微積分無窮級數(shù)

1、第七章無窮級數(shù)一、本章的教學目標及基本要求：(1) 理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質和收斂的必要條件。(2) 掌握幾何級數(shù)與p-級數(shù)的收斂性。(3) 會用正項級數(shù)的比較審斂法、比值審斂法和根值審斂法，掌握正項級數(shù)的比值審斂法。(4) 會用交錯級數(shù)的萊布尼茨定理。(5) 了解無窮級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與條件收斂的關系。(6) 了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。(7) 掌握哥級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。(8) 了解哥級數(shù)在其收斂區(qū)間內的一些基本性質，會求一些哥級數(shù)在收斂區(qū)間內的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項級數(shù)的和(9) 了解函數(shù)

2、展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。(10) 掌握函數(shù)ex, sinx, cosx, ln(1 x), (1 x)的麥克勞林展開式， 會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成哥級數(shù)。(11) 了解傅氏級數(shù)的概念以及函數(shù)展開成傅氏級數(shù)的狄利克雷定理，會將定義在l,l上的函數(shù)展開成傅氏級數(shù)，會將定義在0,l上的函數(shù)展開成正弦級數(shù)與余弦級數(shù)，會寫出傅氏級數(shù)的和的表達式。二、本章教學內容的重點和難點：重點:無窮級數(shù)的收斂與發(fā)散，正項級數(shù)的審斂法，哥級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間的求法. 難點：正項級數(shù)的審斂法，哥級數(shù)展開，傅立葉級數(shù)展開.§ 7.1 數(shù)項級數(shù)的概念及性質一、內容要點1、常數(shù)項級數(shù)概念：常數(shù)項級數(shù)

3、、部分和、級數(shù)的收斂與發(fā)散、余項；2、收斂級數(shù)的基本性質及收斂的必要條件：性質1：若級數(shù)un收斂于和s,則級數(shù)kun也收斂，且其和為 ks.(證明)n 1n 1性質2:若級數(shù)un、vn分別收斂于和s、，則級數(shù)unvn也收斂，且其和n1 n1n1為s士 .(證明)性質3:在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項，不會改變級數(shù)的收斂性.(證明)性質4:若級數(shù)un收斂，則對這級數(shù)的項任意家括號后所成的級數(shù)仍收斂，且其和不n1變.(證明)；性質5 (級數(shù)收斂的必要條件):若級數(shù) Un收斂，則它的一般項Un趨于零，即n1lim Un 0 .（證明）； n一、概念定義：設已給定數(shù)列u1 u u2,，un，稱形式加法

4、 +出+4+為無窮項數(shù)項級數(shù).簡稱數(shù)項級數(shù)，又稱級數(shù).記為 Un , 即un=u1+u2+ - +un+- -, 其n 1n 1中稱un為一般項.將其前n項的和：$/5 +出+,- +4稱為級數(shù)的前n項的部分和，或簡稱部分和.注1：由上我們便得到一個數(shù)列§ , 8,Sn ,，從形式上不難知道un = lim Sn,以前我們學過數(shù)列的收斂與發(fā)散，進而就不難得出級數(shù)的收斂與發(fā)散的概 n 1 n念.換而言之，有限個數(shù)相加為一數(shù)，無窮多個數(shù)相加是否仍為一個數(shù)呢？定義：當n 時，若部分和數(shù)列Sn有極限S,即S = lim Sn ,就稱常數(shù)項級數(shù)nun收斂，且稱S為其和，并記為：S = u1 +

5、 u2+ - +un +-,若數(shù)列Sn沒有極限,n 1就稱 un發(fā)散. n 1注1：當級數(shù)收斂時，其部分和Sn又可看成為S的近似值。 兩者之差rn S 3 = /1 + 6 2+稱為級數(shù) Hn的余項.用Sn代替S所產生的誤差就是它的絕n 1對彳1,即rn。un的收斂與發(fā)散性n 1注2：到目前為止，已了解的級數(shù)的基本概念，特別了解了級數(shù)（斂散性）是由其部分和數(shù)列 Sn的斂散性所決定的。 確切地說，兩者斂散性是相同的.為此,可把級數(shù)看成是數(shù)列的種表現(xiàn)形式.如設Sn為nu2 = S2 S,，un=Sn0 1 ,n 1,2，則 ukSn這樣就由一數(shù)列產生一個級數(shù)?？梢姅?shù)列與級數(shù)可以相互轉化。例1討論一

6、個簡單級數(shù)一幾何級數(shù)(等比級數(shù) )：a aq aq2 aqn 1 的斂散性.其中a 0解：我們先考慮其部分和：Sn = a aq aq2aqn 1利用中學知識，得Sn =a(1 q ) ( q 1時)1 q1 q a (I) 當q 1時，由于lim Sn=lim a- = a，故幾何級數(shù)收斂，且收斂 n n 1 q 1 qn(II) 當q 1時，由于lim Sn = lim a不存在，故此時幾何級數(shù)發(fā)散。n n 1 q(III) 當 q 1時，此時幾何級數(shù)為：a a a aSn=na( n)此時級數(shù)發(fā)散.(IV) 當 q 1 時，級數(shù)為 a a a a ,Sn=1 ( 1)n 1a, lim

