實驗三 隨機(jī)信號的功率譜估計

1、隨機(jī)信號的功率譜估計一、 實驗?zāi)康模?）了解估計功率譜密度的幾種方法；（2）掌握功率譜密度估計在隨機(jī)信號處理中的作用。二、 實驗原理隨機(jī)信號的功率譜密度用來描述信號的能量特征隨頻率的變化關(guān)系。對功率譜密度的估計又稱功率譜估計。1 線性估計法（有偏估計）：線性估計方法是有偏的譜估計方法，譜分辨率隨數(shù)據(jù)長度的增加而提高。包括：自相關(guān)估計、自協(xié)方差法、周期圖法。2 非線性估計（無偏估計）：非線性估計方法大多是無偏的譜估計方法，可以獲得高的譜分辨率。包括：最大似然法、最大熵法1 自相關(guān)估計法假設(shè)我們已知隨機(jī)信號x(n)的M長的自相關(guān)序列，利用自相關(guān)函數(shù)法可以得到x(n)的功率譜估計： (3-1)利用窗

2、函數(shù)，上式又可表達(dá)為 (3-2)其中，為矩形窗函數(shù)，定義為 (3-3)因此，實際上是真正功率譜與窗函數(shù)傅立葉變換的卷積。矩形窗函數(shù)不僅降低了譜估計的分辨率，而且使譜估計產(chǎn)生了旁瓣。為了降低旁瓣影響，可以采用具有較小旁瓣的窗函數(shù)，如Hamming 窗，它定義為 (3-4)這種窗函數(shù)可以有效的抑制旁瓣，但是，此時主瓣寬度增大，從而降低了譜估計的分辨率，這種主瓣和旁瓣之間的矛盾在線性譜估計方法中是無法解決的。2 周期圖法假設(shè)已知隨機(jī)信號的N個樣本，利用周期圖方法，信號x(n)的功率譜估計為 (3-5)利用上述方法得到的譜估計方差與信號的功率譜平方成正比，為了減小它的方差，可以將信號序列進(jìn)行分段處理，

3、然后再求各分段結(jié)果的平均，這就是平均周期圖方法，即Bartlett方法。（1）Bartlett 平均周期圖方法將一個隨機(jī)序列 (0nN）分成K段，每段長度為L，各段之間互不重迭，因而N=KL，可以想到，第i段的信號序列可表示為 (3-6)對于每一段的周期圖又可寫成, (3-7)于是，功率譜估計定義為 (3-8)因此，對于固定的記錄長度來講，分段數(shù)K增大可使譜估計的方差減小，但是由于L的減小，相應(yīng)的功率譜主瓣增寬，譜分辨率降低，顯然，方差和分辨率也是矛盾的。除了分辨率降低以外，分段處理還會引起序列的長度有限所帶來的旁瓣效應(yīng)。為減小這種影響，最有效的辦法是給分段序列用適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)加權(quán)，可以得到較平

4、滑的譜估計，當(dāng)然，相應(yīng)的分辨率也有所下降。3. 最大熵法對信號的功率譜密度估計的一種方法。1967年由J.P.伯格所提出。其原理是取一組時間序列，使其自相關(guān)函數(shù)與一組已知數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)相同，同時使已知自相關(guān)函數(shù)以外的部分的隨機(jī)性最強(qiáng)，以所取時間序列的譜作為已知數(shù)據(jù)的譜估值。它等效于根據(jù)使隨機(jī)過程的熵為最大的原則,利用N個已知的自相關(guān)函數(shù)值來外推其他未知的自相關(guān)函數(shù)值所得到的功率譜。最大熵法功率譜估值是一種可獲得高分辨率的非線性譜估值方法，特別適用于數(shù)據(jù)長度較短的情況。最大熵法譜估值對未知數(shù)據(jù)的假定一個平穩(wěn)的隨機(jī)序列，可以用周期圖法對其功率譜進(jìn)行估值。這種估值方法隱含著假定未知數(shù)據(jù)是已知數(shù)據(jù)的

5、周期性重復(fù)?，F(xiàn)有的線性譜估計方法是假定未知數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)值為零，這種人為假定帶來的誤差較大。最大熵法是利用已知的自相關(guān)函數(shù)值來外推未知的自相關(guān)函數(shù)值，去除了對未知數(shù)據(jù)的人為假定，從而使譜估計的結(jié)果更為合理。3、 實驗內(nèi)容和結(jié)果1. 自相關(guān)估計MATLAB：clear;%清屏fs=1000;%設(shè)采樣頻率為1000n=0:1/fs:1;N=length(n);W1=2*pi*300;%300Hz角頻率W2=2*pi*310;%310Hz角頻率X1n=cos(W1*n)+cos(W2*n);%兩個余弦信號相加X2n=randn(1,N);%白噪聲信號xn=X1n+X2n;%產(chǎn)生含有噪聲的信號序列X

6、N subplot(3,1,1)plot(n,xn);xlabel(n)ylabel(輸入信號) m=-100:100;r,lag=xcorr(xn,100,biased);%求XN的自相關(guān)函數(shù)R，biased為有偏估計lag為R的序列號subplot(3,1,2)hndl=stem(m,r);%繪制離散圖，分布點從-100+100set(hndl,Marker,.)set(hndl,MarkerSize,2);ylabel(自相關(guān)函數(shù)R(m) %利用間接法計算功率譜k=0:1000;%取1000個點w=(pi/500)*k;M=k/500;X=r*(exp(-1i*pi/500).(m*k)

