高中數學選修2-1第二章圓錐曲線雙曲線概要

1、雙曲線雙曲線的簡單 幾何性質準雙 方曲 程線Nalural IxfciHh Fl 邑 丫 琮定義：如圖所示，把平面內與兩個定點F1, F2的距離的差的絕對值等于常數(小于F1F2)的點的紈跡叫做雙曲線:I I MF1 | - I MF2 | | =常數兩個定點F1, F2叫做雙曲線的焦點；兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距。雙曲線的標準方程建立宜角坐標系xOy,使x軸經過兩焦點F1,F2,y軸為線段F1F1的 垂直平分線。設M (x,y)是雙曲線上任意一點,雙曲線的焦距為2c(c>0),那么,焦 點F1,F2的坐標分別是(-c,0) ,(c,0).又設點M與F1,F2的距離的差的 絕對值等于

2、常數2a.由定義，雙曲線就是集合P= M | I | MF1 | - I MF2 I =2a 因為c>a,令c2 =a2 +b2，所以可得雙曲線的標準方程(焦點在X軸上)例1,已知雙曲線的兩個焦點分別為F1(-5,0),F2 (5, 0)雙 曲線上一點P到F1,F2距離差的絕對值等6,求雙曲線的標 準方程。解：因為雙曲線的焦點在x軸上，所以設它的標準方程(a > O, b > O)因為2a=6,2c=10,所以a=3,c=5,所以可解得b=4 所以，雙曲線的標準方程為x- 一： -練習1,已知A,B兩地相距800m,在A地聽到炮彈爆 炸聲比在B地晚2s,目.聲速為340m/s

3、,求炮彈爆炸點的軌跡方程練習2,點A,B的坐標分別是(-5, 0) , (5, 0), 在線AM,BM,相交于點M,且他們的斜率之積是4/9,試 求M的軌跡方程，并由M的軌跡方程判斷紈跡的形狀o招方程x2/a2-y2/b2_1 <a>0, b>0)化為x2/a2-1 =y2/b2。于是，雙曲 線上的點坐標(x,y)都適合x2/a21,即x2>a2,所以x-a或xa 這說明雙曲線在不等式x-a與xa所表示的區(qū)域內。寸超，性：類比橢|員I,可以容易得到，雙曲 線劣于x軸，y軸和原點都是對稱的。這是，坐標軸 年雙湖線的對稱軸，界點是雙曲線的這稱中心。 雙曲線段對稱“無吶做區(qū)曲

4、線的中心。頂,點:： 方程x2/a2y2/b2=1 (a>0, b>0)， y=o,得X=±a,胞此雙曲線和x軸仃兩個交點A1 (二 a,0),A2(a,0)o因為x軸是雙曲線的對稱軸，所以雙仙線和. 它的對稱軸有連個交由，它們叫做雙曲線的頂點。令x=0, Wy2=-b2,方程沒有實數根，說明雙曲線和y軸 沒有交點。Ps：線段A1,A2叫做雙曲線的實軸,它的長等于2a, a叫做雙曲線的半二實癡 長；線段B1,B2 （在y軸上）叫做雙玄 線的虛軸，它的（等于2bb叫做雙曲釵的半虛軸長。I嗡心'率： 雙曲線的焦距與實軸長的比為c/a,叫做 雙曲線的離心率，因為c>

5、;a>0,所以雙胞線的離心率 e=c/a>1.易知,點M的橫坐標xM越發(fā)越大.d越 來越小，但永遠不等于0.經過A1 ,A2做y軸的平行線x=±a經過 B1,B2做x軸的平行線y=±b,四條宜線 圍成一個矩形（如圖）。矩形的兩條對 角線所在直線的方程是x/a 土 y/b=O .把雙 曲線的各支向外延伸，可看到它們與這 兩條直線逐漸接近，我們把這兩條直線 叫做雙曲線的漸近線。也說，雙曲線與 它的漸近線無限接近，但永不相交。在雙曲線中，若實軸和虛粕相等，這時 四條直線圍成正方形，漸近線方程為 y= ± x,它們互相垂直J±平分雙的線實軸 和虛釉的

6、角。實軸和虛軸等長的叫等軸I方程史-占=萬瓦一 (a >0.6 >0)222L_± = 1a1 b2(a>0,b>0)焦點焦點在X軸 (wo)焦點ay軸 (0.-C).(0.c)mmx-a 或 X -a. yRyS-a 喊 yia, xGR對稱性對稱軸，x軸,y軸 對稱中心：(0, 0)峽京(-a.0) Ja.01實軸為2a成軸為2b(O.-a).(O.a) 實軸為2”，虛軸為2b崗心率CQ =ac=c/a準線Yy=±«2/c漸近線J y = ±-x aX=±by/a圖形1V主雙曲線例2:點M(x,y)到點F (5, 0

7、)的距離和它到定直線上x=6/5的比是常數5/4,求點M的軌跡。解：設d是點M到直線I的距離，根據題意,所求紈跡就是集合P=M I I MF | /d=5/4, 由此得(x-5) / I 16/5-x I 2=25/16.化簡，得 9x2-16y2=1練習2:雙曲線型冷卻的外形，是雙 曲線的一部分繞其虛軸旋轉所稱的畫 面，它的最小半徑為12m,上口半徑 為13m,下口半徑為25m,高為55m. 試選擇適當的坐標系，求此雙曲線的 方程（精確發(fā)哦1m）.練習3 ：求下列直線和雙曲 線的焦點坐標。(1) 2x-y-10=0,x2/20-y2/5=1(2) 4x-3y-16=0,x2/25-y2/16=14臺位置關系和焦點個數相離：0個交點相切：一個交點相交：一個或兩個交點x)練習4：請判斷下列直線與雙曲線之間的位置關 系(1 ) l:x=3, c:x2/9-y2/16=1(2) l:y=4/3x+1,c:x2/9-y2/16=1判斷直線與雙曲線位置關系的操作步驟(1)把直線方程代入雙曲線方程，等到一元一次方程(2)判斷，若直線與雙曲線的漸近線平行。則直線和 雙曲線相交(有一個交點)；若不平行，則計算判別 式，當>(),相交；=(),相切；&l