函數(shù)單調(diào)性和奇偶性情況總結(jié)復(fù)習(xí)資料

1、課次教學(xué)計(jì)劃(教案)課題函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性教學(xué)目標(biāo)1.通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義；學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì).理解增區(qū)間、減區(qū)間等概念，掌握增(減)函數(shù)的證明和判別2.結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì).理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的幾何意義，能熟練判別函數(shù)的奇偶性教學(xué)策略重點(diǎn)難點(diǎn)：理解函數(shù)的模型化思想，用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來刻畫函數(shù) 教學(xué)策略：講練結(jié)合，查漏補(bǔ)缺函數(shù)的單調(diào)性1 .例1:觀察y=x2的圖象，回答下列問題問題1:函數(shù)y=x2的圖象在y軸右側(cè)的部分是上升的，說明什么？ 隨著x的增加，y值在增加。問題2：怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)

2、言表示呢？設(shè) XI、X2 0 , +8,彳y yi=f(x 1), y2=f(X2).當(dāng) X1<X2 時(shí),f(xi)< f(x 2). 結(jié)論：這時(shí)，說y1= X2在0, +8止是增函數(shù)。(同理分析y軸左側(cè)部分) 由此可有：2 .定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮:如果對(duì)于屬于I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值X1、X2,當(dāng)X1 X2時(shí)都有f(X1)< f(X2).那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是 增函數(shù)(increasing function )。如果對(duì)于屬于I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值X1、X2,當(dāng)X1<X2時(shí)都有f(X1)>f(X2).那么就是f(x

3、)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)(decreasing function)。如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函說y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的。注意：(1)函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性；(2)注意區(qū)間上所取兩點(diǎn) X1,X2的任意性;(3)函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，它是一個(gè)局部概念。3 .例2.己知函數(shù)f(x) =X2+2X+3，畫出函數(shù)的圖象；根據(jù)圖象寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；利用定義證明函數(shù)f (X) = X2+2X+ 3在區(qū)間(-8,1上是增函數(shù) M當(dāng)函數(shù)f(x)在

4、區(qū)間(一8,m上是增函數(shù)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的 取值范圍.1、用定義判斷單調(diào)性：A .設(shè)Xi, X2 所給范圍 且Xi X2 ；B.計(jì)算f(X1)f(X2)=幾個(gè)因式的乘積形式C.判斷上述差的符號(hào)；D.下結(jié)論。如果f(x1) f (X2),則函數(shù)是增函數(shù)；如果 f(x1) f(X2),則函數(shù)是減函數(shù)”在區(qū)間(0, 1)上的單調(diào)性用定義法判斷單調(diào)性1 .試用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)f(x)解：任取 X1 ,X2 C (0,1)，且 XiX2 .則 f (xi) f(X2)2xx1 12X2X2 12(X2 Xi)(X 1)(X2 1)由于 0X1X21 ,X11 0 ,X21 0,X2X10,故 f (

5、X1)f (X2)0,即 f(x)f (X2).所以，函數(shù)f(X) 二在(0, 1)上是減函數(shù). X 1【擴(kuò)展】1判斷函數(shù)y X 1在(1,)的單調(diào)性，并用定義證明之.X 1判斷函數(shù)y X 1在(0,1)的單調(diào)性，并用定義證明之.X求單調(diào)區(qū)間1 .判斷函數(shù) y=X2-6X+ 10在區(qū)間(2, 4)的單調(diào)性 一 2x 12 .已知f(X) ，指出f(X)的單調(diào)區(qū)間3x 2根據(jù)圖像判斷單調(diào)性(看圖像，向上趨勢(shì)的就是增函數(shù)，向下趨勢(shì)的就是減函數(shù)；)1已知函數(shù)f (x) X2 2x3.(1) 畫出該函數(shù)的圖象；(2)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.21 .已知m 2,點(diǎn)m 1, y1，m, y2 , m 1, y