7、Sn不存n在.故此時級數(shù)發(fā)散.綜上所述，幾何級數(shù)在q 1時收斂，在q 1時發(fā)散.一 、一，1111 ，一例2 證明級數(shù)1一收斂。首先n(n 2)Sn =1 3 2 4 3 5 n(n 2)證:1n(n 2)1 1 1+112 1 32 21111 一)(一 一 一 n 3 4 52(i1,111-1 22 n 1 n 2 3原級數(shù)收斂，且收斂于 一例3證明調和級數(shù)411皿一一發(fā)放.3n證：Sn=12 3dx+ 1dx+- +2 22 1dx+ 31x+.1 x 2 xn 1 1dx11 + nnn 1 1dx1 xn 1 1-dx = ln x1 xn 1 =ln(n 1)時，Sn.顯然lim

8、 Sn不存在.故原級數(shù)發(fā)散. n、性質性質1：（收斂的必要條件）收斂的級數(shù)的一般項極限為0.即Un收斂，則lim Un0.證：設nUn收斂于So即lim Sn = S.nn n1lim Unlim (SnSn )nnlim Sn nlim Sn 1 S S n注1:若反之，則不一定成立.即 limnUn 0,原級數(shù) n 1Un不一定收斂。如調和級數(shù)1發(fā)目攵，但lim 一 n n0。注2：收斂的必要條件常用來證明級數(shù)發(fā)散。即若lim Un 0,則原級數(shù)n nUn 一定不收斂.1性質變.2:在級數(shù)前增加或去掉有限項，不改變級數(shù)的斂散性.但在級數(shù)收斂時，其和可能改證:U1 + U2 + Un +的部

9、分和序歹U為SnUk 1+Uk 2+,+Uk n +的部分和序列為n。n Sk n Sk,由于k為有限數(shù)，則Sk為一個有限數(shù)。lim n與limSkn同斂散。 nn若原級數(shù)收斂，則lim Sk n = lim Sn = So貝U n收斂。 即Uk 1+Uk 2+-, + Uk n+收斂若原級數(shù)發(fā)散，則lim Sn不存在， n故lim n也不存在.則 n發(fā)散.即 nuk 1 +uk 2 + uk n+發(fā)散。性質3:若級數(shù) un收斂于n 1S ,則它的各項都乘以一常數(shù) k所得的級數(shù)kun收斂于kS。kUn =kn 1un n 1性質4:若級數(shù) un和 n分別收斂于S和，則級數(shù)(Unn 1n 1n

10、1n)收斂于S注 1： (Unn 1n)稱為級數(shù) Un與 n的和與差.n 1n 1注2：若級數(shù) 4和 n之中有一個收斂，另一個發(fā)散，則n 1n 1(Unn)發(fā)散。若兩個都n 1發(fā)散，情況又如何呢？思考.性質5:收斂級數(shù)加括號后(不改變各項順序)所產生的級數(shù)仍收斂于原來級數(shù)的和.注1：這里所謂加括號，就是在不改變各項的順序的情況下，將其某n項放在一起作為新的項而產生的級數(shù)。當然，加括號的方法是有無窮多種的注2：若級數(shù)在加括號后所得的級數(shù)發(fā)散，那么原級數(shù)發(fā)散.但是，某級數(shù)在加括號后所得的級數(shù)收斂，則原級數(shù)未必收斂.也就是說：發(fā)散的級數(shù)加括號后可能產生收斂的級數(shù).例如:11111 1是發(fā)散的，但 (

11、1 1) (1 1)(1 1)是收斂的。注3:由此知，級數(shù)加括號與不加括號時的斂散性是不盡相同的，后面我們要講它們有相 同斂散性時的情況.n,11例4判別級數(shù)11的斂散性。n 13 (n 1)(n 2)解:一，1, , ,1因級數(shù)1與級數(shù) 1均收斂，由性質n1 3n1 (n 1)(n 2)4可知1(n 1)(n 2)1 n1+n1 3 n 1 (n 1)(n 2)收斂.§ 7。2常數(shù)項級數(shù)的審斂法、內容要點正項級數(shù)及其審斂法：1 .正項級數(shù)的概念；2 .基本定理：正項級數(shù)Un收斂的充分必要條件是： 它的部分和數(shù)列Sn有界.(證明)n 13 .比較審斂法：設 un和vn都是正項級數(shù)，且

