數(shù)學(xué)-高考數(shù)學(xué)解三角形復(fù)習(xí)資料-12頁

1、20092010學(xué)年度高三數(shù)學(xué)（人教版A版）第一輪復(fù)習(xí)資料第27講 解三角形一【課標(biāo)要求】（1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題；（2）能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實(shí)際問題。二【命題走向】對本講內(nèi)容的考察主要涉及三角形的邊角轉(zhuǎn)化、三角形形狀的判斷、三角形內(nèi)三角函數(shù)的求值以及三角恒等式的證明問題，立體幾何體的空間角以及解析幾何中的有關(guān)角等問題。今后高考的命題會以正弦定理、余弦定理為知識框架，以三角形為主要依托，結(jié)合實(shí)際應(yīng)用問題考察正弦定理、余弦定理及應(yīng)用。題型一般為選擇題、填空題，也可能是中、難

2、度的解答題三【要點(diǎn)精講】1直角三角形中各元素間的關(guān)系：如圖，在ABC中，C90，ABc，ACb，BCa。（1）三邊之間的關(guān)系：a2b2c2。（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：AB90；（3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義）sinAcosB，cosAsinB，tanA。2斜三角形中各元素間的關(guān)系：如圖6-29，在ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對邊。（1）三角形內(nèi)角和：ABC。（2）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。（R為外接圓半徑）（3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍a2b2c22bc

3、cosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC。3三角形的面積公式：（1）ahabhbchc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；（2）absinCbcsinAacsinB；（3）；（4）2R2sinAsinBsinC。（R為外接圓半徑）（5）；（6）；（7）rs。4解三角形：由三角形的六個元素（即三條邊和三個內(nèi)角）中的三個元素（其中至少有一個是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三

4、角形是斜三角形，則稱為解斜三角形解斜三角形的主要依據(jù)是：設(shè)ABC的三邊為a、b、c，對應(yīng)的三個角為A、B、C。（1）角與角關(guān)系：A+B+C = ；（2）邊與邊關(guān)系：a + b c，b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3）邊與角關(guān)系：正弦定理 （R為外接圓半徑）；余弦定理 c2 = a2+b22bccosC，b2 = a2+c22accosB，a2 = b2+c22bccosA；它們的變形形式有：a = 2R sinA，。5三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)。（1）角的變換因?yàn)樵贏BC中，A+B+C=，所以sin(A

5、+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。；（2）三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長之半。（3）在ABC中，熟記并會證明：A，B，C成等差數(shù)列的充分必要條件是B=60；ABC是正三角形的充分必要條件是A，B，C成等差數(shù)列且a，b，c成等比數(shù)列。四【典例解析】題型1：正、余弦定理（2009岳陽一中第四次月考）.已知中，則（ ） A. B C D 或答案 C例1（1）在中，已知，cm，解三角形；（2）在中，已知cm，cm，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm）。解析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，；根據(jù)正弦定理，；根據(jù)

6、正弦定理，（2）根據(jù)正弦定理，因?yàn)?，所以，或?dāng)時， ，當(dāng)時， ，點(diǎn)評：應(yīng)用正弦定理時（1）應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形；（2）對于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計算器例2（1）在ABC中，已知，求b及A；（2）在ABC中，已知，解三角形解析：（1）=cos=求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos解法二：sin又，即（2）由余弦定理的推論得：cos；cos；點(diǎn)評：應(yīng)用余弦定理時解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。題型2：三角形面積例3在中，求的值和的面積。解法一：先解三角方程，求出角A的值。 又, , 。 解法二：由計算它的對偶關(guān)系式的值。 , +得。 得。從

7、而。以下解法略去。點(diǎn)評：本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識，著重數(shù)學(xué)考查運(yùn)算能力，是一道三角的基礎(chǔ)試題。兩種解法比較起來，你認(rèn)為哪一種解法比較簡單呢？例4（2009湖南卷文）在銳角中，則的值等于 ，的取值范圍為 . 答案 2 解析 設(shè)由正弦定理得由銳角得，又，故，例5（2009浙江理）（本題滿分14分）在中，角所對的邊分別為，且滿足， （I）求的面積； （II）若，求的值解 （1）因?yàn)?，又由得?（2）對于，又，或，由余弦定理得， 例6（2009全國卷理）在中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為、，已知，且 求b 分析：:此題事實(shí)上比較簡單,但考生反應(yīng)不知從何入手.對已知條件(1)