6、3都在二次函數(shù)y x 2x的圖像上，則a.yy2y3b.y3y2y1c .yy3y2 d.y2yy3()根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍一 2ax 1.若函數(shù)f(x) 在(1,)上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍 x 1 一 一22.如果函數(shù)y x (2a 1)x 1在區(qū)間 2,2上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍223設(shè)函數(shù)f X X 3a 1 X a在區(qū)間1, 上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍。4 .若f (x)x2 2ax與g(x) -a一在區(qū)間1,2上都是減函數(shù)，則 a的取值范圍是 x 15 .若函數(shù)f(x) ax b 2在0, 上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a,b的取值范圍是().利用單調(diào)性判斷函數(shù)值例6

7、.己知函數(shù)y=f(x)在0,十8止是減函數(shù)，試比較f(_3)與f(a2 a十1)的大小. 4函數(shù)的值域二、新知導(dǎo)航：1.函數(shù)最大(小)值定義最大值：一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù) M滿足：(1)對(duì)于任意的x I ,都有f(x) M ；存在x° I ,使得f(x0) M .那么，稱M是函數(shù)y f(x)的最大值.【例1】畫出下列函數(shù)的圖象，指出圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，并說明它能體現(xiàn)函數(shù)的什么特征? f(x)x 3 f(x) x 3 x 1,2_2_2 f(x) x 2x 1 f(x) x 2x 1 x 2,22.注意：函數(shù)最大(小)首先應(yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在x0 I

8、 ,使得f(x0) M ;函數(shù)最大(小)應(yīng)該是所有函數(shù)值中最大(小)的，即對(duì)于任意的x I ,都有f (x) M (f (x)利用函數(shù)單調(diào)性來判斷函數(shù)最大(小)值的方法.1(1)配方法 (2)換元法(3)數(shù)形結(jié)合法一一 ，一一 2 ，一一 ，一 一例2求函數(shù)y 在區(qū)間2 , 6上的取大值和取小值x 1【例3】求函數(shù)y x的最大值、經(jīng)典范例:的最大值.例1 求函數(shù)解：配方為y(x6T2)(x2)2(x2)2：8.所以函數(shù)的最大值為8.【例2】21 .已知函數(shù)f(x)2 .已知函數(shù)f(x)3 .已知函數(shù)f(x)x 2x 3,求出函數(shù)的最值x2 2x 3, x 0,4求出函數(shù)的最值2x2x 3, x

9、 2,4求出函數(shù)的最值【擴(kuò)展】)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù) m的值；并根據(jù)所 已知函數(shù)f(x) x2 2mx 2在(，2)上是減函數(shù)，在(2, 求的m的值求函數(shù)在(，)上的最值.已知函數(shù)f(x) |x2 2x 3 .(1)寫出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間x 2,2上的最值.2已知函數(shù)f(x) 2x -.x(1)試討論函數(shù)在 x (0,)上的單調(diào)性，并證明之;(2)由(1)試求函數(shù)在(0,)上的最值.【例3】求函數(shù)y 2x Jx 1的最小值.解：此函數(shù)的定義域?yàn)?,且函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，所以當(dāng)x 1時(shí)，ymin 2 E7 2,函數(shù)的最小值為 2.點(diǎn)評(píng)：形如y ax b 疝d的函數(shù)最大值或最小

10、值，可以用單調(diào)性法研究，也可以用換元法研究.【另解】令人t,則t 0, x t2 1 ,所以y 2t2 t 2 2(t -)2 15,在t 0時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)t 048時(shí)，ymin 2,故函數(shù)的最小值為 2.【例4】求下列函數(shù)的最大值和最小值:25 3,、 y 3 2x x,x 2'/ y |x 1| 1x 21.解：（1）二次函數(shù)y 3 2x x2的對(duì)稱軸為x-b ,即x 1.2a39回出函數(shù)的圖象，由圖可知，當(dāng) x 1時(shí)，ymax 4；當(dāng)x 士時(shí)，ymin-.24所以函數(shù)y 3 2x x2, x ±3的最大值為4,最小值為 -. 2 24四、課堂練習(xí)1.已知函數(shù)y kx0,

