艾滋病檢測與評價模型

1、2011高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名

2、號的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 2011 年 9 月 11 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2011高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：確定高精度參數(shù)問題摘 要本文研究的是通過在給定假設(shè)一個生態(tài)系統(tǒng)中兩種生物捕食者和被捕食者的著名Lotka-Volterra模型中，根據(jù)大量長期積

3、累的豐富的觀測資料，確定高精度的參數(shù)模型的問題。依據(jù)題目中以時間和捕食者及被捕食的數(shù)量之間變化規(guī)律的函數(shù)關(guān)系，并在給出的初始條件的前提下，求解其余未知參數(shù)的過程。在此探究過程中，運用直接求解解析式以及最小二乘法的方法，在觀測數(shù)據(jù)無誤差的情況以及有誤差的情況下，建立非線性回歸分析模型，確定參數(shù)最優(yōu)解，同時，進一步在有誤差的數(shù)據(jù)的情況下，并根據(jù)仿真結(jié)果進行與原始模型的比較，改進數(shù)學(xué)模型，得到較為理想的參數(shù)估計。問題一、根據(jù)題意，在觀測數(shù)據(jù)無誤的情況下，已知其中一參數(shù)的確定值，求解其他5個參數(shù)的值，而根據(jù)初始值的條件，可容易得出初始值。在此，將題目中給出的模型變形，化簡，積分，得到X、Y的常微分方程

4、，在DAT1.TXT中提供的6組數(shù)據(jù)來求解4個未知參數(shù)，可將其轉(zhuǎn)化為矩陣形式，最后運用MATLAB軟件來簡化求解參數(shù)。最終結(jié)果如下所示：-2.200014764 =0.2 13.20045813 -1.222273858 9 66問題二、根據(jù)題意，同樣在觀測數(shù)據(jù)無誤的情況下，未知任意參數(shù)，確定為求得未知參數(shù)需要的組數(shù)。在此問題的分析中，在包含常數(shù)項C在內(nèi)的7個參數(shù)中，去除已知的2個初始值，將有5個待定參數(shù)，依據(jù)第一問的通解，將常數(shù)項C作為未知最后一個參數(shù)引入，進而運用最小二乘法的思想，建立誤差模型，因此將問題轉(zhuǎn)化為一個求解誤差函數(shù)最小值的優(yōu)化問題。運用MATLAB中的fminsearch函數(shù)進

5、行求解，對于解向量將第一問得到的最終解作為初始值帶入，得到最終的解為5組。問題三、在觀測數(shù)據(jù)DAT.2，DAT.3有誤差的情況下，首先對數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，依據(jù)要求，求解在某種意義下的最優(yōu)參數(shù)的解，為是參數(shù)更加地精確，運用最小二乘法，建立非線性約束方程。再次，通過二次非線性最小二乘法進行過優(yōu)化分析，尋優(yōu)函數(shù)為lsqnonlin，最后用MATLAB求解得到最終的參數(shù)如下所示。a1a2a3a4Cdat2.txt-2.13010.44813.1109-1.6478-14.0225dat3.txt-2.13570.500113.1358-1.5277-14.0125關(guān)鍵詞：參數(shù) 回歸分析模型 最小二乘法

6、MATLAB 6目 錄摘 要11 問題重述12 問題分析13 模型假設(shè)24 符號說明25 模型的建立與求解35.1 問題一的模型65.1.1 模型建立6模型I65.1.2 模型求解65.2 問題二的模型75.2.1 模型建立7模型II75.2.2 模型求解75.3 問題三的模型75.3.1 模型建立7模型III75.3.2 模型求解 76 模型的評價與改進77 參考文獻101 問題重述高精度數(shù)學(xué)模型的建立是我們在解決實際問題必須要考慮的問題。通過對大批參數(shù)進行高精度的估計，建立高精度的數(shù)學(xué)模型，進而避免在解決實際問題中出現(xiàn)的失之毫厘差之千里的情況。因此，建立數(shù)學(xué)模型的精度就成為數(shù)學(xué)模型的生命線

7、。為此人們要設(shè)法利用長期積累的豐富的觀測資料，高精度確定這些重要的參數(shù)。這里考慮較簡單的確定高精度參數(shù)問題。假設(shè)有一個生態(tài)系統(tǒng)，其中含有兩種生物，即： A生物和B生物，其中A生物是捕食者，B生物是被捕食者。假設(shè)時刻捕食者A的數(shù)目為，被捕食者B數(shù)目為，它們之間滿足以下變化規(guī)律：初始條件為：其中為模型的待定參數(shù)。通過對此生態(tài)系統(tǒng)的觀測，可以得到相關(guān)的觀測數(shù)據(jù)。觀測數(shù)據(jù)的格式依次為：觀測時刻、A生物數(shù)目、B生物數(shù)目請利用有關(guān)數(shù)據(jù)，解決以下問題：1) 在觀測數(shù)據(jù)無誤差的情況下，若已知，求其它5個參數(shù)？有關(guān)數(shù)據(jù)見數(shù)據(jù)文件：DAT1.TXT2) 在觀測數(shù)據(jù)無誤差的情況下，若也未知，問至少需要多少組觀測數(shù)據(jù)

