第43講機(jī)械振動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本概念

1、內(nèi)容：§ 14- 1,§ 14-2（50分鐘）（50分鐘）2 描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量1 .簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)要求:1 掌握描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征量 一一振幅、周期、頻率、相位的物理意義, 并能熟練地確定振動(dòng)系統(tǒng)的特征量，從而建立簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程；2. 掌握描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量方法與圖示法的特點(diǎn)，并會(huì)應(yīng)用于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律的討論與分析。重點(diǎn)與難點(diǎn)：1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程；2 .振幅與初相位的確定；作業(yè):問題習(xí)題預(yù)習(xí)P35: 1, 2,P37: 2, 5, § 14-3,§,7, 8,8, 11§ 14-4, § 14-5第十四章機(jī)械振動(dòng)引言：1

2、什么是振動(dòng)(Vibration)振動(dòng)是自然界和工程技術(shù)領(lǐng)域常見的一種運(yùn)動(dòng)，廣泛存在于機(jī)械運(yùn)動(dòng)、電 磁運(yùn)動(dòng)、熱運(yùn)動(dòng)、原子運(yùn)動(dòng)等運(yùn)動(dòng)形式之中。從狹義上說，通常把具有時(shí)間周 期性的運(yùn)動(dòng)稱為振動(dòng)。如鐘擺、發(fā)聲體、開動(dòng)的機(jī)器、行駛中的交通工具都有 機(jī)械振動(dòng)。廣義地說，任何一個(gè)物理量在某一數(shù)值附近作周期性的變化，都稱 為振動(dòng)。變化的物理量稱為振動(dòng)量，它可以是力學(xué)量，電學(xué)量或其它物理量。 例如：交流電壓、電流的變化、無線電波電磁場(chǎng)的變化等等。2. 什么是機(jī)械振動(dòng)(Mecha nical Vibrati on)機(jī)械振動(dòng)是最直觀的振動(dòng)，它是物體在一定位置附近的來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)， 如活塞的運(yùn)動(dòng)，鐘擺的擺動(dòng)等都是機(jī)械

3、振動(dòng)。3. 研究機(jī)械振動(dòng)的意義不同類型的振動(dòng)雖然有本質(zhì)的區(qū)別，但是僅就振動(dòng)過程而言，振動(dòng)量 隨時(shí)間的變化關(guān)系，往往遵循相同的數(shù)學(xué)規(guī)律，從而使得不同本質(zhì)的 振動(dòng)具有相同的描述方法。振動(dòng)是自然界及人類生產(chǎn)實(shí)踐中經(jīng)常發(fā)生的一種普遍運(yùn)動(dòng)形式，研究 機(jī)械振動(dòng)的規(guī)律也是學(xué)習(xí)和研究其它形式的振動(dòng)以及波動(dòng)、無線電技 術(shù)、波動(dòng)光學(xué)的基礎(chǔ)。4. 機(jī)械振動(dòng)的特點(diǎn)(1) 有平衡點(diǎn)。(2) 且具有重復(fù)性，即具有周期性。5. 機(jī)械振動(dòng)的分類(1) 按振動(dòng)規(guī)律分：簡(jiǎn)諧、非簡(jiǎn)諧、隨機(jī)振動(dòng)。(2) 按產(chǎn)生振動(dòng)原因分：自由、受迫、自激、參變振動(dòng)。(3) 按自由度分：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)、多自由度系統(tǒng)振動(dòng)。(4 )按振動(dòng)位移分：角振動(dòng)、線

4、振動(dòng)。(5)按系統(tǒng)參數(shù)特征分：線性、非線性振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)是最基本的振動(dòng)，存在于許多物理現(xiàn)象中。本章主要研究簡(jiǎn)諧振 動(dòng)的規(guī)律，也簡(jiǎn)單介紹阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)、共振等。本早內(nèi)容有：§ 14- 1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)§ 14-2簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅、周期(頻率)與相位§ 14-3旋轉(zhuǎn)矢量§ 14-4單擺與復(fù)擺§ 14-5簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量§ 14 6簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成§ 14 7阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)、共振§14 1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)Simple Harm on ic Vibrati on在一切振動(dòng)中，最簡(jiǎn)單和最基本的振動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)量按正弦函 數(shù)或余弦