12、Un vn （n = 1,2,）.若級數(shù) vnn i n in 1收斂，則級數(shù) un收斂；反之，若級數(shù)un發(fā)散，則級數(shù)vn發(fā)散.（證明）n in in 1推論:設 un和vn都是正項級數(shù)，如果級數(shù)vn收斂，且存在自然數(shù) N,使當nn i n in iN時有un kvn （k > 0）成立，則級數(shù)nun收斂；如果級數(shù)vn發(fā)散，且當n N時有unin ikvn （k > 0）成立，則級數(shù)un發(fā)散.n i4 .比較審斂法的極限形式：設 un和 vn都是正項級數(shù)，n i n i（i）如果lim un l （0 l ）,且級數(shù)vn收斂，則級數(shù) un收斂；nvnn in i(2)如果 lim

13、un l 0或 lim unnvnnvn明),且級數(shù)vn發(fā)散，則級數(shù)un發(fā)散.（證n in i5.比值審斂法（達朗貝爾判別法）:設 un為正項級數(shù)，如果n 1limnun 1un則當 1時級數(shù)收斂；1（或lim ”匚）時級數(shù)發(fā)散;nun能發(fā)散.（證明）；=1時級數(shù)可能收斂也可6.根值審斂法（柯西判別法）：設un為正項級數(shù)，如果n ilim n un ,n -則當< i時級數(shù)收斂； i （或lim n/un n -能發(fā)散.（證明）；7.極限審斂法：設 un為正項級數(shù)，n i（1）如果 lim nun l 0 （或 lim nun nn（2）如果 p1,而 pm n pun l （0 l）時

14、級數(shù)發(fā)散；=1時級數(shù)可能收斂也可）,則級數(shù)un發(fā)散；n i），則級數(shù)un收斂.（證明）n i交錯級數(shù)及其審斂法:1.交錯級數(shù)的概念：2.萊布尼茨定理：如果交錯級數(shù)（1）n1un滿足條件：n i（1） Un Un + 1 （n = 1,2, 3,）；（2） lim Un 0 n則級數(shù)收斂，且其和 s U1,其余項rn的絕對值rn Un + 1.（證明）絕對收斂與條件收斂：1,絕對收斂與條件收斂的概念 ；2.定理：如果級數(shù)Un絕對收斂，則級數(shù) Un必定收斂.（證明）n 1n 1一、 教學要求和注意點（略）Sn為其部分和。顯然部分和序列S是一個單調上升數(shù)列前面所講的常數(shù)項級數(shù)中，各項均可是正數(shù)，負數(shù)

15、或零,正項級數(shù)是其中一種特殊情況。 如果級數(shù)中各項是由正數(shù)或零組成，這就稱該級數(shù)為正項級數(shù),同理也有負項級數(shù)。而負項級 數(shù)每一項都乘以 1后即變成正項級數(shù)，兩者有著一些相仿的性質， 正項級數(shù)在級數(shù)中占有很 重要的地位。很多級數(shù)的斂散性討論都會轉為正項級數(shù)的斂散性。設 Un為一正項級數(shù), n1由此不難得下面的定理。定理：正項級數(shù)Un收斂8n有界.n1證：“" Un收斂 Sn收斂 Sn有界.n1Sn有界，又Sn是一個單調上升數(shù)列l(wèi)im Sn存在 nUn收斂。n1定理1 （比較審斂法）設Un與 n是兩個正項級數(shù)，且Un n （n 1,2,3,）.那么n1n11）如果 n收斂，則 Un收斂.

16、n1n12）如果 Un發(fā)散，則 n發(fā)散. n1n1證：設Sn和n分別表示 4和 n的部分和，顯然由Un nSnnn1n1(1 )收斂 n有界Sn有界Un也收斂.n1n1(2)Un發(fā)散 &無界n 1n無界n也發(fā)散。n 1推論:設兩個正項級數(shù)un與n 1n ,如果對于n N （ N為某一自然數(shù)）的n,恒成立n 1不等式Un kn（ k 0的常數(shù)）,則利用級數(shù)的性質及定理1的證明方法仍可得定理1的結論。例1:討論2P 3P1nP的斂散性0。解（1）當,11時，因二 nP1nP發(fā)散(2)P 1時，對于任意實數(shù)1,），總存在自然數(shù)(k2,3,），因此1k7S=11k711P )k 1 . dxk

17、 1kp1nP：dxx1-1dx (k 2,3,),Px9xn 11 n1dx=1 -1 xPp 11,這表明Sn有上界，又Sn單調上升，故“m Sn存在 P 一級數(shù)1112P 3P1nP綜上所述，當1時，P一級數(shù)發(fā)散;當 p 1時p-級數(shù)收斂。例2若正項級數(shù)an收斂，則（1）1-a-收斂，(2) 型收斂, n 11 ann 1 n2 an收斂.證：由一an-1 an馬一an ,由于正項級數(shù)1 0nan收斂，則由比較審斂法,1an1 1 an收斂_ann13( an)由于正項級數(shù)an收n 1-a收斂, n 1 nN時，an 1,從而a2 an,則由比較審斂法的極限形式：設兩個正項級數(shù)證：1),