8、左側(cè)是二次的右側(cè)是一次的,學(xué)生總感覺用余弦定理不好處理,而對已知條件(2) 過多的關(guān)注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學(xué)生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不再考的積化和差,導(dǎo)致找不到突破口而失分.解法一：在中則由正弦定理及余弦定理有:化簡并整理得：.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,.所以又，即由正弦定理得，故 由，解得.評析:從08年高考考綱中就明確提出要加強(qiáng)對正余弦定理的考查.在備考中應(yīng)注意總結(jié)、提高自己對問題的分析和解決能力及對知識的靈活運(yùn)用能力.另外提醒：兩綱中明確不再考的知識和方法了解就行，不必強(qiáng)化訓(xùn)練題型4：三角形中求值問題例7的三個內(nèi)角為，求當(dāng)A為何值時，取得最大值，并求出這個最大值。

9、解析：由A+B+C=，得=，所以有cos =sin。cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin=2(sin )2+ ；當(dāng)sin = ，即A=時, cosA+2cos取得最大值為。點(diǎn)評：運(yùn)用三角恒等式簡化三角因式最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個角的三角函數(shù)的形式，通過三角函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果。例8（2009浙江文）（本題滿分14分）在中，角所對的邊分別為，且滿足， （I）求的面積； （II）若，求的值解（） 又，而，所以，所以的面積為：（）由（）知，而，所以所以點(diǎn)評：本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應(yīng)用、分析和計算能力題型5

10、：三角形中的三角恒等變換問題例9在ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對邊長，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2c2=acbc，求A的大小及的值。分析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求A，需找A與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理。由b2=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值。解法一：a、b、c成等比數(shù)列，b2=ac。又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc。在ABC中，由余弦定理得：cosA=，A=60。在ABC中，由正弦定理得sinB=，b2=ac，A=60，=sin60=。解法二：在ABC中，由面積公式得bcsinA=acsinB。b2=ac，A=60，bcsinA=b2sinB。=

11、sinA=。評述：解三角形時，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理。例10在ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求的值。解析：因?yàn)锳、B、C成等差數(shù)列，又ABC180，所以AC120，從而60，故tan.由兩角和的正切公式，得。所以。點(diǎn)評：在三角函數(shù)求值問題中的解題思路，一般是運(yùn)用基本公式，將未知角變換為已知角求解，同時結(jié)合三角變換公式的逆用。題型6：正、余弦定理判斷三角形形狀例11在ABC中，若2cosBsinAsinC，則ABC的形狀一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形答案：C解析：2sinAcosBsin（AB）sin（A

12、B）又2sinAcosBsinC，sin（AB）0，AB點(diǎn)評：本題考查了三角形的基本性質(zhì)，要求通過觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向，通暢解題途徑例12（2009四川卷文）在中，為銳角，角所對的邊分別為，且（I）求的值；（II）若，求的值。 解（I）為銳角， （II）由（I）知， 由得，即又 北2010ABC題型7：正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用例13（2009遼寧卷理）如圖，A,B,C,D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面A處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為，于水面C處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為，AC=0.1km。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后

13、求B，D的距離（計算結(jié)果精確到0.01km，1.414，2.449） 解:在ABC中，DAC=30, ADC=60DAC=30,所以CD=AC=0.1 又BCD=1806060=60，故CB是CAD底邊AD的中垂線，所以BD=BA， 在ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距離約為0.33km。 。點(diǎn)評：解三角形等內(nèi)容提到高中來學(xué)習(xí)，又近年加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的考查和對三角變換要求的降低，對三角的綜合考查將向三角形中問題伸展，但也不可太難，只要掌握基本知識、概念，深刻理解其中基本的數(shù)量關(guān)系即可過關(guān)。（2）（2009寧夏海南卷理）（本小題滿分12分）為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A

14、，B兩點(diǎn)進(jìn)行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機(jī)能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請設(shè)計一個方案，包括：指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟解：方案一：需要測量的數(shù)據(jù)有：A 點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角；B點(diǎn)到M，N的俯角；A，B的距離 d （如圖所示） . 第一步：計算AM . 由正弦定理；第二步：計算AN . 由正弦定理；第三步：計算MN. 由余弦定理 .方案二：需要測量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角，；B點(diǎn)到M，N點(diǎn)的府角，；A，B的距離 d （如圖所示）. 第一步：計算BM . 由正弦定理；第二步：計算BN . 由正弦定

15、理； 第三步：計算MN . 由余弦定理21.（2009四川卷文）在中，為銳角，角所對的邊分別為，且（I）求的值；（II）若，求的值。 解（I）為銳角， （II）由（I）知， 由得，即又 點(diǎn)評：三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，本題就是一個典型的范例。通過引入角度，將圖形的語言轉(zhuǎn)化為三角的符號語言，再通過局部的換元，又將問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù)，這些解題思維的拐點(diǎn)，你能否很快的想到呢？五【思維總結(jié)】1解斜三角形的常規(guī)思維方法是：（1）已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C = 求C，由正弦定理求a、b；（2）已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C = ，求