人教高中數(shù)學(xué)必修四 第一章 三角函數(shù)公式及推導(dǎo) ppt課件

1、三角函數(shù)公式及推導(dǎo);三角函數(shù)公式及推導(dǎo);1-1-誘導(dǎo)公式之一：誘導(dǎo)公式之一：常用的誘導(dǎo)公式有以下幾組：公式一：設(shè)為恣意角，終邊一樣的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin2ksincos2kcostan2ktancot2kcot公式二：設(shè)為恣意角，+的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sinsincoscostantancotcot公式三：恣意角與 -的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sinsincoscostantancotcot公式四：利用公式二和公式三可以得到-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sinsincoscostantancotcot; 1-1-誘導(dǎo)公式之二：誘導(dǎo)公式之二：公式五：利用公式一和公式三可

2、以得到2-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin2sincos2costan2tancot2cot公式六之一：/2及3/2與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin/2coscos/2sintan/2cotcot/2tansin/2coscos/2sintan/2cotcot/2tan公式六之二sin3/2coscos3/2sintan3/2cotcot3/2tansin3/2coscos3/2sintan3/2cotcot3/2tan(以上kz) 規(guī)律總結(jié)上面這些誘導(dǎo)公式可以概括為：對(duì)于k/2(kz)的個(gè)三角函數(shù)值，當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，得到的同名函數(shù)值，即函數(shù)名不改動(dòng)；當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，得到相應(yīng)的余函數(shù)值，即sinc

3、os;cossin;tancot,cottan. 奇變偶不變?nèi)缓笤谇懊婕由习芽闯射J角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。符號(hào)看象限; 上述的記憶口訣是：奇變偶不變，符號(hào)看象限。公式右邊的符號(hào)為把視為銳角時(shí)，角k360+kz，-、180，360-所在象限的原三角函數(shù)值的符號(hào)可記憶程度誘導(dǎo)名不變；符號(hào)看象限。各種三角函數(shù)在四個(gè)象限的符號(hào)如何判別，也可以記住口訣“一全正；二正弦；三為切；四余弦 這十二字口訣的意思就是說： 第一象限內(nèi)任何一個(gè)角的四種三角函數(shù)值都是“； 第二象限內(nèi)只需正弦是“，其他全部是“； 第三象限內(nèi)切函數(shù)是“，弦函數(shù)是“； 第四象限內(nèi)只需余弦是“，其他全部是“ 口訣總結(jié)公式七：額外的定義也是重要的呀

4、222222s i n( s i n)c o s( c o s)t a n( t a n); 2-同角三角函數(shù)根本關(guān)系同角三角函數(shù)根本關(guān)系同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式 倒數(shù)關(guān)系:tan cot1sin csc1cos sec1商的關(guān)系：sin/costansec/csccos/sincotcsc/sec平方關(guān)系：sin2()cos2()11tan2()sec2()1cot2()csc2()證明：2222222222901sinsin1sincos1ABCABCabcabccBA在中,同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法六角形記憶法：參看圖片或參考資料鏈六角形記憶法：參看圖片或參

5、考資料鏈接接構(gòu)造以構(gòu)造以“上弦、中切、下割；左正、右余、上弦、中切、下割；左正、右余、中間中間1的正六邊形為模型。的正六邊形為模型。1倒數(shù)關(guān)系：對(duì)角線上兩個(gè)函數(shù)互為倒數(shù)關(guān)系：對(duì)角線上兩個(gè)函數(shù)互為倒數(shù)；倒數(shù)；2商數(shù)關(guān)系：六邊形恣意一頂點(diǎn)上的商數(shù)關(guān)系：六邊形恣意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰函數(shù)值等于與它相鄰 的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。主的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。主要是兩條虛線兩端的要是兩條虛線兩端的 三角函數(shù)值的乘積。由此，可得三角函數(shù)值的乘積。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。商數(shù)關(guān)系式。3平方關(guān)系：在帶有陰影線的三角形平方關(guān)系：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)上中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)上 的三角函數(shù)值的平方和

6、等于下面頂?shù)娜呛瘮?shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的點(diǎn)上的三角函數(shù)值的 平方。平方。; 3-3-兩角和差公式兩角和差公式兩角和與差的三角函數(shù)公式sinsincoscossinsinsincoscossincoscoscossinsincoscoscossinsin tantantan- 1tan tan tantantan 1tan tan ; AOCBOCAOB cosAxrsinAyrcosBxrsinByr22222222222222222222222222sinsincoscossinsin2sinsincoscos2coscossinsin2sinsincoscos2cosco

