翻譯Particle-Based Anisotropic Surface Meshing

1、 Particle-Based Anisotropic Surface Meshing摘要本文介紹了一種基于粒子的各向異性表面網(wǎng)格劃分方法。給定一個(gè)輸入多邊形網(wǎng)格賦予了一個(gè)黎曼度量和指定數(shù)量的頂點(diǎn)，該方法生成一個(gè)度量適應(yīng)網(wǎng)格。主要思想包括映射各向異性空間為高維各向同性的一個(gè)，稱為“嵌入空間”。網(wǎng)格的頂點(diǎn)是由均勻采樣的表面，在這個(gè)高維嵌入空間，并通過(guò)優(yōu)化的能量函數(shù)的準(zhǔn)牛頓算法的采樣進(jìn)一步正規(guī)化。所有的計(jì)算可以重新表示在嵌入的點(diǎn)積空間，和連接不同空間的映射的矩陣。這種轉(zhuǎn)換使得它不需要顯式表示嵌入空間中的坐標(biāo)，并提供有效計(jì)算的所有必需的能量和力的表達(dá)式。通過(guò)能量?jī)?yōu)化，它自然會(huì)導(dǎo)致在原來(lái)的空間所需的各

2、向異性粒子分布。通過(guò)計(jì)算的限制的各向異性，然后生成的三角形Voronoi圖和其對(duì)偶Delaunay三角剖分。我們比較我們的研究結(jié)果定性和定量與國(guó)家的最先進(jìn)的在各向異性表面網(wǎng)格劃分的幾個(gè)例子，使用標(biāo)準(zhǔn)的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)。1引言各向異性嚙合提供了一種高度靈活的控制方式網(wǎng)格生成，通過(guò)讓用戶規(guī)定一個(gè)方向和密度場(chǎng)，肉牛的形狀，大小和網(wǎng)格對(duì)齊。在流體動(dòng)力學(xué)模擬中，通常需要有細(xì)長(zhǎng)的網(wǎng)格單元，具有期望方向和長(zhǎng)寬比由一個(gè)黎曼度量張量場(chǎng) alauzet和loseille給定2010 。對(duì)于曲面造型，在逼近理論中證明了二者的最佳逼近光滑曲面有一個(gè)給定的三角形的數(shù)目時(shí)，實(shí)現(xiàn)的各向異性三角形遵循曲率特征值和特征向量張量辛普森1

3、994；Heckbert和花環(huán)1999 。這可以從圖2中的橢球面容易看出的兩個(gè)主曲率Kmax /平方公里的比例接近1靠近橢球的兩端，高達(dá)100中間部分。沿方向的各向異性三角形在橢球體中部最小曲率提供最好的近似，而各向同性的三角形是必要的，在其兩端。在本文中，我們提出了一種新的各向異性網(wǎng)格劃分方法表面賦予了一個(gè)黎曼度量。我們依靠particlebased的方案，其中每對(duì)相鄰顆粒的裝備高斯能量。它已被證明威肯和Heckbert1994 把這個(gè)成對(duì)的高斯能量最小化，導(dǎo)致粒子的均勻各向同性分布。計(jì)算各向異性網(wǎng)格上配備的黎曼度量概念的表面，我們利用一個(gè)高維的“嵌入空間”納什1954；柯伊伯1955 。我

4、們的方法優(yōu)化的位置頂點(diǎn)，或顆粒，通過(guò)均勻采樣的輸入表面的高維嵌入。這個(gè)嵌入是設(shè)計(jì)的這樣一種方式，當(dāng)投影回原來(lái)的空間（通常是二維或三維），均勻采樣變各向異性的尊重輸入度量。直接引用到更高的三維嵌入是避免重新表達(dá)所有的計(jì)算中的條款在高維空間中的點(diǎn)積，以及連接不同空間的映射的矩陣?；诖酥匦卤磉_(dá)式，我們得到原則的能量和力模型，有效地計(jì)算在原來(lái)的流形上的準(zhǔn)牛頓優(yōu)化算法。最后，三角形是由計(jì)算限制各向異性Voronoi圖和提取其連接部件的雙重。本文提出了以下的貢獻(xiàn)，有效地產(chǎn)生高品質(zhì)的各向異性網(wǎng)格：它介紹了一種新的基于粒子的各向異性制劑嚙合。它定義成對(duì)的高斯能量和力量在粒子之間，并制定能源優(yōu)化的高維“嵌入空

5、間”。我們進(jìn)一步展示了如何各向異性嚙合可以轉(zhuǎn)化為各向同性的嚙合在這個(gè)高維嵌入空間（美國(guó)證券交易委員會(huì)。3.1）。這個(gè)能量被設(shè)計(jì)成這樣一種方式，粒子均勻地分布在這個(gè)高維空間的表面上。當(dāng)能量被優(yōu)化，相應(yīng)的粒子在原來(lái)的歧管將實(shí)現(xiàn)所需輸入度量的各向異性采樣。它提出了一種計(jì)算上可行的和有效的方法為我們的能量?jī)?yōu)化（美國(guó)證券交易委員會(huì)。3.2）。高維能量函數(shù)和它的梯度被映射回原來(lái)的空間，其中的粒子可以直接優(yōu)化。這種計(jì)算方法避免了計(jì)算的需要高維嵌入空間。這樣的能量?jī)?yōu)化策略顯示了非?？焖俚氖諗克俣龋蝗魏涡枰鞔_控制粒子的人口（例如，插入或刪除粒子以滿足所需的各向異性。2背景及相關(guān)作品2.1各向異性的定義各向

6、異性表示距離和角度扭曲。幾何，距離和角度可以用點(diǎn)積測(cè)量：V，W，這是一個(gè)雙線性函數(shù)映射對(duì)矢量對(duì)點(diǎn)產(chǎn)品是對(duì)稱的，積極的，明確的（SPD）。如果點(diǎn)積與另一個(gè)SPD雙線性形式所取代，然后各向異性空間的定義。我們認(rèn)為，一個(gè)度量M（。），即一個(gè)SPD雙線性形式，定義在域RM。換句話說(shuō)，在一個(gè)給定的點(diǎn)x，點(diǎn)積兩向量V和W之間的V，WM（X）。在實(shí)踐中，度量可以表示為一個(gè)對(duì)稱的米米矩陣米（），在這種情況下，點(diǎn)產(chǎn)品成為：v, wM(x) = vT M(x)w. (1)The metric matrix M(x) can be decomposed with Singular ValueDecompositio

