論行列式的計算方法

1、論行列式的計算方法黃正敏（莆田學(xué)院數(shù)學(xué)系2002級，福建 莆田）摘要：歸納行列式的各種計算方法，并舉例說明了它們的應(yīng)用，同時對若干特殊例子進(jìn)行推廣。關(guān)鍵詞：行列式；范德蒙行列式；矩陣；特征植；拉普拉斯定理；析因法；輔助行列式法行列式的計算靈活多變，需要有較強(qiáng)的技巧。當(dāng)然，任何一個n階行列式都可以由它的定義去計算其值。但由定義可知，n階行列式的展開式有n!項，計算量很大，一般情況下不用此法，但如果行列式中有許多零元素，可考慮此法。值的注意的是：在應(yīng)用定義法求非零元素乘積項時，不一定從第1行開始，哪行非零元素最少就從哪行開始。接下來要介紹計算行列式的兩種最基本方法化三角形法和按行（列）展開法。方法

2、1化三角形法化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺接嬎愕囊环N方法。這是計算行列式的基本方法重要方法之一。因?yàn)槔眯辛惺降亩x容易求得上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺降男再|(zhì)將行列式化為三角形行列式計算。原則上，每個行列式都可利用行列式的性質(zhì)化為三角形行列式。但對于階數(shù)高的行列式，在一般情況下，計算往往較繁。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質(zhì)將其作為某種保值變形，再將其化為三角形行列式。例1：浙江大學(xué)2004年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第一大題第2小題（重慶大學(xué)2004年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第三大題第1小題）的解答中需要計算如下行列式的值：分析顯然若直接化為三

3、角形行列式，計算很繁，所以我們要充分利用行列式的性質(zhì)。注意到從第1列開始；每一列與它一列中有n-1個數(shù)是差1的，根據(jù)行列式的性質(zhì)，先從第n-1列開始乘以1加到第n列，第n-2列乘以1加到第n-1列，一直到第一列乘以1加到第2列。然后把第1行乘以1加到各行去，再將其化為三角形行列式，計算就簡單多了。解：問題推廣例1中，顯然是1,2，n-1,n這n個數(shù)在循環(huán)，那么如果是a0,a1,an-2,an-1這n個無規(guī)律的數(shù)在循環(huán)，行列式該怎么計算呢？把這種行列式稱為“循環(huán)行列式”。2從而推廣到一般，求下列行列式：解：令 首先注意，若u為n次單位根（即un=1），則有：為范德蒙行列式又例1中，循環(huán)的方向與該

4、推廣在方向上相反所以例1與相對應(yīng)與例1的答案一致。方法2 按行（列）展開法（降階法）設(shè)為階行列式，根據(jù)行列式的按行（列）展開定理有或其中為中的元素的代數(shù)余子式按行（列）展開法可以將一個n階行列式化為n個n-1階行列式計算。若繼續(xù)使用按行（列）展開法，可以將n階行列式降階直至化為許多個2階行列式計算，這是計算行列式的又一基本方法。但一般情況下，按行（列）展開并不能減少計算量，僅當(dāng)行列式中某一行（列）含有較多零元素時，它才能發(fā)揮真正的作用。因此，應(yīng)用按行（列）展開法時，應(yīng)利用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為有較多的零元素，再按該行（列）展開。例2，計算20階行列式9分析這個行列式中沒有一個零元素，若

5、直接應(yīng)用按行（列）展開法逐次降階直至化許許多多個2階行列式計算，需進(jìn)行20！*201次加減法和乘法運(yùn)算，這人根本是無法完成的，更何況是n階。但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素，則很快就可算出結(jié)果。注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對應(yīng)元素僅差1，因此，可按下述方法計算：解：以上就是計算行列式最基本的兩種方法，接下來介紹的一些方法，不管是哪種，都要與行列式的性質(zhì)和基本方法結(jié)合起來。下面是一常用的方法：方法3遞推法應(yīng)用行列式的性質(zhì)，把一個n階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式（比如，n-1階或n-1階與n-2階等）的線性關(guān)系式，這種關(guān)系式稱為遞推關(guān)系式。根據(jù)遞推關(guān)系式及某個低階初始行列式（

6、比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給n階行列式的值，這種計算行列式的方法稱為遞推法。注意用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結(jié)構(gòu)如果沒有的話，即很難找出遞推關(guān)系式，從而不能使用此方法。例3，2003年福州大學(xué)研究生入學(xué)考試試題第二大題第10小題要證如下行列式等式：（雖然這是一道證明題，但我們可以直接求出其值，從而證之。）分析此行列式的特點(diǎn)是：除主對角線及其上下兩條對角線的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱“三對角”行列式1。從行列式的左上方往右下方看，即知Dn-1與Dn具有相同的結(jié)構(gòu)。因此可考慮利用遞推關(guān)系式計算。證明：Dn按第1列展開，再將展開后的第二項中n-1階行列式按第