18、根據(jù)極限的定義,對于-,必存在正整數(shù) N ,當n N時，恒成立 2不等式Un由比較審斂法的推論可知兩級數(shù)同時收斂，或同時發(fā)散。3l3 n2) l 0,即lim員 0 ,則存在N ,當n N時，4 1 ,得un n nnn，由比較審斂法知,如果級數(shù) n收斂，則級數(shù)Un必收斂。n 1n 13) l，即lim員n n,則存在N ,當n N時，匕1 ,得Unnn,比較審斂，1 ,.，斂，。收斂，則n 1 n(3 )由于 an收斂，則|im an 0 ,則 N ,當n n 1比較審斂法，則a2收斂。n 1,如果存在極限：lim ln n(1)當0 l ，則級數(shù)Un與 n同時收斂或同時發(fā)散。n 1n 1(

19、2)當l 0時，如果 口收斂，則級數(shù) Un必收斂.n 1n 1，如果 n發(fā)散，則 之必發(fā)散.n 1n 1法知，當 n發(fā)散，則 Un必發(fā)散。n 1n 1例31證明 收斂。nn 1 2 n、,on1.1 ,證： 由lim2% lim1,又 收斂，則由比較審斂法的極限形式n1 n 1 An1 2n2n 1 2n收斂 n 1 2 n定理2：（達朗貝爾D' Alembert判別法）設正項級數(shù)un ,如果極限lim%，則n 1n Un1）當 1時，級數(shù)收斂2）當 1或lim %時，級數(shù)發(fā)散。n Un3）當 1時，法則失效.（證明略）注1:習慣上，我們也稱達朗貝爾判別法為比值審斂法。2 5 8 (2

20、 3(n 1)例 4 證明 收斂。n 1 1 5 9 (1 4(n 1)原級數(shù)收斂。證：lim電工lim 2包-1 ,由達朗貝爾判別法知, nunn 1 4n 4例5 討論 nxn （ x 0）的斂散性 n 1解:limnUn 1limn(n 1)xn 1nnxlimn當0 x 1時，由比值審斂法知，原級數(shù)收斂。當x 1時，由比值審斂法知，原級數(shù)發(fā)散。當x 1時，判別法失效。但此時原級數(shù)nxn = n發(fā)散.n 1n 10 x 1時，原級數(shù)收斂.；x 1時，原級數(shù)發(fā)散。lim n un n 0 -，則定理3: （Cauchy判別法）設un為正項級數(shù)，如果n 11）當 1時，級數(shù)收斂2）當 1（或

21、為 ）時，級數(shù)發(fā)散。3）當 1時，法則失效.（證明略）注1:習慣上，我們稱 Cauchy判別法為根值審斂法例6證明 3 (J)收斂.nl2n1.n.3 (I)" 1, 一、，證：lim ?-unlim n 1,故由根值審斂法知，原級數(shù)收斂。n-n 2n2任意項級數(shù)的斂散性一、交錯級數(shù)及其審斂法交錯級數(shù)又稱萊布尼茲級數(shù)，它具有下列形式：U1U2U3U4或U1U2U3U4,其中 Un 0 (n 1,2,)定理1 :(萊布尼茲判別法)若交錯級數(shù)U1 U2 U3 U4滿足：1) UnUn 1 , 2) lim Un 0nn則級數(shù) (1)n 1Un收斂，其和S U1 ,余項力的絕對值卜n| “

22、1。n 1證：先考察交錯級數(shù)（1）n1Un前2n項的和S2n，并寫成n 1S2n （U1 U2） （U3 U4）（U2n 1 n），或S2nU1（U2U3）（U4U5）（U2n 2U2n1） U2nlim S2nSU1n再考察級數(shù)的前2n1項的和8n1,顯然S2n1$n U2n 1 ,由條件(2),得lim S2nl lim （S2n nn=1）n1ms2nnimU2n1根據(jù)條件(1)可知：S2n是單調增加的，且 S2n U1 ,即S2n有界，故最后，由于lim S2n lim S?n 1 S ,得lim SnS ,即交錯級數(shù)(1)n 1Un收斂于nnnn 1S,且S U1,其余項rn的絕對值

23、仍為收斂得交錯級數(shù)，所以rnUn 1Un 2 Un 3 Un 44 1。例1證明交錯級數(shù)(1)n11收斂。1 lim Un lim -0-n n nn 1n11證：（1）Un- Un 1 , （2 ）n n 1由上述定理知，交錯級數(shù)（1）n1l收斂。且其和S 1。任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂定義1：設有級數(shù)Un ,其中Un （ n 1,2,）為任意實數(shù)，這樣的級數(shù)稱為任意項級數(shù)n 1定義2:設un為任意項級數(shù)，其各項的絕對值組成的級數(shù)n 1un收斂，就稱 u n絕對收n 1斂；若nUn收斂，但n 1Un不收斂，就稱 Un為條件收斂。定理2:若任意項級數(shù) u n絕對收斂，則n 1Un收斂.1U

