概率課后習(xí)題解答

1、習(xí)題一3設(shè),表示三個事件,用,的運算關(guān)系表示下列各事件：（1）發(fā)生,與不發(fā)生;（2）與都發(fā)生,而不發(fā)生;（3）,都發(fā)生;（4）,都不發(fā)生;（5）,中至少有一個發(fā)生;（6）,中恰有一個發(fā)生;（7）,中至少有兩個發(fā)生;（8）,中最多有一個發(fā)生.解：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）； （7）；（8）或6一批產(chǎn)品共有件，其中有件廢品，求：（1）任取件產(chǎn)品恰有件是廢品的概率;（2）任取件產(chǎn)品沒有廢品的概率;（3）任取件產(chǎn)品中廢品不少于件的概率.解：設(shè)事件表示“取出的件產(chǎn)品中恰有件廢品”，由概率的古典定義得（1）；（2）；（3）9已知,，求和解：,.10已知,求解：.13一盒里有個電

2、子元件,其中有個正品,個次品.從中每次抽取一個,不放回地連續(xù)抽取四次,求第一、第二次取得次品且第三、第四次取得正品的概率解：設(shè)事件表示“第次取得次品”（），則所求的概率為 .19三人獨立地去破譯一個密碼,他們能夠譯出的概率分別是,問能將密碼譯出的概率是多少?解：設(shè)事件分別表示“第一人，第二人，第三人破譯出密碼”，顯然事件相互獨立，且，則所求的概率為.20加工某一零件共需經(jīng)過四道工序,設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別是,和.假設(shè)各道工序是互不影響的,求加工出來的零件的次品率.解：設(shè)事件表示“第道工序加工出次品”，顯然事件相互獨立，且，則所求的概率為122設(shè)一系統(tǒng)由三個元件聯(lián)結(jié)而成（如圖）,各

3、個元件獨立地工作,且每個元件能正常工作的概率均為().求系統(tǒng)能正常工作的概率.23圖解：設(shè)事件表示“第個元件正常工作”，事件表示“該系統(tǒng)正常工作”，顯然，事件相互獨立，且，則所求的概率為.習(xí)題二2.離散型隨機變量的概率函數(shù)為：（1）（2）分別求（1）、（2）中的值解：（1），解得；（2），解得3.對某一目標(biāo)進(jìn)行射擊，直到擊中為止，若每次射擊命中率為，求射擊次數(shù)的概率分布解：設(shè)隨機變量表示“擊中目標(biāo)時的射擊次數(shù)”，顯然，可取，故的概率分布為：4.一大樓裝有5個同類型的供水設(shè)備調(diào)查表明在任一時刻，每個設(shè)備被使用的概率為0.1，且各個設(shè)備的使用是相互獨立的求在同一時刻被使用的設(shè)備數(shù)的概率分布，并求在

4、同一時刻：（1）恰有2個設(shè)備被使用的概率；（2）至少有3個設(shè)備被使用的概率；（3）最多有3個設(shè)備被使用的概率；（4）至少有1個設(shè)備被使用的概率解：設(shè)隨機變量表示“在同一時刻被使用的設(shè)備數(shù)”，顯然，其中，故的概率分布為.（1）恰有2個設(shè)備被使用的概率為.（2）至少有3個設(shè)備被使用的概率為.（3）最多有3個設(shè)備被使用的概率為.（4）至少有1個設(shè)備被使用的概率為.9.設(shè)隨機變量的概率密度為 求的分布函數(shù)解：隨機變量的分布函數(shù)為10.設(shè)的分布函數(shù)為求：（1）系數(shù)；（2）的概率密度；（3）概率.解：（1）由于是連續(xù)函數(shù)，有，而，故；（2）（3）13.隨機變量的分布函數(shù)為 求(1)的概率密度；(2).解：

5、(1)對于連續(xù)型隨機變量，有，所以(2) .14.某種電子元件的使用壽命（單位：h）的概率密度為 求在150h內(nèi)：（1）3個電子元件中沒有1個損壞的概率；（2）3個電子元件中只有1個損壞的概率；（3）3個電子元件全損壞的概率.解：設(shè)隨機變量表示“在150h內(nèi)，3個電子元件中損壞的元件數(shù)”，顯然，其中，（1）3個電子元件中沒有1個損壞的概率為：；（2）3個電子元件中只有1個損壞的概率為：；（3）3個電子元件全損壞的概率為：16.已知隨機變量只能取1，0，2，3四個值，相應(yīng)的概率依次為，確定常數(shù).解 由，得C=.16.一個袋內(nèi)裝有5個白球，3個紅球第一次從袋內(nèi)任意取一個球，不放回，第二次又從袋內(nèi)任