7、n (SVD) into:M(x) = R(x)T S(x)2R(x), (2)where the diagonal matrix S(x)2 contains its ordered eigenvalues,and the orthogonal matrix R(x) contains its eigenvectors. We notethat a globally smooth field R(x) may not exist for surfaces ofarbitrary topology.對(duì)于度量設(shè)計(jì)，我們使用以下2個(gè)選項(xiàng)：（1）在我們的一些實(shí)驗(yàn)中，我們開(kāi)始設(shè)計(jì)一個(gè)平滑的縮放場(chǎng)（）和

8、一個(gè)旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的旋轉(zhuǎn)（），這是光滑的區(qū)域以外的那些奇點(diǎn)，并組成他們到（）=（）（）和米（）=（）（），這和杜等人是一樣的鋁。 2005 。它們被定義在曲面的切空間上。假設(shè)S1和S2在兩對(duì)角項(xiàng)（x）對(duì)應(yīng)的切空間的兩個(gè)特征向量，S2和S1。我們簡(jiǎn)單的叫S2 S1作為拉伸比。這個(gè)過(guò)程將發(fā)揮作用后來(lái)當(dāng)用戶指定所需的輸入度量（美國(guó)證券交易委員會(huì)。5）。（2）注意到，如果用戶由用戶提供，則分解為問(wèn)（）是非唯一的。等效分解法（）=問(wèn)：（x）（x）是不去任何給定矩陣Qo（x）= O（x）Q（x），（）是一個(gè)米米的正交矩陣。換句話說(shuō)，問(wèn)（）是唯一的旋轉(zhuǎn)。然而，它很容易證明，如果SPD度量m（x）是給定的，它的平方

9、根Q（x）=M（X）也是一個(gè)SPD矩陣，和這種分解是唯一的（ 1985 的喇叭和約翰遜7.2.6定理）和光滑（ 1968 的Freidlin 2定理）。（）是一個(gè)對(duì)稱的仿射映射：q（）=（）（）= q（）。在美國(guó)證券交易委員會(huì)。5.1，我們使用“網(wǎng)格字體”的例子來(lái)顯示，在我們的框架中，q（）可以很好地工作，給出一個(gè)用戶指定的光滑度量字段米（）。It is interesting to note that if the metric tensor field is given as:M(x) = (x) m 2 I,where (x) : R and I is the identity matr

10、ix, then M(x) defines an isotropic metric graded with the density function (x).給出的度量字段M（x）和一個(gè)開(kāi)放的曲線C，長(zhǎng)度被定義為切向量的長(zhǎng)度的積分用公制米（）。然后，各向異性距離2點(diǎn)之間的數(shù)據(jù)，可以被定義為長(zhǎng)度的（可能是非唯一）最短的曲線，連接和Y。2.2以前的作品各向異性Voronoi圖：通過(guò)用公制定義的一個(gè)點(diǎn)的產(chǎn)品來(lái)代替，各向異性可以計(jì)算幾何中，引入標(biāo)準(zhǔn)概念的定義例如，Voronoi圖和Delaunay三角剖分。最一般的設(shè)置是由曼Voronoi圖 2000 ，取代leibon和Letscher定義的各向異性

11、距離數(shù)據(jù)挖掘（）的距離。一些理論上的結(jié)果是眾所周知的，尤其是曼Voronoi圖承認(rèn)有效的雙只有2維 boissonnat等人。2012 。然而，一個(gè)實(shí)際的執(zhí)行情況仍在達(dá)到 Peyre等人。2010 。為此，兩簡(jiǎn)化用于計(jì)算各發(fā)電機(jī)的Voronoi單元西：VorLabelle(xi) = y|dxi(xi, y) dxj(xj, y), jVorDu(xi) = y|dy(xi, y) dy(xj, y), jwhere:dx(y, z) = (z y)T M(x)(z y).第一個(gè)定義vorlabelle 2003 Shewchuk貝兒和容易分析的理論。二次曲面的平分線，已知的封閉形式，和一個(gè)可

12、證明的正確的Delaunay細(xì)化算法可以定義。如此定義的各向異性Voronoi圖（AVD）也可以看作一個(gè)投影高維動(dòng)力圖 boissonnat等人。2008A 。這個(gè)第二定義vordu 杜、王2005 是最適合于勞埃德松弛法在計(jì)算中的應(yīng)用各向異性Voronoi結(jié)構(gòu)。質(zhì)心Voronoi及其各向異性的版本：一個(gè)質(zhì)心Voronoi（無(wú)級(jí)變速器）是一個(gè)Voronoi圖這樣每個(gè)點(diǎn)西恰逢其Voronoi質(zhì)心細(xì)胞。無(wú)級(jí)變速器可以通過(guò)勞埃德松弛勞埃德1982 或準(zhǔn)牛頓能量?jī)?yōu)化求解劉等人計(jì)算。2009 。它產(chǎn)生一個(gè)常規(guī)采樣杜等人。1999，從中一個(gè)很好的形狀各向同性元素Delaunay三角網(wǎng)被提取。在表面嚙合的情

13、況下，可以推廣這個(gè)定義通過(guò)使用短程Voronoi圖 2004 科恩Peyre和表面。使計(jì)算更簡(jiǎn)單便宜的，它有可能取代短程Voronoi圖與受限Voronoi圖（RVD）或約束Delaunay三角網(wǎng)（RDT），在 1994 定義Edelsbrunner和Shah并通過(guò)幾個(gè)網(wǎng)格算法，看到他們和雷 2010 此處參考文獻(xiàn)。因此受限Voronoi鑲嵌可以定義杜等人。2003 。隨著計(jì)算受限Voronoi圖的一種有效算法，限制無(wú)級(jí)變速器可用于各向同性表面網(wǎng)格燕等人。2009 。CVT是無(wú)級(jí)變速器（裝甲戰(zhàn)車(chē)技術(shù)進(jìn)一步推廣到各向異性）杜等。 2005 用定義vordu在式（4）。在每一個(gè)勞埃德迭代，各向異性