24、nUn2Un2Unn 1收斂，由正項級數(shù)的比較判別法知，級數(shù)(Unn 1un）收斂，再由級數(shù)的性質4知級數(shù)Un=( Unn 1 n 1un)Un收斂。注1:定理2反之則不一定成立.如:1)n1)n11 n1 ，-為調和級1 n數(shù)是發(fā)散的.例2 證明 一 n 1 n!2!n!）都是絕對收斂的。證：下面我們萊證明n 1 n!n-是收斂的.事實上，對limn (n 1)!"im n! n n 1由比值判別法知,是收斂的, n 1 n!n所以 對n 1 n!,）都是絕對收斂的.例3證明 (1)n 1二在0 pn 1np1時為條件收斂，而在p1時為絕對收斂。 .1 證：首先，我們知道 （1）n

25、 1,為一個萊布尼茲級數(shù)，且有當n 1np,1 、，、 一n 時，二單調下降np趨于零.故對 p0,原級數(shù) （l）n1工總是收斂的n 1np其次，考慮其絕對值級數(shù)1i np也就是p一級數(shù)。由上一節(jié)的例1的結果知，當0 p 1時發(fā)散，p 1時收斂.1綜上所述，（1）n1: 在0 p 1時為條件收斂，而在 p 1時為絕對收斂。n 1np絕對收斂的級數(shù)的幾個注釋：注1:絕對收斂的級數(shù)不因為改變其項的位置而改變其和.這也叫級數(shù)的重排.對于一般的如 （1）n 11= ln 2n 1n111111 一一 一一一2 4 3 6 81112k 1 4k 2 4k21n2注2:對于級數(shù)的乘法，我們規(guī)定兩個級數(shù)按

26、多項式乘法規(guī)則形式地作乘法Unn 1其中 nU1nU2 n 1U3 n 2Un 1 .如果兩個級數(shù)un與n 1n都絕對收斂,則兩個級數(shù)相乘所得到的級數(shù)n也絕對收斂。且當un A, n B時， n AB。若；兩個級數(shù)不絕對收斂，則不一定成n 1n 1n 1§ 7.3 幕級數(shù)、內容要點函數(shù)項級數(shù)的概念：函數(shù)項級數(shù)、部分和、收斂點、發(fā)散點、收斂域、發(fā)散域、和函數(shù).哥級數(shù)及其收斂性：1 .哥級數(shù)的概念；2 .哥級數(shù)的收斂性：（1）定理1 （阿貝爾（Abel ）定理）如果級數(shù)anxn當x = X0（X0 0）時收斂，則n 0適合不等式 x < X0的一切x使這哥級數(shù)絕對收斂.反之，如果級

27、數(shù)anxn當x = X0n 0時發(fā)散，則適合不等式x。的一切x使這哥級數(shù)發(fā)散.（證明）推論：如果哥級數(shù)anxn不是僅在x = 0 一點收斂，也不是在整個數(shù)軸上都收斂，則 n 0必有一個確定的正數(shù) R存在，使得當x < R時，哥級數(shù)絕對收斂；當x > R時，哥級數(shù)發(fā)散；當x = R或x = R時，哥級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.(2)哥級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間的概念；(3)哥級數(shù)的收斂半徑的求法：定理2 :如果其中an' an + 1是帚級數(shù)n anxlimnan 1an的相鄰兩項的系數(shù),則這哥級數(shù)的收斂半徑0,0,0,(證明)。3 .哥級數(shù)的運算：哥級數(shù)的加法、減法、乘法、除法;

28、4 .哥級數(shù)的和函數(shù)的性質：性質1:哥級數(shù)nn anx0的和函數(shù)s (x)在其U斂域I上連續(xù).性質2:哥級數(shù)nn anx的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積，并有逐項積分公式x0 s(x)dxanxndxanxndxan n 1 x n 0 n 1逐項積分后所得到的哥級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑.性質3：哥級數(shù)anxn的和函數(shù)s (x)在其收斂區(qū)間( R , R)內可導，并有逐項求n 0導公式5 (x)anxn(anxn)nanxn 1 (x R),n 0n 0n 1逐項求導后所得到的哥級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑.二、教學要求和注意點一、 函數(shù)項級數(shù)地一般概念前面講過常數(shù)項級數(shù)，其各項均為一個

29、常數(shù)。若講各項改變?yōu)槎x在區(qū)間I上的一個函數(shù)便為函數(shù)項級數(shù).設un(x), n 1,2,是定義在區(qū)間I上的函數(shù)，序列u1(x),u2(x),un(x),是一個函數(shù)列，對于I上某一固定的點，它為一數(shù)列，對另外一點，它又為另外一個數(shù)列。 將其各項相加，便得式子：u1(x) u2(x)un(x), (1)簡記為un(x).稱為定義在n 1I上的函數(shù)項級數(shù).注：事實上，我們已經接觸過函數(shù)項級數(shù)了，只不過出現(xiàn)的形式不同。如p一級數(shù)n1 nP n1nnxi n!對于x x0 I處，上述函數(shù)項級數(shù)即為一個常數(shù)項級數(shù):un(xo) =U(%) W(xo)un(xo)n 1若級數(shù)(2)收斂，就稱x x0是函數(shù)項

