C語言--用六種方法求定積分

1、文檔可能無法思考全面，請(qǐng)瀏覽后下載! C語言實(shí)驗(yàn)報(bào)告求定積分 班級(jí) 10信息與計(jì)算科學(xué)一班 姓名 戴良偉 學(xué)號(hào) 2010750221 14 / 141. 描述問題利用左矩形公式，中矩形公式，右矩形公式 ，梯形公式，simpson公式，Gauss積分公式求解定積分。2. 分析問題2.1定積分21.1定積分的定義定積分就是求函數(shù)在區(qū)間中圖線下包圍的面積。即所包圍的面積。這個(gè)圖形稱為曲邊梯形，特例是曲邊梯形。如下圖：（圖1）設(shè)一元函數(shù),在區(qū)間內(nèi)有定義。將區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間。設(shè)，取區(qū)間中曲線上任意一點(diǎn)記做，作和式：若記為這些小區(qū)間中的最長者。當(dāng)時(shí)，若此和式的極限存在，則稱這個(gè)和式是函數(shù) 在區(qū)間上的定積分

2、。記作：其中稱為積分下限，為積分上限，為被積函數(shù)， 為被積式， 為積分號(hào)。之所以稱其為定積分，是因?yàn)樗e分后得出的值是確定的，是一個(gè)數(shù)，而不是一個(gè)函數(shù)。21.2定積分的幾何意義1它是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖形及兩條直線x=a，x=b之間的各個(gè)部分面積的代數(shù)和。在x軸上方的面積取正號(hào)；在x軸下方的面積取負(fù)號(hào)。如圖2.2言實(shí)現(xiàn)定積分計(jì)算的算法22.1利用復(fù)合梯形公式實(shí)現(xiàn)定積分的計(jì)算假設(shè)被積函數(shù)為，積分區(qū)間為，把區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，各個(gè)區(qū)間的長度為，即，稱之為“步長”。根據(jù)定積分的定義及幾何意義，定積分就是求函數(shù)在區(qū)間中圖線下包圍的面積。將積分區(qū)間等分，各子區(qū)間的面積近似等于梯形的面積，面積的計(jì)算

3、運(yùn)用梯形公式求解，再累加各區(qū)間的面積，所得的和近似等于被積函數(shù)的積分值，越大，所得結(jié)果越精確。以上就是利用復(fù)合梯形公式實(shí)現(xiàn)定積分的計(jì)算的算法思想。復(fù)合梯形公式：2具體算法如下：算法一1：輸入積分區(qū)間的端點(diǎn)值和；2：輸入?yún)^(qū)間的等分個(gè)數(shù)（要求盡可能大，以保證程序運(yùn)行結(jié)果有較高的精確度）；3：計(jì)算步長；4：對(duì)累加和賦初值；5：計(jì)算累加和6：算出積分值；7：輸出積分近似值，完畢。1.2.2利用Smpson公式實(shí)現(xiàn)定積分的計(jì)算假設(shè)被積函數(shù)為，積分區(qū)間為，把區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，各個(gè)區(qū)間的長度為。在復(fù)合梯形公式的基礎(chǔ)上，構(gòu)造出一種加速計(jì)算積分的方法。作為一種外推算法， 它在不增加計(jì)算量的前提下提高了誤差的精

4、度。具體算法如下：算法二1：輸入積分上限和下限；2：輸入?yún)^(qū)間的等分個(gè)數(shù)（要求盡可能大，以保證程序運(yùn)行結(jié)果有較高的精確度）；3：利用辛甫生公式：2，實(shí)現(xiàn)對(duì)定積分的求解（其中，均為梯形公式計(jì)算所得的結(jié)果，由此可見辛甫生公式是以梯形公式為基礎(chǔ)的）；4：算出積分值；5：輸出積分近似值，完畢。1.2.3利用Guass公式實(shí)現(xiàn)定積分計(jì)算 Guass型求積公式是構(gòu)造高精度差值積分的最好方法之一。他是通過讓節(jié)點(diǎn)和積分系數(shù)待定讓函數(shù)f(x)以此取i=0,1,2.n次多項(xiàng)式使其盡可能多的能夠精確成立來求出積分節(jié)點(diǎn)和積分系數(shù)。高斯積分的代數(shù)精度是2n-1，而且是最高的。通常運(yùn)用的是-1-+1的積分節(jié)點(diǎn)和積分系數(shù)，其

