修改_基于Remez算法的正交小波濾波器設(shè)計(jì)研究

1、基于Remez算法的正交小波濾波器設(shè)計(jì)摘要: 引言 在過(guò)去的幾年里，小波已在應(yīng)用數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、多分辨率分析理論等各個(gè)領(lǐng)域受到廣泛關(guān)注.小波基可以通過(guò)完全重構(gòu)二通道濾波器組的解決方案來(lái)完成1-6. 在本文中，考慮一個(gè)仿酉濾波器組，它在迭代時(shí)生成正交小波基. 通過(guò)利用無(wú)限的脈沖響應(yīng)濾波器(IIR)，可以實(shí)現(xiàn)仿酉濾波器組的使用.限制了IIR濾波器，導(dǎo)致了更一般的無(wú)限小波支持2.通過(guò)使用全通濾波器，濾波器組可以由較少的乘法器來(lái)實(shí)現(xiàn). 然而，由兩個(gè)全通濾波器并聯(lián)所產(chǎn)生的傳遞函數(shù)是有限的, 并在3和4的設(shè)計(jì)方法中不能被用來(lái)產(chǎn)生具有高階消失矩的小波基. 其中消失矩顯示了生成的小波在時(shí)間上的平穩(wěn)變化.在本文

2、中,基于傳統(tǒng)的IIR濾波器的消失矩，提出構(gòu)建高階消失矩正交小波的構(gòu)造方法. 由于在合成小波正交基時(shí)減少了正交濾波器組的設(shè)計(jì)，所以只需考慮具有附加平坦度約束的IIR正交濾波器組的設(shè)計(jì). 從小波的正交性和正則性條件，得到了IIR濾波器組的約束條件，并研究了約束濾波器系數(shù)及其零極點(diǎn)之間的關(guān)系. 根據(jù)這些關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)，該積濾波器的幅度響應(yīng)在通帶和阻帶之間反對(duì)稱的. 因此，可以直接在阻帶之間運(yùn)用Remez算法，并制定特征值問(wèn)題的形式設(shè)計(jì)5. 通過(guò)得到的一組濾波器系數(shù)作為相應(yīng)的特征向量. 通過(guò)求解特征值問(wèn)題以計(jì)算最小絕對(duì)特征值，然后用等波紋響應(yīng)的最優(yōu)濾波器系數(shù)可以容易地在一個(gè)迭代過(guò)程得到；上述提出的步驟

3、在計(jì)算上是有效的，而小波的消失矩階數(shù)可以任意的指定. 最后，我們提出了一些設(shè)計(jì)實(shí)例證明上述步驟的有效性.1. 小波和濾波器組我們知道1,2,6正交小波基可以由一個(gè)仿酉濾波器組來(lái)生成，其中是低通濾波器, 而是高通濾波器. 該濾波器組相關(guān)的尺度函數(shù)(t)和小波函數(shù)(t)的二尺度關(guān)系在頻域如下: (1)從小波的正交性, 濾波器組滿足以下的約束條件4: (2)這里，定義該濾波器 (3)由公式(2)可知，P(z)是半帶濾波器，因此我們考慮真正的半帶濾波器的設(shè)計(jì)P(z)的表示形式如下: (4)其中N,M是整數(shù), 濾波器系數(shù)和是實(shí)數(shù), =1. 注意，由于N和M可以任意的選擇, 傳遞函數(shù)比一個(gè)全通濾波器更一般

4、3,4. 可以看到, P(z)具有對(duì)稱的濾波器系數(shù). 因此，它的零點(diǎn)在單位圓或鏡像對(duì)上, 如果零點(diǎn)在單位圓上則所有零點(diǎn)都是成對(duì)的. 可以P(z)的分解零點(diǎn)以獲得一個(gè)穩(wěn)定的H(z). 假設(shè)P(z)的分子和分母分別為和，而P(z)的所有極點(diǎn)在單位圓內(nèi), 得到穩(wěn)定的H(z)是 ， (5)可以約束 (6)其中. 很明顯，方程(5)和方程(6)滿足方程(2)的約束條件, 因此我們必須設(shè)計(jì)一個(gè)低通濾波器. 所以設(shè)計(jì)問(wèn)題將成為設(shè)計(jì)P(z), 在單位圓上的零點(diǎn)必須是雙零點(diǎn).盡管濾波器組在實(shí)際應(yīng)用中從未被迭代到無(wú)窮大，但是要求其極限函數(shù)存在，并且具有正則性, 即連續(xù)性. 濾波器設(shè)計(jì)最簡(jiǎn)單的正則性條件是一個(gè)平坦性