7、ssincossincos2sinsin2coscos1 1 2 sABABAByyxxrrrrrrrrrrrrr 22insincoscos22 sinsincoscos21sinsincoscosrr2222222222cos2cos22cos22cos21 cosABACBCAC BCACBrrr rrrrrcossinsincoscos和差公式的證明兩角差的余弦令A(yù)O=BO=r點(diǎn)的橫坐標(biāo)為點(diǎn)A縱坐標(biāo)為點(diǎn)B的坐標(biāo)為兩式相等，化簡(jiǎn)或?qū)φ盏茫?y A B OC x(-由余弦定理得：; coscossinsincoscossinsincoscoscoscossinsin sincos 90co

8、s90sin 90sincos 90coscossinsincos兩角和的余弦兩角和的正弦 兩角差的正弦兩角和的正切兩角差的正切sinsincossinsincoscossinsincossincoscossin sintancoscossinsincoscoscossinsincossinsincoscoscoscoscossinsincoscossinsincoscossinsin1coscostantan1tantantantantantan1tantantantan1tantan 由兩角差的余弦得; 4-二倍角公式二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式也稱為：升冪縮角公式正弦的二倍角公

9、式：正弦的二倍角公式：表示一：表示一：sin22sincos證明：由于證明：由于 sin( +)=sincos+cossin，令，令= ，所以，可得：所以，可得：sin2=2sincos 表示二：以正切表示二倍角sin2= 2tan 1+tn2 證明：sin2=2sincos=2 (sin /cos ) .cos2 =2tan/(sec2 ) = 2tan/(1+tan2 ) 余弦二倍角公式：余弦二倍角公式：表示一：表示一： cos2=cos2sin2=2cos21=12sin2 證明：由于由和角公式：證明：由于由和角公式：cos( +)=coscossinsin，令令= 所以，可得：所以，可

10、得： cos2=cos2sin2=2cos21=12sin2 表示二：cos2= 1-tan2 1+tan2 證明：cos2=2cos21 = (2/sec2)1 =2/(1+tan2 ) 1 =(1-tan2 )/(1+tan2 ) ; 2tan tan2 1tan2證明：由于由和角公式：tan( +)= (tan +tan )/(1-tan.tan )， 令= ，所以，可得： 2tan tan2 1tan2正切的二倍角公式結(jié)論：利用結(jié)論：利用tantan可以將可以將sin2sin2，cos2cos2，tan2tan2表示出表示出來，來， 1tan2 2tan 1+tan2 2 整理如下：整

11、理如下： (a) sin2 (a) sin2= 2tan = 2tan /(1+ tan2 /(1+ tan2 ) ) (b) cos2(b) cos2=(1- tan2 =(1- tan2 )/ (1+tan2 )/ (1+tan2 ) ) (c) tan2(c) tan2=2tan =2tan / (1-tan2 / (1-tan2 ) ) 用三角形直觀表示如下：圖用三角形直觀表示如下：圖; 6-半角公式半角公式半角的正弦、余弦和正切公式也稱：降冪擴(kuò)角公式半角的正弦、余弦和正切公式也稱：降冪擴(kuò)角公式cos 1sin sin cos 12tancos 122coscos 122sin22 或

12、也可表示為： 1cos sin2(/2) 2 1cos cos2(/2) 2 1cos tan2(/2) 1cos; 7-7-萬能公式萬能公式2tan122tantan2tan12tan1cos,2tan122tansin 2222 萬能公式推導(dǎo)萬能公式推導(dǎo)附推導(dǎo)：附推導(dǎo)：sin2=2sincos=2sincos/(cos2()+sin2().*，由于由于cos2()+sin2()=1再把再把*分式上下同除分式上下同除cos2()，可得，可得sin2tan2/(1tan2()然后用然后用/2替代替代即可。即可。同理可推導(dǎo)余弦的萬能公式。正切的萬能公同理可推導(dǎo)余弦的萬能公式。正切的萬能公式可經(jīng)過

13、正弦比余弦得到。式可經(jīng)過正弦比余弦得到。; 8-三倍角公式三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式 (a)sin3= 3sin 4sin3證明：sin3 =sin(+2)=sincos2+cossin2 =sin(12sin2)+cos(2sincos) = sin(12sin2)+2sincos2 = sin(12sin2)+2sin(1sin2) = 3sin 4sin3(b)cos3=4cos3 3cos證明：cos3=cos(+2)=coscos2sinsin2 =cos(2cos21)sin(2sin cos) = cos(2cos21)2sin2cos = cos(2cos21)2(

