第四章 方程求根

1、 代 數(shù) 方 程 求 根 問 題 是 一 個 古 老 的 數(shù) 學 問題 。 早 在 1 6 世 紀 就 找 到 了 三 次 ， 四 次 方程 的 求 根 公 式 。 但 直 到 1 9 世 紀 才 證 明 了而在工程和科學技術中許多問題常歸結為求解非線性方程式問題。例如在控制系統(tǒng)的設計領域中，在研究人口增長率等問題中都最后可化為方程求根的問題。 5n 次的一般代數(shù)方程式不能用代數(shù)公式求解。因此需要研究用數(shù)值方法求得滿足一定精度的代數(shù)方程式的近似解。 的非線性函數(shù)。為實變量其中程定義：設有一非線性方xxfxf)(0 的單根。為時稱當重根。的為為正整數(shù)，則稱其中如果0)(10)(. 0*3*xfm

2、mxfmgxgxfxxxxxm 為特殊方程。等特殊函數(shù)時，則稱數(shù)包含指數(shù)函數(shù)或三角函次代數(shù)方程。為稱為多項式，即當0)()(0)(0020111xfxfnxfxxfxfaaaxaxannnnn 的零點。為方程的根，或為則稱使如果有xffxxx*, 01 * 2 ( ),( )( )0, , 0, )f xa bf af ba bff xa bxx定理設在連續(xù)，且則存在使即在（內存在實零點。結果首先引進兩個基本代數(shù)010,0,( )0,00,kkkkkkkfxxa bfaf bahbahNNakhfffhxxxxxxxx對 于 方 程為 明 確 起 見 ， 設從 區(qū) 間 左 端 點出 發(fā) 按 某

3、 個 預 定 步 長（ 如 取為 正 整 數(shù) ） ,一 步 一 步 地 向 右 跨 ， 每 跨 一 步進 行 一 次 根 的 搜 索 。 即 檢 查 節(jié) 點上 的 函 數(shù) 值的 符 號 ， 若， 則即 為 方 程 解 。 若則 方 程根 在 區(qū) 間中 ， 其 寬 度 為 。 310010,2500,200.51.0,1.5fxxfffxxhx 例：考查方程由于則在內至少有一根，設從出發(fā)，以為步長向右進行根的搜索。列表記錄各節(jié)點函數(shù)值的符號?？梢娫趦缺赜幸桓? 內僅有一個零點。在無妨設連續(xù)且設在其中對非線性方程baxfbfafbaxfxf,0,10 111111 ,.2kfa bxx11第 步：

4、分半計算將a ,b 分半。計算中點及11, abab二分法的步驟如下：記*1,a bx求方程（ ）的實根的二分法過程，就是將逐步 分半，檢查函數(shù)值符號的變化，以便確定含根 的充分小區(qū)間。111122*112211220,0,fffaxa xa bx ba bxxxa b若則根必在內，否則必在內,若則于是得到長度縮小一半的區(qū)間含根，即且有：步分半計算：則第,2baxkkkk abffkkkkkkkabbaxba21*1,0 即且滿足112211,kkka ba ba b設已完成第 步第步，分半計算得到含根區(qū)間重復上述過程。分半計算步第k ababbaff11222221, 0且 2122*abk

5、kkkabxx*( )002kkf xbaxxx可用二分法求方程的實根的近似值到任意指定的精度，這是因為：設 為給定精度要求，則由*,2limkkkxxx總之，由上述二分法得到序列由（ ）有：11111111,0,1,2kkkkkkkkkkkkkkkffbaabaxaba xabx bba確定新的含根區(qū)間即如果則根必在內，否則必在內，且有： lnln3ln2kbak可得分半計算次數(shù) 應滿足：6*3( )11 21.210kf xxxxx例：用二分法求在 ， 內一個實根，且要求精確到小數(shù)點后第三位。即( )( )0,f xf xa b二分法的優(yōu)點是方法簡單，且只要求連續(xù)即可，可用二分法求出在內全