8、，才能確定參數(shù)？有關(guān)數(shù)據(jù)見數(shù)據(jù)文件：DAT1.TXT3) 在觀測資料有誤差（時間變量不含有誤差）的情況下，請分別利用觀測數(shù)據(jù)DAT2.TXT和DAT3.TXT，確定參數(shù)在某種意義下的最優(yōu)解，并與仿真結(jié)果比較，進而改進你們的數(shù)學(xué)模型。4) 假設(shè)連觀測資料的時間變量也含有誤差，試利用數(shù)據(jù)DAT4.TXT，建立數(shù)學(xué)模型，確定參數(shù)在某種意義下的最優(yōu)解。2 問題分析本文研究的是針對Lotka-Volterra生態(tài)系統(tǒng)模型中高精度參數(shù)確定的問題，在通過對給定的長期觀測數(shù)據(jù)分析的前提下，在觀測值有誤差和無誤差的情況下，確定參數(shù)的估計的最優(yōu)解，進一步在引入的時間變量同樣含有誤差的情況下，建立參數(shù)最優(yōu)解的數(shù)學(xué)模

9、型。針對問題1，這是典型的食餌-捕食模型，根據(jù)題目中給出的方程，通過化簡、變形，得到關(guān)于X,Y的常微分方程，再通過積分，得到兩個變量的函數(shù)關(guān)系，并確定了與積分常數(shù)C的關(guān)系。對于參數(shù)來說，兩個變量的函數(shù)關(guān)系是由4個未知數(shù)的方程組成，而在題目附件Data1中給出的6組數(shù)據(jù)中，要確定4個變量，因數(shù)據(jù)給出是無誤差的，所以，可任選4組數(shù)據(jù)進行求解，結(jié)合已知的=0.2的條件，運用求解解析式的方法直接求解參數(shù)。針對問題2，基于在上一問Lotka-Volterra方程求得的通解，利用通解的函數(shù)關(guān)系，構(gòu)建誤差函數(shù)，對于參數(shù)越接近實際值，也即越精確，那么誤差會越接近于0，由此建立對誤差函數(shù)求解最小值的優(yōu)化模型，通

10、過最小二乘法來對此非線性最小值的無約束模型求解。根據(jù)測試資料DAT1，可知初始值，。運用非線性最小二乘法對參數(shù)和參數(shù)C進行估計，接著通過得到的參數(shù)對Lotka-Volterra模型進行求解，最終進行仿真的擬合，將仿真結(jié)果與原據(jù)進行比較，確定最后的測試組數(shù)。3 模型假設(shè)1、假設(shè)此生態(tài)系統(tǒng)是一個僅包含捕食與被捕食兩個種群的生態(tài)系統(tǒng)。2、假設(shè)捕食者依被捕食者生存，系統(tǒng)與外界沒有交換關(guān)系。3、假設(shè)種群自身的增值變化速率與t時刻種群的數(shù)量成正比。4 符號說明表 1 符號說明表符號描述時間T時刻捕食者A的數(shù)目T時刻捕食者B的數(shù)目第K個參數(shù)值5 模型的建立與求解5.1問題一5.1.1模型分析在題目中假設(shè)的一

11、個生態(tài)系統(tǒng)兩種生物的情形下，A生物作為捕食者，B生物作為被捕食者，在觀測數(shù)據(jù)無誤的情況下和已知參數(shù)=0.2求解其他未知參數(shù)的Lotka-Volterra模型，這可以歸結(jié)為一個非線性的微分方程，在通過一系列的變形，積分整理，求得通解，易知在含有4個未知參數(shù)而有六組數(shù)據(jù)的情況下，建立的方程為超定方程。繼而，將此超定方程轉(zhuǎn)化為矩陣形式運用MATLAB進行求解，最終求得參數(shù)值。5.1.2模型的建立對于題目中所給的t時刻捕食者A與被捕食者B數(shù)目之間滿足的變化規(guī)律： （1）可以知道（1）式為非線性微分方程，對其變形整理得： （3）將（3）式中兩式相比得： （4）對（4）式進行移項變形得： （5）將（5）式

12、兩邊同時積分并整理得： （6）等式兩邊同時除以（為任意非0常數(shù)）得： （7）令，方程變?yōu)椋?（8）（8）式共4個未知數(shù)而由data1.txt提供的數(shù)據(jù)共有6組，方程（8）為超定方程。超定方程可以利用MATLAB進行求解，首先將方程轉(zhuǎn)化為以下矩陣形式：其中， ， A為系數(shù)矩陣，x為未知數(shù)矩陣，b為常數(shù)矩陣，當(dāng)x滿足時，x為的最小二乘解。此求解過程可在MATLAB中用來進行簡化計算。5.1.3模型的求解MATLAB程序如下：clc,clearload dat1.txtx=dat1(1:6,2);y=dat1(1:6,3);A=log(y) y -log(x) -x;b=1;1;1;1;1;1;x=