7、一行展開有：這是由Dn-1 和Dn-2表示Dn的遞推關(guān)系式。若由上面的遞推關(guān)系式從n階逐階往低階遞推，計算較繁，注意到上面的遞推關(guān)系式是由n-1階和n-2階行列式表示n階行列式，因此，可考慮將其變形為：或現(xiàn)可反復(fù)用低階代替高階，有：同樣有：因此當(dāng)時由（1）（2）式可解得：證畢。點(diǎn)評雖然我們從一個行列式中可以看出有低階的相同的結(jié)構(gòu)，然后得到一遞推關(guān)系式，但我們不要盲目亂代，一定要看清這個遞推關(guān)系式是否可以簡化我們的計算，如果不行的話，就要適當(dāng)?shù)負(fù)Q遞 推關(guān)系式，如本題。 方法4 加邊法（升階法）有時為了計算行列式，特意把原行列式加上一行一列再進(jìn)行計算，這種計算行列式的方法稱為加邊法或升階法。當(dāng)然，

8、加邊后必須是保值的，而且要使所得的高一階行列式較易計算。要根據(jù)需要和原行列式的特點(diǎn)選取所加的行和列。加法適用于某一行（列）有一個相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分別為n-1個元素的倍數(shù)的情況。加邊法的一般做法是：特殊情況取 或 當(dāng)然加法不是隨便加一行一列就可以了。那么加法在何時才能應(yīng)用呢？關(guān)鍵是觀察每行或每列是否有相同的因子。如下題：例4、計算n 階行列式：8分析 我們先把主對角線的數(shù)都減1，這樣我們就可明顯地看出第一行為x1與x1,x2, xn相乘，第二行為x2與x1,x2, xn相乘，第n行為xn與 x1,x2, xn相乘。這樣就知道了該行列式每行有相同的因子x1,x2, xn，從而

9、就可考慮此法。解：注意 在家一定要記住，加邊法最在的特點(diǎn)就是要找出每行或每列相同的因子，那么升階之后，就可利用行列式的性質(zhì)把絕大部分元素化為零，然后再化為三角形行列式，這樣就達(dá)到了簡化計算的效果。方法5 拆行（列）法由行列式拆項性質(zhì)知，將已知行列式拆成若干個行列式之積，計算其值，再得原行列式值，此法稱為拆行（列）法。由行列式的性質(zhì)知道，若行列式的某行（列）的元素都是兩個數(shù)之和，則該行列式可拆成兩個行列式的和，這兩個行列式的某行（列）分別以這兩數(shù)之一為該行（列）的元素，而其他各行（列）的元素與原行列式的對應(yīng)行（列）相同，利用行列式的這一性質(zhì)，有時較容易求得行列式的值。例5、 南開大學(xué)2004年研

10、究生入學(xué)考試題第1大題，要求下列行列式的值：設(shè)n階行列式：且滿足對任意數(shù)b，求n階行列式 分析該行列式的每個元素都是由兩個數(shù)的和組成，且其中有一個數(shù)是b，顯然用拆行（列）法。解： 也為反對稱矩陣又為的元素從而知：方法6 數(shù)學(xué)歸納法一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學(xué)歸納法給出猜想的證明。因此，數(shù)學(xué)歸納法一般是用來證明行列式等式。因?yàn)榻o定一個行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然后再去證明。（數(shù)學(xué)歸納法的步驟大家都比較熟悉，這里就不再說了）例6.證明：證：當(dāng)時，有：結(jié)論顯然成立。現(xiàn)假定結(jié)論對小于等于時成立。即有：將按第1列展開，得： 故當(dāng)對時，等式也成立。得證。接下來

11、介紹一些特殊的行列式計算方法，但卻很實(shí)用。方法7 析因法如果行列式D中有一些元素是變數(shù)x（或某個參變數(shù)）的多項式，那么可以將行列式D當(dāng)作一個多項式f(x)，然后對行列式施行某些變換，求出f(x)的互素的一次因式，使得f(x)與這些因式的乘積g(x)只相差一個常數(shù)因子C，根據(jù)多項式相等的定義，比較f(x)與g(x)的某一項的系數(shù)，求出C值，便可求得D=Cg(x) 。那在什么情況下才能用呢？要看行列式中的兩行（其中含變數(shù)x），若x等于某一數(shù)a1時，使得兩行相同，根據(jù)行列式的性質(zhì)，可使得D=0。那么x a1便是一個一次因式，再找其他的互異數(shù)使得D=0，即得到與D階數(shù)相同的互素一次因式，那么便可用此法

12、。例7.蘭州大學(xué)2004招收攻讀碩士研究生考試工試題第四大題第（1）小題。需求如下行列式的值。分析 根據(jù)該行列式的特點(diǎn)，當(dāng)時，有。但大家認(rèn)真看一下，該行列式Dn+1是一個n+1次多項式，而這時我們只找出了n個一次因式,那么能否用析因法呢？我們再仔細(xì)看一下，每行的元素的和數(shù)都是一樣的，為：，那么我們從第2列開始到第n+1列都加到第1列，現(xiàn)提出公因式，這樣行列式的次數(shù)就降了一次。從而再考慮析因法。解：令：顯然當(dāng)：時，。又為n次多項式。又中的最高次項為，系數(shù)為1，C=1因此得：點(diǎn)評 該題顯然用析因法是最簡便，但大家不要一味地只找使它等于0的數(shù)，而該最多只能有n個數(shù)使它等于0，而行列式又是n+1階是一