6、部實根，但二分法不能求復根及偶數(shù)重根，且收斂較慢，函數(shù)值計算次數(shù)較多。31390.531,2)11.51.81)(1)10,(2)0 .10(abkffYDYP 解：由代入公式（ ）（可確定所需分半次數(shù)為計算結果部分如下表：顯然k aK bk xk xkf81.132813 1.140625 1.1367190.020619091.132813 1.136719 1.134766101268415. 4101.132813 1.134766 1.13378900959799. 0111.133789 1.134766 1.1342770045915. 0 為用迭代法求解 f(x)=0 的近似根

7、，首先需將此方程化為等價的方程 x=g(x) (1) 05 . 0sin)(xxxf例：對方程 0102111,2( )kkgggg xxxx xxxx取方程根的一個初始近似，且按下述逐次代入法，構造一近似解序列：這種方法稱為迭代法（或稱為單點迭代法），稱為迭代函數(shù)。)(xgx 程為定義：（迭代法）設方 112(1)sin0.5(2)0.5sinxxxxxxgg可用不同方法化為等價方程： * 2 .lim,2)kkkkxxxx 若 由 迭 代 法 產 生 序 列有 極 限 存 在 ， 即稱為 收 斂 或 稱 迭 代 過 程 (收 斂 。 否 則 稱 迭 代 法 不 收 斂 。0( )0( )(

8、 )kf xxg xg xxx顯然在由方程轉化為等價的方程時，選擇不同的迭代函數(shù)，就會產生不同的序列即使初值選擇一樣 且這些序列的收斂情況也不會相同。*1*( )lim.limlim()lim1kkkkkkkkg xgggxxxxxxxxx若連續(xù)，且則即為方程（ ）的解（稱為函數(shù)g(x)的不動點） 111sin0.50,1,2,0.50,1,2,sinkkkkakbkxxxx例：對上例中方程考查用迭代法求根 無定義。計算出中在收斂且中在為都取收斂情形不一樣（初值分別構造序列的兩個函數(shù)由計算看出，我們選取987761. 15 . 0)(,497300. 1)(),0 . 1,sinsin141*

9、21xxxxggbaxxkkK xka xkb xkfa01.01.011.3414710.52359921.4738200.023601310495301-0.49655541.497152-1.48776151.49728961.49730071.4973001076 . 3 迭代法的幾何意義：收斂。收斂較慢時，怎樣加速）若（收斂使迭代過程）如何選取迭代函數(shù)（題：近似根需要研究下述問因此對用迭代法求方程xxxxkkkkgxgxf2)(10)(1 *1( )( ),( )kkxg xyg xyxg xxgxxxx從幾何意義看，求方程根的問題，是求曲線與直線交點橫坐標當?shù)瘮?shù)的導數(shù)函數(shù)g在根

10、處滿足下述幾種條件時，從幾何上來看迭代過程的收斂情況如下圖。繼續(xù)這一的橫坐標就是點，顯然于交軸方向前進點沿平行于再從于一點方向前進交軸出發(fā)，沿著平行于上一點從曲線,)(,)(011100000 xxppQQxxpgxgyyxyxgxgy.)4(),3(,21*xxxxxkkk不收斂于情況在收斂于下）情況），（在（，且從幾何上觀察知道過程就得到序列Yx0Y=xY=g(x)0 x1x2x*x3x0p1p2p3p0Q2Q3Q0)(1 ).2(*xg1Q0Q1pYx00pY=xY=g(x)2Q0 x1x2x*x1)( ).3(*xgYx0Y=xY=g(x)0p1p2p2x0 x*x1x0Q1Q1)(0