6、意取兩個球，表示第次取到的白球數(shù)（）求（1）的聯(lián)合概率分布；（2），解：（1）依題可知，隨機變量可取，隨機變量可取，而 （）則的聯(lián)合概率分布，與的邊緣概率分布分別為012011（2）,.17. 袋中裝有標(biāo)上號碼1，2，2的3 個球，從中任取一個并且不放回，然后再從袋中任取一球，以分別記為第一、二次取到球上的號碼數(shù)，求的聯(lián)合分布解：1210218.設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率密度為 求：（1）常數(shù)；（2）；（3）；（4）. 解：（1）由于，有，解得；（2）；（3）；（4）22.投擲一枚硬幣直至正面出現(xiàn)為止，引入隨機變量表示投擲總數(shù).（1）求與的聯(lián)合概率分布及邊緣概率分布.解：（1）依題可知，可取，而

7、則與的聯(lián)合概率分布及邊緣概率分布分別為XY1234001000124.設(shè)隨機變量的概率分布為-2-1013求的概率分布.解：列表則的概率分布為習(xí)題三1 甲乙兩臺機器一天中出現(xiàn)次品的概率函數(shù)分別為01230.40.30.20.101230.30.50.20若兩臺機器的日產(chǎn)量相同，問哪臺機器較好？解：依題有，顯然，即甲機器的平均次品數(shù)比乙機器的平均次品數(shù)大，故乙機器較好.2 某種電子元件的壽命（單位：）的概率密度為 其中為常數(shù).求這種電子元件的平均壽命.解：.3. 設(shè)隨機變量的概率密度為 已知，求的值.解：依題可知，4. 設(shè)10只同種電器元件中有兩只廢品，裝配儀器時，從這批元件中任取一只，若是廢品

8、，則扔掉重新任取一只，若仍是廢品，則再扔掉重新任取一只.試求在取到正品之前已取出的廢品數(shù)的概率分布與數(shù)學(xué)期望.解：依題可知，隨機變量可取，而故隨機變量的概率分布為012且.8設(shè)隨機變量的概率密度為 求.解：因故 .9.設(shè)隨機變量的概率密度函數(shù)為 求解：，11設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為 試確定常數(shù)，并求.解：因為連續(xù)函數(shù)，則，即則，,所以，.習(xí)題四1.設(shè)，求下列概率：（1）;(2);(3);(4).解：（1）.（2）.（3）.（4）.3已知隨機變量，且，求.解：因，即，則.4. 已知隨機變量，且，求.解：依題有，由此可得，解得6.設(shè)隨機變量，求. 解：因，則7.設(shè)隨機變量，又設(shè).求（1），.解：依題

9、可知，由得，（1）.11一加法器同時收到48個噪聲電壓，設(shè)它們是相互獨立的隨機變量，且都在區(qū)間上服從均勻分布，記，求.解：依題可知，由獨立同分布中心極限定理得.12. 一部件包括10個部分，每部分的長度是一個隨機變量，它們相互獨立，且服從同一分布，其數(shù)學(xué)期望為2mm，均方差為0.05mm.規(guī)定總長度誤差在0.1mm內(nèi)算合格品，試求產(chǎn)品合格的概率.解：設(shè)隨機變量表示“第個部分的長度”，則相互獨立，且表示“該部件的總長度”， 由獨立同分布中心極限定理得.13. 擲硬幣900次，試求：（1）至少出現(xiàn)正面480次的概率；（2）出現(xiàn)正面在420次到480次之間的概率.解：設(shè)隨機變量表示“擲900次硬幣中

10、出現(xiàn)正面的次數(shù)”，則，由棣莫弗拉普拉斯中心極限定理得（1）（2）14. 一船舶在某海區(qū)航行，已知每遭受一次波浪的沖擊，縱搖角大于的概率，若船舶遭受了90000次波浪沖擊，問其中有次縱搖角度大于的概率是多少？解：設(shè)隨機變量表示“在90000次波浪沖擊中縱搖角大于的次數(shù)”，則，由棣莫弗拉普拉斯中心極限定理得15用切比雪夫不等式確定當(dāng)投擲一枚均勻硬幣時，需投多少次，才能使出現(xiàn)正面的頻率在0.4至0.6之間的概率不小于90%.并用棣莫弗-拉普拉斯定理計算同一問題，然后進(jìn)行比較.解：設(shè)需投硬幣的次數(shù)為，隨機變量表示“投擲次中硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)”，顯然，則（1）由切比雪夫不等式得即（2）由棣莫弗-拉普拉斯定理得 即，查表得，即，而，故16.設(shè)有30個電子器件，它們的使用情況如下：損壞，接著使用；損壞，接著使用等等.設(shè)器件的使用壽命服從參數(shù)（單位：）的指數(shù)分布.令為30個器件使用的總時數(shù)，問超過350h的概率是多少？解：設(shè)隨機變量表示“第個電子器件的使用壽命”，依題可知，相互獨立，且，由獨立同分布中心極限定理得.17某單位設(shè)置一電話總機，共有200架電話分機.設(shè)每個電話分機有5%的時間要