5、函數(shù)的規(guī)律隨時(shí)間變化。任何復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)都可以看成是若干簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 的合成。本節(jié)以彈簧振子為例討論簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本概念：1 彈簧振子：輕質(zhì)彈簧（質(zhì)量不計(jì)）一端固定， 另一端系一質(zhì)量為 m的物體，置于光 滑的水平面上。物體所受的阻力忽略 不計(jì)。設(shè)在 0點(diǎn)彈簧沒有形變，此處 物體所受的合力為零，稱 0點(diǎn)為平衡 位置。系統(tǒng)一經(jīng)觸發(fā)，就繞平衡位置 作來回往復(fù)的周期性運(yùn)動(dòng)。這樣的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)叫做彈簧振子（harmonic Oscillator）,它是一個(gè)理想化的模型。2 彈簧振子運(yùn)動(dòng)的定性分析：考慮物體的慣性和作用在物體上的彈性力：B tO彈性力向左，加速度向左，加速，O點(diǎn)，加速度為

6、零，速度最大;O t C:彈性力向右，加速度向右，減速，C點(diǎn)，加速度最大，速度為零;C tO彈性力向右，加速度向右，加速，O點(diǎn)，加速度為零，速度最大;O t B：彈性力向左，加速度向左，減速，B點(diǎn)，加速度最大，速度為零。物體在B、C之間來回往復(fù)運(yùn)動(dòng)。結(jié)論：物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件：物體的慣性一一阻止系統(tǒng)停留在平衡位置 作用在物體上的彈性力一一驅(qū)使系統(tǒng)回復(fù)到平衡位置二、彈簧振子的動(dòng)力學(xué)特征：1. 線性回復(fù)力分析彈簧振子的受力情況。取平衡位置O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為X軸IAWvW的正方向。由胡克定律可知，物體m （可視為質(zhì)點(diǎn)）在坐標(biāo)為x （即相對(duì)于O點(diǎn)的 位移）的位置時(shí)所受彈簧的作用力 為f=-kx

7、式中的比例系數(shù) k為彈簧的勁度 系數(shù)（Stiffness）,它反映彈簧的固 有性質(zhì)，負(fù)號(hào)表示力的方向與位移 的方向相反，它是始終指向平衡位置的。離平衡位置越遠(yuǎn)，力越大；在平衡位 置力為零，物體由于慣性繼續(xù)運(yùn)動(dòng)。這種始終指向平衡位置的力稱為回復(fù)力。 2動(dòng)力學(xué)方程及其解根據(jù)牛頓第二定律，f=ma可得物體的加速度為f ka xm m對(duì)于給定的彈簧振子， m和k均為正值常量，令2 km則上式可以改寫為 ad2xdt2 d 2x .dt22x2x = 0這就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程。三、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征:1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式（運(yùn)動(dòng)學(xué)方程） 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程的解具有正弦、余弦函數(shù)或指數(shù)形式。我們采用余弦函

8、數(shù)形式，即x Acos（ t ）這就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，式中A和$是積分常數(shù)。只有正弦函數(shù)、余弦函數(shù)或說明：1）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)不僅是周期性的，而且是有界的,它們的組合才具有這種性質(zhì)，這里我們采用余弦函數(shù)。2）考慮三角函數(shù)與復(fù)數(shù)的關(guān)系 ei 復(fù)數(shù)表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其優(yōu)點(diǎn)是運(yùn)算比較簡(jiǎn)單。cos i sin ，貝U x Aei ( t 。用減速 加速 減速 加速t2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體的速度和加速度 將簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程分別對(duì) 時(shí)間求一階和二階導(dǎo)數(shù)，可得簡(jiǎn)諧運(yùn) 動(dòng)的速度和加速度為a說明：Asi n( t )2A cos( t )dx dt d2x dt2物體在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，其位移、速度、加速度都是周期性變化的。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)不僅是周期性的，而且是有界的一一只有正弦函數(shù)、余弦函數(shù)或它們的組合才具有這種性質(zhì)一一采用余弦函數(shù)。二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)：1 .從受力角度來看動(dòng)力學(xué)特征合外力f=-kx與物體