5、他積分域是通過變換x=(b-a)t/2 +(a+b)/2 變換到-1到1之間積分。算法三1：輸入積分上限和下限；2：利用Guass公式，求定積分 4：算出積分值；5：輸出積分近似值，完畢。3. 程序的編寫3.1程序一（左矩形公式）3.1.1源程序#include<stdio.h>#include<math.h>void main()double f(double x);/*f(x)為函數(shù)舉例，即被積函數(shù)*/int i,n;/*n為區(qū)間等分的個(gè)數(shù)，應(yīng)盡可能大*/double a,b,h,s;/*a為積分下限，b為積分上限，h為步長*/printf("積分下限 a

6、:n");scanf("%lf",&a);printf("積分上限 b:n");scanf("%lf",&b);printf("區(qū)間等分個(gè)數(shù) n :n");scanf("%d",&n);h=(b-a)/n; /*步長的計(jì)算*/s=f(a)*h;for(i=1;i<n;i+)s=s+f(a+i*h)*h;printf("函數(shù) f(x) 的積分值為 s=%10.6fn",s);/*以下為被積函數(shù)的定義，即函數(shù)舉例*/double f(dou

7、ble x)double y;y=sqrt(4-x*x);return (y);3.1.2程序一的編譯運(yùn)行 被積函數(shù)為f(x)=sqrt4-(x*x)的情況先編譯，再運(yùn)行，屏幕顯示及操作如下：輸入0+回車輸入2+回車輸入1000+回車3.2程序二（中矩形公式）3.2.1源程序#include<stdio.h>#include<math.h>void main()double f(double x);/*f(x)為函數(shù)舉例，即被積函數(shù)*/int i,n;/*n為區(qū)間等分的個(gè)數(shù)，應(yīng)盡可能大*/double a,b,h,s;/*a為積分下限，b為積分上限，h為步長*/prin

8、tf("積分下限 a:n");scanf("%lf",&a);printf("積分上限 b:n");scanf("%lf",&b);printf("區(qū)間等分個(gè)數(shù) n :n");scanf("%d",&n);h=(b-a)/n; /*步長的計(jì)算*/s=0.5*(f(a)+f(a+h)*h;for(i=1;i<n;i+)s=s+0.5*(f(a+i*h)+f(a+(i+1)*h)*h;printf("函數(shù) f(x) 的積分值為 s=%10.

9、6fn",s);/*以下為被積函數(shù)的定義，即函數(shù)舉例*/double f(double x)double y;y=sqrt(4-x*x);return (y);3.2.2程序二的編譯運(yùn)行 被積函數(shù)為f(x)=sqrt4-(x*x)的情況先編譯，再運(yùn)行，屏幕顯示及操作如下：輸入0+回車輸入2+回車輸入1000+回車3.3程序三（右矩形公式）3.3.1源程序#include<stdio.h>#include<math.h>void main()double f(double x);/*f(x)為函數(shù)舉例，即被積函數(shù)*/int i,n;/*n為區(qū)間等分的個(gè)數(shù)，應(yīng)盡可

10、能大*/double a,b,h,s;/*a為積分下限，b為積分上限，h為步長*/printf("積分下限 a:n");scanf("%lf",&a);printf("積分上限 b:n");scanf("%lf",&b);printf("區(qū)間等分個(gè)數(shù) n :n");scanf("%d",&n);h=(b-a)/n; /*步長的計(jì)算*/s=f(a+h)*h;for(i=1;i<n-1;i+)s=s+f(a+(i+1*h)*h;printf(&quo

11、t;函數(shù) f(x) 的積分值為 s=%10.6fn",s);/*以下為被積函數(shù)的定義，即函數(shù)舉例*/double f(double x)double y;y=sqrt(4-x*x);return (y);3.3.2程序三的編譯運(yùn)行 被積函數(shù)為f(x)=sqrt4-(x*x)的情況先編譯，再運(yùn)行，屏幕顯示及操作如下：輸入0+回車輸入2+回車輸入1000+回車3.4程序四（梯形公式）3.4.1源程序#include<stdio.h>#include<math.h>void main()double f(double x);/*f(x)為函數(shù)舉例，即被積函數(shù)*/in

