基于ARCH模型的美國消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)

1、江蘇師范大學(xué)科文學(xué)院課程論文課程： 時(shí)間序列分析 班級： 11金融 姓名： 李錚 學(xué)號： 118310115 時(shí) 間：2014年11月基于ARCH模型對美國消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)（CPI）研究摘要：為了看出以CPI度量的美國通貨膨脹率中是否存在ARCH效應(yīng)，本文收集了從1947年2月至2009年8月的CPI數(shù)據(jù)，從實(shí)證上說明了美國消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)存在ARCH效應(yīng)，并建立了ARCH（2）模型。關(guān)鍵詞：消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)；ARCH模型；殘差一、引言消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)（CPI）是衡量通貨膨脹的三個(gè)指標(biāo)之一，是一個(gè)重要的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)。本文首先簡要介紹ARCH理論模型，然后判斷以CPI度量的美國通貨膨脹率是否存在ARCH效應(yīng)

2、，若存在，最后根據(jù)這個(gè)模型消費(fèi)者者物價(jià)指數(shù)的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。2、 ARCH模型ARCH模型就是就是將存在波動(dòng)性的金融時(shí)間序列進(jìn)行模型化，如模型化股票價(jià)格、匯率和通貨膨脹率等序列。這些金融時(shí)間序列多數(shù)具有這樣一個(gè)特征：它們的水平值為隨機(jī)步游；即是非平穩(wěn)的，但另一方面，它們的一階差分形式則通常都是平穩(wěn)的，這些一階差分通常都表現(xiàn)出大幅擺動(dòng)或變動(dòng)，說明金融時(shí)間序列的方差也在隨時(shí)間的變化，Engle在1982年提出的ARCH模型，就是模型化這種“變動(dòng)著的方差”。為了理解ARCH模型的含義，先給出ARCH(1)模型。其中。是平穩(wěn)過程，首先，的無條件均值仍是0，其次，的無條件方差Var()=Var()=E()

3、,Var()=+Var( ),Var()=。ARCH（m)模型的一般形式則為：其中，是一個(gè)mm階的非負(fù)定矩陣。這樣，Engle的模型是用一個(gè)節(jié)省參數(shù)的方式來逼近一個(gè)二次函數(shù)。建立一個(gè)ARCH模型的簡單方法包括三個(gè)步驟：（1）對收益率序列建立一個(gè)經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型（如AR模型），以分離出數(shù)據(jù)中的任何線性相關(guān)成分，并用該模型的殘差序列檢驗(yàn)ARCH效應(yīng)；（2）具體確定ARCH模型的階，在本文中利用偏自相關(guān)函數(shù)來確定ARCH的階，并估計(jì)參數(shù)；（3）仔細(xì)檢驗(yàn)所擬合的ARCH模型。3、 消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)的ARCH模型及其估計(jì)本文選取了美國1947年2月至2009年8月共751個(gè)月度數(shù)據(jù)，由于數(shù)據(jù)較難收集，因此，此

4、數(shù)據(jù)由經(jīng)濟(jì)學(xué)家網(wǎng)站下載而來。 1、平穩(wěn)性和單位根檢驗(yàn) 從圖1可以看到，1947年2月至2009年8月期間美國消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)呈現(xiàn)明顯的ARCH效應(yīng)，即大的抖動(dòng)會接著另一個(gè)大的抖動(dòng)，數(shù)據(jù)的波動(dòng)呈現(xiàn)聚類現(xiàn)象，因此，可確定數(shù)據(jù)是不平穩(wěn)的。 從圖2可以看到，消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)的對數(shù)也是非平穩(wěn)的，利用自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)來檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性，如圖3所示，我們這里只關(guān)注消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)對數(shù)的自相關(guān)函數(shù)，從圖3我們可以看到，序列 圖1 1947-02至2009-8（月度）期間美國CPI 圖2 1947-2至2009-08（月度）美國CPI的對數(shù)（ACPI=log(CPI)） 圖3 消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)對數(shù)的PAC和AC函數(shù)

5、PAC沒有很快地趨于0，并落入隨機(jī)區(qū)內(nèi)，而且自相關(guān)系數(shù)大于臨界值，時(shí)間序列有顯著的自相關(guān)性，時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。 因美國CPI對數(shù)的時(shí)間序列不是平穩(wěn)的，要把該時(shí)間序列數(shù)據(jù)變?yōu)槠椒€(wěn)的，圖4為一階差分圖，從圖中沒有看到序列中的任何趨勢，這也許表明，取一階差分后的CPI時(shí)間序列是平穩(wěn)的。圖5為CPI對數(shù)一階差分的PAC和AC函數(shù)，CPI對數(shù)時(shí)間序列的一階差分相關(guān)圖和偏相關(guān)圖可以看到，序列的自相關(guān)系數(shù)很快趨于0，并落入隨機(jī)區(qū) 圖4 CPI對數(shù)的一階差分內(nèi)，因此，經(jīng)差分后的時(shí)間序列是平穩(wěn)的，從圖中可以看到，時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)有呈衰減現(xiàn)象，偏自相關(guān)函數(shù)則顯著的直至滯后2階的尖柱。再運(yùn)用ADF檢驗(yàn)對時(shí)間序