11、 ).1 (*xgYx0p3p1p2pY=x0Y=g(x)0 x1x*x2Q0Q3Q1Q1)( x,-1g(x) ).4(*xg( )1. , , , .g xxa ba b由迭代法的幾何定義可知，為了保證迭代過程收斂，應該要求迭代函數(shù)的導數(shù)滿足條件當時 原方程在中可能有幾個根或迭代法不收斂為此有下述關于迭代法收斂性的定理 g( ),(1) g( )a,b2a,bg( )a,b, (3) g ( )( )1, , , xxxxxxg xLxa b定理設有方程 設于一階導數(shù)存在，（ ）當時，有滿足條件：則有：*01*k*1*101 g( ) , ,(2) , ,() (k0,1,.) lim ,

12、1(3) 1(4) ,(1,2,.)1kkkkkkkxxa bxxa bxg xxxxxxxLLxxxxkL（ ）在上有唯一解對任意選取初始值迭代過程收斂。即誤差估計(4)(3),(2), : 只證證明,.)2 , 1(,2).2(0kbaxbaxk時，則有），當取由定理條件（由中值定理有：記誤差,*kkxxe*1()()( )()kkkxxg xg xg c xx）有：又由條件（之間，即與在其中3,*bacxxckkkkxxLxxcgxx*1*)(由此遞推可得：0*2*21*.xxLxxLxxLxxkkkk*k01,limLxx由故yxy=x0y=g(x)aabb*x有：由迭代公式)().3

13、(1kkxgx1111)()()(kkkkkkkkxxLxxcgxgxgxx于是之間與在其中.1kkxxc*111*() -L x(1-L) kkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxx11*111kkkkkxxLLxxLxx即11(4).:kkkkxxL xx由上面反復利用代入上式中有0121211*1.1L 111xxLLxxLxxLLxxLxxkkkkkkkkLxxxxkkk11,3*1則誤差時相鄰兩次迭代滿足條件）可知，當計算得到的由定理結果（.,1.*11仍然可能很大誤差很小即使時但要注意來控制算法終止因此在計算機上可利用kkkkkxxxxLxx由事實上數(shù)精度要求所需要迭代次可確

14、定使誤差達到給定結果利用定理時及給定精度要求及當已知另外,)4(,) 1(,10kLLxx01*1xxLLxxkk:解得(4) ln/ )1ln(ln01LLxxk( )1, , ,.g xLxa b定理條件在一般情況下 可能對大范圍的含根區(qū)間不滿足而在根的鄰近是成立的為此有下述迭代過程的局部收斂性結果*0*1: (),g( ),(1);(2) g( )()1,(),()(0,1,.).kkxxxxxg xxxxg xkx定理迭代法的局部收斂性 設給定方程設 為方程的解設在 的鄰域內連續(xù)可微且有則對 初值在 的鄰域內 迭代過程收斂于0)2(ln)( :xx-xf由迭代法解方程例.,-1.9,-

15、10,20f(-1)f(-1.9)0,f(2)f(0)(1) :*2*1xx內有根記為及即知方程于顯然有解又由時，時，函數(shù)，則當為增及顯然代函數(shù)為其中迭的收斂性迭代過程考察取初值,2)(220)(,2368.1)4ln()2(,0693.0)2ln()0(),2ln()(,)2ln(2,0).2(1111110 xgxxxgggxxgxxxkkYxY= x0-2-112*1x*2x1111( ) g( )(0)1 (0,2).222g xxgxxx 則有)1021)2ln(2 , 06*1*110kkkxxxxxx位（即要求近似根準確到小數(shù)第收斂，如果要求時，迭代過程當初值于是由前一定理可知，

16、71414*171415108 . 0)(,1461931. 1. 2/1.10 xfxxLxx則且由計算結果可知k00.010.6931471820.99071046 . . . . . .141.1461931151.1461932)2ln(1kkxxk 1*1210*022(3) 1.91. xln(2),1( )()1, ln(2)(2 1.9, 1,).kkkxg xg xxxxxxxx 為了求， 內方程的根由迭代方程顯然所以迭代過程初值不能保證收斂于22222 0k 1*0212812(4). e22( ) g ( )g ( )g ( 1)0.3861.( 1.9, 1( ) 1.