12、t i,n;/*n為區(qū)間等分的個(gè)數(shù)，應(yīng)盡可能大*/double a,b,h,s;/*a為積分下限，b為積分上限，h為步長*/printf("積分下限 a:n");scanf("%lf",&a);printf("積分上限 b:n");scanf("%lf",&b);printf("區(qū)間等分個(gè)數(shù) n :n");scanf("%d",&n);h=(b-a)/n; /*步長的計(jì)算*/s=0.5*(f(a)+f(a+h)*h;for(i=1;i<n;i+)

13、s=s+0.5*(f(a+i*h)+f(a+(i+1)*h)*h;printf("函數(shù) f(x) 的積分值為 s=%10.6fn",s);/*以下為被積函數(shù)的定義，即函數(shù)舉例*/double f(double x)double y;y=sqrt(4-x*x);return (y);3.4.2程序四的編譯運(yùn)行 被積函數(shù)為f(x)=sqrt4-(x*x)的情況先編譯，再運(yùn)行，屏幕顯示及操作如下：輸入0+回車輸入2+回車輸入1000+回車3.5程序五（Simpson公式）3.5.1源程序#include<stdio.h>#include<math.h>vo

14、id main()double T(double x,double y,int z);double a,b,s;int n;printf("積分下限 a:n");scanf("%lf",&a);printf("積分上限 b:n");scanf("%lf",&b);printf("區(qū)間等分個(gè)數(shù) n :n");scanf("%d",&n);s=(4*T(a,b,2*n)-T(a,b,n)/3;/*利用辛甫生公式求解定積分*/printf("函數(shù)

15、f(x) 的積分值為 s=%fn",s);/*以下為復(fù)合梯形公式的定義*/double T(double x,double y,int z)double h,Tn;int i;double f(double t);h=(y-x)/z;Tn=(f(x)+f(y)/2;for(i=1;i<z;i+)Tn=Tn+f(x+i*h);Tn=Tn*h;return (Tn);/*以下為被積函數(shù)的定義，即函數(shù)舉例*/double f(double t)double s;s=sqrt(4-t*t);return (s);3.5.2程序四的編譯運(yùn)行 被積函數(shù)為f(x)=sqrt4-(x*x)的情

16、況先編譯，再運(yùn)行，屏幕顯示及操作如下：輸入0+回車輸入2+回車輸入1000+回車3.6程序六（Guass公式）3.6.1源程序#include <stdio.h>#include <math.h>#define N 3float gass_integral(float (*)(float),float,float,int);void main()float function_name(float);float a,b;printf("請(qǐng)輸入積分上限bn");scanf("%f",&b);printf("請(qǐng)輸入積分

17、下限an");scanf("%f",&a);float ans;ans=gass_integral(function_name,a,b,N);printf("ans=%f",ans);/高斯求積：代數(shù)精度為2n-1. -1-+1 之間float gass_integral(float (*func)(float x), float a,float b ,int n )/高斯點(diǎn)及其求積系數(shù)列表-float x11=0.0; float A11=2;float x22=-0.5573503,0.5573503; float A22=1,1;

18、float x33=-0.7745967,0.0,0.7745967; float A33=0.555556,0.888889,0.555556;float x44=0.3399810,-0.3399810,0.8611363,-0.8611363; float A44=0.6521452,0.6521452,0.3478548,0.3478548;float x55=0.0,0.5384693,-0.5384693,0.9061799,-0.9061799; float A55=0.5688889,0.4786287,0.4786287,0.2369269,0.2369269; /-float * p,* t;switch ( n)case 1 : p=x1;t=A1;break;case 2 : p=x2;t=A2;break;case 3 : p=x3;t=A3;break;case 4 : p=x4;t=A4;break;case 5 : p=x5;t=A5;break;default : printf("intput wrong!");float g=0;for(int i=0;i<n;i+)g+=(*func)(b-a)*pi/2+(a+b)/2)*ti;g*=(b-a)/2;return g;float funct