6、列數(shù)據(jù)進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，圖6所示,ADF=-23.90959，在1%的顯著性水平下可以拒絕零假設(shè)，說明經(jīng)過差分后序列DCPI已經(jīng)平穩(wěn)。2、參數(shù)估計(jì)對CPI對數(shù)的一階差分進(jìn)行回歸分析，建立經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型AR模型（從圖5偏自相關(guān)函數(shù)可以確定階數(shù)為2），利用最小二乘法對DCPI進(jìn)行自回歸，得 DCPI=0.005-0.3822AR(1) (1) (0.2671)(-9.5257)=0.1552 F=90.74 AIC=1.7598 SC=1.7768 DCPI=0.0041-0.5023AR(1)-0.2827AR(2) （2） (0.2872)(-10.9714) (-6.4556)=0.2188 F

7、=62.9 AIC=1.663 SC=1.6903 圖5 CPI對數(shù)的一階差分的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖（1)式是對DCPI進(jìn)行一階自回歸，（2)式是對DCPI進(jìn)行二階自回歸，通過兩個(gè)回歸函數(shù)的ACI和SC值得比較，根據(jù)Akaike和Shawar信息準(zhǔn)則，用普通最小二乘法(OLS)得到DCPI自回歸的較優(yōu)模型選擇是2階自回歸過程。 圖6 CPI對數(shù)的一階差分的單位根檢驗(yàn)（DCPI=ACPI(t)-ACPI(t-1) )（2） 式自回歸方差的t統(tǒng)計(jì)量顯著,擬合優(yōu)度不是很高，并且觀察方程(2)的殘差圖(如圖7) ,可以注意到波動(dòng)的幅度并不是比較固定的:波動(dòng)在一些較長的時(shí)間內(nèi)非常小(如從1970年到1980

8、年) ,波動(dòng)在其他一些時(shí)間內(nèi)非常大(如從1990年到2000年)。這說明模型的殘差很可能具有條件異方差性。令X=RESID,則對殘差平方項(xiàng)進(jìn)行回歸。=0.2953+0.0649 （3） (10.296) (1.254)=0.0038 F=1.572 AIC=1.6333 SC=1.653 圖7 DCPI二階自回歸的殘差圖Dependent Variable: X2Method: Least SquaresDate: 07/22/11 Time: 20:39Sample (adjusted): 1947M09 2008M07Included observations: 387 after adj

9、ustmentsConvergence achieved after 3 iterationsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.  C0.2749650.0291669.4276680.0000AR(1)0.0687400.0515821.3326280.1834AR(2)0.0478350.0497390.9617090.3368R-squared0.007492    Mean dependent var0.275052Adjusted R-squared0.002323&#

10、160;   S.D. dependent var0.507459S.E. of regression0.506869    Akaike info criterion1.486594Sum squared resid98.65584    Schwarz criterion1.517279Log likelihood-284.6559    Hannan-Quinn criter.1.498761F-statistic1.449387 

11、;   Durbin-Watson stat2.054947Prob(F-statistic)0.235995Inverted AR Roots      .26         -.19 圖8 殘差項(xiàng) （4） (9.427) (1.332) (0.961)=0.0075 F=1.445 AIC=1.4865 SC=1.5172 （5）(6.702) (0.873) (1.272) (4.338)=0.0592 F=

12、7.447 AIC=1.447 SC=1.491（3） 式是對殘差平方的一階自回歸，（4）式是對殘差平方的二階自回歸，（5）式是對殘差平方的三階自回歸。通過對三個(gè)式子擬合優(yōu)度的比較，以及根據(jù)AIC準(zhǔn)則可知，對殘差平方的三階自回歸擬合的最好，ARCH(3)模型可以很好的你和數(shù)據(jù)。4、 基本結(jié)論 從以1947年到2009年消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)作為通貨膨脹率的實(shí)證結(jié)果來看,關(guān)于美國通貨膨脹率所存在的條件異方差現(xiàn)象的估計(jì)模型,與一些學(xué)者的研究有所不同,實(shí)證結(jié)果并未發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)者價(jià)格指數(shù)的通貨膨脹率存在GARCH過程和其他特征,而是僅存在ARCH(3)現(xiàn)象。當(dāng)然，所用數(shù)據(jù)不同可能得出不同結(jié)論,但這也說明這一時(shí)期消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)只是存在一階ARCH模型,而不需要描述為一個(gè)高階的ARCH模型。參考文獻(xiàn)：1李子奈,潘文卿計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)【M】.北京：高等教育