17、9, 1 1.9, 12.1,121.841405660,()0.2 10 .kxxxxxxegxxexxgxxxexxxf x 若將方程轉化為等價方程或則,且時）,所以當選取時迭代過程收斂如取則迭代次有且1 ( )0,( )()kkkf xg xxxg x由此例可見，對于方程迭代函數(shù)取不同形式，相應的迭代法產生的收斂情況也不一樣，因此，我們應該選擇迭代函數(shù)是構造的迭代過程收斂，且收斂較快。關于迭代公式的加工：對于收斂的迭代過程，只要迭代足夠多次，總可以使結果達到任意的精度。但有時迭代收斂緩慢，從而使計算量變得很大，因此迭代過程的加速是一個很重要的課題。*010 ()xxxg x設 為根 的某

18、預測值，用迭代公式校正一次得*100( )(),( ).xxgxxxxg xL由中值定理：介于 ， 之間，若改變不大。近似地取某常數(shù) 則由01*0*1111)(xLLxLxxxLxx得的可以期望按上式右端求)(1111011012xxLLxxLLxLx.1更好的近似值是比x下：則加速迭代計算方案如步的校正值和改進值，第分別表示和算作一步，并用若將每得到一次改進值kxxkk 1 ()kxg x校正：k 111k ( )1kkLxxxxL改進：-* e0.56714.xxx例： 求解方程。其解為：0111150 0.5()0.60.6 ()1.60.5310 kxxkkkkkxexexxxxx由于

19、在附近時，則預測校正迭代公式為：預測:校正:只須由迭代 次即可得精確到的結果。18若直接用迭代法求，達到這一結果須迭代次。*010*212110*2*00 211212*21012012,( )( )() ()() 22xxxg xxg xxxL xxxxL xxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxx2由于使用參數(shù)L，這在實際應用中不方便，下面進行改進計算。 設 的某近似值將校正值再校正一次得：，由與得：（）由此得：這樣將上式右端作為改進公式就不再含有導數(shù)信息了。但需要用兩次迭代的結果進行加工。如果仍將得到一次改進值作為一步，則計算過程如下：k 11k 1k 1k 1k 12k 1k 1

20、k 1 () () 2kkkxg xxg xxxxxxxx校正：再校正：（）改進：()Aitken上述處理過程稱為埃特金 方法。3: Aitken 10 xx 例用方法求解方程。30 1( )(1.5),:xxg xxAitken 解：若將方程改為等價方程：則直接用迭代法 取是不收斂的 現(xiàn)在以這種迭代法公式為基礎形成算法如下k 1k 1k 13k 13k 102k 11k 1 1 1 (1.5) =2kkkkxxxxxxxxxxxx（）.32472. 1105*5x的近似解次可得精度為則迭代).()()(, 0)(xgxfxgxxf函數(shù)構造不同的合適的迭代即需要針對成應用迭代法時先要改寫對于方

21、程)()(xfxxg顯然可取迭代函數(shù)為)(1kkkxfxx相應迭代公式為.很慢不一定收斂，或者速度一般地，這種迭代公式具體格式為：速技術對此公式應用前面的加.)(1)(1111kkkkkkkxxLLxxxfxx1,ML記則上二式可合并寫為：Mxfxxkkk)(1( )( )( )( )( )1( )( )( )( )( )Newtonf xg xxMLg xg xxf xMLfxfxf xg xxfx此公式稱為簡單的公式。其迭代函數(shù)為：。又由于 為的近似值。而，因此實際上是的近似值，故用代替上式中的M即得下面的迭代函數(shù):相應的迭代公式為：1().()kkkkf xxxfx.公式此即為Newto