11、卜列說法中正確的是（A）函數(shù)有最大值2（C）當(dāng)k 0時(shí)函數(shù)有最大值2（B）函數(shù)有最小值2（D）當(dāng)k 0時(shí)函數(shù)有最大值22 .已知函數(shù)f（x） x2 mx 2在（，1）上是減函數(shù)，在（1,）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù) m的值；并根據(jù)所求的 m 的值求函數(shù)在（，）上的最值.3 .已知函數(shù)y x2 2x 2, x 3,2 ,求該函數(shù)的最值 4 .已知函數(shù)f（x） x2 2x 3 .（1）寫出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間x 1,5上的最值.6.函數(shù)f（x） x2 2ax a在區(qū)間（，1）上有最小值，則a的取值范圍是（）.A. a 1B. a 1C. a 1D. a 123 .7.已知函數(shù)f（x） x

12、x 1, x 0,3的最大（小）值情況為（）.2A.有最大值-，但無最小值B.有最小值-,有最大值144C.有最小值1,有最大值 D.無最大值，也無最小值48 .函數(shù)y 3x J2 x的最大值是.9 .已知函數(shù)y x2 ax a 1在區(qū)間0, 1上的最大值為2,求實(shí)數(shù)a的值.4 2函數(shù)的奇偶性1 .回憶增函數(shù)、減函數(shù)的定義，并復(fù)述證明函數(shù)單調(diào)性的步驟。2 .初中幾何中軸對(duì)稱，中心對(duì)稱是如何定義的？軸對(duì)稱：兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱（即一個(gè)圖形沿直線折疊，能夠與另一圖形重合）中心對(duì)稱：兩個(gè)圖形關(guān)于某一點(diǎn)對(duì)稱（即把一個(gè)圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180 ,能夠與另一圖形重合）這節(jié)課我們來研究函數(shù)的另外一個(gè)性質(zhì)一一

13、奇偶性y=f(x)=x1.偶函數(shù)(1)觀察函數(shù)y=x2的圖象(如右圖)圖象有怎樣的對(duì)稱性？從函數(shù) 本身來說，其特點(diǎn)是什么？當(dāng)自變量取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，函數(shù)y取同一值。例如：f(-2)=4, f(2)=4,即 f(-2)=f(-2) ; f(-1)=1 , f=1 ,即 f( 1)4, f(2)1,即£( 1)f(f(-1)= f由于(-x) 2=x2f(-x)= f(x).以上情況反映在圖象上就是：如果點(diǎn)(x,y)是函數(shù)y=x2的圖象上的任一點(diǎn)，那么，與它關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)(-x,y)也在函數(shù)y=x2的圖象上，這時(shí)，我們說函數(shù)y=x2是偶函數(shù)。(2)定義：一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義

14、域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(-x)= f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)(even function )。22例如：函數(shù)f (x) x 1, f (x) , f (x)x等都是偶函數(shù)。x 112 .奇函數(shù)(1)觀察函數(shù)y=x3的圖象(投影2)當(dāng)自變量取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值有什么關(guān)系？也是一對(duì)相反數(shù)。這個(gè)事實(shí)反映在圖象上，說明函數(shù)的圖象有怎樣的對(duì)稱性呢？如果點(diǎn) (x,y)是函數(shù)y=x3的圖象上任一點(diǎn)，那么與它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)(-x,-y)也在函數(shù)y=x3的圖象上，這時(shí)，我們說函數(shù)y=x3是奇函數(shù)。(2)定義一般地，(板書)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè) x,都有f( x) f(

15、x)那么 函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(odd function)。一，_1例如：函數(shù)f(x) x, f(x)都是奇函數(shù)。 x3 .奇偶性如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么我們就說函數(shù)f(x)具有奇偶性。例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性。(1) f(x)=x 3+2x;(2) f(x)=2x 4+3x2;(3) f(x)=x 2+2x+5;(6) f(x)=x+ ; x21(4) f(x)=x 2,x0,;(5) f(x)=;x分析： 這里主要是根據(jù)奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷；函數(shù)中有奇函數(shù)，也有偶函數(shù)，但是還有些函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，唯有f(x)=0 (xCR或xC (-a,a).a&g