30、級數(shù)(1)的一個收斂點；若級數(shù)(2)發(fā)散，就稱x xo是函數(shù)項級數(shù)(1 )的一個發(fā)散點.顯然，對于 x I , x不是收斂點，就是發(fā)散點，二者必居其 一。所有收斂點的全體稱為函數(shù)項級數(shù) (1)的收斂域，所有發(fā)散點的全體稱為函數(shù)項級數(shù) (1)的發(fā)散域。若對于I中的每一點 小 ,級數(shù)(2)均收斂，就稱函數(shù)項級數(shù) (1)在I上收斂.對于收斂域中白每一個點x,函數(shù)項級數(shù)u n ( x )為一個收斂的常數(shù)項級數(shù)，n且對于不同的點，收斂于不同的數(shù)(和).因此，在收斂域上，函數(shù)項級數(shù)的和是點 x的函數(shù)。記為S(x).則 u n ( x ) = S(x)。 S(x)又稱為和函數(shù).若將其部分和函數(shù)記為 nS(x

31、)，則 |im &(x) S(x)。同理，稱 S(x) S0(x)為u0(x)的余項。| % 為 S(x)n 1代替S(x)時的誤差.顯然，也有l(wèi)im rn(x) 0 ( x為收斂域中任一點) n二、哥級數(shù)及其收斂性哥級數(shù)是函數(shù)項級數(shù)中 的最簡單的一種，它具有下列形式：aoaxa?x2anxn(3),其中ao,a1,a2,an,叫做哥級數(shù)的系數(shù)。顯然，哥級數(shù)在(，)上都有定義。從哥級數(shù)的形式不難看出，任何哥級數(shù)在x o處總是4斂的.而對 x o的點處，哥級 數(shù)的斂散TIe如何呢？先看下列定理.定理1 (阿貝爾Abel定理)設備級數(shù)n 一一一 2一 nanx =a0 a1x a2xanx

32、(3 )n 0若哥級數(shù)(3)在x Xo (Xo 0)處收斂，則對于滿足條件 x Xo的一切x ,級數(shù)(3)絕對收斂.反之，若它在x x0時發(fā)散，則對一切適合不等式x證:a。aiXo2a2X0anX0 n收斂lim n0,1,2,* n，有 anX0X0的X ,級數(shù)（3 ）發(fā)散.nanX0 =0P 一 n又anXnanX0nXnX0nan X0nXnX0X。X 時，一X。收斂。anXn收斂。X0anXn絕對收斂.n 0第二部分用反證法即可。（自證）由定理1不難知：設為任一收斂點為任一發(fā)散點.則必有。若將收斂點處染成蘭色，發(fā)散點處染成紅色，顯然蘭點必集中在原點附近, 蘭色與紅色就必有一個分界點。從

33、而有：R上其它點就是紅點。這樣,推論：如果哥級數(shù)（3 ）不是在（，）上每一點都收斂,也不是只在X 0處收斂，那么必存在一個唯一的正數(shù) R,使得:當X R時，哥級數(shù)（3）收斂；（2）當x R時，哥級數(shù)（3）發(fā)散；（3）當x R或x R ,哥級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散.可由此得哥級數(shù)（3）的收斂域是一個以原點為中點的區(qū)間，稱為哥級數(shù)（3）的收斂區(qū)間.區(qū)間的半徑為 R,故R稱為收斂半徑.而收斂區(qū)間可能是開的，可能是閉的，也可能是半開半閉的。若哥級數(shù)（3）在（，）上每一點都收斂，就規(guī)定 R=;若哥級數(shù)（3）僅在X 0處收斂，就規(guī)定R=0 。下面來求R.定理2:設備級數(shù)anXn ,其系數(shù)當n 0n N時a

34、n 0 （ N為某一個正整數(shù)），且存在極限limnan 1則 （1）當0，一 1時，收斂半徑R 一；(2)0時，收斂半徑R(3)當時，收斂半徑R 0 。證：當x 0時級數(shù)必收斂。下面考察成級數(shù)x 0的情形,對哥級數(shù)anxn ,各項取絕對值,組n 0anxn = a0a1xa2x2anxn(5 )n 0對級數(shù)（5 ）直接用比值審斂法，得limnn 1an ixnanxx limnan 1an如果0一 一. 一-1 n，則當 x 1,即x 一時，級數(shù)（5）收斂，從而級數(shù)anx收斂,n 0即 anxn絕對收斂；當 x n 01n 11時，即x 一時，從某一個n開始，有an 1xnanx因此，級數(shù)（5

