第二章復變函數的積分

1、第二章 復變函數的積分柯西定理柯西公式上次課復習yuxvyvxu柯西-黎曼方程（條件），C-R條件，是復變函數可導的必要條件函數f(z)可導的充分必要條件：f(z)的偏導數 存在且連續(xù)，并滿足C-R條件。yvxvyuxu,解析函數若函數f(z)在z0點及其鄰域上處處可導，則f(z)在z0點解析。若f(z)在區(qū)域B上每點都解析，則f(z)是區(qū)域B上的解析函數。解析與可導的關系在一點在區(qū)域解析函數的實部與虛部的關系2、1 復變函數的積分設在復數平面的某分段光滑曲線l上定義了連續(xù)函數f(z)，在l上取一系列分點z0（即起點A）, z1 , z2, zn（即終點B），把l分成n個小段，在每個小段zk-

2、1,zk上任取一點k，作和， nkkkkzzf11)(lZ0(A)Zn(B)Zk-1Z當n且每小段都無限縮短時，如果這個和的極限存在，且其值與各個k的選取無關，則這個和為函數f(z)沿曲線l從A到B的路積分，記作ldzzf)(lllkkknkkkknldyyxudxyxvidyyxvdxyxuidydxyxivyxudzzfyxivyxuzfiyxzzzfdzzf),(),(),(),()(),(),()(),(),()(,)(lim)(11即復變函數的路積分可以歸結為兩個實變函數的線積分，分別是路積分的實部和虛部。復變函數積分的性質：2n1)()()()(, . 4)()( . 3)()()

3、()( . 2)()( . 1n212121llllllllllldzzfdzzfdzzfdzzflllldzzfdzzfdzzfdzzfdzzfzfdzzfadzzaf則若1、常數因子可以移到積分號外；2、和積分等于積分和；3、反轉路徑，積分反號；4、全路徑上的積分等于各段積分之和，且與路徑有關。分值不僅與起終點有關果不同。復變函數的積由于積分路徑不同，結同，起點、終點相同，可見，雖然被積函數相即解：計算積分例21021210),(,),(,Re)(.Re,Re :11010210102101012121xdxdyiIiiyxdyixdxIyxvxyxuxzzfzdzIzdzIll0l1l1

4、l2l21+21)21 (2)21 (,2,2, t,21242,2)(0),(,),(,Im)(20 ,Im 22010220210202010idtitIdtidztitztytxiyixydyidxxIxyydyiydxidydxyIyzvyyxuyzzfilzdzIll設參數另：參數積分法：解：的直線。和為連接：例0yx2+2、2 柯西Cauchy定理（一）單連通區(qū)域情形單通區(qū)域：在其中做任何簡單的閉合圍線，圍線內的點都是屬于該區(qū)域內的點。也可以認為是一根閉合曲線圍成的區(qū)域。單連區(qū)域柯西定理：如果函數f(z)在閉單通區(qū)域B上解析，則沿B上的任一分段光滑閉合曲線l，有l(wèi)dzzf0)(ll

5、SllldzzfyuxvyvxudxdyyPxQQdyPdxyvxvyuxuzfdyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzf0)(- R-C)(B,B)(),(),(),(),()(:，條件：另有根據格林公式，上連續(xù)。在解析，因而在由于證明推廣：如果函數f(z)在單通區(qū)域B上解析，在閉單通區(qū)域B上連續(xù)，則沿B上任一分段光滑閉合曲線l（也可以是B的邊界），有l(wèi)dzzf0)(（二）復通區(qū)域情形為了將奇點排除在區(qū)域之外，需要做一些適當的閉合曲線把奇點分隔出去，即形成復通區(qū)域。一般來說，在區(qū)域內，只要有一個簡單的閉合曲線內有不屬于該區(qū)域的點，這樣的區(qū)域便稱為復通區(qū)域。對于區(qū)域（單或復通區(qū)域）的境

6、界線，通常這樣規(guī)定（內外）正方向，區(qū)域在觀察者的左邊。復通區(qū)域柯西定理：如果f(z)是閉復通區(qū)域上的單值解析函數，則l為區(qū)域外境界線， li為內境界線，積分均沿正方向進行。lnilidzzfdzzf0)()(向積分相等。沿內外境界線逆時針方即：的積分值抵消，于是其中沿同一割線兩邊緣按單通區(qū)域柯西定理，在這上是解析的。段為境界線的單通區(qū)域了以，原來的復通區(qū)域變成做割線連接內外境界線證明lnilllBAlABlidzzfdzzfzfBAllA1)()(00)(B:11ll1BA 總結：1、閉單通區(qū)域上的解析函數沿境界線積分為零；2、閉復通區(qū)域上的解析函數沿所有內外境界線正方向積分和為零；3、閉復通