14、Delaunay三角剖分與給定的黎曼度量需要建構(gòu)，這是一個(gè)耗時(shí)的運(yùn)行。瓦萊特等人。 2008 提出了一種離散逼近通過(guò)聚類的密集預(yù)三角的頂點(diǎn)的裝甲戰(zhàn)車(chē)技術(shù)域。這個(gè)離散的版本比杜等人快得多。連續(xù)的裝甲戰(zhàn)車(chē)技術(shù)方法，在輕度退化為代價(jià)網(wǎng)格質(zhì)量。太陽(yáng)等。 2011 介紹了六角形的閔可夫斯基度量為裝甲戰(zhàn)車(chē)技術(shù)優(yōu)化，為了抑制鈍角三角形。相比這些裝甲戰(zhàn)車(chē)技術(shù)方法，我們基于粒子在能量?jī)?yōu)化方案避免了中間的迭代AVD的建設(shè)，從而顯示了更好的性能在美國(guó)證券交易委員會(huì)。6.1高維空間中的曲面網(wǎng)格劃分：嵌入在高維空間中的一致嚙合面也已在文獻(xiàn)卡納斯和Gortler 2006Kovacs等人的研究。2010；征收bonnee

15、l 2012。Levy和工作bonneel 2012 是我們最相關(guān)的，因?yàn)閮烧叨伎梢员豢醋魇窃诟呔S嵌入空間中的能量?jī)?yōu)化框架。他們延長(zhǎng)了CVT的計(jì)算一個(gè)6D空間以達(dá)到曲率適應(yīng)。特別是，在三維表面上的各向異性嚙合轉(zhuǎn)化為各向同性表面上嵌入在6D空間，可CVT配備Voronoi平行直線枚舉征收bonneel 2012有效地計(jì)算。然而，它不為用戶提供靈活的控制，通過(guò)輸入度量張量場(chǎng)的各向異性。我們的方法是設(shè)計(jì)來(lái)處理更多一般各向異性嚙合的情況下，用戶所需的度量是規(guī)定?；贒elaunay三角剖分細(xì)化：在Delaunay三角網(wǎng)的點(diǎn)插入各向異性版本已成功地應(yīng)用于許多實(shí)際應(yīng)用 borouchaki等人。這boro

16、uchaki等人。1997b；Dobrzynski和弗雷2008 。boissonnat等人。 2011 2008b；介紹了Delaunay細(xì)化的框架，它是基于目標(biāo)制定圍繞每一個(gè)頂點(diǎn)的恒星組成的三角形正三角與西度量。整齊為“縫合”相鄰的頂點(diǎn)的星星，提出了細(xì)化算法，以增加新的頂點(diǎn)，逐步實(shí)現(xiàn)最終各向異性嚙合。我們的方法是不同的，包括優(yōu)化的網(wǎng)格中的所有頂點(diǎn)。另一個(gè)區(qū)別是我們計(jì)算的連接組件的雙重交會(huì)對(duì)接燕等人。2009 代替RDT。在美國(guó)證券交易委員會(huì)6.3的結(jié)果進(jìn)行了比較?；诹Ｗ拥母飨虍愋跃W(wǎng)格劃分：土耳其 1992 介紹了排斥點(diǎn)網(wǎng)格的樣本多邊形網(wǎng)格的目的。后來(lái)擴(kuò)展Witkin和Heckbert 1

17、994 誰(shuí)用配成對(duì)的粒子高斯能量樣本與控制隱式曲面。邁耶等。 2005 制定能源核作為一種改進(jìn)的有限支持余切函數(shù)，顯示核心幾乎是尺度不變相比，高斯核。后來(lái)擴(kuò)展到處理自適應(yīng)，各向同性網(wǎng)格的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)模型布朗森等。2012 隨著粒子在參數(shù)中的移動(dòng)每一個(gè)曲面的空間。所有這些方法都只是針對(duì)表面各向同性采樣。處理各向異性網(wǎng)格，博森Heckbert 1996 納入度量張量為距離函數(shù)d（x，y），和用F（x，y）=（1D（x，y）4）exp（D（x，y）4）模型的粒子之間的吸引力和排斥力作用。島田和他的同事們提出了基于物理的“泡沫”標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)組成的群眾，阻尼器，和線性彈簧島田和樂(lè)隊(duì)的1995；該等。

18、1997；山川和島2000 。他們用一個(gè)有界立方函數(shù)的距離來(lái)模擬氣泡間的作用力，并進(jìn)一步把球泡轉(zhuǎn)換為各向異性嚙合的擴(kuò)展到橢球形的。兩博森等人。與島田等人的作品。需要?jiǎng)討B(tài)的人口控制計(jì)劃，自適應(yīng)插入或刪除某些區(qū)域中的粒子/氣泡。因此，如果初始沒(méi)有一個(gè)很好的估計(jì)所需粒子數(shù)要填充域，它需要很長(zhǎng)的時(shí)間來(lái)收斂。本文提出的方法是非常相似的想法自適應(yīng)平滑粒子流體動(dòng)力學(xué)（ASPH）夏皮羅等。1996 利用粒子間的高斯核各向異性平滑張量。然而，在美國(guó)證券交易委員會(huì)。3.3，ASPH直接制定能源在原來(lái)的空間沒(méi)有利用嵌入空間概念。來(lái)計(jì)算力顆粒，不同的度量張量的梯度，必須被忽略由于數(shù)值困難。這種治療將導(dǎo)致不準(zhǔn)確的在計(jì)算

