由已知分布的隨機抽樣

1、第三章第三章 由已知分布的隨機抽樣由已知分布的隨機抽樣 隨機數(shù)序列隨機數(shù)序列是由單位均勻分布的總體中抽取的簡單子樣，屬是由單位均勻分布的總體中抽取的簡單子樣，屬于一種特殊的由已知分布的隨機抽樣問題。于一種特殊的由已知分布的隨機抽樣問題。由己知分布的隨機抽樣由己知分布的隨機抽樣指的是由己知分布的總體中抽取簡單子樣。指的是由己知分布的總體中抽取簡單子樣。 本章所敘述的由任意已知分布中抽取簡單子樣，是在本章所敘述的由任意已知分布中抽取簡單子樣，是在假設(shè)隨假設(shè)隨機數(shù)為已知量機數(shù)為已知量的前提下，使用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法，從已知分布中隨的前提下，使用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法，從已知分布中隨機抽樣產(chǎn)生。機抽樣產(chǎn)生。 只要

2、所采用的隨機數(shù)滿足獨立性和均勻性要求，那么由上述只要所采用的隨機數(shù)滿足獨立性和均勻性要求，那么由上述方法產(chǎn)生的簡單子樣嚴(yán)格服從具有相同的總體分布并相互獨立。方法產(chǎn)生的簡單子樣嚴(yán)格服從具有相同的總體分布并相互獨立。 對于任意給定的累積分布函數(shù)對于任意給定的累積分布函數(shù)F(x)，要從中抽取隨機變量，要從中抽取隨機變量序列序列X1,X2,Xn ，則可以產(chǎn)生一，則可以產(chǎn)生一0,1間均勻分布的隨機數(shù)序列，間均勻分布的隨機數(shù)序列， 1, 2, n ，按下式來確定，按下式來確定Xi值值( )infjiF tXt 也就是說也就是說:當(dāng)抽取當(dāng)抽取 j后，后，判斷所要取得各點值中，判斷所要取得各點值中，所對應(yīng)的分

3、布函數(shù)值大于所對應(yīng)的分布函數(shù)值大于 j，則其最小值，則其最小值/下界為所下界為所取值。取值。 可以證明隨機變量序列可以證明隨機變量序列X1,X2,XN具有相同分布。具有相同分布。直接抽樣法適應(yīng)于離散型的隨機變量直接抽樣法適應(yīng)于離散型的隨機變量設(shè)離散型隨機變量設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為的可能取值為x1, x2, , xN, 其概率為其概率為();1,2,3,kkpP Xxk累積分布函數(shù)：累積分布函數(shù)：( )()kkxxF xP Xxp0 x1xN-1xNx2xk-1xk1F(x)pk0 x1xN-1xNp1p2pNx2pkxk-1xk方法：方法：1. 計算計算yk = yk-1 + pk，k

4、 = 2,3,N, y1 = p12. 產(chǎn)生在產(chǎn)生在0,1區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù)區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù) ；3.3. 求滿足求滿足yk-1 abxf(x)c),(111yxt),(222yxt幾何解釋幾何解釋: 在二維圖上，隨機選取位于矩形在二維圖上，隨機選取位于矩形abfe內(nèi)的點內(nèi)的點(x,y)； 選取位于曲線選取位于曲線f(x)下的那些點，則這些點將服從概率密度為下的那些點，則這些點將服從概率密度為f(x)的分布的分布ef證明證明:按挑選抽樣法抽出的隨機數(shù)按挑選抽樣法抽出的隨機數(shù)d的概率：的概率：abxf(x)c),(111yxt),(222yxtefx和和y的概率密度函數(shù)分別為的概率密度函

5、數(shù)分別為聯(lián)合概率密度函數(shù)為聯(lián)合概率密度函數(shù)為11( ),( )ssgxgybac1( , )( )( )()ssg x ygxgyba c( )0( )0( , )(|( )( )( )( , )df xdabf xaag x y dxdyp xd yf xf x dxF dg x y dxdy 即即d的概率函數(shù)為的概率函數(shù)為f(x)d改進(jìn)的挑選抽樣法改進(jìn)的挑選抽樣法前述簡單挑選抽樣法的問題：前述簡單挑選抽樣法的問題：如果如果f(x)曲線下的面積占矩形面積的曲線下的面積占矩形面積的比例很小，則抽樣效率很低，這是因比例很小，則抽樣效率很低，這是因為隨機數(shù)為隨機數(shù)x和和y是在區(qū)間是在區(qū)間a, b和