7、區(qū)域上的解析函數沿境界線逆時針方向積分等于沿所有內境界線逆時針積分之和。對于某個閉單通或閉復通于區(qū)上為解析的函數，只有起、終點固定不變，當積分路徑連續(xù)變形（不跳過“孔”），路積分值不變。1ReRe121Re,ReC1211211CRaa )2( 01 a, (1):a1a0121:20diiIdidzazdzazidzaziIazlIlazllldzaziIiiiiCll上在復通區(qū)域內解析。則，為半徑作小圓為圓心，以包圍（單通區(qū)域柯西定理）所圍區(qū)域內解析，在不包圍解包圍不包圍例CaR2、3 不定積分根據柯西定理，若函數f(z)在單通區(qū)域B上解析，則沿B上任一路徑l的積分 的值只跟起點和終點有關

8、，而與路徑無關。因此，當起點和終點固定時，這個不定積分就定義了一個單值函數，記作F(z)在B上是解析的，且F(z)=f(z)，即F(z)是f(z)的一個原函數。路積分的值等于原函數的改變量。ldzzf)(zzdfzF0)()()()()(1221zFzFidiIneniiRIndeiRideReRdeRdzzIzIllIlzfldzzIninniniinnlCiinnninl2-10) 1(1-1)Re()(ReCCR0,n; 00,n)2(0)() 1 ().n()(:2020)1(120)1(120時，當時，當上，在。為半徑作圓周為圓心，。以則存在一個奇點如所圍區(qū)域仍是解析的，被積函數在，

9、如包含若根據柯西定理，所圍區(qū)域上是解析的，在，則不包含若解：為整數例ll i.2)ln(),-ln(z)(-1)()(-11)()(,)()(11的改變量為一周，逆時針繞多值函數。的原函數為時，當的改變量為零；一周，為單值函數，繞時，當意義：zznzFzFnnzzF2、4 柯西Cauchy公式單通域柯西公式：若f(z)在閉單通區(qū)域B上解析， l為B的境界線，為B內一點，則dzzzfifl)(21)(閉區(qū)域上解析=開區(qū)域內解析， l為其中一圍線。意義： 是l內任一點，解析函數的值由邊界上的值唯一確定。比如，無源電場的電位。dfzfdeiefzfidzzfzfideidzezdzzfzfidzzf

10、zfizfzflzfzfzdzzfzfizdzzfifzdzfizdziffiiliilllll2020C)()(21)()(21)()(21,zC)()(21)()(21)()(C,C)()()2(.0)()(21)(21)()(2121)()() 1 (有：于是有：上的對于根據柯西定理，單值解析。所圍復通區(qū)域上及這樣在為半徑做小圓為圓心，取任意小的奇點，因此，以為因為即可比較，只需證明與已知證明：dzzzfifdzzfzfiddfzfdfzffzfzzfll)(21)(, 0)()(2121| | )()(|21)()(21| )()(|, 0)()3(202020因而有：時，當連續(xù)，一定

11、可以找到因為估計現在需要對上式右端做回顧證明過程，利用大圍線積分等于小圍線積分，當圍線很小時，積分趨于0，所以大圍線的積分也只能為0.柯西公式把解析函數在任一內點的值f()用沿境界線l的回路積分來表示。因為解析函數在各點的值可以通過C-R方程相互聯系。從物理上說，解析函數緊密聯系于平面標量場，而平面場的邊界條件決定著區(qū)域內部的場。dzfizfl)(21)(柯西公式也常寫做：若f(z)在l上所圍區(qū)域上存在奇點，則考慮挖去奇點后的復通區(qū)域。在復通區(qū)域上f(z)解析，則柯西公式仍成立，只要將l理解為所有的境界線，且均取正向?？挛鲗倒剑河捎趜為區(qū)域內點，積分變數在境界線上，-z0,積分號下的導數f()/(-z)在區(qū)域上處處可導。因此，可以在積分號下對z求導，得：dzzfinzfdzzfizflnnl1)(2)()(2!)()()(2! 1)