19、網(wǎng)格中的各向異性如圖4所示，當(dāng)有輕微或顯著的變化的度量。逼近理論的關(guān)系：它已經(jīng)在逼近 dazevedo理論研究1991，2002 ；Shewchuk各向異性與一個(gè)給定的分段線性函數(shù)的最佳逼近的數(shù)量相關(guān)三角元素。最優(yōu)網(wǎng)格的各向異性特點(diǎn)，優(yōu)化算法，可以設(shè)計(jì)到最好的近似給定函數(shù)。通過(guò)loseille和alauzet 2011A介紹連續(xù)網(wǎng)格的概念；由于提供線性插值誤差和網(wǎng)格方之間的關(guān)系，這導(dǎo)致了高效的各向異性網(wǎng)格自適應(yīng)算法。各向異性網(wǎng)格和近似理論之間的關(guān)系也被研究了高階有限元素米爾博和科恩2010；米爾博和科恩2012 ，這導(dǎo)致了一個(gè)高效的貪婪的分割算法生成最優(yōu)網(wǎng)格。其他相關(guān)工作：本文僅側(cè)重于各向異性

20、的三角網(wǎng)格劃分不同于其他處理各向異性的四個(gè)主網(wǎng)格阿里亞茲等人。2003；Kovacs et al.。2010；征收與劉2010；張等。2010 。各向異性的概念也被適用于藍(lán)色噪聲樣本生成李等人。2010 。3粒子方法考慮到每一個(gè)頂點(diǎn)作為一個(gè)粒子，粒子間的勢(shì)能決定了粒子間的作用力。當(dāng)每一個(gè)粒子的作用力就變成了平衡，粒子達(dá)到最佳平衡狀態(tài)的均勻分布。處理各向異性網(wǎng)格，利用概念“嵌入空間” 1955 納什1954；柯伊伯。在這樣的高維嵌入空間，度量是一致的和各向同性的。當(dāng)力量在這個(gè)嵌入空間中的每一個(gè)粒子達(dá)到平衡，原始流形上的粒子分布將表現(xiàn)出所需各向異性?；究蚣埽航o定的氮粒子與它們的位置= =西|我=

21、 1。.n 表面上這是嵌入在RM的空間，我們定義粒子之間的粒子間的能量，我和：eij = E西XJ242。（5）這里，稱為內(nèi)核的寬度，是固定的標(biāo)準(zhǔn)偏差高斯核。在美國(guó)證券交易委員會(huì)。4.1我們將討論如何選擇一個(gè)適當(dāng)大小的。顯然，eij =俄籍。關(guān)于XJ的梯度的概念可以認(rèn)為是力基金粒子在粒子上的應(yīng)用：fij概念XJ =（十一XJ）22 E西XJ242。（6）類似于牛頓的運(yùn)動(dòng)第三定律，我們fijfij。我們要注意，公式公式（6）是相似的粒子斥力和吸引力的威肯和Heckbert 1994思想。通過(guò)最小化總能量E =我J=我的概念與LBFGS 劉和Nocedal 1989 ，我們可以得到一個(gè)均勻各向同性

22、采樣，其中每個(gè)粒子的作用力達(dá)到平衡。它是在附錄中顯示，這個(gè)粒子為基礎(chǔ)的能量配方基本上是相當(dāng)于法塔勒的核的配方 2011 ，為均勻各向同性。不過(guò)法塔勒的方法不處理各向異性的情況。非均勻各向同性的情況下，我們的分析在附錄中顯示的差異尊重人的做法，從理論觀點(diǎn)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果。3.1各向異性情況圖3的左上方圖像顯示一個(gè)二維度量的表示字段米顯示一組點(diǎn)（黑點(diǎn)）和他們的相關(guān)單位圓（的豆形曲線，對(duì)應(yīng)于集等距的點(diǎn)到每個(gè)黑點(diǎn)）。左下角圖3顯示了由這樣的度量域控制的理想網(wǎng)格：三角形邊的長(zhǎng)度，在各向異性的距離，是接近相等。對(duì)于這個(gè)簡(jiǎn)單的例子，圖3，可以看到，左上方的圖像可以被視為表面的頂部圖像“看到”從上面。換句話說(shuō)，通過(guò)

23、嵌入平面二維域作為一個(gè)曲面在三維，可以重鑄的各向異性網(wǎng)格為各向同性的嚙合表面嵌入在高維空間問(wèn)題。在一般情況下，對(duì)于一個(gè)任意的度量米，高維空間需要納什1954；柯伊伯1955 。我們現(xiàn)在認(rèn)為表面映射到是嵌入在一個(gè)更高的維度空間RM。我們只稱RM作為本文的嵌入空間。假設(shè)映射函數(shù)：，哪里RM，RM，和MM.我們表示粒子的位置上這面X = 西|西=（西），i = 1。.氮。均勻采樣可以通過(guò)改變粒子間的計(jì)算能量函數(shù)的概念（5）公式如下，因此定義的概念：eij = E系2Jx 2。（7）關(guān)于XJ的概念，即梯度，在嵌入力基金空間，可以定義為：fij概念XJ =（十一XJ）22 E西XJ242。（8）3.2我

24、們的計(jì)算方法我們?cè)诒竟?jié)沒(méi)有提到如何優(yōu)化的概念在嵌入空間的坐標(biāo)。從美國(guó)證券交易委員會(huì)的介紹。2.1，我們已經(jīng)看到了介紹各向異性意味著改變點(diǎn)積的定義。如果我們考慮了兩種小位移V和W從一個(gè)給定的位置X，然后轉(zhuǎn)化為v = J（x）VW = J（x）W，其中J（x）表示Jacobian矩陣在X。在體積和瓦之間的點(diǎn)積：V，W= VT J（x）T J（x）W = VT M（x）W（9）換句話說(shuō)，給定的嵌入功能，各向異性M對(duì)應(yīng)于第一基本形式。如果我們現(xiàn)在假設(shè)各向異性米（）是已知的，但不是嵌入函數(shù)，它仍然是可以計(jì)算兩個(gè)向量之間的內(nèi)積在一個(gè)給定的點(diǎn)上嵌入空間。我們的力量近似背后的想法可以解釋如下。我在一個(gè)給定的粒