35、）的通項anxn當n時不趨于零.所以當n 時anxn也不趨于零n皿1從而級數(shù)%xn發(fā)散。于是得收斂半徑R = liman 1n 0n（2）當 0時，則對任一 x, x 0 1 ,因此對任一 x （包括x 0）級數(shù)（5）收斂，從而 級數(shù)（3）絕對收斂，于是收斂半徑 R 。當，對一切x 0及充分大的n,都有|變x 1 ,此時，an 1xn 1_ n gn 1_ no'xanx，則當n趨向無窮大時哥級數(shù)（3）的一般項不趨于零，從而級數(shù)（3）也必發(fā)散，于是得 R 0 .例1求哥級數(shù)<xn的收斂半徑與收斂區(qū)間。n 1 n解： anNlimlan-llimn1nn| annn 11 2絕對收

36、斂。n 1 n收斂半徑為R 1 .又當x 1時，-xn12收斂,n 1 nn 1 n收斂區(qū)間為1,1例2求 nnxn的收斂半徑及收斂區(qū)間。n 1解:n 1(n 1)nn收斂區(qū)間為原點.例3 求n如?x2n的收斂區(qū)間。1 (n!)解：觀察哥級數(shù)的形式發(fā)現(xiàn),(2n)!(n!)22n是缺項級數(shù).那么就不能直接利用定理2求級數(shù)的收斂半徑。數(shù)變?yōu)?2n)! n2 y (n!)R limnanan 1limn(2n)! n 1 (n!)2(n 1)2(2n 1)(2n 2)yn當1，一時收斂；當y41 ,，一時發(fā)散。當 41 一時,級數(shù)分別為4(2n)! n 1 (n!)2(2n)!1 (n!)2n1上

37、皿1,前者發(fā)散,4后者收斂，因此yn的收斂域為 m(n!)2當x21 -,一時，原級數(shù)收斂；當1 , 一皿 一時，原級數(shù)發(fā)散.4收斂區(qū)間為一2方法二：對原級數(shù)直接用比值審斂法limnUn(x)Un 1(x)limn(n 1)2(2n 1)(2n 2)當1x241 21時，原級數(shù)收斂；當%x1時，原級數(shù)發(fā)散、，1收斂區(qū)間為 一 2 q 2n例 4求 (x 2)n的收斂區(qū)間.解：同上題，可用兩種解法，方法一：令y x2,所給級數(shù)轉化為2n收斂半徑limnanan 1limnn 22(n 1)當當時收斂;1y 一時發(fā)放；21 時，級數(shù)分別為22n2n前者發(fā)散,后者收斂。2nyn的收斂域為2,1所以-

38、2方法二：直接用比值審斂法收斂區(qū)間為-2.這里就不詳細的講了,可參照本節(jié)例3的方法來解.三、騫級數(shù)的運算性質定理3:設備級數(shù)a02a1x a?xnanx和 bo b1x b2x1 2bnxn的收斂半徑分別為Ra和R(均為正數(shù))，取R min(Ra, R),則在區(qū)間(R,R)內成立:1)加法與減法：(an0bn)xn =nanxbnxnn 02)乘法:nanx0bnxno(a°bn ah 10anbo)xn。定理4:設備級數(shù)anxn在(R,R)內的和函數(shù)S(x),則S (x)anxnn 0n、(anx )n 0n 1naxn 1求導后的哥級數(shù)與原哥級數(shù)有相同的收斂半徑R .3) S(x

39、)在(R,R)內可以積分，且有逐項積分公式S(x)dxanxn dxn 0-x n .an 0 x dxn 0an n 1 x n 0 n 1其中乂是(R,R)內任一點，積分后的哥級數(shù)與原級數(shù)有相同的收斂半徑Ro注1：若逐項求導或逐項積分后的哥級數(shù)在x R或xR處收斂，則S(x)nanxn1n 0xa 1或 S(x)dxxn對x R或xR處也成立.0n 0 n 1注2:反復應用結論2)可得：哥級數(shù)anxn 0的和函數(shù)S(x)在收斂區(qū)間內具有任意階導數(shù)。一、r111例5證明12342證：不難知1 x x逐項從0到x進行積分，得(1)n 11 In 2。 nn1x ( 1 x 1).1 x23n

40、1x x xIn(1 x) = x 23 n 1(1x1)上式右端級數(shù)對x1也收斂。由注1知，令x 1上式成立.(1)2 ( 1)31n1 (1)=1 丁 丁1)nn 1 1(1)In 2n例6求 n2xn的和函數(shù)以及收斂半徑。n 1解：令 S(x) =n2xn ,n 1f (x) =n2xn 1.顯然n 1S(x)=xf (x).現(xiàn)在對f(x)求積分:f(t)dtx 2 n 1n t dt0 n 12 x n 1n t dt0n 1nn 1nx .令 g(x) nxn 1n 1x0 fdtxg(x),又對g(x)求積:g(t)dtntn 1dtx dtn 1dt0顯然xn的和函數(shù)為n 1，收