5、約束在處的幅度響應(yīng), 如果H(z)在處包含k個(gè)多重零點(diǎn)，將得到k階平坦度. 因而，我們有 （k=0,1,.,K-1） 和 (k=0,1,.,K-1)這意味著所生成的小波具有連續(xù)的K階消失矩，連續(xù)K階消失矩意味著，無(wú)論是小波濾波器的頻譜有更多的平滑度. 這個(gè)屬性可能在一些實(shí)際應(yīng)用中有用.當(dāng)然，頻率選擇也作為許多有用的應(yīng)用屬性的思維定勢(shì)，然而正則性的頻率選擇在某種程度上有些相互矛盾. 由于這個(gè)原因，我們考慮一個(gè)指定設(shè)計(jì)數(shù)目的具有最佳可能的頻率選擇性消失矩IIR濾波器.2. IIR濾波器組的設(shè)計(jì)在本節(jié)中，我們將描述基于特征值問(wèn)題的一個(gè)額外平整度約束的IIR濾波器即仿酉濾波器的設(shè)計(jì).3.1 性質(zhì)在設(shè)計(jì)

6、濾波器前，研究積濾波器P(z)的設(shè)計(jì)，方程(4)的P(z)可以寫(xiě)成如下形式: (7)其中L=max2M,2N+1, (n=0,1,.M) , (8)當(dāng)時(shí)，有 (n=M+1,M+2,.,N), (9)當(dāng)時(shí)，有 (n=N+1,N+2,.,M-1) . (10)注意到當(dāng),在方程(7)中沒(méi)有系數(shù). 在方程(7)中可以看到P(z)共有2L個(gè)零點(diǎn)和4M個(gè)極點(diǎn). 此處2(I1=L-N-M-1)零點(diǎn)滿足公式(9)或(10)的條件，而所有的頂點(diǎn)是用于滿足公式(8)的條件，只有2(=M+N+1)個(gè)零點(diǎn)待優(yōu)化. 可以從方程(4)中得到P(z)的幅度響應(yīng)，通過(guò)下式 (11)而從方程(2)中有 1這就意味著P(z)的幅

7、度響應(yīng)是對(duì)稱到(), 而波紋在通帶0,wp等于一個(gè)在帶阻, 此外. 因此只需要通過(guò)定位2I2獨(dú)立的零逼近阻帶響應(yīng).3.2 最大平坦響應(yīng)濾波器為獲得階數(shù)最大的消失矩，必須設(shè)計(jì)一個(gè)最大平坦響應(yīng)濾波器. 因此, 需要找到處的獨(dú)立零點(diǎn)，就是，而分子多項(xiàng)式是 其中 與方程(7)相比較，有 (12)而 和 。注意到和，當(dāng)時(shí)，從方程(9)中得到 (n=M+1，.,N) (13)當(dāng)時(shí)，從方程(10)中有(n=N+1,.,M-1)。由于，從方程(8)中有，也就是 (14)而當(dāng)時(shí)，通過(guò)解線性方程(14)和(13)式，或者當(dāng)或時(shí)，解方程(14)式我們可以得到一組濾波器系數(shù)；或是當(dāng)時(shí)，解線性方程(13)或(14)式，

8、通過(guò)解方程(12)和(8)可以得出濾波器系數(shù)和. 因此完成了最大平坦濾波器的設(shè)計(jì)，從而所得的濾波器系數(shù)，方程(5)和(6)中的分解零點(diǎn)P(z)來(lái)構(gòu)造H(z)和G(z).然后生成尺度函數(shù)和小波函數(shù).3.3 具有任意消失矩的濾波器我們知道最大平坦濾波器不好選擇生成正則小波的最大次數(shù)的消失矩. 在這里考慮一個(gè)在給定的連續(xù)K階消失矩IIR濾波器具有最佳的頻率選擇性. 由于在處，H(z)有K重零點(diǎn)，而P(z)的分子多項(xiàng)式可以表示為 (15)其中Q(z)=。類似于方程(12), 有 (16) 其中 。當(dāng)時(shí)，從方程(9)有 (n=M+1,.,N) (17)而當(dāng)時(shí)，從方程(10)有 (n=N+1,.,M-1)