25、子，不同的相鄰的一對(duì)（我，J1）和（我，J2）可以配備不同的指標(biāo)（如mij1和mij2以及不同的雅可比矩陣Jij1和jij2）。兩者之間的區(qū)別J噴墨編碼局部粒子即度量的變化Jij包括“度量”的一部分（qij）和“嵌入”旋轉(zhuǎn)部分（我們）（方程（19）。我們將在中用來(lái)切平面嵌入空間中的原始空間。我們的方法采用鄰近度量qij的精確變化，和接近嵌入旋轉(zhuǎn)wij無(wú)線在式（19）。因此，嵌入旋轉(zhuǎn)的變化被忽略在每個(gè)粒子的附近，但度量的變化。綜上所述，我們可以優(yōu)化的均勻各向同性采樣與近似的能量方程（12）和力（21）采用L-BFGS算法公式。他們都使用粒子計(jì)算位置X，連同度量M.如果M是由用戶，我們利用它的平方

26、根問(wèn)代替Q在式（21）。雖然我們利用優(yōu)雅的“嵌入空間”的概念，以幫助開(kāi)發(fā)我們制定的各向異性嚙合，我們不需要計(jì)算這樣一個(gè)嵌入空間。3.3嵌入空間的重要性各向異性網(wǎng)格的局部定義的黎曼度量m，仿射變換的三角形為“單位”的空間，而執(zhí)法轉(zhuǎn)化為均勻的等邊三角形。因此，它是自然的，直接定義的能量?jī)?yōu)化問(wèn)題，在這個(gè)“單元”空間。然而，每個(gè)點(diǎn)上的指標(biāo)可以是不同的。沒(méi)有建立一個(gè)連貫的“單位”的空間，我們無(wú)法描述這些本地的“單位”空間的仿射副本可以“縫合”在一起。我們的方法一致認(rèn)為所有這些地方“單位”的空間表面嵌入到高維空間。我們的能量在式（7）的設(shè)計(jì)是通過(guò)定義“各向異性”的仿射變換的三角形在應(yīng)均勻等邊（應(yīng)均勻分布的

27、顆粒）。這個(gè)定義也導(dǎo)致軍隊(duì)式的非常有效的計(jì)算（21）。我們要強(qiáng)調(diào)的是：不使用這個(gè)嵌入空間，能量函數(shù)的定義和相應(yīng)的力公式與各向異性的定義是不一致的網(wǎng)格，從而導(dǎo)致不正確的結(jié)果。如果我們不使用這個(gè)高維嵌入空間，能量最直觀的表述將式（12）。我們?cè)敿?xì)說(shuō)明，并給出一些比較下面。忽略度量的梯度（ASPH的方法）：我們需要注意的是公制米ij在式（12）是依賴于粒子xi和xj的位置。因此，力的制定將涉及我關(guān)于XJ的梯度，這是數(shù)值很難計(jì)算。在自適應(yīng)方法光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)（ASPH）夏皮羅等人。1996 ，他們用粒子高斯核和納入各向異性平滑內(nèi)核定義粒子間的勢(shì)能，這類似于方程（12）。然而，在他們的論文中提到（美國(guó)

28、證券交易委員會(huì)。2.2.4 夏皮羅等人。1996）公制術(shù)語(yǔ)的梯度計(jì)算梯度等粒子間能量時(shí)忽略。從而導(dǎo)致以下ASPH力公式：b ij Mij(xi xj)22 e(xixj )T Mij (xixj )42不難看出，公式（24）與式（21）只需更換qij與我。因此，如果度量領(lǐng)域是不恒定的，這兩者力將導(dǎo)致不同的局部極小。我們的方法在公式（21）只忽略了在每個(gè)粒子的鄰域嵌入旋轉(zhuǎn)的變化，而變化的指標(biāo)占。正如我們?cè)趫D4實(shí)驗(yàn)中所證實(shí)的那樣，這有一個(gè)可測(cè)網(wǎng)格質(zhì)量的可測(cè)性。忽略了矩陣的變化：另一個(gè)近似是應(yīng)用偽逆的矩陣在方程的矩陣表示（14）。在式（14）是不同的，你知道不同的鄰居如果我們近似JIJ吉在式（14）

29、，然后運(yùn)用集偽逆，我們到達(dá)配方（無(wú)領(lǐng)導(dǎo)嗎或qij）如下：F B ij（西XJ）22 E我們強(qiáng)調(diào)差異與我們的方法：這種變化是近似JIJ吉在式（14），而我們的方法逼近我們的無(wú)線在式（19）。正如上面提到的，你知道有“度量”部分和“嵌入”旋轉(zhuǎn)qij部分我們。因此，姬JIJ近似將“擦除”相鄰顆粒間度量的變化。要看他們對(duì)各向異性網(wǎng)格生成的不同影響，我們?cè)诙S正方形域進(jìn)行能量?jī)?yōu)化三選擇的力量：（1）我們的力量在式（21）；（2）的在式（24）和pH的力；（3）式中的力（25）。如圖在圖4中，二維正方形域配備背景張量場(chǎng)：M（x）=診斷伸展（x）2,1 ，其中場(chǎng)拉伸（x）是在0.577,9 范圍。在這個(gè)實(shí)驗(yàn)

30、中，我們使用空間非均勻性度量領(lǐng)域，如果米（）是空間均勻的，然后所有的三個(gè)力量將導(dǎo)致相同的粒子配置。生成質(zhì)量的比較測(cè)量各向異性網(wǎng)格顯示在圖4，與三角形區(qū)域的質(zhì)量加雷亞，角度直方圖，GMIN，gavg，min，AVG，%30，這是在美國(guó)證券交易委員會(huì)的定義。4.5。顏色編碼三角區(qū)我們的方法的質(zhì)量顯示，計(jì)算三角形的面積使用我們的力量是均勻的（所有接近1），這意味著三角形的大小是符合所定義的所需的密度度量張量。從這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，我們可以看到表演式中使用我們的能量?jī)?yōu)化（21）生成的理想各向異性網(wǎng)格，同時(shí)使用其他2個(gè)優(yōu)化的能量在式（24）和替代力量方程（25）不能，這說(shuō)明在嵌入空間中制定能量?jī)?yōu)化我們的近似導(dǎo)致