16、t;0)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。從函數(shù)奇偶性的定義可以看出，具有奇偶性的函數(shù)，首先其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；其次f(-x)= f(x)或f(-x尸-f(x)必有一成立。因此，判斷某一函數(shù)的奇偶性時(shí)：首先看其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若對(duì)稱，再計(jì)算f(-x),看是等于f(x)還是等于-f(x),然后下結(jié)論；若定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，則函數(shù)沒有 奇偶性。例2、判斷下列函數(shù)的奇偶性2(1) f (x)<1 x|X 2|(1 x)h判斷下列分段函數(shù)的奇偶性0)0)(2) f(x)=x|x|+x 3x(1 x)(x f(x) ')x(1 x)(x一 一，1例3.函數(shù)f(x)= 1x的圖象關(guān)于()(判

17、斷圖像性質(zhì))xA. y軸對(duì)稱B.直線y= xC.坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱D.直線y=x例4、已知函數(shù)y=f(x)在R上是奇函數(shù)，而且在 0, 是增函數(shù)。證明y=f(x)在，0上也是增函數(shù)。4.結(jié)論： 奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性是相同的；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性是相反的；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于Y軸對(duì)稱；奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.利用函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)求參數(shù)例1.若函數(shù)f(x)a是奇函數(shù)，則a 2x 1x 2,x 0例2.若函數(shù)f(x) a,x 0是奇函數(shù)，則a b x b, x 03、如果定義在區(qū)間3 a,5上的函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則a=24 .已知函數(shù)f(x)

18、 ax bx c, x 2a 3,1是偶函數(shù)，則a b 一7535 .已知 f (x) ax bx cx dx 5,其中 a,b,c,d 為常數(shù)，右 f( 7)7 ,則f26 .右函數(shù)f(x) (k 2)x (k 1)x 2是偶函數(shù)，則f(x)的單倜遞減區(qū)間是 7.已知函數(shù) f (x) ax2bx c .(1)若函數(shù)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù) a(2)若函數(shù)為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù) ac滿足的條件;c滿足的條件【總結(jié)】_54f (x) ax bx若函數(shù)是奇函數(shù)，則3.2-cx dx ex,5若函數(shù)是偶函數(shù)，則求函數(shù)表達(dá)式:2.已知f(x)是偶函數(shù),解：作出函數(shù)y2x 0時(shí)，f (x) 2x 4x,求x 0時(shí)f(

19、x)的解析式.222x 4x 2(x 1)2, x 0的圖象，其頂點(diǎn)為(1,2).f(x)是偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.作出x 0時(shí)的圖象，其頂點(diǎn)為(1,2),且與右側(cè)形狀一致,x 0時(shí)，f (x)2(x1)2 22x24x .【擴(kuò)展】若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)0時(shí)，0時(shí),f(x)f(x)2x x2x2,，試求函數(shù)f(x)在x 0時(shí)的解析式. 試求函數(shù)f(x)的解析式.判斷抽象函數(shù)的奇偶性1.設(shè)f (x)是R上的任意函數(shù),卜列敘述正確的是(A. f(x)f( x)是奇函數(shù)B. f(x) f ( x)是奇函數(shù)C. f(x)f ( x)是偶函數(shù)D. f(x) f ( x)

20、是偶函數(shù)2.設(shè)函數(shù)f (x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論一定成立的是(A. f(x) |g(x)|是偶函數(shù)B. f (x) |g(x)|是奇函數(shù)C. |f(x)| g(x)是偶函數(shù)D. |f(x)| g(x)是奇函數(shù)利用函數(shù)的圖像比較函數(shù)值的大小例 定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意的xi,x2 0,)(xi x2),有 f(x2) "x1) 0 則x2 x1f (3), f ( 2), f(1)的大小關(guān)系是利用奇偶圖像判斷單調(diào)性以及解不等式(數(shù)形結(jié)合)1.若奇函數(shù)f(x)在3, 7上是增函數(shù)，且最小值是1,則它在7, 3上是()A.增函數(shù)且最小值是1B.增函數(shù)且最大值是1C,減函數(shù)且最大值是-1D,減函數(shù)且最小值是-12.若f(x)為奇函數(shù)，且在(0,+)內(nèi)是增函數(shù)，又f( 3) 0,則xf(x) 0解集為3.已知奇函數(shù)f(x)的圖象是兩條直線的一部分(如圖所示),其定義域?yàn)?,0)(0,1,則不等式f(x) f( x) 1的解集是().1 0A. x | 1 x 1且x0 B. x | 1 x