第五章相交線與平行線知識點整理

1、關(guān)鍵詞：相交線平行線 知識點 整理相交線與平行線知識點整理摘要：注意點：對頂角是成對出現(xiàn)的，對頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個角；如果與是對頂角，那么一定有；反之如果，那么 與 不一定是對頂角，如果與互為鄰補(bǔ)角，則一定有180 ;反之如果180，則 與不一定是鄰補(bǔ)角。兩直線相交形成的四個角中，每一個角的鄰補(bǔ)角有兩個，而對頂角只有一個。相交線1、鄰補(bǔ)角與對頂角兩直線相交所成的四個角中存在幾種不同關(guān)系的角，它們的概念及性質(zhì)如下表:圖形頂點邊的關(guān)系大小關(guān)系對頂角/ 1 與/ 2有公共頂點/ 1的兩邊與/ 2的兩邊互為反 向延長線對頂角相等即/仁/ 2鄰補(bǔ)角/ 3 與/ 4有公共頂點/ 3與/ 4有一 條

2、邊公共，另一 邊互為反向延長 線。/ 3+/ 4=180 °注意點：對頂角是成對出現(xiàn)的，對頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個角；如果/a與是對頂角，那么一定有/a =Z3；反之如果/a =/3,那么/a與不一定是對頂角如果/a與/B互為鄰補(bǔ)角，則一定有/a +/3 =180°；反之如果/a +/3 =180°,則/a與/B不一定是鄰補(bǔ)角。兩直線相交形成的四個角中，每一個角的鄰補(bǔ)角有兩個，而對頂角只有一個。2、垂線定義，當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直, 其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。符號語言記作：垂線性質(zhì)1

3、:過一點有且只有一條直線與已知直線垂直（與平行公理相比較記）垂線性質(zhì)2 :連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段最 短。3、垂線的畫法：過直線上一點畫已知直線的垂線；過直線外一點畫已知直線的垂線。注意：畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線；過一點作線段的垂線, 垂足可在線段上，也可以在線段的延長線上。畫法：一靠：用三角尺一條直角邊靠在已知直線上，二移：移動三角尺使一點落在它的 另一邊直角邊上，三畫：沿著這條直角邊畫線，不要畫成給人的印象是線段的線。4、點到直線的距離直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離 記得時候應(yīng)該結(jié)合圖形進(jìn)行記憶。?PA

4、OB 如圖，P0丄AB,同P到直線AB的距離是PO的長。PO是垂線段。PO是點P到直線AB所 有線段中最短的一條?，F(xiàn)實生活中開溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質(zhì)的應(yīng)用。5、如何理解“垂線”、“垂線段”、“兩點間距離”、“點到直線的距離”這些相近而又相異的 概念分析它們的聯(lián)系與區(qū)別垂線與垂線段區(qū)別：垂線是一條直線，不可度量長度；垂線段是一條線段，可以度量長度。 聯(lián)系：具有垂直于已知直線的共同特征。（垂直的性質(zhì)）兩點間距離與點到直線的距離區(qū)別：兩點間的距離是點與點之間，點到直線的距離是點與直線之間。聯(lián)系：都是線段的長度；點到直線的距離是特殊的兩點（即已知點與垂足）間距離。線段與距離 距離是線段

5、的長度，是一個量；線段是一種圖形，它們之間不能等同。平行線1、平行線的概念：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，直線a與直線b互相平行，記作a / b。2、兩條直線的位置關(guān)系在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交；平行。因此當(dāng)我們得知在同一平面內(nèi)兩直線不相交時，就可以肯定它們平行；反過來也一樣（這里，我們把重合的兩直線看成一條直線）判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時，可以根據(jù)它們的公共點的個數(shù)來確定: 有且只有一個公共點，兩直線相交； 無公共點，則兩直線平行； 兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合（因為兩點確定一條直線）3、平行公理一一平行線的存在性與惟一性經(jīng)過直線外一點，有且只有一

6、條直線與這條直線平行4、平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行如左圖所示， b二 b注意符號語言書寫，/ a , c / a/ c前提條件是兩直線都平行于第三條直線，才會結(jié)論，這兩條直線都平行。5、三線八角兩條直線被第三條直線所截形成八個角，它們構(gòu)成了同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角。如圖，直線a,b被直線I所截/ 1與/5在截線|的同側(cè),叫做同位角（位置相同）/ 5與/ 3在截線I的兩旁同在被截直線（交錯），在被截直線a,b之間（內(nèi)），叫做內(nèi)錯角（位置在內(nèi)且交錯）/5與/4在截線I的同側(cè),在被截直線 a,b之間（內(nèi)），叫做同旁內(nèi)角。 三線八角也可以成模型中看出。同位

7、角是“A”型；內(nèi)錯角是“ Z'型；同旁內(nèi)角是“ U”型。6、如何判別三線八角，有時需要將有關(guān)判別同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角的關(guān)鍵是找到構(gòu)成這兩個角的“三線” 的部分“抽出”或把無關(guān)的線略去不看，有時又需要把圖形補(bǔ)全。例如：/1與/ 2;/ 1與/ 7;/ 1與/ BAD;/ 2 與/ 6;/ 5與/ 8。我們將各對角從圖形中抽出來（或者說略去與有關(guān)角無關(guān)的線），得到下列各圖。如圖所示，不難看出/ 1與/ 2是同旁內(nèi)角；/ 1與/ 7是同位角；/ 1與/ BAD是同旁內(nèi)角；/ 2與/ 6是內(nèi)錯角；/ 5與/ 8對頂角。DE注意：圖中/不是，因為/它們是同位角嗎2 與/ 9,2與/ 9的各邊