31、間的力量的原則制定。4實(shí)現(xiàn)和算法細(xì)節(jié)我們的基于粒子的方法是歸納算法。1下面。幫助再現(xiàn)我們的結(jié)果，我們進(jìn)一步詳細(xì)的每個(gè)組件的算法和實(shí)施問(wèn)題。4.1內(nèi)核寬度粒子間的能量定義在式（5）取決于選擇該固定核寬。在2距離這個(gè)能量峰的斜坡，它是接近零更小或更大距離。如果選擇過(guò)小則顆粒幾乎停止當(dāng)他們傳播分離約52，因?yàn)橛袔缀鯖](méi)有粒子之間的力量。如果選得太大附近的顆粒不能互相排斥和由此產(chǎn)生的采樣模式將是窮人。在這項(xiàng)工作中，我們選擇成比例平均每個(gè)粒子的“半徑”當(dāng)他們?cè)诰鶆蚍植迹? C| / n，其中|表示的區(qū)域在嵌入空間表面，N是粒子數(shù)，和C是一個(gè)常系數(shù)。注意我們的目標(biāo)是讓粒子均勻、各向同性采樣。從我們的廣泛實(shí)驗(yàn)

32、中，我們發(fā)現(xiàn)最好的各向同性網(wǎng)格質(zhì)量對(duì)可以實(shí)現(xiàn)在C0.3。任何輸入度量場(chǎng)M（X），對(duì)面積：| =det M（x）DS。在這項(xiàng)工作中，輸入曲面都是三角形網(wǎng)格，在每個(gè)頂點(diǎn)上定義了度量。對(duì)于每一個(gè)三角形ABC的頂點(diǎn)A，B，和C，我們只是近似的地區(qū)嵌入空間：|ABC | =det（M（x）+ M（3XB）+ M（XC）| ABC，（26）在|ABC |在原有的表面面積。經(jīng)過(guò)總結(jié)區(qū)域的三角形嵌入空間|，我們可以集= 0.3|氮實(shí)驗(yàn)。在我們的實(shí)施中，對(duì)于每一個(gè)粒子，我們只計(jì)算五標(biāo)準(zhǔn)附近的粒子的相互影響偏差（5），并使用近似近鄰（ANN） 1997 山圖書(shū)館和艾莉亞快速搜索這樣的街區(qū)。我們的實(shí)驗(yàn)表明，這樣的截

33、斷高斯核（5范圍）是很好的實(shí)踐，并產(chǎn)生規(guī)律粒子的六角形圖案，類似于CVT 杜結(jié)果等。1999；劉等。2009 。在各向異性的鄰近搜索空間，我們利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，在較大范圍內(nèi)找到歐氏近鄰，然后我們修剪假鄰居關(guān)于規(guī)定的度量。4.2粒子優(yōu)化算法對(duì)于任何輸入度量字段米（），我們使用的自適應(yīng)初始化瓦萊特等人的策略。 2008 ，分發(fā)初始樣本基于密度DET的概率位置（x）。我們采用L-BFGS算法 1989 劉Nocedal優(yōu)化樣本位置。它是一個(gè)準(zhǔn)牛頓算法，可以快速找到最小的能量為我們的粒子為基礎(chǔ)的采樣。對(duì)于每一次迭代的L-BFGS優(yōu)化，我們更新式中總能量E（13），通過(guò)計(jì)算其梯度更新總力F E

34、I適用于每一個(gè)粒子我在式（22）。這個(gè)梯度在式（22）采用L-BFGS優(yōu)化器使用也需要投影到切空間T的表面：|= F T F EI EI EIF n（西） n（西），（27）凡在西的表面是單位正常的。在L-BFGS優(yōu)化，樣品需要約束表面上。在每一次迭代，更新后的網(wǎng)站XJ需要投影到離他們最近的位置上，如果他們的表面的邊界。這個(gè)優(yōu)化過(guò)程是迭代，直到收斂，滿足指定的停止條件，例如，梯度或最大位移的大小顆粒小于閾值。ALG。1展示了我們的細(xì)節(jié)各向異性粒子優(yōu)化。4.3網(wǎng)格生成粒子位置優(yōu)化后，最終輸出網(wǎng)格所產(chǎn)生的各向異性Voronoi圖的雙（AVD）杜、王2005 限制表面上燕等人。2009 。部件的連接

35、受限Voronoi對(duì)偶圖和拓?fù)淇刂拼_保組件是光盤(pán)（可能是插入點(diǎn)）閆等。2009；征收與劉2010 。這確保了在神經(jīng)定理 1948 Borsuk同倫等價(jià)。但我們不自 1994 Edelsbrunner和Shah的條件不能滿足確保同胚，這被認(rèn)為是一個(gè)限制。請(qǐng)注意，網(wǎng)格只需要能量?jī)?yōu)化后的一次計(jì)算。因此，在所有以前的方法基于裝甲戰(zhàn)車(chē)技術(shù)的顯著優(yōu)勢(shì)，自他們需要計(jì)算在每一次迭代的優(yōu)化AVD過(guò)程。我們比較的計(jì)算速度和質(zhì)量生成的網(wǎng)格與現(xiàn)有的各向異性網(wǎng)格方法在美國(guó)證券交易委員會(huì)。6。4.4擴(kuò)展至6D的表面我們的粒子為基礎(chǔ)的優(yōu)化框架，可以很容易地?cái)U(kuò)展處理6d嵌入情況建議由Levy和朱古力尼爾 2012 。Levy

36、和bonneel的方法的基本思想是使用嵌入：R6定義的：（x）= x，y，z，SNX，SNY，SNZ ，（28）其中x = x，y，z T，N（x）= NX，紐約，新西蘭 T是正常，和（0，）是一個(gè)用戶定義的參數(shù)指定所需的曲率各向異性。征收與bonneel解決限制問(wèn)題等6 CVT表面，而在我們的框架，我們可以簡(jiǎn)單地使用方程的能量進(jìn)行優(yōu)化（7）和式（8）的力量，因?yàn)榍度氲墓δ苁且阎?。在能量?jī)?yōu)化，最終網(wǎng)可以通過(guò)計(jì)算受限Voronoi圖和雙重構(gòu)三角剖分，利用Voronoi平行直線枚舉。4.5質(zhì)量測(cè)量要測(cè)量各向同性的三角網(wǎng)格質(zhì)量，我們使用的標(biāo)準(zhǔn)由Frey和borouchaki 1997 建議。三角形的