22、n.0)(性化求解逐步線線性方程法的基本思想就是將非xfNewton展開得：處在將有近似根設Taylorxxfxxfkk)(,0)()()()(kkkxxxfxfxf近似地表為：從而0)(xf0)()(kkkxxxfxf根即為：這是一個線性方程，其)(/ )(1kkkkxfxfxx*1( )0( )( ):kkkkkf xxyf xxxxyf xxpxxxp方程的根 即為曲線與 軸焦點的橫坐標。設 為 的一個近似，過曲線上橫坐標為的點作曲線的切線，該切線與 軸焦點的橫坐標即為 的新近似值，而過 的切線方程即為xy0*x1kxkx)(xfkp1kp:x它與 軸交點的橫坐標即為)(/ )(1kkk

23、kxfxfxx. 法亦稱切線法因此Newton*1*k 1pk: ()( ), e : (0,)e.kkkkxg xxg xxexxkccp 定義 設迭代過程收斂于方程的根如果迭代誤差當時有為常數(shù)則稱該迭代過程為階收斂的112ppp特別地，是為線性收斂。是超線性收斂，時為二階收斂。k 1( )*(p-1)*(p)* (),( ) g ()g ().g()0. g()0.kpxg xgxxxxxxxp定理： 對迭代過程如果在 附近連續(xù)，且：且則該迭代過程在附近是 階收斂的*1 g ()01()0.kkkxxg xx證明： 由于，則有前面關于迭代法的局部收斂性定理知：此迭代過程具有局部收斂性。即*

24、(p-1)*() g (). g()0kg xxTaylorxx將在 處展開。并注意到：有： , ),(!)()()(*)(*xxxxpgxgxgkkkkpk*k 1 (), ( )kxg xxg x而( )*k 1() ()!ppkkgxxxxp從而上式化為：!)(!)()(ee *)()(*1pk1kpxgpgxxxxpkppkk即：p故知迭代過程具有 階收斂性。( ) , ( )0g xxa bg x上定理表明迭代過程的收斂速度依賴于迭代函數(shù)的選取，如果時。則迭代過程只可能是線性收斂的。f( ) g( )-f ( )Newtonxxxx對于法。由迭代函數(shù)為：2 2 2)()()()()(

25、)()(1)(g xfxfxfxfxfxfxfx則 *( )()00()0()xf xf xfxg xNewtonx若 為的一個單根。即，則由上式知。由上面定理可知法在根 的鄰域內是平方收斂的 二階收斂的。kmkxffkxxkxxNewton2 2*1*:,即有公式利用1:2*2 *:,. 0kxkxfkxfkxkxxkxffkxfkxfkxxkxfkxf注得兩邊同除以設之間在則二次連續(xù)可微設公式再特別考察kxxkxxfkxxkxfkxfxfxfNewton,2! 2 )(,)(:2*! 2 *0, 0*.*kxxfkxxkxfkxfxfxfxx則注意特別地取 :0200,2464ffxfxe

26、x解顯然。則在內方程有一個根求導 . 0124:xxexfNewton法求解用例22*2 11*2* 2 ,kekmkxxkxffkekxxxfxfkxffk或則當 *1001,0,exeexxkkkeNewtonfxfxkk可見誤差 與的誤差的平方成比例。當初始誤差充分小時，以后迭代的誤差將非?？斓販p少。反之則放大。法每計算一步需要計算一次函數(shù)值和一次導數(shù)值。 來估計?？捎玫恼`差的近似根求方程單根法用因此有時充分接近當由中值定理有法的誤差估計下面考慮kxkxkxxkekxxNewtonkxkxNewtonkxfkxfkfkxfkxxxkxxkxkfxfkxfkxfNewton1*,1*,*.