13、個n+1次多項式，從而我們想到的就是得用行列式的性質(zhì)把行列式的次數(shù)降低一次，使得原n+1次多項式變?yōu)橐粋€一次多項式和一個n次多項式的乘積。進(jìn)而便可求得其值。凡事要懂得變通，一道題不可能用一種方法就可以馬上解得。在析因法中，對于一個n次多項式，當(dāng)你最多只能找出r個使其行列式為零時，就要把它化為一個nr次多項式與一個r次多項式的乘積。但一般找出的使其行列式為零的個數(shù)與行列式的次數(shù)差太多時，不用本法。方法8.輔助行列式法輔助行列式法應(yīng)用條件：行列式各行（列）和相等，且除對角線外其余元素都相同。解題程序：1）在行列式D的各元素中加上一個相同的元素x，使新行列式除主對角線外，其余元素均為0；2）計算的主

14、對角線各元素的代數(shù)余子式;3)例8.大連理工大學(xué)2004年碩士生入學(xué)考試高等代數(shù)試題，第一大題填空題第2小題需求下列n階行列式的值。解：在的各元素上加上后，則有：又，其余的為零。點(diǎn)評若知道輔助行列式法的解題程序，用此法就可輕松地解出此題。但根據(jù)該行列式的特點(diǎn)，我們也可以用加邊法，把大部分元素化為零，再化為三角形行列式也可輕易解出該行列式。以下幾種方法是利用到公式，所以有的方法在這只簡單地給出其應(yīng)用，只要記住公式，會應(yīng)用就行。方法9 利用拉普拉斯定理拉普拉斯定理的四種特殊情形：151） 2）3） 4）例9 計算n階行列式：1解：方法 10 .利用范德蒙行列式范德蒙行列式：例10 計算n階行列式9

15、解：顯然該題與范德蒙行列式很相似，但還是有所不同，所以先利用行列式的性質(zhì)把它化為范德蒙行列式的類型。先將的第n行依次與第n-1行，n-2行，,2行，1行對換，再將得到到的新的行列式的第n行與第n-1行，n-2行，,2行對換，繼續(xù)仿此作法，直到最后將第n行與第n-1行對換，這樣，共經(jīng)過（n-1）+（n-2）+2+1=n（n-1）/2次行對換后，得到上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的結(jié)果得： 方法11 利用矩陣行列式公式引理：設(shè)A為型矩陣，B為型矩陣，分別表示n階，m階單位矩陣，則有5先引入一個證明題：1設(shè)A，B分別是和矩陣，證明：證明：兩邊取行列式得：又同樣兩邊取行列式有：

16、得證。那么對于分別是和矩陣，能否得到：答案是肯定的。證： 有：又 即得：對分別為和矩陣，時，有：則當(dāng)時，有：引理得證。例112003年全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷三第九題的解答中需要計算如下行列式的值。解：令矩陣則可得： 其中 那么根據(jù)上面所提到的引理可得：又 可得：方法12 利用方陣特征值與行列式的關(guān)系。也以例11為例解：顯然的個特征值為。 的個特征值為。故的特征值為 由矩陣特征值與對應(yīng)行列式的關(guān)系知：注 的特征值也可由特征值的定義得到。點(diǎn)評本題行列式比較特殊，可以用到此方法，對于其他的行列式，本方法一般不適用，在這僅給出做此方法參考。問題的推廣例11中，主對角線上的元素為 ，那么我們使得

17、主對角線上的元素為 ，個任意數(shù)，可得下列一般的行列式： 分析上面我們已經(jīng)介紹了多種方法，根據(jù)這題行列式的特點(diǎn)，每行都有相同的因子 ，所以本題適用加邊法。(本題有多種解法，據(jù)上分析，僅以加邊法推出。)解： 特別地，當(dāng)時 與例11的答案一致。以上總共給出了計算行列式的12種方法，其中一些是常見的些是最基本的方法，還有一些是特殊但很實(shí)用的方法。在課外書中還有其他的一些方法，如：極限法、換元法、導(dǎo)數(shù)法、差分法、積分法等，但這些方法用處不多，所以不加以介紹。本人認(rèn)為只要理解和掌握以上12種方法，不管哪種行列式計算，都可以迎刃而解。而且一個題目有時候要由多種解法并用，或一個題可由多種方法獨(dú)自解出，這就需看大家的靈活應(yīng)用程度，能否找出一個最簡便的方法解出其值。參考文獻(xiàn)：1、 李師正等 高等代數(shù)復(fù)習(xí)解題方法與技巧 高等教育出