14、1cos2)cos =4cos3 3cos三倍角的正切公式由于：sin33sin4sin3() cos34cos3()3cos 3tantan3所以：tan3 13tan2; 三倍角公式推導(dǎo)三倍角公式推導(dǎo)正切三倍角公式推導(dǎo)：證明tan3sin3/cos3(sin2coscos2sin)/(cos2cos-sin2sin)(2sincos2()cos2()sinsin3()/(cos3()cossin2()2sin2()cos)上下同除以cos3()，得：tan3(3tantan3()/(1-3tan2()正弦三倍角公式推導(dǎo)證明sin3sin(2)sin2coscos2sin2sincos2()

15、(12sin2()sin2sin2sin3()sin2sin2()3sin4sin3()余弦三倍角公式推導(dǎo)：證明cos3cos(2)cos2cossin2sin(2cos2()1)cos2cossin2()2cos3()cos(2cos2cos3()4cos3()3cos三倍角公式聯(lián)想記憶三倍角公式聯(lián)想記憶記憶方法：諧音、聯(lián)想記憶方法：諧音、聯(lián)想正弦三倍角：正弦三倍角：3元元 減減 4元元3角欠債了角欠債了(被減成負(fù)數(shù)被減成負(fù)數(shù))，所以要，所以要“掙錢掙錢(音似音似“正弦正弦)余弦三倍角：余弦三倍角：4元元3角角 減減 3元減完之后還有元減完之后還有“余余留意函數(shù)名，即正弦的三倍角都用正弦表示

16、，余弦的三倍角都用余弦表示。留意函數(shù)名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。;9-積化和差公式積化和差公式積化和差公式推導(dǎo)之一積化和差公式推導(dǎo)之一附推導(dǎo)：附推導(dǎo)：首先首先,我們知道我們知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我們把兩式相加就得到我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理同理,假設(shè)把兩式相減假設(shè)把兩式相減,就得到就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2

17、同樣的同樣的,我們還知道我們還知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以所以,把兩式相加把兩式相加,我們就可以得到我們就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我們就得所以我們就得到到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理同理,兩式相減我們就得到兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2這樣這樣,我們就得到了積化和差的四個(gè)公我們就得到了積化和差的四個(gè)公式式:sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2c

18、osa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 ; 積化和差推導(dǎo)證明之二：1sincos2sincos21sincossincoscossincossin21sinsin21coscos2coscos21coscoscoscossinsinsinsin21coscos21sinsin2sinsin21sinsinsinsincoscoscoscos21coscos2; 10-和差化積公式和差化積公式和差化積的公式推導(dǎo)：和差化積的公式推導(dǎo)：好好,有了積化和差的四個(gè)

19、公式以后有了積化和差的四個(gè)公式以后,我們只我們只需一個(gè)變形需一個(gè)變形,就可以得到和差化積的四個(gè)就可以得到和差化積的四個(gè)公式公式.我們把上述四個(gè)公式中的我們把上述四個(gè)公式中的a+b設(shè)為設(shè)為x,a-b設(shè)為設(shè)為y,那么那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把把a(bǔ),b分別用分別用x,y表示就可以得到和差化積表示就可以得到和差化積的四個(gè)公式的四個(gè)公式:sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2)cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2)cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*

20、sin(x-y)/2); 11-輔助角公式輔助角公式其中 的象限由 的符號(hào)確定。22sincossin()ababtanba12-恣意三角形面積公式：恣意三角形面積公式： C a b h dB c A121sin21sin ()2ABCSahabCacB兩邊和其夾角正弦的乘積;13-13-余弦定理：余弦定理：恣意三角形一角的余弦等于兩鄰邊的平方和減對(duì)邊的平方之差與兩鄰邊積的兩倍之比。證明：2222222222222222222222(cos)( sin)2coscossin=2cos(cossin)2coscos22bdhacBcBaacBcBcBaacBcBBacacBbacacbBacac證完14-14-正弦定理正弦定理 A c O B a Csin2 sinaAcacrrABCA （ 為的外接圓半徑） , sinsin2sinsinsinbcccBCabcrABCc為ABC外接圓的直徑,同理對(duì)邊與對(duì)角正弦之比相等，且為外接圓的半徑的兩倍;15-海倫公式恣意三角形知三邊求面積海倫公式恣意三角形知三邊求面積證明2222244422222222224442222222222444222222222244422221sin211cos211221222124142222