27、*,:4421:164*61.060.7835963.8 100 xkxkfxexkkNewtonxxxkkkfxkexkxxfx 則公式為取。 迭代 次得近似根，。可能不收斂。法否則法收斂且收斂較快時取值靠近當初值這表明NewtonNewtonxx,*0, 利用此式遞推可得：211CkxCkxCkxCkx兩式相除得：這是因為：22112211CkxkxCkxCkxkxCkx21.,01:11 2CNewtonxCCCxxxkkk對給定的正數(shù)應用法解二次方程可導出求開方值的計算格式都是收斂的。對任函初值可證明公式001x610101xxkk例：求的近似值，要求終止迭代。即迭代法恒收斂。故由公式

28、知而kCkxCxCxqx100. 0022220210kkkkxCxCqkqxCCkxCxCqkkqkqCkqCkxCkxCkqkqkxkCxCxCkxCkx212222121200則可知由1011.063.162277675012kxxxxxkk解：取經 次迭代后：73.162277660.1 1010 3.16227766566xxx故1(2).0121 CNewtonCxxxCxkkkC 對給定正數(shù) ，應用法求解方程，由此式可導出求 而不用除法的計算程序：22011,krrrrkkkrCxkk令有遞推公式：反復遞推得：2111kCxkCx即：112211kCxCxCxkkCCC即：211

29、211200CkxCCkCxkxCkxCx：時是收斂的，這是因為滿足可以證明，此算法初值是有用的。除法操作的電子計算機這個算法對于沒有設置從而迭代法收斂。即時，有即當,10200, 1010CkxkrCxCxr0*0NewtonxxxNewton我們已知道，法收斂性依賴于初值 的選取，如果偏離 較遠，則法可能發(fā)散。3*:1 01.5.311.501231134783 ,1.325201.3247212336.3xxxxxxkkxNewtonxxkkxkxxxx 例如 對方程。求在附近的一個根若取初值，則法：計算得：，迭代僅 次即得有 位有效數(shù)字的近似值0.617.901*0.61.324720

30、 xNewtonxxx但若取初值則由同一公式計算得這反而比更遠離所求根，因此發(fā)散。1,0 x的選擇方法是：由反復減半的試探法，若能找到 使下降性成立，則下山成功，否則下山失敗改變初值 重新開始。11,:1,101kkxxNewtonf xkNewtonNewtonxkf xkxxxkkk 將法與下山法結合即在下山法保證函數(shù)下降條件下用法加速收斂。為此可將計算結果與每一步近似值 作加權平均其中稱為下山因子。選擇下山因子 以保證下降性。,:,1f xf xkk為防止發(fā)散 對迭代過程加一下降要求滿足這項要求的算法稱為下山法。, ,01, ,PP0rr101x xxf xk kk rf xf xf x

31、xxkkk rf xxk設是的一組近似根，利用對應的函數(shù)值，構造插值多項式，適當選取的一個根作為的新的近似根。,1f xf xkkf xk下面設法多利用以前各次計算的函數(shù)值來回避導數(shù)值計算，導出這種求根方法的基本原理是插值法。求導數(shù)值更加困難。函數(shù)本身比較復雜時，各一次，當值導數(shù)每迭代一次計算函數(shù)值法fkxfkxfkxfkxfkxkxNewton,1,0,111001111111011x xf xxf xxf xk kkkkkP xP xf xf xf xkkxP xf xx xxxkkkkkf xkP xxxkk，設為的近似根，過點構造一次插值多項式并用的根作為的新的近似根。由于，則由可得：

32、211xxkkf xf xkk, ,111(2(gxg x xxkk kk rrr。這樣就確定了一個迭代過程，記迭代函數(shù)為 ，則下面具體考察弦截法）與拋物線）兩種情形。112f xf xkkf xNewtonxxkkf x，另外，此公式也可以用導數(shù)的差商近似取代公式中同樣得公式。101211,f xf xkkf xx xxxkkkxkP Pxk k則按求得的近似根實際上是弦線與 軸交點的橫坐標。因此這種算法稱為弦截法又稱割線法。,11,:1111yf xx xk kf xf xkkP PP PP Pxxkkk kk kkk，弦截法的幾何意義：如圖，曲線上橫坐標為的點分別記為則弦線的斜率等于差商