13、Ab;c=0.2/-0.014264104561283012795325220167797;x=x*c；x=vpa(x,10)解得：x = -2.200014764 0.2 13.20045813 -1.222273858而和分別為x和y在t=0時的初始值，由data1.txt中的數(shù)據(jù)k可知、所以6個參數(shù)分別為： 表2 最小二乘法（）的值-2.2000147640.213.20045813-1.2222738589665.2問題二5.2.1模型分析在未知的情況下，共有包括常數(shù)項C在內(nèi)的7個未知數(shù)，而和分別為x和y在t=0時的初始值，由data1.txt中的數(shù)據(jù)k可知、，因此和可視為已知量，此時

14、共有5個未知數(shù)待定，因此至少需要5組數(shù)據(jù)進行求解。5.2.2模型的建立在有一定量觀測數(shù)據(jù)的情況下，我們的目標(biāo)是求解最佳參數(shù)，使得觀測數(shù)據(jù)和方程組的解盡可能的接近，因此采用最小二乘思想，建立非線性回歸分析模型： （9）此處令常數(shù)項，則由此得到的模型為： （10）5.2.3模型的求解通過求解該優(yōu)化問題，就可以確定參數(shù)向量用MATLAB中的fminsearch函數(shù)進行求解，此處的所需要的參數(shù)向量的初始值選用問題一中所求結(jié)果即，MATLAB求解程序命令為：clc,clearload dat1.txtx=dat1(1:3,2,3);c=-2.2,0.2,13.2,-1.222,-14.0212;f=(a

15、)(a(1)*log(x(2)+a(2)*x(2)-a(3)*log(x(1)-a(4)*x(1)-a(5).2;c=-2.2 0.2 13.2005 -1.2223 -13.9860;a,sfval,sexit=fminsearch(f,c)解得5.3.第三問5.3.1模型分析與建立本題要求在觀測資料有誤差的情況下，根據(jù)觀測數(shù)據(jù)DAT.2，DAT.3，確定未知參數(shù)在某種意義下的最優(yōu)解。由于測量資料的誤差，首先應(yīng)先對原始數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，在有很多觀測資料的情況下，我們的目標(biāo)是求解最佳參數(shù)，使得觀測數(shù)據(jù)和方程組的解盡可能的接近，因此，同樣采用最小二乘法的思想，建立非線性回歸分析模型： （11）其中

16、： （12）通過求解該優(yōu)化問題，就可以確定出參數(shù)向量。通過二次非線性最小二乘法進行過優(yōu)化分析，尋優(yōu)函數(shù)為lsqnonlin。分別有dat2.txt和dat3.txt中的數(shù)據(jù)進行計算，MATLAB程序如下：clc,clearload dat2.txtx=dat2(1:151,2,3);f=(a)(a(1)*log(x(2)+a(2)*x(2)-a(3)*log(x(1)-a(4)*x(1)-a(5).2);c=-2.2 0.2 13.2005 -1.2223 -13.9860;%Z=-2.2*log(x(2)+0.2*x(2)-13.2*log(x(1)+1.222*x(1)+14.0212;%

17、options=optimset('lsqnonlin');%options.Display='off'a,norm,res,ef,out,lam,jac=lsqnonlin(f,c)5.3.2模型的求解運行結(jié)果如下表3所示：表3a1a2a3a4C誤差平方和dat2.txt-2.13010.44813.1109-1.6478-14.02250dat3.txt-2.13570.500113.1358-1.5277-14.01259.29E-19根據(jù)結(jié)果顯示，對觀測數(shù)據(jù)DAT.2.DAT.3進行誤差分析,由DAT2.TXT得到的參數(shù)誤差的平方和較小，擬合效果較好，結(jié)

18、果更為精確，符合高精度的參數(shù)的要求。6 模型的評價與改進本文根據(jù)著名的Lotka-Volterra模型，首先對有誤差的數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，據(jù)此構(gòu)造誤差函數(shù)建立非線性的回歸分析模型，運用最小二乘法進行參數(shù)的估計，由此求解得到未知參數(shù)。對于問題一，利用六組無誤差的觀測數(shù)據(jù)，在進行微分方程的變形與積分后，在對超定方程的求解中，轉(zhuǎn)化為矩陣并利用最小二乘的方法求得最終的參數(shù)解。在此過程中，誤差的來源不存在數(shù)據(jù)本身的誤差，只能來源于矩陣求逆過程和矩陣乘法運算的截斷誤差，提高了計算過程中數(shù)據(jù)的精度就可以提高模型參數(shù)的精度，為此，本題中的精度是易控制的。對于問題二，在利用DAT1.TXT的觀測數(shù)據(jù)求解參數(shù)的過程中，為使觀測值與方程組的解接近，建立的非線性回歸分析模型，直接來自真實數(shù)據(jù)的精度自然得到保證。對于問題三，在利用多組誤差觀測數(shù)據(jù)中得到的參數(shù)的過程中，在經(jīng)行數(shù)據(jù)預(yù)處理的過程中，因方法的不同，數(shù)