6、和0, c內(nèi)均勻分布，所產(chǎn)生的大部分投點不內(nèi)均勻分布，所產(chǎn)生的大部分投點不會落在會落在f(x)曲線下曲線下xcf(x)改進(jìn)方法：改進(jìn)方法：構(gòu)造一個新的概率密度函數(shù)構(gòu)造一個新的概率密度函數(shù)h(x)，使它的，使它的形狀接近形狀接近f(x), 且有且有式中式中M為常數(shù)，而為常數(shù)，而h(x)的抽樣相對比較容易。的抽樣相對比較容易。( )( ), , M h xf xxa bMh(x)抽樣方法：抽樣方法：1. 產(chǎn)生兩個隨機數(shù)產(chǎn)生兩個隨機數(shù) 產(chǎn)生分布為產(chǎn)生分布為h(x) 的隨機數(shù)的隨機數(shù)x，x a,b; 產(chǎn)生產(chǎn)生0, Mh(x) 區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù)區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù)y，y= Mh(x) , U0,

7、1.2. 接收或舍棄取樣值接收或舍棄取樣值 x. 如果如果 y f(x)，舍棄，返回到，舍棄，返回到1,重復(fù)上述過程重復(fù)上述過程; 否則，接受否則，接受x;幾何解釋幾何解釋: 在二維圖上，隨機選取位于曲線在二維圖上，隨機選取位于曲線Mh(x)下的點下的點x,y； 選取位于曲線選取位于曲線f(x)下的那些點，則這些點將服從概率密度為下的那些點，則這些點將服從概率密度為f(x)的分布的分布xcf(x)Mh(x)證明證明:按挑選抽樣法抽出的隨機數(shù)按挑選抽樣法抽出的隨機數(shù)d的概率：的概率：dx和和y的概率密度函數(shù)分別為的概率密度函數(shù)分別為聯(lián)合概率密度函數(shù)為聯(lián)合概率密度函數(shù)為1( )( ),( )( )

8、ssgxh xgyM h x( )1( , )( )( )( )ssh xg x ygxgyM h xM)()(),(),()(|()(0)(0dFdxxfdxdyyxgdxdyyxgxfydxpdabaxfdaxf 即即d的概率函數(shù)為的概率函數(shù)為f(x)xcf(x)Mh(x)xcf(x)Mh(x)常數(shù)常數(shù)M的選取的選取 常數(shù)常數(shù)M應(yīng)盡可能地小應(yīng)盡可能地小,因為抽樣效率與因為抽樣效率與M成反比成反比; M=maxf(x)/h(x), x a,b 例例7. 圓內(nèi)均勻分布抽樣令圓半徑為R0，點到圓心的距離為r，則r的分布密度函數(shù)為分布函數(shù)為 容易知道，該分布的直接抽樣方法是其它當(dāng)002)(020R

9、rRrrf202)(RrrF0Rrf由于開方運算在計算機上很費時間，該方法不是好方法。下面使用挑選抽樣方法：取 則抽樣框圖為 00022)()(1)(RrMRrrhrfRrhh，2021Rrf顯然，沒有必要舍棄12的情況，此時，只需取 就可以了，即),max(210 Rrf),max(2112( ,)nyg x xx12(,)fnYg XXX 為了實現(xiàn)某個復(fù)雜的隨機變量為了實現(xiàn)某個復(fù)雜的隨機變量 y 的抽樣，將其表示成若干的抽樣，將其表示成若干個簡單的隨機變量個簡單的隨機變量 x1，x2，xn 的函數(shù)的函數(shù) 得到得到 x1，x2，xn 的抽樣后，即可確定的抽樣后，即可確定 y 的抽樣，這種的抽樣，這種方法叫作替換法抽樣。即方法叫作替換法抽樣。即 例例7. 散射方位角余弦分布的抽樣直接抽樣方法為：其它當(dāng)011111)(2xxxf2coscos2sinsin令=2，則在0,上均勻分布，作變換其中01，0，則(x,y) 表示上半個單位圓內(nèi)的點。如果 (x,y) 在上半個單位圓內(nèi)均勻分布，則在0,上均勻分布，由于sincosyx2222sincosyxyyxx222222222cossin22sinsinsincos2c