37、質(zhì)量由G = 23的測(cè)量PH值，這里的三角區(qū)，磷是它的半周長(zhǎng)，和小時(shí)是其最長(zhǎng)的邊的長(zhǎng)度。Gmin是三角形的最小質(zhì)量，并gavg是平均質(zhì)量。min是所有三角形的最小角，最小的角度，和AVG是所有三角形的最小角平均。%30是三角形的最小角小于30。在本文中，還提供了角度直方圖顯示所有生成三角形的角。在各向異性的表面網(wǎng)格，每個(gè)三角形ABC我們使用它的近似度量M（ABC）= M（x）+ M（3XB）+ M（XC）。然后我們使用相應(yīng)的Q（ABC）或Q（ABC）矩陣的三角ABC點(diǎn)，并使用上述各向同性網(wǎng)格質(zhì)量的測(cè)量（Gmin，gavg，min，AVG，%30和角度直方圖）檢查如何關(guān)閉它是相對(duì)于一個(gè)正三角形嵌

38、入空間。我們加雷亞還定義了以下地區(qū)質(zhì)量每個(gè)三角形我，評(píng)價(jià)他們的領(lǐng)域是如何統(tǒng)一仿射變換拷貝：加雷亞（我）=N j = 1 T |我| J | / NT，（29）在NT是三角形和|我|總數(shù)的地區(qū)仿射變換三角形。在最優(yōu)各向異性嚙合，每個(gè)三角形都|我|相同的地區(qū)。因此，最好的價(jià)值加雷亞的產(chǎn)生的各向異性三角形1。5結(jié)果我們實(shí)現(xiàn)我們的算法，使用微軟視覺(jué)+ + +2010、MATLAB R2010a版本。在二維域劃分的實(shí)驗(yàn)是在MATLAB編碼，而嚙合面編碼用碳+ +。對(duì)于硬件平臺(tái)，在美國(guó)證券交易委員會(huì)的實(shí)驗(yàn)。5.3與英特爾在筆記本電腦上的OpenMP并行執(zhí)行測(cè)試（R）核心（TM）CPU酷睿i7-3720QM

39、和2.60ghz，8線程（4個(gè)內(nèi)核）。其他實(shí)驗(yàn)測(cè)試的單芯與英特爾在桌面計(jì)算機(jī)上的實(shí)現(xiàn)（R）至強(qiáng)x5160CPU與完全。用戶提供他們所需的輸出數(shù)量所有試驗(yàn)點(diǎn)5.1嚙合在二維域與給定的指標(biāo)圖2顯示了一個(gè)二維正方形域的網(wǎng)格劃分結(jié)果與5、000樣品，給出一個(gè)統(tǒng)一的度量M（x）=診斷伸展（x）2，1 ，凡伸展（）= 000，1。圖3顯示了6、000個(gè)樣本的二維正方形域的各向異性網(wǎng)格劃分結(jié)果。不同的度量張量m（x）=診斷伸展（x）2，1 ，其中拉伸（x） 1，100 。圖7顯示了20，000粒子在二維域的“網(wǎng)格字體”配備復(fù)雜的張量場(chǎng)，這一嚙合結(jié)果包括各向同性（變密度梯度）和各向異性的圓形張量場(chǎng)。各向異性距

40、離等值線每個(gè)黑點(diǎn)在紅色圓圈和橢圓的兩個(gè)“放大”的部分。在圖8中，我們使用了“網(wǎng)格字體”的例子，如圖7所示。給出了嚙合結(jié)果之間的比較：（1）和R（X），我們用Q（x）= s（x）R（x）在平衡力（21）；和（2）給出了M（x），我們用Q（x）=M（x）在平衡力（21）。在“縮放”部分的“網(wǎng)格字體”的例子，我們可以看到他們的網(wǎng)格質(zhì)量是非常接近彼此。如果（），在各向同性區(qū)域，計(jì)算從米（）（）不能給我們一個(gè)獨(dú)特的和順利的領(lǐng)域的問(wèn)題（十），因?yàn)閮烧咴贛的奇異值分解，特征值（x）是等價(jià)的。在這種情況下，我們應(yīng)該使用q（），而不是問(wèn)美國(guó)證券交易委員會(huì)。2.1。5.2嚙合在三維表面與給定的指標(biāo)圖9顯示了各向同

41、性網(wǎng)格的人的頭部表面通過(guò)背景密度場(chǎng)控制（x）= |公里| + 2 | Kmax |，Kmin和Kmax是主曲率。原始輸入有53面，696個(gè)三角形，并重新劃分10，000粒子運(yùn)行在100次迭代（505.79秒）。為了測(cè)試三維表面的各向異性嚙合，我們使用下面的度量張量：M = Vmin，Vmax，n 診斷（S12，S22，0） Vmin，Vmax，n ，（30）其中Vmin和Vmax的主曲率方向，正單位表面正常。S1和S2的兩用戶控制沿主方向的拉伸因子。在圓紋曲面實(shí)驗(yàn)（圖1）和橢球面（無(wú)花果。2和10）的曲率為基礎(chǔ)的度量張量計(jì)算田野。我們使用的度量公式（30）與S1 =KMIN和S2 =Kmax，

42、Kmin和Kmax是主曲率。圖1中的圓紋曲面表面具有各向異性的拉伸比S2S1 1,18 。圖10顯示了一個(gè)橢球的各向異性嚙合隨著大伸縮比S2表面S1 1100 。本俱樂(lè)部和手表面（圖1）和汽車(chē)表面（圖11）在用戶指定的伸縮因子的重新劃分。如建議阿里亞茲等人的。 2003 ，拉普拉斯平滑應(yīng)用到的拉伸的因素和方向，以確保輸入的平滑度度量域。桌棋類游戲1給出了三維表面網(wǎng)格統(tǒng)計(jì)與給定的指標(biāo)。5.3嚙合在適應(yīng)6D表面曲率正如美國(guó)證券交易委員會(huì)所討論的。4.4，我們可以很容易地?cái)U(kuò)展我們的粒子為基礎(chǔ)的到6嵌入空間實(shí)現(xiàn)curvatureadapted各向異性網(wǎng)格優(yōu)化，建議由Levy和朱古力尼爾 2012 。在