8、分別在四條不同直線上，不是兩直線被第三條直線所截而成。7、兩直線平行的判定方法方法一兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡稱：同位角相等，兩直線平行方法二兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行簡稱：內(nèi)錯角相等，兩直線平行方法三兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行簡稱：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行幾何符號語言：/ 3=7 2 AB/ CD （同位角相等，兩直線平行）/7 1 = 7 2 AB/ CD （內(nèi)錯角相等，兩直線平行）/74+7 2= 180° AB/ CD （同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）請同學(xué)們注意書寫的順序以

9、及前因后果，平行線的判定是由角相等，然后得出平行。平行線 的判定是寫角相等，然后寫平行。注意：幾何中，圖形之間的“位置關(guān)系”一般都與某種“數(shù)量關(guān)系”有著內(nèi)在的聯(lián)系，常由“位置關(guān)系”決定其“數(shù)量關(guān)系”，反之也可從“數(shù)量關(guān)系”去確定“位置關(guān)系” 。上述平 行線的判定方法就是根據(jù)同位角或內(nèi)錯角“相等”或同旁內(nèi)角“互補(bǔ)”這種“數(shù)量關(guān)系”，判定兩直線“平行”這種“位置關(guān)系” 。根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有兩種：如果兩條直線沒有交點（不相交），那么兩直線平行。如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條 直線平行。典型例題：判斷下列說法是否正確，如果不正確，請給予改正：不相交的兩條

10、直線必定平行線。在同一平面內(nèi)不相重合的兩條直線，如果它們不平行，那么這兩條直線一定相交。過一點可以且只可以畫一條直線與已知直線平行解答：錯誤，平行線是“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線”?！霸谕黄矫鎯?nèi)”是一項重要條件，不能遺漏。正確不正確，正確的說法是“過直線外一點”而不是“過一點”。因為如果這一點不在已知直線上，是作不出這條直線的平行線的。典型例題：如圖，根據(jù)下列條件，可以判定哪兩條直線平行，并說明判定的根據(jù)是什么解答：由/ 2=Z B可判定AB/ DE,根據(jù)是同位角相等，兩直線平行；由/ 1 = Z D可判定AC/ DF,根據(jù)是內(nèi)錯角相等，兩直線平行；由/ 3+Z F= 180°可

11、判定AC/ DF,根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。平行線的性質(zhì)1、平行線的性質(zhì):性質(zhì)1 :兩直線平行，同位角相等;性質(zhì)2兩直線平行，內(nèi)錯角相等;性質(zhì)3 :兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。幾何符號語言：/AB/ CD/ 1 = Z 2 （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）/AB/ CD3 =Z 2 （兩直線平行，同位角相等）/AB/ CD/ 4 +Z 2= 180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）2、兩條平行線的距離如圖，直線AB/ CD, EF丄AB于E, EF丄CD于F,則稱線段EF的長度為兩平行線 AB與CD間的距離。ArGEBC HtDF注意：直線AB/CD,在直線AB上任取一點 G,過點G作CD的

12、垂線段GH,則垂線段GH的長度也就是直線 AB與CD間的距離。3、命題：命題的概念：判斷一件事情的語句，叫做命題。命題的組成每個命題都是題設(shè)、結(jié)論兩部分組成。題設(shè)是已知事項；結(jié)論是由已知事項推出的事項。 命題常寫成“如果，那么”的形式。具有這種形式的命題中，用“如果”開始的部 分是題設(shè)，用“那么”開始的部分是結(jié)論。有些命題，沒有寫成“如果，那么”的形式，題設(shè)和結(jié)論不明顯。對于這樣的命 題，要經(jīng)過分析才能找出題設(shè)和結(jié)論，也可以將它們改寫成 “如果,那么”的形式。注意：命題的題設(shè)（條件）部分，有時也可用“已知”或者“若”等形式表述；命 題的結(jié)論部分，有時也可用“求證”或“則”等形式表述。4、平行線

13、的性質(zhì)與判定 平行線的性質(zhì)與判定是互逆的關(guān)系兩直線平行同位角相等；兩直線平行內(nèi)錯角相等；兩直線平行"； 同旁內(nèi)角互補(bǔ)。其中，由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線 的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)。典型例題：已知/ 1 = Z B,求證：/證明：/ 1 = Z B （已知） DE/ BC （同位角相等，兩直線平行） / 2 =Z C （兩直線平行同位角相等）注意，在了 DE / BC,不需要再寫一次了，得到了DE/ BC,這可以把它當(dāng)作條件來用了。典型例題：如圖， AB/ DF, DE/ BC,Z 1

14、 = 65°B解答： DE/ BC （已知）2 =/ 1 = 65° （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）/ AB/ DF （已知） AB/ DF （已知）/ 3 +Z 2 = 180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）/3 = 180° -Z 2 = 180° 65°= 115°平移1、平移變換 把一個圖形整體沿某一方向移動，會得到一個新的圖形， 新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同。 新圖形的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應(yīng)點 連接各組對應(yīng)點的線段平行且相等2、平移的特征： 經(jīng)過平移之后的圖形與原來的圖形的對應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等，對應(yīng)角相