33、。的方程為 :2,1,51.525102,0160.0000006xxxf x解 取初值則迭代 次后有。例子表明弦截法仍具有較快的收斂性。()1,11011NewtonNewtonxxf xkkkf xxxxf xkkkkkf xxxk，弦截法與切線法法 都是線性化方程，但兩者有本質區(qū)別。切線法在計算時只用到前一步的及，但要計算而弦截法在計算時要用前面兩步的結果而不須計算導數(shù)。這種方法必須有兩個啟動值。的根。在用割線法求解方程例5 .1, 209233:xxxxf*:0,20 115*1.6182f xxx xxf xx xPx 定理 假設在根 鄰域 ：內具有二階連續(xù)導數(shù)，且對有。又初值，那么

34、當鄰域 充分小時，弦截法將按階收斂到根 。 證明略 了這種發(fā)散的趨勢。卻明顯地扭轉但按上式求得的更遠偏離了和比盡管迭代值看從圖形上的橫坐標的交點與是曲線所求的根再看上圖3,*102,*,xxxxxPxyxgyx2131301020 2132012xxxxxxxxx xxxAtkenxxx此即為加速計算方法的公式。:xxAtken弦截法計算過程見教材。 下面分析弦截法用于 =g( )時，對加速算法的幾何解釋 :2,210,2,11,1,0012,01,0為與縱坐標相等的橫坐標則一點交于與直線引弦線在曲線上走了兩點的近似根為PPxyPPxxPxxPxgxxgxxgxx:,211212:1124,1

35、2,1P xf xf x xx xf x xxx xx xkk kkk kkkkf xkxxkkf xf x xxkk kkf x xf x xk kk k拋物線插值多項式為有兩個零點其中,121xxxkkk 法。密勒亦稱過程稱為拋物線法似根。這樣確定的迭代作為新的近的一個零點并適當選取二次插值多項式以這三點為節(jié)點構造的三個近似根為設已知MiillerkxxPxPkxkxkxxf,12,2,2,1,0 的近似值。如下圖。作為所根軸的交點與用拋物線其幾何意義就是*12:xkxxxPy:0.50.60.565320120.1756390.0932710.005031012,2.68910,2.83

36、373, ,2.214181 02 12 1 0 xxxf xf xf xf x xf x xf x x x解 取三個初值，計算的符號相同。令根式前的符號與只要為此值作為新的近似根的一個中較近選取保證精度這時為更接近所求的根定以自然假三個近似根中舍問題在論根式前正負符號的取，需討定出一個值為了由,11,*,2,1,11kxkxxkxkxkxkxkx 01:xxexf用拋物線法求解方程例Newton可見拋物線法比弦截法的收斂性更接近于法。 定理的證明略。關于拋物線法的計算步驟見相關教材。56714. 00,1,22422223:75694. 21,20,1,21,2xxxfxfxfxxxxxxx

37、fxxf從而*:,001211.840*f xxxxxfxxxxPx ，定理 若在根的鄰域內有三階連續(xù)偏導數(shù) 且對有。又初值，那么當鄰域充分小時，拋物線法將按階收斂于根。010011010nababx bi niiiaf xx bn 可得：1210121nnP xb xb xbx bf xnn令代入后與比較同項式系數(shù) 有效的算法?？舍槍ζ涮厥庑蕴峁└啥囗検降奶厥庑詳?shù)方程求根求根方法也適合于代稱為代數(shù)方程。上面的為多項式時當,0,xfxf1,011000100nnf xa xa xax annai nx xf xP xf xif xf xx xP x ，多項式的重要特點之一是求值方便設系數(shù)均為實數(shù)。用除記商為則余項顯然為，即，1000002!120121nfxfxnP xfxxxxxnnnb xb xbxbnn 。 :000!020! 20 000則將它表為：xPxxxfxfnxxnxnfxxxfxxxfxfxf0f xnTaylorn再看的 階展開式：注意 對 次多項式 更高階導數(shù)為 。nbnbxnaxfniibxiaibab10