在復(fù)通區(qū)域上f(z)解析，則柯西公式仍成立，只要將l理解為所有的境界線，且均取正向。柯西導(dǎo)數(shù)公式：由于z為區(qū)域內(nèi)點(diǎn)，積分變數(shù)在境界線上，-z0,積分號(hào)下的導(dǎo)數(shù)f()/(-z)在區(qū)域上處處可導(dǎo)。因此，可以在積分號(hào)下對(duì)z求導(dǎo)，得：dzzfinzfdzzfizflnnl1)(2)()(2!)()()(2! 1)