9、 (18) 我們知道P(z)共有個(gè)獨(dú)立零點(diǎn)，而K必須滿足,因此其余的獨(dú)立零點(diǎn)數(shù)是, 并且要求它們位于單位圓上，以獲得最佳頻率選擇；除了，P(z)在單位圓上的零點(diǎn)位于共軛對(duì)上，要求是雙零點(diǎn). 必須是偶數(shù). 由于P(z)的幅度響應(yīng)是反對(duì)稱的，需要優(yōu)化在阻帶的幅度響應(yīng)，為獲得帶阻等波紋響應(yīng)，我們直接利用Remez交換算法制定P(z)條件中的廣義特征值問(wèn)題的形式5. 首先，我們選擇頻率極值中的的阻帶如下 考慮P(z)在單位圓上所有零點(diǎn)必須是成對(duì)的，構(gòu)造出如下 (19)其中是一個(gè)幅度誤差，把方程(7)和(15)代入方程(19), 可以重新寫(xiě)出方程(19),(17)或(18)式的矩陣形式 SQ=STB (

10、20)其中，而S中的元素為 (21)其中i=0,1,2,., (j=1,.,L-k) (22)當(dāng), 有；當(dāng)NM時(shí)，有；當(dāng)T的元素 (23)當(dāng)i=0,2,.時(shí)，有=0； (24)從方程(8)和(24)，有B=VQ (25)其中V的元素為 (26)當(dāng)i=0,1,2,.，M時(shí), 把方程(25)代入方程(20), 可得 SQ=TVQ (27)這相當(dāng)于一個(gè)廣義特征值問(wèn)題，即是一個(gè)特征值. Q為相應(yīng)的特征向量. 盡量減小幅度誤差，我們通過(guò)計(jì)算方程(27)式的特征問(wèn)題的絕對(duì)最小特征值，然后相應(yīng)的特征向量給出一組濾波器系數(shù)，迫使幅度響應(yīng)是等波紋. 我們應(yīng)用一個(gè)迭代過(guò)程以獲得最優(yōu)解. 設(shè)計(jì)算法如下圖所示.3.4

11、 設(shè)計(jì)算法步驟設(shè)計(jì)小波濾波器的算法開(kāi)始1. 讀取N, M, k和ws.2. 選取頻率的初始值 (i=0,1,.)在阻帶等間隔.重復(fù)3. 令.4. 通過(guò)方程(21)-(24)和(26)得出S,T和V，然后通過(guò)方程(27)找到方程的絕對(duì)最小特征值，以獲得濾波器系數(shù)，而通過(guò)方程(16)和(8)得出和.5. 計(jì)算P(z)的幅度響應(yīng)，并尋找?guī)ё璧姆逯殿l率，直到滿足下述條件的規(guī)定小常數(shù). 6. 通過(guò)P(z)的分解零點(diǎn)和極點(diǎn)，構(gòu)造H(z)和G(z), 然后生成尺度函數(shù)和小波函數(shù).結(jié)束.4. 設(shè)計(jì)案例 在本節(jié)中，提出了一些設(shè)計(jì)實(shí)例證明了該方法的有效性.例1. 考慮N=M=4情況的最大平坦濾波器設(shè)計(jì). 所設(shè)計(jì)的

12、濾波器H(z)的響應(yīng)幅度具有最小相位響應(yīng). 如圖1實(shí)線所示，并且所生成的尺度函數(shù)和小波函數(shù)分別如圖2和圖3所示. 在圖1中，兩個(gè)濾波器的幅度響應(yīng)在圖中也顯示了N=3和M=5，或N=5,M=3; M=3也在圖中顯示. 我們認(rèn)為在圖1中，三種濾波器的幅度響應(yīng)基本相同，這是因?yàn)樵趙=0和w=時(shí)，這三種濾波器有相同的平坦度.例2. 考慮N=4，M=5，K=8和的仿酉濾波器組的設(shè)計(jì). 使用建議程序的積濾波器并構(gòu)造H(z)和G(z)具有最小相位響應(yīng)，H(z)的幅度響應(yīng)示于圖4中的實(shí)線，而產(chǎn)生的尺度函數(shù)和小波函數(shù)分別如圖5和6所示. 在圖4中K=6或K=10的兩個(gè)幅度也在圖中顯示. 很顯然減小K時(shí)，幅度誤差將減小.5. 結(jié)論 本文中，提出了一種新的方法構(gòu)造高階消失矩小波正交基.從小波的正交性和正則性中得出了IIR仿酉濾波器的一些制約因素, 并研究了約束濾波器系數(shù)及零極點(diǎn)之間的關(guān)系, 可以在帶阻中直接利用Remez算法并制定了設(shè)計(jì)特征值問(wèn)題的形式問(wèn)題. 所以通過(guò)求解特征值，可以得到一組濾波器系數(shù)作為相應(yīng)的特征向量. 因此與等波紋響應(yīng)的最優(yōu)濾波器系數(shù)可以容易地施加一個(gè)迭代過(guò)程后得到. 在計(jì)算上，