因式分解（競(jìng)賽題）不含答案(共6頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上因式分解1、公式法序號(hào)公式記憶特征1x2+(a + b)x+ab = (x+a)(x+b) （十字相乘法）(1) 常數(shù)項(xiàng)兩數(shù)積(2) 一次項(xiàng)系數(shù)兩數(shù)和(3) 二次項(xiàng)系數(shù)為12a2-b2 = (a-b)(a+b)（平方差公式）3a2+2ab+b2 = (a+b)2 a2-2ab+b2 = (a-b)2（完全平方公式）4a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc = (a+b+c)2（完全平方公式擴(kuò)展）(1) 三數(shù)平方和(2) 兩兩積的2倍5a3+3a2b+3ab2+b3 = (a+b)3a3-3a2b-3ab2+b3 = (a-b)3（完全立方公式）對(duì)照完全平方公式相互加

2、強(qiáng)記憶6a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)(1) 近似完全平方公式(2) 缺項(xiàng)之完全立方公式(a+b)(a+b)2-3ab=(a+b)3-3ab(a+b)(a-b)(a+b)2+3ab=(a-b)3+3ab(a+b)7a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)對(duì)照公式4相互加強(qiáng)記憶8an-bn = (a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1) n=整數(shù)（平方差公式擴(kuò)展）(1) 短差長(zhǎng)和；(2) a指數(shù)逐項(xiàng)遞減1；(3) b指數(shù)逐項(xiàng)遞增1；(4) 長(zhǎng)式每項(xiàng)指數(shù)和恒等于 n

3、-1。9an-bn = (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1) n=偶數(shù)（立方差公式擴(kuò)展）(1) 短式變加長(zhǎng)式加減相間；(2) a指數(shù)逐項(xiàng)遞減1；(3) b指數(shù)逐項(xiàng)遞增1；(4) 每項(xiàng)符號(hào)b指數(shù)決定偶加奇減。10an+bn = (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1) n=奇數(shù)（立方和公式擴(kuò)展）對(duì)比公式9的異同運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式例1 分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz；例2 分解因

4、式：a3+b3+c3-3abc說明本題實(shí)際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6)公式(6)是一個(gè)應(yīng)用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結(jié)論，例如：我們將公式(6)變形為a3+b3+c3-3abc顯然，當(dāng)a+b+c=0時(shí)，則a3+b3+c3=3abc；當(dāng)a+b+c0時(shí)，則a3+b3+c3-3abc0，即a3+b3+c33abc，而且，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立如果令x=a30，y=b30，z=c30，則有等號(hào)成立的充要條件是x=y=z這也是一個(gè)常用的結(jié)論變式練習(xí) 分解因式：x15+x14+x13+x2+x+12拆項(xiàng)、添項(xiàng)法因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)常將

5、幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類項(xiàng)相互抵消為零在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng)拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解例3 分解因式：x3-9x+8變式練習(xí)1分解因式：(1)x9+x6+x3-3； (2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4； (4)a3b-ab3+a2+b2+1 3換元法換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整體來運(yùn)算，從而使運(yùn)算過程簡(jiǎn)

6、明清晰例4 分解因式：（1） (x2+x+1)(x2+x+2)-12 （2） (x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90 變式練習(xí)1.分解因式： (x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x24雙十字相乘法分解二次三項(xiàng)式時(shí)，我們常用十字相乘法對(duì)于某些二元二次六項(xiàng)式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我們也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3我們將上式按x降冪排列，并把y當(dāng)作常數(shù)，于是上式可變形為2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式對(duì)于常數(shù)項(xiàng)而言，它是關(guān)于y的二次三項(xiàng)式，也可以用十字相乘法，分解

7、為即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)再利用十字相乘法對(duì)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式分解所以，原式=x+(2y-3)2x+(-11y+1) =(x+2y-3)(2x-11y+1)上述因式分解的過程，實(shí)施了兩次十字相乘法如果把這兩個(gè)步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：它表示的是下面三個(gè)關(guān)系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3這就是所謂的雙十字相乘法用雙十字相乘法對(duì)多項(xiàng)式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進(jìn)行因式分解的步驟是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy

8、+cy2，得到一個(gè)十字相乘圖(有兩列)；(2)把常數(shù)項(xiàng)f分解成兩個(gè)因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z22求根法我們把形如anxn+an-1xn-1+a1x+a0(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項(xiàng)式，并用f(x)，g(x)，等記號(hào)表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，當(dāng)x=a時(shí)，多項(xiàng)式f(x)的值用f(a)

9、表示如對(duì)上面的多項(xiàng)式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12若f(a)=0，則稱a為多項(xiàng)式f(x)的一個(gè)根定理1(因式定理) 若a是一元多項(xiàng)式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項(xiàng)式f(x)有一個(gè)因式x-a根據(jù)因式定理，找出一元多項(xiàng)式f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求多項(xiàng)式f(x)的根對(duì)于任意多項(xiàng)式f(x) 要求出它的根是沒有一般方法的，然而當(dāng)多項(xiàng)式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，即整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，經(jīng)常用下面的定理來判定它是否有有理根定理2的根，則必有p是a0的約數(shù)，q是an的約數(shù)特別地，當(dāng)a0=1時(shí)，整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)的整數(shù)根均為an

10、的約數(shù)我們根據(jù)上述定理，用求多項(xiàng)式的根來確定多項(xiàng)式的一次因式，從而對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解例2 分解因式：x3-4x2+6x-4變式練習(xí)1. 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-23待定系數(shù)法待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法，應(yīng)用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應(yīng)用在因式分解時(shí)，一些多項(xiàng)式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個(gè)因式，但這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時(shí)可以用一些字母來表示待定的系數(shù)由于該多項(xiàng)式等于這幾個(gè)因式的乘積，根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待

11、定系數(shù)法例3 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3變式練習(xí)1.分解因式：（1）x4-2x3-27x2-44x+7 （2）(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)五、 真題精解：1、已知多項(xiàng)式ax3+bx2+cx+d除以x-1時(shí)的余數(shù)是1，除以x-2時(shí)的余數(shù)是3，那么，它除以(x-1)(x-2)時(shí)所得的余數(shù)是什么？（第12屆“希望杯”試題）2、 k為何值時(shí)，多項(xiàng)式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分解成兩個(gè)一次因式的積？（天津市競(jìng)賽試題）3、如果x3+ax2+bx+8有兩個(gè)因式x+1和x+2，求a+b的值。（美國(guó)猶他州中學(xué)競(jìng)賽試題）4、下列四個(gè)從左到右的變形中，是因式分解的是（

12、）（第8屆“希望杯”試題）A. (x+1)(x-1)=x2 B. (a-b)(m-n)=(b-a)(n-m) C. ab-a-b+1=(a-1)(b-1) D. m2-2m-3=m(m-2-3/m)5、下列五個(gè)多項(xiàng)式中在有理數(shù)范圍可以進(jìn)行因式分解的有（ ）（第10屆“希望杯”試題）a2b2-a2-b2-1x3-9ax2+27a2x-27a3 x(b+c-d)-y(d-b-c)-2c+2d-2b 3m(m-n)+6n(n-m) (x-2)2+4x A.B. C. D. 6、設(shè)bc，且滿足(3+1)(a-b)+2(b-c)=a-c，則a-bb-c的值（ ）（第12屆“希望杯”試題）A.大于零B. 等于零C. 小于零D. 正負(fù)號(hào)不確定7、已知x2+ax-12能分解成兩個(gè)整系數(shù)的一次因式乘積，則符合條件的整數(shù)a的個(gè)數(shù)是（ ）A.3個(gè)B. 4個(gè)C. 6個(gè)D. 8個(gè) （第7屆“希望杯”試題）8、y-2x+1是4xy-4x2-y2-k的一個(gè)因式，則k的值是（ ）（第14屆“希望杯”試題）A. 0B. -1C. 2D. 49、將多項(xiàng)式x2-4y2-9z2-12yz因式分解結(jié)果是（ ）（第9屆“希望杯”試題）A. (x+2y-3z)(x-2y-3z)B. (