43、這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，我們實(shí)現(xiàn)了我們的各向同性的6D用OpenMP并行編程優(yōu)化算法，自每個(gè)粒子的能量和力的計(jì)算是獨(dú)立的和可以很容易地并行化。我們的算法是運(yùn)行在一個(gè)四核（8個(gè)線程）CPU正如上面提到的，類似的環(huán)境設(shè)置和bonneel征收工作下。圖12顯示的機(jī)制表面各向異性網(wǎng)格50，000粒子。輸入表面有714個(gè)，508個(gè)三角形，和計(jì)算時(shí)間38.97sec 100迭代。圖13顯示60的F1表面各向異性網(wǎng)格，000顆粒。原始輸入面有1，005，993個(gè)三角形，并計(jì)算時(shí)間54.93sec 100迭代。角直方圖如圖所示為各向同性的三角形在6D空間質(zhì)量。作為比較，征收bonneel的vorpaline算法-所以用O

44、penMP并行。同樣的實(shí)驗(yàn)在他們的論文中在英特爾的測(cè)試機(jī)（R）（TM）i7-2720qm CPU核心2.20ghz，8線程與超線程激活。這兩者表面上他們都跑5次迭代之后勞埃德30次迭代的LBFGS。該機(jī)制以28.92sec F1表面和表面以35.93sec在他們的平臺(tái)?？梢钥闯?，對(duì)于每次迭代，我們的粒子為基礎(chǔ)的計(jì)算更有效（38.97sec/100iter 28.92sec / 35iter），自它只是需要總結(jié)粒子間的能量和力量，而不是計(jì)算受限Voronoi圖。然而，這cvtfigure 12：與50000輸出頂點(diǎn)的各向異性網(wǎng)格機(jī)制表面產(chǎn)生的粒子為基礎(chǔ)的優(yōu)化在6D空間?；谀芰?jī)?yōu)化可以收斂更快，

45、更少的數(shù)量迭代。6比較在這一節(jié)中，我們展示了我們的對(duì)比分析和實(shí)驗(yàn)與其他的各向異性網(wǎng)格劃分方法，包括裝甲戰(zhàn)車(chē)技術(shù)方法（秒。6.1），其他粒子為基礎(chǔ)的方法（美國(guó)證券交易委員會(huì)。6.2）Delaunay細(xì)化的方法（秒。6.3）。要與其他的各向異性三角法進(jìn)行比較，我們使用相同數(shù)量的輸出頂點(diǎn)。6.1比較與裝甲戰(zhàn)車(chē)技術(shù)我們比較所產(chǎn)生的表面網(wǎng)格質(zhì)量和計(jì)算速度的方法和兩個(gè)裝甲戰(zhàn)車(chē)技術(shù)方法之間：杜三角形裁剪策略杜、王2005 和等等人王的方法。離散裝甲戰(zhàn)車(chē)技術(shù)方法等等人。2008 。所有這三種方法都是使用微軟視覺(jué)+ + +2010。在下面的比較，我們只通過(guò)50次迭代，并重新取樣8，000個(gè)頂點(diǎn)的圓紋曲面表面拉伸

46、比S2S1 1，18 。圖14和標(biāo)簽。2顯示比較結(jié)果。一方面，我們方法提供了類似的網(wǎng)格質(zhì)量與裝甲戰(zhàn)車(chē)技術(shù)方法。另一方面，我們的方法有更快的計(jì)算速度。從標(biāo)簽。2，我們可以看到我們的方法是125左右比杜王連續(xù)裝甲戰(zhàn)車(chē)技術(shù)方法更快的時(shí)間，和比等等人快5.5倍左右的離散裝甲戰(zhàn)車(chē)技術(shù)方法。輸入圓紋曲面表面細(xì)剖，因此仍等人的。方法不需要計(jì)算進(jìn)一步細(xì)分為預(yù)處理。我們要注意，由于它的離散性，等等的。裝甲戰(zhàn)車(chē)技術(shù)方法不高度各向異性拉伸工作如果輸入的三角網(wǎng)格是不夠好（見(jiàn)圖15）。我們執(zhí)行仍等人進(jìn)一步比較的方法上。單位正方形的圓形各向異性張量場(chǎng)：m（x）= R（X）T診斷（拉伸（x）2，1）R（x），（31）與旋轉(zhuǎn)

47、磁場(chǎng)的研究（）和拉伸場(chǎng)拉伸（）圖15（一）。方域離散化，920，50三角形，并用相同的20個(gè)，000個(gè)樣本初始化。圖15（乙）顯示我們的融合各向異性嚙合結(jié)果，圖15（三）顯示網(wǎng)格的計(jì)算仍等人的離散裝甲戰(zhàn)車(chē)技術(shù)。方法。當(dāng)它們的方法收斂，我們可以看到，他們所產(chǎn)生的各向異性網(wǎng)格質(zhì)量遠(yuǎn)不如我們的而使他們產(chǎn)生的網(wǎng)格min和接近于零。為了進(jìn)一步測(cè)試他們的方法，我們?cè)黾拥臄?shù)量的域三角形的509，184，但其生成的網(wǎng)格的質(zhì)量仍然是差強(qiáng)人意：4.1851eGmin = 005，gavg = 0.7245，min = 0.0017，AVG = 38.6006，30= 21.75%。使用509，把184個(gè)三角形區(qū)域，所需要的時(shí)間瓦萊特等人的方法。13，195.80秒，這是近10倍比我們的方法計(jì)算結(jié)果在圖15（乙）。6.2與其它基于粒子的方法比較在本小節(jié)中，我們比較的收斂速度和生成的二維各向異性網(wǎng)格質(zhì)量的方法和其他兩個(gè)粒子為基礎(chǔ)的方法之間：博森Heckbert的方法 1996 與島田等人的方法 1997 。所有這三種方法是使用MATLAB R2010a版本實(shí)現(xiàn)。博森Heckbert的方法類似于