41、斂半徑1 x為1,進而由性質2, 3知n2xn的收斂半徑也為1。下求和函數(shù)S(x)x由 0 g(t)dtg(x)1(1 x)2x0 f出xg(x)x(1 x)2f(x)x(1 x)21 x(1 x)3S(x) = xf (x)x(1 x)(1 x)3即為所求和函數(shù)。§ 7.4 函數(shù)展開成幕級數(shù)一、內容要點泰勒級數(shù)(Taylor)1 .泰勒級數(shù)和麥克勞林級數(shù)的概念；2 .定理：設函數(shù) f (x)在點x0的某一鄰域U(x0)內具有各階導數(shù)，則 f (x)在該鄰域 內能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是f (x)的泰勒公式中的余項 R(x)當n 時的極限為零，即lim Rn(x) 0 (x U

42、(x。). n(證明).函數(shù)展開成哥級數(shù)的方法：1 .直接展開法：例1 ( e x的展開)；例2 (sin x的展開)2 .間接展開法：例3 (ln(1+ x)的展開)，例4 (cos x的展開)，例5例9.近似計算：3 1例3;歐拉(Euler )公式：(1)復數(shù)項級數(shù)的概念：復數(shù)項級數(shù)、復數(shù)項級數(shù)收斂與絕對收斂；(2) 歐拉(Euler)公式： eix = cos x + I sin x .教學要求和注意點(略)說明1:這部分只強調應用，理論分析不必說得太多，多了反而容易產生不必要的 問題。說明2:用幕級數(shù)運算求級數(shù)和、求解微分方程的題型可適當?shù)囟噙x些。、泰勒(Tayler )級數(shù)以前我們

43、學過一個函數(shù)的泰勒公式，具體是：如果f (x)在點x x0的某一個鄰域內具有直到 n+1 階的導f(x)=f(x0) f(x0)(x x0) 蹩(x x0)2(n)f (x0) /- (xn!x0)nRn(x)其中 Rn(x)為 Lagrange 型余項：Rn(x)f(n D(n 1)!)n 1(x %)，介于a與x之間.換而Rn(X)f (X0)2 f(n)(X0)nPn(X) f(Xo) f (Xo)(X Xo) (X Xo)(X Xo)”代替 f(X)時所2!n!產生的誤差。如果隨著n的增大，誤差越來越小，則說明近似代替的效果越來越佳。 特別地， 若f (x)在x Xo的某一個鄰域內具有

44、各階的導數(shù) f (x), f (x),，f(n)(X),，且其余項有 lim Rn(x) o ,則有 lim f (x) nn從而。f (X)f(x)= f (Xo) f (Xo)(X Xo)產(X這時說明f(Xo)f (Xo)(x Xo)f (X" (X Xo)22!Pn(x) o .即f (x) limR(x)n(n).、2f (Xo) ,、nXo) (x Xo)n!f (x)可以用-3(x xo)n來精確表示。反之，n!若 f(x) 可以用上面這個式 子 來 精 確 表 不f(x) lim Pn(x)lim Rn(x) lim f (x) Pn(x) o.nnn下面我們系統(tǒng)地介

45、紹一下：定義：若f(x)在點X Xo有各階導數(shù)f (Xo) , f (/)，f (n)(%),，就稱f (Xo)f(Xo)(XXo)f(Xo) (XXo)2-("(XXo)n為 f (X)在 X /2!n!處的泰勒級數(shù).注：由定義知，f (X)在X Xo處有泰勒級數(shù)，只須f(x)在X Xo處有各階導數(shù)即可，未必要f (X)在Xo的某個鄰域內有各階導數(shù)。但若考慮其斂散性時，需要考慮f (X)在Xo的某個鄰域內有各階導數(shù)f (X)在X Xo處的泰勒級數(shù)顯然為一個函數(shù)項級數(shù)，它有其斂散性，綜合前述我們有下列定理：定理： 設f (X)在Xo的某個鄰域內有各階導數(shù)，f(x)在X Xo處的泰勒級

46、數(shù)在 Xo的某個鄰域內收斂于f(x)的充要條件為：lim Rn(x) o n注1 :若f (X)在X Xo處的泰勒級數(shù)在Xo的某個鄰域內收斂于f (X),或說和函數(shù)為f ( X),這時我們寫成f(X)=f(Xo) f (Xo)(X Xo)f (X0)(X Xo)2-(X Xo)n2!n!且說f (x)展開成泰勒級數(shù)(或稱 f (x)在X Xo處的泰勒展開式)12注2：并非任一函數(shù)都可展開成泰勒級數(shù)。如考慮f (X) e X X o在X o處的任O x O何階導數(shù)都存在，且f(O) O, n 1,2,，此時，f(x)在x O處有泰勒級數(shù)：O Ox x2 xn ,顯然，它在(，)上收斂，且和函數(shù)為 O,而不是f(x)。2!n!事實上，其泰勒級數(shù)未必收斂，即使收斂也未必收斂于f(x)當 Xo O 時，f(x)的泰勒級數(shù)變?yōu)?f(O) f (O)x -(O)x2f-XSxn,2!n!稱為f (x)的麥克勞林級數(shù)。下面我們來