7、;%對R求傅里葉變換magX=abs(X);subplot(3,1,3)plot(M,10*log10(magX);title(功率譜)2. 周期圖法clear;fs=4000;%設(shè)采樣頻率為4000n=0:1/fs:1;N=length(n);W1=2*pi*300;W2=2*pi*310;%X1n=cos(W1*n)+cos(W2*n);%兩個余弦信號相加X2n=randn(1,N);%白噪聲信號xn=X1n+X2n;%產(chǎn)生含有噪聲的信號序列XN subplot(2,1,1)plot(n,xn);xlabel(n)ylabel(輸入信號) Nfft=256;N=256;%傅里葉變換的采樣點

8、數(shù)256Pxx=abs(fft(xn,Nfft).2)/N;f=(0:length(Pxx)-1)*fs/length(Pxx);subplot(2,1,2),plot(f,10*log10(Pxx),%轉(zhuǎn)成DB單位xlabel(頻率/Hz),ylabel(功率譜/dB),title(周期圖法);3. 最大熵法clear;fs=4000;%設(shè)采樣頻率為4000n=0:1/fs:1;N=length(n);W1=2*pi*300;W2=2*pi*310;%X1n=cos(W1*n)+cos(W2*n);%兩個余弦信號相加X2n=randn(1,N);%白噪聲信號xn=X1n+X2n;%產(chǎn)生含有噪

9、聲的信號序列XN subplot(3,1,1)plot(n,xn);xlabel(n)ylabel(輸入信號) Nfft=256;%分段長度256Pxx,f=pmem(xn,14,Nfft,fs);%調(diào)用最大熵函數(shù)pmem，濾波器階數(shù)14subplot(2,1,2),plot(f,10*log10(Pxx),title( 最大熵法-濾波器14),xlabel(頻率Hz),ylabel(功率譜dB);4、 實驗結(jié)論1.周期圖法在分辨率和穩(wěn)定性方面是優(yōu)于自相關(guān)函數(shù)法的譜估計：增大 M(或 N/K)值，會使主瓣寬度減小，即分辨率增加；反之，M 越小，主瓣越寬，分辨率越小。另一方面，對于周期圖法，仍存

10、在著頻率分辨率低、方差性能不好的問題，原因是譜估計時對數(shù)據(jù)加窗截斷，用有限個數(shù)據(jù)或其自相關(guān)函數(shù)來估計無限個數(shù)據(jù)的功率譜，當(dāng)數(shù)據(jù)很短時，這個問題更為突出。2. 比較：周期圖法與序列的頻譜有對應(yīng)的關(guān)系，能采用FFT算法快速實現(xiàn)。但在直接法功率譜估計中，要對無限長的序列加以矩形窗，這也意味著對自相關(guān)函數(shù)加窗，因此會產(chǎn)生頻譜泄漏，容易使弱信號的主瓣被強(qiáng)信號的旁瓣所淹沒，造成頻譜模糊和失真，使周期圖功率譜的分辨率較低。而最大熵法最大限度第保留了數(shù)據(jù)階段后窗口以外的信息，使估計譜的熵最大。最大似然估計的分辨率相對比較高。自相關(guān)法中X(n)的功率譜估計為P(k)=R(m)W.(m*K)。當(dāng)M較小時，計算量不

11、算很大。5、 心得體會 心得：隨機(jī)信號的功率譜密度估計和相關(guān)函數(shù)這個實驗主要是了解估計功率譜密度的幾種方法，掌握功率譜密度估計在隨機(jī)信號處理中的作用。隨機(jī)信號的功率譜密度用來描述信號的能量特征隨頻率的變化關(guān)系。功率譜密度簡稱為功率譜，是自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換。對功率譜密度的估計又稱功率譜估計。最初看到隨機(jī)實驗選題的時候，對于實驗的目的，實驗的步驟在腦中沒有概念。對于線性估計法和非線性估計法的差異沒有明確的區(qū)分。通過查閱書籍，了解了五種估計方法的基本思想。但對于用matlab進(jìn)行仿真估計，也十分不熟悉。于是，我們小組成員找出課本復(fù)習(xí)了matlab中的一些重點。通過我們不屑的努力，不斷的修改程序，調(diào)試程序，終于得出了正確的仿真圖形。通過這次試驗，對功率譜密度有了更深刻更全面的認(rèn)識，并且對matlab一些功能的使用也熟悉了許多。實踐了理論，對理論有了更具體的認(rèn)識。但仍看到了一些不足，理論基礎(chǔ)不夠扎實，對于matlab運用不夠熟練。并且希望可以更深入的研究如何可以更加精確的描述功率譜密度的方法。通過完成隨機(jī)信號分析實驗這樣在時間和內(nèi)容上都很自由的開放性實驗，鍛煉了我們自己設(shè)計實驗，完成實驗的動手能力，同樣也培養(yǎng)我們分析問題解決問題的能力。但由于形式上的開放，也使我們在實驗